Производная функции

Занятие 18. Определение производной функции.
Производные основных элементарных функций.
1. Определение производной функции.
2. Таблица производных основных элементарных функций.
3. Правила дифференцирования функций.
Определение производной
Производная функции − одно из основных понятий математики, а в
математическом анализе производная наряду с интегралом занимает
центральное место. Процесс нахождения производной называется
дифференцированием. Обратная операция − восстановление функции по
известной производной – называется интегрированием.
Производная функции в некоторой точке характеризует скорость
изменения функции в этой точке. Оценку скорости изменения можно получить,
вычислив отношение изменения функции Δy к соответствующему изменению
аргумента Δx. В определении производной такое отношение рассматривается в
пределе при условии Δx → 0. Перейдем к более строгой формулировке:
Определение производной
Рассмотрим функцию f(x), область определения которой содержит
некоторый открытый интервал вокруг точки x0. Тогда функция f(x) является
дифференцируемой в точке x0, и ее производная определяется формулой.
Для производной используются обозначения:
Для нахождения производной функции f(x) в
определения следует выполнить следующие действия:
точке x0 на
основе
Записать отношение
;
 Упростить дробь, сократив ее, если возможно, на Δx;

Найти производную
, вычисляя предел дроби. Если данный предел
существует, то говорят, что функция f(x) дифференцируема в точке x = x0.

Таблица производных основных элементарных функций
1. с  0
2. x  1
3.
( x n )  n  x n 1
10) (sin x)  cos x
11) (cos x)   sin x
1
(tg x) 
cos2 x
12)
1
1
( x ) 
2 x
1
 1 
   2
x
5.  x 
x
x
6. (e )  e
4.
7. (a )  a ln a
x
x
(ctg x)  
13)
(arcsin x) 
1  x2
1
(arccos x)  
1  x2
1
(arctg x) 
1  x2
1
(ar cctg x)  
1  x2

u v  v  u v 1  u   u v  ln u  v
14)
15)
16)
(ln x) 
8.
1
x
1
(loga x) 
x ln a
9.
1
sin2 x
1
17)
 
18)
Нахождение производных многих других элементарных функций (более
сложных, не входящих в эту таблицу) осуществляется на основе следующих
правил вычисления производных (правил дифференцирования функций).
Правила дифференцирования функций. Пусть С  R — постоянная, и =
и (х), v = v(x) — функции, имеющие производные.
1. (Си)' =С ∙ u' .
3. (u ∙ v) ' =u' ∙ v + u ∙ v' .
2. (u ± v)' = и' ± v'.

4. uv  u v2uv  .
v

Здесь u=u(x) и ν=ν(x) – любые две дифференцируемые функции, а С –
любая константа.
Пример 1: Вычислить производную функции
Решение:
[Используем второе правило дифференцирования
]
[ Для первого и второго слагаемого следуем применить первое правило
дифференцирования
]
[ для третьего слагаемого используем правило
второго - табличную производную
, для первого и
]
Пример 2:
2
Вычислить производную функции
Решение:
[Используем второе правило дифференцирования
]
[Применим первое правило дифференцирования
[Применим табличную производную
]
]
Пример 3:
Вычислить производную функции
Решение:
[Используем формулу дифференцирования произведения
[Применим табличные производные
и
]
]
Пример 4:
Вычислить производную функции z 
arctg2t
.
1  4t 2
Решение:
3
arctg2t  (arctg2t )(1  4t 2 )  (arctg2t )(1  4t 2 )

z  


2 
(1  4t 2 ) 2
 1  4t 
(2t )
(1  4t 2 )  arctg2t (0  4·2t )
2
2  8t arctg2t
 1  4t

.
2 2
(1  4t )
(1  4t 2 ) 2
Задачи для самостоятельного выполнения
1. Вычислить производные следующих функций:
а) y  3х 2 ;
б) y 
3
д) у  x4  5x2  7 ;
4
1;
x
в) y 
х;
г) у  3 x ;
е) y  х 2  4x  3 .
2. Найти производные следующих степенных функций:
а) у  ( х3 1)(x 2  x 1) ;
x 2 1
б) у 
;
2
x 1
1
в) у  4
;
3
x
7 5
x x
г) у 
;
3
x
д) у  ( х 2 1)(x3  x) ;
3 9
ё) у  x  
;
x x2
е) у  x  ( x5  x  2) ;
4
13 2
ж) у  8  x3 
.

4
3
x
x
3. Найти производные тригонометрических функций:
а)
в)
1  sin x
;
1  sin x
1
у
;
cos x3
у
б) у  sin 2x
г) у 
;
1
.
2
tg 5x
4. Найти производные показательных функций:
а)
у  2  5 x  3e x ;
в)
e x  e x
у
;

x
x
e e
e x 1
б) у 
;
x
e 1
x
x

3
3
).
г) у  3(e  e
5. Вычислить производные следующих функций:
а) y  3x / ln x ;
б) y  cos х  ln x ;
в) y  1  x  3x 2  log2 4;
г) y 
x cos x .
4