СПБ ГБПОУ Колледж судостроения и прикладных технологий Дискретные случайные величины Разработана преподавателем Каракашевой И.В Санкт – Петербург 2018 Цели урока Образовательные: изучить дискретные случайные величины, закон и функцию распределения дискретной случайной величины; научить решать задачи на определение закона и функции распределения дискретной случайной величины, на нахождение вероятности попадания случайной величины в заданный интервал; научить применять понятия теории вероятностей в реальных ситуациях. Воспитательные: способствовать развитию знаний,; формировать у учащихся научное мировоззрение; продолжать формировать умение самостоятельно работать с различными источниками информации. Развивающие: способствовать развитию аналитического мышления, смысловой памяти, внимания; умения работать с дополнительной литературой; развитию навыков исследовательской деятельности. Случайные величины Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно числовое значение, зависящее от случайных факторов . Случайные величины обозначают заглавными латинскими буквами X,Y,Z,… , а их значения – маленькими буквами, например, . Cлучайные величины делятся на 2 группы: 1) Дискретная случайная величина – принимает отдельно взятые, изолированные значения. Количество этих значений конечно либо бесконечно, но счётно. 2) Непрерывная случайная величина – принимает все числовые значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Дискретные случайные величины Закон распределения дискретной случайной величины – это соответствие между возможными значениями этой величины и их вероятностями. Чаще всего закон записывают таблицей: xi x1 x2 … xn pi p1 p2 … pn Т.к. случайная величина обязательно примет одно из значений, то соответствующие события образуют полную группу, и сумма вероятностей их наступления равна единице: Дискретные случайные величины Многоугольником (полигоном) распределения вероятностей данной величины называют ломаную, звенья которой соединяют соседние точки . Пример 1 Написать закон распределения случайной величины — числа очков, выпадающих при однократном бросании игральной кости. Решение: Возможные значения — числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6. При этом вероятность того, что примет любое из этих 1 значений, одна и та же и равна . 6 Закон распределения имеет вид xi 1 2 pi 1 6 1 6 3 1 6 4 1 6 5 1 6 6 1 6 Пример 2 В коробке находятся 50 лотерейных билетов, среди которых 12 выигрышных, причём 2 из них выигрывают по 1000 рублей, а остальные – по 100 рублей. Составить закон распределения случайной величины – размера выигрыша, если из коробки наугад извлекается один билет. Решение Рассмотрим возможные значения: Самый маленький выигрыш —0 рублей, х1=0 Таких билетов 50 – 12 = 38, и по классическому 38 определению p1 0, 76 – вероятность того, что наудачу извлечённый билет50окажется безвыигрышным. Вероятность выигрыша х2=100 рублей составляет: И для х3=1000 10 p2 0, 2 50 2 p3 0, 04 50 Закон распределения выигрыша имеет вид xi xi 0 100 1000 pi 0,76 0,2 0,04 Пример 3 Построить многоугольник распределения вероятностей случайной величины Решение: xi -2 0 3 6 7,5 pi 0,2 0,1 0,2 0,3 0,2 Чертим прямоугольную систему координат, в которой по оси абсцисс отсчитываются хi – значения случайной величины, а по оси ординат pi – их вероятности. Соединяем соседние точки отрезками: Функция распределения Функцией распределения случайной величины Х называется вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее, чем переменная х, которая «пробегает» все действительные значения. F(x)=P(X<x) Свойства функции распределения 1) Функция распределения – неубывающая. 2) 3) Вероятность того, что дискретная случайная величина примет одно из возможных значений xi, равна скачку функции распределения в точке xi. F () 1 F () 0 Пример 4 Найти функцию распределения и построить ее график для случайной величины Х, заданной законом распределения xi -2 0 3 7 pi 0,4 0,1 0,2 0,3 Решение x 2 2 x 0 0 x3 3 x 7 x7 F(x)=P(X<x)=0 F(x)=P(X<x)=P(-2)=0,4 F(x)=P(X<x)=P(-2)+P(0)=0,4+0,1=0,5 F(x)=P(X<x)=P(-2)+P(0)+P(3)=0,4+0,1+0,3=0,8 F(x)=P(X<x)= P(-2)+P(0)+P(3)+P(7)= =0,4+0,1+0,3+0,2=1 0, если _ x 2 0, 4, если _ 2 x 0 F ( x) 0,5, если _ 0 x 3 0,8, если _ 3 x 7 1, если _ x 7 =0,4+0,1+0,3+0,2=1 Пример 5 В билете три задачи. Вероятность того, что студент правильно решит первую задачу, равна 0,9, вторую – 0,8, третью – 0,7. Составить закон распределения числа правильно решенных задач в билете. Построить график функции распределения. Найти вероятность того, что студент сдаст зачёт, если для этого нужно правильно решить не менее двух задач. Решение р1=0,9; q1=0,1 p2=0,8; q2=0,2 p3=0,7; q3=0,3 Используя теоремы умножения независимых и сложения несовместных событий, составим закон распределения случайной величины – числа правильно решенных задач в билете p(0) q1q2q3 = 0,1 0,3 0,2 0,006 x=0; x=1; p (1) p1q2 q3 q1 p2 q3 q1q2 p3 0,9 0,3 0, 2 0,1 0, 7 0, 2 0,1 0,3 0,8 0, 092 Решение x=2; p (2) p1 p2 q3 p1q2 p3 q1 p2 p3 0,9 0, 7 0, 2 0,9 0,3 0,8 0,1 0, 7 0,8 0,398 x=3 p(3) p1p2p3 0,9 0,7 0,8 0,504 Закон распределения: xi 0 1 2 3 pi 0,006 0,092 0,398 0,604 Составим функцию распределения: 0, если _ x 0 0, 006, если _1 x 1 F ( x) 0, 098, если _1 x 2 0, 4968, если _ 2 x 3 1, если _ x 3 Решение Найдём вероятность того, что студент сдаст зачёт: P( X 2) P(2 Х ) F () F (2) 1 0,098 0,902 Вероятность попадания случайной величины в промежуток [a;b] Вероятность того, что дискретная случайная величина примет одно из возможных значений xi, равна скачку функции распределения в точке xi. Если оба конца a и b промежутка не «попадают» в точки разрыва функции F(x) , то вероятности: P(a X b), P(a X b), P(a X b), P(a X b) можно найти по единой формуле: F (b) F (a) Если хотя бы один из концов a и b промежутка «попадает» в точку разрыва функции, то формулу можно использовать лишь в одном случае из четырёх: P(a X b) F (b) F (a) Примечание: если a , то левое неравенство становится строгим, но формула тоже применима.\ Во всех остальных случаях используем теорему сложения вероятностей несовместных событий Пример 6 Для функции распределения из примера 4 найти вероятности попадания случайной величины в заданные интервалы P(1 X 5), P(4 X 10), P( X 2), P(3 X 7), P( X 7) 0, если _ x 2 0, 4, если _ 2 x 0 F ( x) 0,5, если _ 0 x 3 0,8, если _ 3 x 7 1, если _ x 7 Решение Концы интервала (–1 и 5) находятся в области непрерывности функции распределения поэтому: P(1 X 5) F (5) F (1) 0,8 0, 4 0, 4 Оба конца этого промежутка не «попадают» в точки разрыва, поэтому: P(4 X 10) F (10) F (4) 1 0,8 0,2 Оба конца этого промежутка не «попадают» в точки разрыва, поэтому: P( X 2) F (2) F () 0,5 0 0,5 По теореме сложения вероятностей несовместных событий: P(3 X 7) P(3 X 7) P(7) F (7) F (3) P(7) 0,8 0,5 0,2 0,5 P( X 7) 0 , т.к.там нет значений случайной величины. Выполнить задания 1) Написать закон распределения случайной величины, заданной своим многоугольником 2) Составить функцию распределения, построить ее график для дискретной случайной величины xi 12 16 21 26 30 pi 0,2 0,4 0,1 0,2 0,1 Ответы Задание 1 xi -3 -1 2 3,5 5 pi 0,05 0,1 0,4 0,2 0,15 0,1 Задание 2 0, _ x 12 0, 2, _12 x 16 0,3, _16 x 21 F ( x) 0, 7, _ 21 x 26 0,9, _ 26 x 30 1, _ x 30 9 Домашнее задание Рабочий обслуживает 3 станка, вероятности выхода из строя каждого из которых в течение часа соответственно равны 0,2; 0,15; 0,1. Составить закон и функцию распределения числа станков, не требующих ремонта в течение часа. Построить полигон и график функции распределения. Производятся три выстрела по мишени. Вероятность поражения мишени первым стрелком равна 0,4, вторым – 0,5, третьим – 0,6. Случайная величина X – число поражений мишени. Составить закон и функцию распределения . Построить полигон и график функции случайной величины Х.