ЗДРАВСТВУЙТЕ! ПРОДОЛЖАЕМ КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ПОДГОТОВКЕ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ.

ЗДРАВСТВУЙТЕ!
ПРОДОЛЖАЕМ КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ПОДГОТОВКЕ К ЕГЭ ПО
МАТЕМАТИКЕ.
И МЫ ПРОДОЛЖАЕМ РАЗБИРАТЬ ЗАДАНИЕ В6 – БАЗОВЫЕ ЗАДАЧИ
ПО ПЛАНИМЕТРИИ. НА ПРОШЛОМ ЗАНЯТИИ МЫ РАССМОТРЕЛИ
ЗАДАЧИ, СВЯЗАННЫЕ С ТРЕУГОЛЬНИКОМ. СЕГОДНЯ
ОСТАНОВИМСЯ НА ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКАХ, ДУГАХ, УГЛАХ И
ОКРУЖНОСТЯХ.
ТАК ЖЕ КАК В ПРОШЛОЙ ЛЕКЦИИ Я БУДУ НАПОМИНАТЬ
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФАКТЫ, ФОРМУЛЫ. СВОЙСТВА ФИГУР, А ЗАТЕМ
ИЛЛЮСТРИРОВАТЬ ИХ ПРИМЕНЕНИЕ ПРИ РЕШЕНИИ КОНКРЕТНЫХ ЗАДАЧ.
ИТАК, ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ. ЗАДАНИЯ В ОТКРЫТОМ БАНКЕ ЕГЭ
НАПРАВЛЕНЫ НА ПРОВЕРКУ УМЕНИЯ РЕШАТЬ ЗАДАЧИ НА ТРАПЕЦИЮ,
ПАРАЛЛЕЛОГРАММ И ЕГО ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ.
1. В прямоугольном треугольнике квадрат
гипотенузы равен сумме квадратов катетов
2. sin A  ВС
АВ
AС
cos A 
АВ
ВС
tgA 
АC
противолежащий катет
sin A 
гипотенуза
cos A 
tgA 
прилежащий катет
гипотенуза
с2  а2  в2
3.
ab
h
c
ab ch
S

2
2
противолежащий катет
прилежащий катет
4. В прямоугольном треугольнике
напротив угла в 30º лежит катет,
равный половине гипотенузы
5. В прямоугольном треугольнике
с углом в 45º гипотенуза
больше каждого катета в 2
раз.
Классификация четырехугольников
Выпуклый четырехугольник
Параллелограмм
Прямоугольник
Трапеция
Ромб
Квадрат
Прямоугольная
трапеция
Равнобедренная
трапеция
Задание №1
Параллелограмм – это четырехугольник, у которого
противоположные стороны попарно параллельны.
 Противоположные стороны попарно равны.
 Противоположные углы равны.
 Сумма углов, прилежащих к одной стороне равна 180
градусов.
 Диагонали точкой пересечения делятся пополам.
Ответ.
1 0
Пусть АB  х; тогда BC  х  3
составм уравнение
( x  3)  x  ( x  3)  x  46
4 x  6  46; x  10
Задание №2
Площадь параллелограмма равна….
S  aha
….произведению основания на высоту,
проведенную к этому основанию
S  ab sin 
…. произведению
смежных сторон на синус угла между ними.
1. Большая высота
параллелограмма
проведена к меньшей
стороне.
АВ < AD,
DH – искомая высота
2.
Н
Ответ.
1 8
ADH
6
sin A   DH  6 х; АD  7 х
7
а так как АD  21, то x  3
 DH  6  3  18
Задание №3
cos B  cos(1800  A)   cos A
Ответ.
- 0 , 4
а так как sin 2 A  cos 2 A  1
21
4
2
2

 cos A  1  cos A 
25
25
2 4
угол А  острый  cos A  
5 10
Задание № 4
Прямоугольник – это
параллелограмм с прямыми углами.
Диагонали прямоугольника равны.
S  ab
1 2
S  d sin 
2
Ответ.
1 2
∆ВОС равнобедренный
с углом 60°
⇒ ∆ВОС равносторонний
СО=СВ=6
АС=2СО=12
Задание № 5
х+1
х
Пусть OG  x; тогда OH  x  1,
AD  2 x; AB  2 x  2
PABCD  2   AD  AB ;
Ответ.
6
28  2  2 x  2 x  2;
 AD  2  3  6
x3
Задание № 6
Ромб – это параллелограмм с
равными сторонами.
Диагонали ромба взаимно
перпендикулярны и являются
биссектрисами углов ромба.
1. Пусть BD  6 x; AC  8 x,
тогда OB  3 x; OC  4 x
COB  прямоуголь ный 
BC  9 x 2  16 x 2  25 x 2  5 x
PABCD  4  BC ; 200  4  5 x; x  10
Ответ.
4 8
 BC  5 10  50; BD  60; AC  80
1
1
2. S ром ба  АС  BD   80  60  2400
2
2
S ром ба  АB  h; 2400  50  h; h  48
Задание № 6
4
a
b
c
Ответ.
2 3
PADE  AD  DE  AE  15
PADCB  AD  DC  CB  ( BE  EA)
4
 PADCB  15  (4  4)  23
Свойства равнобедренной трапеции
 Об углах при основаниях
Углы при основаниях равнобедренной
трапеции соответственно равны.
 О диагоналях
Диагонали в равнобедренной трапеции
равны.
 О высоте, проведенной из
вершины тупого угла
Высота равнобедренной трапеции,
проведенная из вершины тупого угла,
разбивает нижнее основание на два
отрезка, больший из которых равен
полусумме оснований, а меньший –
модулю полуразности.
 О высоте в равнобедренной
трапеции с перпендикулярными
диагоналями
Высота равнобедренной трапеции с
перпендикулярными диагоналями
равна средней линии
Задание № 7
M
Ответ.
1 2
N
Задание № 8
10
4
Ответ.
1 0
Задание № 9
9
45°
15
Н
Ответ.
3
Задание № 10
Четырехугольник вписан в окружность,
значит, ∟А+ ∟С = 180°
∟С = 180°- ∟А = 180°- 58° = 122°
Ответ. 1 2 2
Задание № 11
ACO  240 ; а так как OAC  900 ,
то AOD  900  240  1140
  AD  1140
Ответ. 1 1 4
Задание № 12
В
О
АВС  300  АОС  600
 АОС  равносторонний
ОА  радиус; OA  3
 AC  3
Ответ. 3
А
С
Задание № 13
Пусть AСС  x; тогда АОC  2 x;
но АОC  x  360
составим уравнение 2 х  x  360 ; х  360
Ответ. 3 6