Муниципальное Общеобразовательное Учреждение «Средняя Общеобразовательная Школа №236 г.Знаменск» Учитель математики Потапова Е.А. f(x) -f(x) f(x) f(-x) Преобразование симметрии относительно оси х f(x) -f(x) График функции у = -f(x) получается преобразованием симметрии графика функции у = f(x) относительно оси х. Замечание. Точки пересечения графика с осью х остаются неизменными. y sin x y sin x y x y x2 y x y 2x 2 yx y 2 x Преобразование симметрии относительно оси y f(x) f(-x) График функции у = f(-x) получается преобразованием симметрии графика функции у = f(x) относительно оси y. Замечание. Точкa пересечения графика с осью y остается неизменной. y log 2 ( x) y log 2 x y 2 x y 2x y x y x y x 2 y x2 Замечание 1. График четной функции не изменяется при отражении относительно оси у, поскольку для четной функции f(-x)=f(x). Пример: (-x)2 = x2. Замечание 2. График нечетной функции изменяется одинаково как при отражении относительно оси х , так и при отражении относительно оси у, поскольку для нечетной функции f(-x)=-f(x). Пример: sin(-x) =-sinx. y sin x y sin x f(x) f(x-а) Урок № 2 Параллельный f(x) f(x) + b перенос вдоль осей х и у. Параллельный перенос вдоль оси х f(x) f(x-а) График функции у = f(x-а) получается параллельным переносом вдоль оси х на |a| вправо при а>0 и влево при а <o. Замечание: График периодической функции с периодом Т не изменяется при параллельных переносах вдоль оси х на nT, nϵN. y sin x y sin x 3 3 y x2 y x 3 2 y x 2 2 y x y x3 y x2 Параллельный перенос вдоль оси y f(x) f(x)+b График функции у = f(x)+b получается параллельным переносом вдоль оси y на |b| вверх при b>0 и вниз при b <o. y sin x 2 y sin x y sin x 1 y cos x 2 y cos x y x2 y x2 1 y x y x 1 y x 2 y x2 2 f(x) f(αx) Урок №3 f(x) kf(x) Сжатие и растяжение вдоль осей x и у Сжатие и растяжение вдоль оси x f(x)f(αx), где α >0 α >1 График функции y=f(αx) получается сжатием графика функции y=f(x) вдоль оси х в α раз. 0< α <1 График функции y=f(αx) получается растяжением графика функции y=f(x) вдоль оси х в 1/α раз. y sin x y sin 2 x Замечание. Точки пересечения графика с осью y остаются неизменными. y 2x y x x y 2 Сжатие и растяжение вдоль оси y f(x)kf(x), где k>0 k>1 График функции y=kf(x) получается растяжением графика функции y=f(x) вдоль оси y в k раз. 0<k<1 График функции y=kf(x) получается сжатием графика функции y=f(x) вдоль оси y в 1/k раз. 1 y cos x 2 y 2 cos x y cos x y2x y x y 0,5 x y 3x 2 y x2 y 0,5 x 2 Замечание. Точки пересечения графика с осью x остаются неизменными. 1 2 y x 10 y3 x y x y 0,5 x Урок №4 Построение графиков функций y=f(|x|) и y=|f(x)| Построение графика функции у=|f(x)| Части графика функции y=f(x), лежащие выше оси х и на оси х, остаются без изменения, а лежащие ниже оси х –симметрично отражаются относительно этой оси (вверх). Замечание: Функция y=|f(x)| неотрицательна(ее график расположен в верхней полуплоскости). y sin x y sin x y x2 4x 3 y x2 4x 3 y log 2 x y log 2 x Построение графика функции у=f(|x|) Часть графика функции y=f(x), лежащие левее оси у, удаляется ,а часть, лежащая правее оси у – остается без изменения и, кроме того, симметрично отражается относительно оси у (влево). Точка графика, лежащая на оси у, остается неизменной. Замечание: Функция y=f(|x|) четная (ее график симметричен относительно оси у). y sin x y sin x y x2 4 x 3 y x2 4x 3 y log 2 x y log 2 x Урок №5 Построение графика обратной функции Построение графика обратной функции График функции у = g(x) , обратной для данной функции у = f(x) , можно получить преобразованием симметрии графика у = f(x) относительно прямой y=х. Замечание. Описанное построение можно производить только для функции, имеющей обратную. y 2x Примеры графиков взаимно обратных функций: y log 2 x y x2 , x 0 y arcsin x 1 y x 1 y sin x, / 2 x / 2 y arccos x 1 1 1 1 y cos x, 0 x Построение графиков сложных функций с помощью последовательных преобразований графиков элементарных функций(на примерах). 2 2 2 Пример 1. y x 6 x 8 x 6 x 8 x 3 1 1) y x 2 6 x 8 x 3 1 2 2) y x 2 6 x 8 x 3 1 2 2) y x 2 6 x 8 x 3 1 2 3) y x 2 6 x 8 Пример 2. y log 2 x 1 1) y log 2 x 2) y log 2 x 2) y log 2 x 3) y log 2 x 1 3) y log 2 x 1 4) y log 2 x 1 Пример 3. y 3 sin 2 x 1 1) y sin x 2) y sin 2 x 2) y sin 2 x 3) y 3 sin 2 x 3) y 3 sin 2 x 4) y 3 sin 2 x 4) y 3 sin 2 x 5) y 3 sin 2 x 1 Пример 4. Построить график функции : y cos x 1 2 • Сместим график функции y=cosx на вектор ;1 2 y cos x