Формула Тейлора

§ 16. Формула Тейлора и Маклорена
Опр. 11. Многочленом (полиномом) n - го порядка называется функция
где
Pn ( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + … + an x n
a0 , a1 , …, an – числа – коэффициенты многочлена, n∈N .
Многочлен полностью определяется своими коэффициентами.
Опр. 11*. Многочленом (полиномом) по степеням (x – x0) называется
выражение
Pn ( x ) = a0 + a1.( x – x0 ) + a2.( x – x0 ) 2+ … + an.( x – x0 ) n
(n)
P( x0 )
P
( x0 )
P( x)  P( x0 )  P( x0 )( x  x0 ) 
( x  x0 ) 2  ... 
( x  x0 ) n
2!
n!
Опр. 12. Выражение (16.2) называется формулой Тейлора
для многочлена Pn(x)
(16.1)
(16.2)
Теорема 16.1
f ( x ) определена на интервале (a, b), имеет в точке
x∈(a, b) производные до n - го порядка включительно. Тогда при x → x0
функция f(x) будет сходится к своему многочлену Тейлора и можно записать
Пусть функция
( n)
f ( x0 )
f
( x0 )
P( x)  f ( x0 )  f ( x0 )( x  x0 ) 
( x  x0 )2  ... 
( x  x0 )n (16.3)
2!
n!
Выражение (16.3) называется многочленом Тейлора для функции
f(x)
Теорема 16.2
f ( x ) и ее многочленом Тейлора P ( x ) является
б.м. величиной высшего порядка малости чем ( x – x0 )n
Rn(x) - остаточный член
f (x) – P (x) = Rn(x) = o ((x – x0)n )
Разность между функцией
остаточный член в форме Пеано
Rn(x) = o ((x – x0)n )
(16.4)
Остаточный член в форме Лагранжа
f ( n1) ( )
Rn ( x) 
( x  x0 ) n1 где x0<<x
(n  1)!
(16.5)
(n)
( n1)
f  ( x0 )
f
(
x
)
f
( )
0
f ( x)  f ( x0 )  f ( x0 )( x  x0 ) 
( x  x0 )2  ... 
( x  x0 )n 
( x  x0 )n1
2!
n!
(n  1)!
y
f(x)=P(x)+Rn(x)
y=f(x)
Rn(x)
f(x)
P(x)
x0
x
x
Теорема. (достаточное условие сходимости f(x) к полиному P(x))
f(x)→P(x) в окрестности x0, если | f(n+1)()| < M, т.е.
M ( x  x0 )n 1
Rn 
(16.6)
(n  1)!
Пусть
f(x) = sin x,
x0 = 0
x3 x5 x7
x 2 n1
n1
sin x  x     ...  (1)
 Rn ( x)
3! 5! 7!
(2n  1)!
P2(x)
P1 ( x)  x
P3(x)
y
x3
P2 ( x)  x 
3!
P1(x)
P4(x)
sinx
-π
0
π
x3 x5
P3 ( x)  x  
3! 5!
x3 x5 x7
P4 ( x)  x  

3! 5! 7!
x
Формула Маклорена – частный случай формулы Тейлора при
x0 = 0
Стандартные разложения по формуле Маклорена
2 n 1
x3 x5
n 1 x
sin x  x    ...  (1)
 ...
3! 5!
(2n  1)!
2n
x2 x4
x
cos x  1  
 ...  (1) n
 ...
2! 4!
(2n)!
Уметь получать разложения
2
3
n
x
x
n 1 x
ln( 1  x)  x    ...  (1)
 ...
2
3
n
2
3
n
x
x
x
ex  1 x 
  ... 
 ...
2! 3!
n!
(1  x) m  1  mx 
m(m  1) 2 m(m  1)( m  2) 3
x 
x  ...
2!
3!
x3 x5
sh x  x    ...
3! 5!
x2 x4
ch x  1 

 ...
2! 4!
Стандартные разложения Маклорена
Таблица эквивалентов ∼
2 n 1
x3 x5
n 1 x
sin x  x    ...  (1)
 ...
3! 5!
(2n  1)!
2
4
2n
x
x
n x
cos x  1  
 ...  (1)
 ...
2! 4!
(2n)!
n
x 2 x3
x
ln( 1  x)  x    ...  (1) n1
 ...
2
3
n
2
3
n
x
x
x
ex  1 x 
  ... 
 ...
2! 3!
n!
m(m  1) 2 m(m  1)( m  2) 3
(1  x)  1  mx 
x 
x  ...
2!
3!
m
sin x
x
x2
cos x  1
1
2!
ln(1  x)
x
e 
1  x
x
(1  x)m  1  mx