1.НеопредеР

Неопределенный
интеграл и основные
методы
интегрирования
Функция F  x  называется
первообразной для функции
f  x  на промежутке a; b  , если
для всех x  a; b  выполняется
равенство
F  x   f  x .
Теорема. Если F  x  – первообразная
от функции f  x  на сегменте
a;b , то
всякая другая первообразная от функции
f  x  отличается от F x  на постоянное
слагаемое, т.е. может быть представлена в
виде
F x   C .
Если F x  - одна из первообразных
для функции f  x  , то выражение
F x   C , где C  const называется
неопределенным интегралом
 f x   dx  F x   C .
f  x   подинтегральная функция;
f  x   dx  подинтегральное выражение;
x  переменная интегрирования.
Вычисление неопределенного
интеграла от заданной функции
называется интегрированием.
• Дифференциал первообразной равен
подинтегральному выражению:

d F x   F x   dx  F x   dx  f x   dx
 d F x   F x   C
 dx  x  C
Геометрический
смысл
неопределенного
интеграла
y  F x   C2
Y
y0
y  F  x   C1
y  F x 
M 0  x0 ;y 0 
x0
X
y 0  F  x0   C
C  y 0  F  x0 
Таблица основных
интегралов
n 1
u
1)  u  du 
 C n  1
n 1
2)  du  u  C
n
du
3) 
 ln u  C
u
u
a
u
4)  a du 
C
ln a
u
u
 e  du  e  C
5)  sin u  du   cosu  C
6)  cosu  du  sin u  C
du
7) 
 tgu  C
2
cos u
du
8)  2  ctgu  C
sin u
du
1
u
9)  2
  arctg  C
2
a u
a
a
du
 1  u 2  arctgu  C
du
u
10)  2

arcsin

C
2
a
a u
du

arcsin
u

C

2
1 u
du
2
11)  2
 ln u  u  a  C
u a
du
1
ua
12)  2

 ln
C
2
u a
2a
ua
Основные свойства
неопределенного
интеграла
1)   f u   g u  du   f u   du   g u   du
2)  k  f u   du  k   f u   du k  0
Основные методы
интегрирования
Метод разложение
x4  4x2  2x  1
4 2 1

dx    x   2  3   dx 

3
x
x x
x 

1
2
3
  x  dx  4    dx  2   x  dx   x  dx 
x
2
1
2
x
x
x
  4  ln x  2 

C 
2
1  2
x2
2
1
  4  ln x   2  C
2
x 2x
Метод замены переменной
z  3x
 sin 3x  dx  dz  3  dx 
dz
dx 
3
dz 1
1
  sin z     sin z  dz    cos z   C 
3 3
3
1
   cos3x  C
3
x  dx
2
z 1 x
3
dz

dz

3

x

dx



3

2
3
3
z 3 x
1 x
dz
dx 
2
3 x
2
2
3
x
2
1
1 z
13
3 2

   z  dz  
C 
1 x   C
3
3 2
2
3

1
3
Метод интегрирования по
частям
Пусть u  ux  и v  vx  - две функции,
•
имеющие непрерывные производные.
d uv  u  dv  v  du
 d uv   u  dv   v  du
uv   u  dv   v  du
 u  dv  u  v   v  du
Виды интегралов, которые
берутся по частям
1. Pn  x   a  dx
kx
 Pn x   e  dx
 Pn x   sin kx  dx
 Pn x   coskx  dx
 Pn x   tgkx  dx
kx
u  Pn  x 
dv  всё остальное
2. Pn  x   log a x  dx
 Pn  x   arcsin kx  dx
 Pn  x   arccoskx  dx
 Pn  x   arctgkx  dx
 Pn  x   arcctgkx  dx
dv  Pn  x   dx
u  всё остальное

e

3. e
kx
kx
 sin x  dx
 cos x  dx
Двукратное интегрирование по частям
Метод интегрирования
рациональных дробей
Некоторые сведения о
многочленах
Понятие многочлена
Pn x  A0 x n  A1 x n1  ... An , где
Функция
n–целое число, называется многочленом или
рациональной целой функцией от x. Число n
называют степенью многочлена.
Коэффициенты A0 , A1, ..., A n
–это
действительные или комплексные числа.
Независимая переменная x также может
быть как действительным, так и комплексным
числом.
Теорема Безу
Число a является корнем многочлена
Pn x тогда и только тогда, когда
многочлен делится на (x–a) без остатка.

Теоремы алгебры
Теорема .Всякий многочлен Pn x 
степени n  1 имеет по крайней мере
один корень.
Теорема. Всякий многочлен степени n
разлагается на n линейных множителей
вида x  a и множитель, равный
n
коэффициенту при x .
Pn x  A0 x  a1 x  a2 ...x  an 
Случай кратных действительных
корней
Если в разложении многочлена на
множители некоторые линейные множители
окажутся одинаковыми, то их можно
объединить, и тогда разложение многочлена
на множители будет иметь вид:
Pn x   Ao x  a1  x  a2  ...x  am 
k1
k2
km
При этом k1  k2  ...  km  n . В этом случае
корни a1, a 2 , ..., a m называются корнями
кратности k1, k 2 , ..., k m соответственно.
Пример
Px  x  5x  8x  4  x  2x  2x  1 
3
2
.  x  2 x  1
Корень a1  2 –двукратный корень
этого многочлена, a2  1 –простой
корень.
2
Случай комплексных
корней
Теорема. Всякий многочлен n–ой
степени имеет ровно n корней
(действительных или комплексных).
Теорема. Если многочлен с
действительными коэффициентами
имеет комплексный корень a  bi ,то он
имеет и сопряженный корень a  bi.
Итак, в разложении многочлена на
множители комплексные корни входят
попарно сопряженными. Им
соответствует множитель вида
x  a  bix  a  bi 
 x  a   bix  a   bi  x  a   b 
2
 x 2  2ax  a 2  b 2  x 2  px  q,
где дискриминант отрицателен.
2
Случай кратных комплексных
корней
Если комплексные корни многочлена
являются кратными, то этот многочлен
с действительными коэффициентами
разлагается на множители согласно
формуле
k1
k2
Pn x   Ao x  a1  x  a 2  ...x  a r  k r

 
l1

ls
 x  p1 x  q1 ... x  p s x  q s
где k1  k 2  ...  k r  2l1  ...  2ls  n
2
2
• Рациональной дробью называется
отношение двух многочленов
Pm  x 
.
Qn  x 
Если
Если
m  n, то дробь наз. неправильной;
m  n , то дробь наз. правильной
Если рациональная дробь является
неправильной, то произведя деление Px
на Qx  по правилу деления
многочленов, ее можно представить в
виде Px   Rx   P1 x  , , где R (x ) Q x 
Q x 
некоторый многочлен,
а P1 x  - правильная рациональная
Qx 
дробь.
Простейшие
рациональные дроби
A
1.
ax  b
Ax  B
3. 2
D0
x  px  q
Ax  B
A
4
.
D

0
2.
n
2
n
ax  b  x  px  q 
Правило
интегрирование
рациональных дробей
Интегрирование простейших
рациональных дробей
Дробь 1-го типа:
dx
d ( x  4)
 x  4   x  4  ln x  4  C.
Дробь 2-го типа:
dx
1
5

(
3
x

1
)
d (3 x  1) 
 (3x  1) 5 3 
1 (3 x  1)  4
1

C 
 C.
4
3
4
 12(3 x  1)
Пример
3x 2  8
 x 3  4 x 2  4 xdx
Найдем
Разложим знаменатель дроби на
3
2
2
2
x

4
x

4
x

x
(
x

4
x

4
)

x
(
x

2
)
.
множители:
3x 2  8
A
B
C
Тогда
 

.
2
2
x( x  2)
x
x2
( x  2)
Приведем дроби к общему
знаменателю и освободимся от
знаменателя.
3x 2  8  A( x  2) 2  Bx ( x  2)  Cx.
Положим в обеих частях этого
тождества х=0. Получим 8=4А. Тогда
А=2. При х=-2 20=-2С, а С=-10.
2
Приравнивая коэффициенты при x в
обеих частях тождества, получаем
3=А+В, а так как А=2 , то В=1. Имеем
3x  8
dx
dx
dx
 x 3  4 x 2  4 xdx  2 x   x  2  10 ( x  2) 2 
d ( x  2)
2
 2 ln x  
 10 ( x  2) d ( x  2) 
x2
1
 2 ln x  ln x  2  10
 C.
x2
2
Пример.
x  2x
Вычислить  2
dx
2
( x  1)
x 3  2x
Ax  B
Cx  D
 2
 2
2
2
2
( x  1)
( x  1)
x 1
Приведем выражение к общему
знаменателю:
.
3
Ax  B  (Cx  D)( x 2  1)
x 3  2x

2
2
( x  1)
( x 2  1) 2
Приравняем числители
x 3  2 x  Ax  B  Cx 3  Dx 2  Cx  D
.
Многочлены, стоящие в правой и
левой частях этого соотношения
тождественно равны, т. е. равны
коэффициенты при одинаковых
степенях х в левой и правой частях
последнего соотношения.
x  2 x  Ax3  B  Cx  Dx  Cx  D
3
3
2
1 C
0D
x2
x 2  AC
x0 0  B  D
Отсюда получаем: С=1, D=0, А=-3, В=0.
Следовательно, подставляя найденные
коэффициенты в разложение дроби на
простейшие, получим
x
x  2x
 3xdx
xdx
 ( x 2  1) 2 dx   ( x 2  1) 2   x 2  1 
3
3 d ( x  1) 1 d ( x  1)
  2
  2

2
2 ( x  1)
2
x 1
3
1
2

 ln( x  1)  C.
2
2( x  1) 2
2
2
Интегрирование
тригонометрических
функций
 sin x  cos x  dx
n
m
а)хотя бы один из показателей нечетный;
Если хотя бы одно из чисел n или m нечетное положительное число, то
отделяя от нечетной степени один
сомножитель и выражая с помощью
формулы оставшуюся четную степень
через дополнительную функцию,
приходим к табличному интегралу.
Пример.
cos 3 x
Вычислить  2 dx
sin x
.
Отделим от нечетной степени косинуса один
множитель, внесем под знак дифференциала
синус и получим:
2
1  sin x
d (sin x)
 sin 2 x d (sin x)   sin 2 x   d (sin x) 
1
sin
x
2
  sin xd (sin x)  sin x 
 sin x  C 
1
1

 sin x  C.
sin x
б)показатели – четные, неотрицательные
Применяют формулы понижения
степени:
1  cos 2 x
sin x 
,
2
1  cos 2 x
2
cos x 
,
2
1
sin x  cos x  sin 2 x.
2
2
Пример.
1
1 1  cos 4 x
2
 sin x cos xdx  4  sin 2 xdx  4  2 dx 
1
1
1
  (1  cos 4 x)dx  x  sin 4 x  C.
8
8
32
2
2
2. Интегралы вида
 sin kx sin mxdx,  sin kx cos mxdx,  cos kx cos mxdx
вычисляют преобразованием
произведения тригонометрических
функций в сумму по формулам:
1
sin kx sin mx  (cos(k  m) x  cos(k  m) x),
2
1
sin kx cos mx  (sin(k  m) x  sin(k  m) x),
2
1
cos kx cos mx  (cos(k  m) x  cos(k  m) x).
2
Пример.
1
 sin 10 x sin 15xdx  2  (cos( 5x)dx  cos 25 x)dx 
1
1
=
cos 5 xdx   cos 25 xdx 

2
2
1
1
 sin 5 x  sin 25 x  C.
10
50
m
tg
xdx,
3. Интегралы 
вычисляют заменой
m
ctg
 xdx, где m  N
dt
tgx  t , x  arctgt , dx 
.
2
1 t
Второй интеграл берут с помощью
подстановки ctgx  t .
3
3
t
t
t t
3
Вычислим: tg xdx  
dt  
dt 
2
2
1 t
1 t
Разложим интеграл на два интеграла.
Получим
t3  t
t
1 d (t 2  1)

dt  
dt   tdt  

2
2
2
2 1 t
1 t
1 t
2
t2 1
tg
x 1
2
2
  ln( 1  t )  C 
 ln( 1  tg x)  C.
2 2
2
2
4.Такой же заменой можно брать интегралы
dx
, n, m  целые числа
 sin
m
x cos n x
одинаковой четности. Например,
tgx  t
dx
d (tgx)
 cos 4 x   cos 2 x  cos 2 x 

1
2
1  tg x
3
3
t
tg
x
2
  (1  t )dt  t   C  tgx 
 C.
3
3
5.Универсальная подстановка
Интегралы  R (sin x, cos x)dx берут с
помощью универсальной подстановки
x
tg  t. Откуда
2
2
2t
1 t
2dt
sin x 
cos x 
, dx 
.
2
2
2
1 t ,
1 t
1 t
Например,
dx
2dt
1
dt
x
 sin x   1  t 2  2t   t  ln t  C  ln tg 2  C.
1 t2
7. Универсальная подстановка
приводит к громоздким выкладкам!
Поэтому если R(sinx,cosx)=R(-sinx,-cosx), то
удобнее пользоваться подстановкой tgx=t.
Тогда
dt
tgx  t , x  arctgt , dx 
.
2
1 t
t
1
sin x 
, cos x 
2
2
1 t
1 t .
Пример.
dx
 1  sin 2 x  
dt
2
dt


2
1  2t
t
(1  t )(1 
)
2
1 t
1
d ( 2t )
1


arctg (t 2 )  C 

2
2 1  (t 2 )
2
1

arctg ( 2tgx)  C.
2
2
Интегрирование простейших
иррациональностей
Иррациональность, содержащая
квадратный трехчлен
(ax  b)dx
1.Интегралы вида 
mx 2  nx  p
берут, выделяя полный квадрат и вводя
новую переменную.

3x  6
x  4x  5
2
dx  
3( x  2)
( x  2)  1
2
dx  3
tdt
t 1
2

3 d (t 2  1)
 
 3 t 2  1  C  3 x 2  4 x  5  C.
2
t 2 1
ax  b
 R( x, cx  d )dx
вычисляют с помощью подстановки
2. Интегралы вида
n
ax  b
n
z .
cx  d
m
k
R
(
x
,
ax

b
,
ax  b )dx
Интегралы вида 
вычисляют с помощью подстановки
ax  b  z ,
n
где n–наименьшее общее кратное чисел m и k.
Тригонометрические подстановки
Интегралы вида
2
2
R
(
x
,
a

x
)dx,

2
2
R
(
x
,
a

x
)dx,

2
2
R
(
x
,
x

a
)dx

вычисляют с помощью
тригонометрических подстановок.
1.  R( x, a 2  x 2 )dx; x  a sin z, dx  a cos zdz ,
a 2  x 2  a 2  a 2 sin 2 z  a 1  sin 2 z  a cos z.
adz
2.  R( x, a  x )dx, x  atgz, dx 
,
2
cos z
2
2
a
a  x  a  a tg z  a 1  tg z 
.
2
cos z
2
2
2
2
2
2
a
a sin zdz
3.  R( x, x  a )dx, x  cos z , dx  cos 2 z ,
2
x2  a2 
2
2
a2
1

cos
z
sin z
2
a  a
a
 atgz.
2
2
cos z
cos z
cos z
Пример.

x2 1
dx 
2
x
dz
x  tgz, dx 
cos 2 z
dz


2
2
cos ztg z cos z
1
x  1  tg  1 
cos z
dz
sin 2 z  cos 2 z
dz
cos z


dz  
  2 dz 
2
2
cos z
cos z sin z
cos z sin z
sin z
cos zdz
d (sin z )
1
1 1  sin z
1
2

  sin zd (sin z )  

 ln

C 
2
2
cos z
1  sin z sin z 2 1  sin z sin z
2
2
1
x2 1  x
x2 1
 sin z 
 ln

 C.
2
2
x
tg z  1 2
x 1  x
tgz