Геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия
Числовая последовательность, первый
член которой отличен от нуля, а
каждый член, начиная со второго равен
предыдущему члену, умноженному на
одно и то же отличное от нуля число,
называется геометрической
прогрессией.
Примеры геометрической
прогрессии

1,3,9,27… -Возрастающая т.к b1 > 0 q > 1
3 3 3
; ; ,.....  Убывающая
 3;
2 4 8

Т.к b1 > 0 0<q<1
Формулы





Формула n-го члена
n 1
геометрической прогрессии: bn  b1 * q
Сумма членов конечной
геометрической прогрессии
находится по формуле:
b1 (q n  1) где q ≠1
Sn 
q 1
Характеристическое свойство
геометрической прогрессии
| bn | bn  1 * bn  1 - модуль
любого члена геометрической
прогрессии равен среднему
геометрическому предыдущего и
последующего членов
Следствие



Если члены геометрической прогрессии
Положительные числа, то bn1  bn * bn  2
То есть любой член геометрической
прогрессии с положительными членами
является средним геометрическим
предыдущего и последующего членов
Это интересно
Если q > 1, то члены геометрической прогрессии быстро растут. В результате при сравнительно небольших номерах n
получаются числа-гиганты. С древнейших времен известны задачи и легенды, связанные с неправдоподобной на
первый взгляд скоростью роста членов геометрической прогрессии bn = 2 в степени n-1. Чаще всего, конечно,
рассматривалась прогрессия 1,2,4,8,16…. Одна из наиболее известных легенд – легенда о шахматной доске:
Говорят, что игра в шахматы была изобретена в Индии. Царь Ширам был восхищен игрой и приказал наградить
изобретателя по-царски. Изобретатель Сета был бедным, скромным, но не терпел хвастунов. И когда царь заявил, что
выполнит любое его желание, хитро прищурился и сказал:
-Хорошо, государь. Прикажи выдать мне за первую шахматную клетку 1 зернышко, за вторую – 2, за третью – 4, за
четвертую – 8,
За пятую – 16, за шестую – 32…
-Хватит, хватит! Приди вечером, да не забудь мешок! – расхохотался Ширам.
Сета с низким поклоном удалился.
А мудрецы тем временем взялись за расчеты. И вечером в ужасе предстали перед царем, ожидая страшного наказания.
- В чем дело? Почему я не вижу мешков с зерном – вскричал царь.
Самый старый мудрец негромко произнес:
-О, государь! У вас нет такого количества зерна, даже если распахать всю поверхность Земли….
Ширам удивился и попросил назвать ему количество зерен
- 18 квинтиллионов 446 квидриллионов 744 триллиона 709 миллионов 551 тысяча 615 – ответил мудрец.
Чтобы собрать такое количество зерен, следует распахать все планеты солнечной системы, (в 2000 раз больше всей
поверхности земли) А решить эту задачу, зная геометрическую прогрессию можно, очень просто.
S=1+2+
2 2  23  ....  263  264  1
Знание геометрической прогрессии
очень важно в современной жизни


Давайте разберемся в механизме организаций
финансовых пирамид. Ваши родители, или вы сами
наверняка стакивались с людьми, активно вовлекающими
в организации типа МММ. До появления в нашей стране
подобных акционерных обществ время от времени
затевались «Денежные игра по почте».
Скажем, вы получаете письмо. В котором говорится, что
если выслать по указанным пяти адресам по 1 рублю, а
затем разослать еще 5 таких же писем по другим
адресам, вычеркнув первый адрес и дописав свой
последним, то через некоторое время вы получите уйму
денег. Хотя желающих разбогатеть «по щучьему
веленью» немало, но в выигрыше остаются только
устроители такой игры. Дело в том, что число участников
увеличивается в 5 раз с каждым кругом. Если пятерка
устроителей разошлет, допустим, 120 писем со своими
адресами, то в первом круге – 600, в третьем - 3000,… в
десятом – 234 375 000 человек; это намного больше
населения страны. Так что участник, включившийся в
восьмом или девятом круге, уже ничего не получит.
Литература


Справочник школьника ИД «ВЕСЬ»
Санкт - Петербург. 2003
Энциклопедический словарь юного
математика М.,Педагогика, 1985г
Составитель Савин А.П.