С 1 В 1

Выполнила: ученица 9 М класса МОУСОШ №32
Киселёва Яна.
Учитель: Стаханова Полина Александровна.
Цель: исследование параллельного
проектирования и его свойств , а также
применение параллельного проектирования
при решении задач.
Методы исследования:
1) Изучение теории по параллельному
проектированию.
2) Доказательство некоторых свойств
параллельного проектирования.
3) Установление связи между параллельным
проектированием и решением задач.
4) Выполнение практической части.
ℓ
π
A
ℓ
π
ℓ1
A
A`
A`
A

ℓ1\\ ℓ
A

Проекцией фигуры F
называется
множество
проекций всех ее
точек.
F`
F
Фигура F' получена
из фигуры F
параллельным
проектированием.
π
ℓ
Cвойства
параллельного проектирования:
1. Любая прямая, не параллельная направлению
параллельного проектирования переходит
в прямую
ℓ
a
α
2. Параллельные прямые, не параллельные
направлению параллельного проектирования
переходят в параллельные прямые
или в одну прямую
3. Отношение длин отрезков, лежащих на
одной прямой
или на параллельных прямых, сохраняется.
В частности, середина отрезка
при параллельном проектировании
переходит в середину соответствующего
С
отрезка.
ℓ
В
С1
А
В1
А1
4. При параллельном проектировании
сохраняется отношение площадей двух
любых фигур, если направление
проектирования не параллельно
плоскостям фигур.
5. При помощи параллельного
проектирования можно перевести любой
треугольник в правильный
Дано: D АВС
Задача 1
СD-медиана; СМ:СА=5:7;
В
СN:CB=1:3;
Найти МЕ:МN.
D
E
N
А
М
С
В
Спроектируем треугольник АВС
В равносторонний треугольник А1В1С1
С1
D
E
А
М
Е1
N
N1
M1
С
А1
D1
В1
Тогда точки М,N,E перейдут в точки М1,N1,E1 такие,
что С1М1:С1А1=СМ:СА=5:7; С1N1:С1B1=СN:СB=1:3
и М1Е1:Е1N1= МЕ:ЕN
Кроме того, медиана СD перейдет в
С1
Медиану С1D1, которая является
Также биссектрисой для треугольника
А1В1С1 и треугольника М1С1N1.
По теореме о биссектрисе угла
треугольника:
M1
М1Е1 = C1M1 * С1В1 =
E1N1
C1А1 С1N1
А1
5 * 3 = 15
7
1
7
Т. К. М1Е1:Е1N1= МЕ:ЕN
Ответ: МЕ:МN=15:22.
N1
Е1
D1
МЕ:МN=15:22
В1
Задача №2.
В
2y
K
5y
А
2x
N
3x
С
Дано: треугольник АВС, АN : CN = 2 : 3, CK : KM = 5 : 2.
Найти ВК: NK.
K1N1 = z
ВС = 7y` = 5 x` отсюда y` = 5 / 7 x`.
2y` = 10 / 7 x`
10 / 7 x` + z + 3 x` = 5 x` следовательно 10 / 7 x` + z = 2 x`
следовательно
z = 2 x` - 10 / 7 x` = 4 / 7 x` следовательно ВК / KN = 10 / 7 x` разделить
на 4 / 7 x` = 5 / 2.
Ответ: ВК : КN = 5 : 2.
• Задача №3. На диагонали АС1 параллелепипеда
АВСDA1B1C1D1 взята точка М, а на прямой B1C –
точка N так, что отрезки MN и DB параллельны.
Найти их отношение.
D1
C1
B1
А1
М
N
D
C
А
B
D1
C1
D1
C1
B1
А1
M
M
N
A1=D
D
С=B1=
N
K
C
А
B
А
В
1) Проектируем наш параллелепипед на плоскость D1C1ВА в направлении В1С
проекция представляет собой два равных параллелограмма АВВ1А1 и DCC1D1
с общей стороной А1В1=DC, где MN // BD.
2) MN=DK Т.к. ∆A1KА = ∆С1МС
по свойству (УСУ)
3) ВK=2MN Т.к. ∆КС1В подобен ∆МС1N
BD=3MN.
Выводы:
1) Анализ теоретического материала по
параллельному проектированию позволил узнать
свойства и область применения параллельного
проектирования.
2) Решение практических задач показало, что
многие задачи, даже очень сложные можно решить
с помощью параллельного проектирования,
сэкономив при этом и время, и силы.
3) Я узнала много нового и интересного, работая
над данной темой. Многие задачи оказываются не
такими трудными, как казалось бы. Это
действительно занимательно и увлекательно. Так
же эта прекрасная тема пригодится мне в будущем,
при изучении стереометрии в старших классах.
Заключение.
Геометрия …, наравне со многими
другими разделами математики, дает
возможность почувствовать красоту
математики вообще и может стать для
кого-то началом пути в «большую
науку». Кроме того, каждый любитель
геометрии … имеет шанс открыть
нечто новое и пополнить ее
сокровищницу собственной драгоценной
находкой, ибо геометрия поистине
неисчерпаема!
А. Г. Мякишев