Случайная величина. Распределение случайной величины.

Случайная величина
1. Дискретная и непрерывная случайная
величина.
2. Распределение случайной величины.
•Ряд распределения. Функция плотности
вероятностей. Функция распределения.
•Числовые характеристики распределений.
•3. Некоторые стандартные распределения
и их числовые характеристики.
•Правило 3-х сигм.
Определение случайной величины
• Случайная величина (СВ) – это переменная,
которая
под
воздействием
случайных
факторов
может
с
определенными
вероятностями принимать те или иные
значения.
• Значения случайной величины называют ее
“возможными” значениями.
• Пример. Плата за лотерейный билет –
определенная
(или
детерминированная)
величина, а величина выигрыша – случайная.
Дискретные и непрерывные
случайные величины
• Дискретным случайным величинам (ДСВ)
можно поставить в соответствие натуральный
ряд чисел (они образуют счетное множество).
• Непрерывные случайные величины (НСВ)
заполняют сплошь некоторый промежуток.
• Обозначения: ; Y – названия случайных
величин;
• { x1, x2,…,xi, ..., xn } – множество возможных
значений дискретной величины Х;
• (y1, y2) – область значений непрерывной
случайной величины У.
• Пример 1. Игральную кость бросают 4
раза. Сколько раз выпадет 6 очков?
• Пусть Х количество появлений 6 очков
при четырех подбрасываниях кубика.
Это дискретная случайная величина.
Она принимает пять различных
значений хi :
хi {0,1,2,3,4}.
• Пример 2. Жирность коровьего молока
может принимать любое значение
примерно от 3 до 5 %. Это непрерывная
случайная величина.
Распределение случайной величины
• Закон
распределения
случайной
величины
–
это
связь
между
значениями случайной величины и
вероятностями, с которыми она их
принимает, или вероятностями того,
что данные значения попадут в
заданный интервал.
• Закон распределения – это функция,
заданная на множестве значений
случайной величины, и, следовательно,
может быть представлена таблично,
графиком
или
аналитическим
выражением.
Закон распределения, заданный таблично,
называют рядом распределения.
Пример . Закон распределения дискретной
случайной величины Х – «число очков при
одном бросании игрального кубика», можно
представить рядом распределения.
xi
1
2
3
4
5
6
pi ( xi ) 1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
Множество всех значений этой случайной
величины аналогично полной группе
событий:
Р
i
1
Графическое
Р
представление закона
распределения
1/6
ДСВ называют
полигоном
распределения.
1 2 3 4 5 6
х
Рис.4. Полигон распределения.
Введем обозначения:
mi - частота появления случайной
величины хi
n – количество измерений;
Р* − относительная частота:
mi
Pi 
n
*
Ряд
распределения
представить в виде:
ДСВ
можно
Xi
Х1
Х2
Х3
…
mi
m1
m2
m3
…
*
1
*
2
*
3
Pi
*
P
P
P
…
Непрерывную случайную величину можно
определить
интервальным
рядом
распределения.
m i – частота попадания СВ в интервал.
Х
Х1…Х2
Х2…Х3
Х3 …X4
…
mi
m1
m2
m3
…
*
*
1
P3*
…
P
i
P
*
2
P
Графическое
интервального
ряда
называют гистограммой.
представление
распределения
m
m3
m2
m1
0
•
x1 x2 x3
х
Гистограмма распределения
Закон больших чисел (теорема Бернулли)
*
p
• Относительная частота события
вn
повторных независимых испытаниях, в
каждом
из
которых
оно
может
произойти с одинаковой вероятностью
p , при неограниченном увеличении n
сходится по вероятности к вероятностиp
в отдельном испытании:


lim P p  p    1
n
*
Функция плотности вероятностей
f ( x)
Распределение СВ можно задать функцией
плотности вероятности f ( x ) .
Функция плотности вероятностей позволяет
определить вероятность того, что значение,
принимаемое случайной величиной Х,
попадёт в промежуток (а, b):
b
Р(a  X  b)   f ( x)dx
a
• Пример 1. Закон распределения НСВ Х
задан функцией плотности вероятности:
при х  2,
0,

f ( x)  2( x  2), при 2  х  3,
0,
при х  3.

• Найти вероятность попадания значения
случайной величины Х в интервал (2,3).
• Искомая вероятность равна единице:
P(2  X  3) 
3
x

 32
  22

2  ( x  2)dx  2   2 x   2   2  3   2   2  2   1
2
2  2
 2

2
3
2
• Пример 2. Задана функция плотности
вероятности случайной величины Х:
0, при x  0,
3

2
f ( x)   (2 x  x ), при 0  x  2,
4
0, при х  2.
• Найти вероятность попадания значения
случайной величины Х в промежуток
[0,5;1,5], построить график функции
плотности вероятности и указать на нем
искомую вероятность.
График функции плотности вероятности
на участке [0,2]:
f(x)
3/4
0 0,5 1 1,5 2
х
Вероятность попадания Х в заданный интервал
Вероятность попадания случайной величины
в заданный интервал равна заштрихованной
площади.
Найдем эту вероятность по формуле:
b
Р(a  X  b)   f ( x )dx
a
P(0,5  X  1,5) 
1,5
3
3  2x
x 
2
  (2 x  x )dx  
   0,688
4
4 2
3  0,5
0,5
1,5
2
3
Функция распределения вероятностей
F ( x)
Функция распределения вероятностей F(х)
– вероятность того, что значение,
принимаемое случайной величиной Х будет
меньше некоторого фиксированного ее
значения хi (для ДСВ):
F ( x )  P( x  xi )   pi
x  xi
• Для НСВ:
F ( x) 
xi
 f ( x)dx

f ( x)  F ( x)
• Функцию распределения F(x) называют
интегральной, а функцию плотности
вероятностей f(x) – дифференциальной
b
Р(a  X  b)   f ( x)dx  F (b)  F (a )
a
Пример 1. Задан ряд распределения:
Xi
1
2
3
4
Pi
0,4
0,3
0,1
0,2
• Найти функцию распределения F(x)
ДСВ.
при x  1
0
 0, 4 при 1  x  2
• Ответ:


F ( x )   0, 7 при 2  x  3
 0,8 при 3  x  4

при x  4

1
• Пример 2. НСВ задана функцией
распределения:
при x  2,
0,

F ( х)  ( x  2) 2 , при 2  x  3,
0,
при
х

3
.

• Найти
вероятность
попадания
непрерывной случайной величины в
промежуток [2,3].
• Ответ:
P(2  x  3)  F (3)  F (2)  (3  2) 2  (2  2) 2  1.
Числовые характеристики
распределения случайной величины
1. Математическое ожидание дискретной
СВ:
M ( X )   xi  p i
i
2. Дисперсия
дискретной
СВ:
n
D ( X )   ( x i  m) 2  p i
i 1
Обозначение: D( X )   2
3. Среднеквадратическое отклонение:
  D(X )
• 1а) Математическое ожидание НСВ:

M (X ) 
 xf ( x)dx

• 2а) Дисперсия НСВ:

D( X )     ( x  m) f ( x)dx
2
2

• 3а) Среднеквадратическое отклонение:
 
2
4. Мода – Мо.
• Модой дискретной случайной
величины называется ее наиболее
вероятное значение.
5. Медиана
• Медиана дискретной случайной
величины – это то значение случайной
величины, которое расположено в
середине ранжированного ряда
распределения.
Математическое ожидание связано со
средним арифметическим значением СВ.
mi - частота появления случайной величины хi
n – количество измерений;
mi
*
Р* − относительная частота
x
 xi mi
n
Pi 
n
  xi Pi − среднее значение СВ;
*
M ( x)  x
• Относительную частоту называют
статистической вероятностью:
mi
Pi 
n
*
Дисперсия
характеризует
меру
рассеяния возможных значений СВ
около её математического ожидания
Из 2-х СВ та считается «лучшей», которая
имеет меньший разброс (меньшую
дисперсию).