Неопределенный интеграл

Неопределенный
интеграл.
§1 Первообразная функция.
Понятие неопределенного интеграла.
Определение: Первообразной функцией для
данной функции f(x) на данном промежутке
называется такая функция F(x),
произведение которой равна f(x) или
дифференциал которой равен f(x)dx на
этом промежутке.
Определение: Если на некотором промежутке
выполняется равенство F’(x)=f(x), то
функция F(x) называется первообразной
функцией для функции f(x) на этом
промежутке.
1 для функции f(x)=Cosx
F(x)=Sinx
т.к. (Sinx)’=Cosx
2 для функции f(x)=Cosx
F(x)=Sinx+1000
т.к. (Sinx+1000)’=Cosx
1
3 для функции f(x)= 1  x 2
F(x)=Arctgx
1
т.к. (tgx)’= x 2  1
Теорема: Две различные первообразные
одной и той же функции, определенной на
некотором промежутке, отличаются друг от
друга на этом промежутке на постоянное
слагаемое.
Доказательство:
f (x) - некоторая функция
F1 ( x) и F2 ( x) - первообразные
т.е. F1 '  f ; F2 '  f  F1 '  F2 '  F1  F2  C
Следствие:
Прибавляя к какой-нибудь первообразной
F(x) для данной функции f(x), определенной
на [a;b], все возможные const C, мы
получим все первообразные для функции
f(x).
Определение: Выражение F(x)+C является
общим выражением для всех
первообразных заданной непрерывной
функции f(x).
Определение: Общее выражение для всех
первообразных данной непрерывной
функции f(x) называется неопределенным
интегралом от функции f(x) (или от
дифференциального выражения f(x)dx) и
обозначается символом  f ( x)dx
 f ( x)dx  F ( x)  C ,где
F ' ( x)  f ( x)
Определение: Функция f(x) называется
подынтегральной функцией.
f(x)dx называется подынтегральным
выражением.
Правило: Найти неопределенный интеграл
x)dx значит найти такую функцию, F(x)
 f (производная,
которой была бы равна f(x)
и к ответу прибавить const C.
f ( x)dx  F ' ( x)dx  dF ( x)
Ищем такую функцию F(x), дифференциал
которой совпадет с подынтегральным
выражением.
§2 Свойства неопределенного
интеграла.
1 (  f ( x)dx)'  f ( x)
2 d (  f ( x)dx)  f ( x)dx
3  dF ( x)  F ( x)  C
4  Af ( x)dx  A f ( x)dx
5 ( f ( x)  g ( x)) dx  f ( x)dx 


 g ( x)dx
Независимость вида неопределенного
интеграла от выбора аргумента.
Пусть x - независимая переменная,
y=f(x) - некоторая непрерывная функция на
данном промежутке и F(x) ее
первообразная.
F ' ( x)  f ( x)   f ( x)dx  F ( x)  C
u   (x) - непрерывно дифференцируемая
функция(и  и ' непрерывны).
Рассмотрим  f ( x)du   f (u )u ' dx
Следовательно функция f (u )  F ( ( x)) является
первообразной для подынтегральной
функции f (u )u ' .
Доказательство:
В силу независимости дифференциала 1-го
порядка
df (u ) dF (u ) du
dF (u )  f ' (u )du  f (u )u ' 

  f (u )u '   f (u )du  F (u )  C ,
dx
du dx
ãäå F ' (u )  f (u )
§3 Общая таблица простейших
интегралов.
1
2
3
n 1
u
n
u
 du  n  1  C n  1
1
1
 u du   u du  ln u  C
u
a
u
a
 du  ln a  C
4 e
u
du  e
u
C
5
6
7
8
9
 Sinu  du   Cosu  C
 Cosu  du  Sinu  C
du
 Cos 2u  tgu  C
du
 Sin 2u  ctgu  C
du
 1  u 2  arctgu  C
10
11
12
13
14
du
1
u
 a 2  u 2  a arctg a  C
du
 1  u 2  arcSinu  C  arcCosu  C

du
a2  u2
u
u
 arcSin  C   arcCos  C
a
a
du
1
au
 a 2  u 2  2a ln a  u  C
du
2

ln
u

u
k C
 u2  k
Полезные свойства, применяемые при
вычислении интегралов.
1
2
3
1
dx  dkx
2
dx  d ( x  a )
1
dx 
dkx  a
k
§4 Метод интегрирования.
п.1 Метод разложения .
Метод основан на свойствах
неопределенного интеграла.
3
 3

  1  x 2  6Cosx  x dx   1  x 2 dx   6Cosxdx   xdx 
1
2
3
dx
2x 2
 3
 6 Cosxdx   x dx  3arctgx  6Sinx 
C
2
1 x
3
п.2 Метод подстановки, метод выделения
новой переменной.
Пусть функция f (x) непрерывна на
промежутке a; b, а функция x   ' ( x)
непрерывна на  ;   причем  ( )  a,  (  )  b.
Тогда, учитывая, что dx ' (t )dt
неопределенный интеграл  f ( x)dx
записывается в виде:
 f ( x)dx   f ( (t ))   ' (t )dt.
п.3 Метод интеграла по частям.
u  u (x), v  v (x) - дифференциалы на
некотором промежутке функции.
Тогда d (uv)  vdu  udv
udv  d (uv)  vdu
Проинтегрировали обе части равенства по
переменной х. Это можно сделать, т.к.
функции u и v зависят от х.
 udv   d (uv)   vdu
 udv  uv   vdu
- формула
интегрирования по частям.
 uv' ( x)dx  uv   vu' dx
§5 Классы интегрируемых функций.
п.1 Функции интегрируемые по частям.
По частям находят три вида интегралов.
e kx
а) интеграл вида:

sin kx

 Pn ( x)  cos kx  d

tg kx
Pn - многочлен n-ой степени причем формула
интегрирования по частям применяется
столько раз, какова степень многочлена.
В этом случае за функцию u берется многочлен,
а за dv берем все остальное.
б)
ln( x)
arcsin kx

P
(
x
)
 n arccos kx  dx

arctgkx
Интеграл находят по частям причем за u
берут обратную функцию
ln x
arcsin kx
u
arccos kx

arctgkx
dv  Pn (xdx)
Функцию интегрируем столько раз, какова
степень обратной функции.
в) Смешанный тип:
 e kx sin txdx

e kx tgtxdx

sin(ln x)dx
 cos(ln x)dx
 
Такого рода интеграла формула
интегрирования по частям применяется
дважды, в результате получаем уравнение
относительно искомого интеграла u
решение уравнения, находим ответ.
п.2 Интегрирование рациональных дробей.
Определение: Дробь вида P ( x ) , где
Q ( x)
Pn (x) и Qm (x), n=m многочлен соответствующая
степень n и m наз. рациональной дробью.
Определение: Если n  m, дробь называется
неправильной.
Если n  m дробь называется правильной.
При интегрирование рациональных дробей,
если дробь неправильная выделяют целую
часть дроби и правильную дробь.
n
m
Интегралы от правильных дробей.
a )  A dx  A dx  A 1  d (kx)  A 1 ln kx  a  C
kx  a
kx  a
k kx  a
k
á)

Adx
1

A
ax 2  bx  c
a
 A
1
a

 A
1
a

 A
1
a

dx
 (e  d ) 2  e 2  2edd 2 
 2 b
c
x 
x
a
a
dx

2
2
b
c
 b 
 b 
x2  2x

 
 
2a  2a 
a
 2a 
dx

2
2
b 
c
b


x
 
2a 
a
4a 2

k  0

du

b


d x 
  u 2  (vk ) 2

2a 


du
2
 k  0;
b 

 u 2  (vk) 2

x
 k
2a 


 k  0; du
 u2


â)  (mx  n)dx
ax 2  bx  c

1
(mx  n)
1
(mx  n)dx


2
2


b
c
a x2  x 
a
b  b   b 
b
2
x

2
x







a
a
2a  2a   2a 
a
b
b 
2a

m u 
n
1
(mx  n)dx
b
1
2a 

 

x

u


du 
2
2

2
a 
2a
a
u k
b 
c
b
x





dx  du
2
a
a 4a 2


u  x
1
 
a
bm
n
1 mu  k
1
mu
1
2a
du   2
du   2

du 
u2  k
a u k
a u  k u2  k
mu 
u2  k  t
dt
1 mudu 1
du
1
1
du
  2
 l 2
 dt  2udu  m  2  l  2

a u k a u k
a
t
a u k
dt
udu 
2
1 m dt 1
du

 l 2
a 2 t
a u k
п.3 Дроби раскладываемые на сумму дробей.
Для разложения дробей на простейшие
применим метод неопределенного
коэффициента .
В общем случае дроби на простейшие получается
P ( x)
по формуле: ( x   )  ( x   )  ( x  px  q) ( x  Sx  t ) 
m
2
1
3
2
4
2
A1
A1
A2


  

( x  1 ) 1 ( x  1 ) 1 1
x  1

B 2
B1
B2







2
 2 1
(x 2 )
(x 2 )
x 2
 3 x  D 3
C1x  D1
C2 x  D2
 2

   2

x  px  q
( x  px  q )  3 ( x 2  px  q )  3 1
M 4 x  N 4
M  N1
M 2x  N
 2 1x






( x  Sx  t )  4 ( x 2  Sx  t )  4 1
x 2  Sx  t
Приводя дроби правой части равенства к общему
знаменателю получаем разные дроби с
одинаковыми знаменателями, следовательно
можно приравнять друг к другу числители –
многочлены.
Многочлены равны, если равны коэффициенты при
одинаковых степенях х.
При одинаковых степенях х получим систему m+1
уравнение с m+1 неизвестными, которая всегда
совместна и имеет единое решение.
Решить систему, найдем значения коэф. стоящих в
числителе в правой части разложения – в этом
заключается метод неопределенного
коэффициента.
1! Метод применяется для правильных дробей.
Если дробь неправильная, то в дроби
выделяется сначала целая часть.
2! Если многочлены равны, то равны значения
многочленов при одних и тех же значения х.
Приравнивая х (удачному) значению получим
более простую систему уравнений для
определения коэф. разложения.
п.4 Интегрирование простейших
иррациональностей.
а) Если подынтегральная функция содержит
n
n
ax

b

t
,
ax  b , то производят замену
выражая x находят dx тем самым приводят
заданный интеграл к интегралу от
рациональной дроби.
Adx
б) Интеграл вида  ax  bx  c находят выделением
под корнем полного квадрата, и если a  0 , то
данный интеграл является табличным – №14, а
если a  0 , то табличный интеграл вида arcsin x.
2
в) Если подынтегральная функция являлось
рациональной функцией от n x ; k x; s x ...b x ,
íîê ( n , k , s ... l )
то делают замену x  t
вычислить dx и в
общем случае интеграл приводить к
интегралу от рациональной дроби.
п.5 Интегрирование тригонометрических
функций.
а)  sin 2 x  cos n xdx
Если одно из чисел m или n четное, а другое
не четное , то если m четное, то делаем
замену sin x  t , а cos x выражаем через sin x.
Если n четное, то замена cos x  t.
Если m и n четные, то применяют формулы
степени, а именно
sin 2 x 
1  cos 2 x
1  cos 2 x
; cos 2 x 
.
2
2
Если m и n нечетные и n=m, то используют
формулу двойного угла: sin 2x  2 sin x  cos x
Интеграл вида:  sin mx  sin nxdx
 sin mx  cos nxdx
 cos mx  cos nxdx
Находят, применяя формулы выражения
произведения тригонометрических
функций к сумме.
§6 Теорема Коши.
Понятие о «неберущихся» интегралов.
Теорема: Всякая непрерывная функция имеет
первообразную (от всякой непрерывной
функции существует неопределенный
интеграл).
Например:
1
dx
 ln x  F ' ( x)  C по теореме Коши, т.к. ф-ия ln x
при x  0 и x  1 непрерывна.
С другой стороны никакими известными
способами не удается выразить F(x) в виде
элементарной функции (т.е. в виде
конечного числа основных элементарных
функций или конечного числа сложной
функции).
В этом случаи интеграл такого рода
называется «неберущимся».
Ответ есть и он выражается через
бесконечное число элементарных функций.
К «неберущимся» интегралам относятся
следующие интегралы:
Sinx

ln
xdx

 Cosx  ln xdx
dx
 ln x
e
e

 x2
x

2
dx
dx
Cosx
dx
 x
Sinx
 x dx