Document 4710167

Повторение испытаний
Если производится несколько испытаний, причем
вероятность события А в каждом испытании не зависит
от исходов других испытаний , то такие испытания
называют независимыми относительно события А.
Будем предполагать далее, что Р(А) = р, т.е. вероятность р
всегда одинакова (0 < р < 1), и поставим задачу вычислить
вероятность того, что при n испытаниях событие А
осуществится ровно k раз. Ответ на этот вопрос дает
формула Бернулли.
Вероятность того, что в n независимых испытаниях ( в
каждом из которых вероятность Р(А) = р одинакова )
событие А наступит ровно k раз ( в любой
последовательности), равна
k
n
k
Pn (k )  C p q
nk
, где
q  1
p, Cnk
n(n  1)....( n  k  1)

, k! 1  2  3  ...  k
k!
В частности,
k
n
nk
n
C  1, C  n, C  C
0
n
1
n
Пример
Два равносильных шахматиста играют в шахматы. Что
вероятнее: выиграть 3 партии из 6 или 4 партии из 8 ?
(ничьи во внимание не принимаются).
Играют два равносильных шахматиста, поэтому вероятность
выигрыша в одной партии равна ½. Следовательно ,
вероятность проигрыша q = ½ .
Вероятность р одинакова. Последовательность выигрыша не
играет роли. Значит, применим формулу Бернулли.
Вероятность того, что будут выиграны 3 партии из 6 :
65 4  1   1 
20
P6 (3)  C63 p 3q 3 
    
1 2  3  2   2 
64
3
3
Вероятность того, что будут выиграны 4 партии из 8:
P8 (4)  C84 p 4 q 4 
87 65  1 
 
1 2  3  4  2 
4
4
70
35
1
  

256 128
 2
Нетрудно видеть, что
P6 (3) 
20
40
35

 P8 ( 4) 
64 128
128
Вероятность того, что в n испытаниях
I) Событие А наступит менее k раз
PI  P n (0)  P n (1)  ...  P n (k  1)
II) Событие А наступит не более k раз
PII  P n (0)  P n (1)  ...  P n (k )
III) Событие А наступит более k раз
PIII  P n (k  1)  P n (k  2)  ...  P n (n)
IV) Событие А наступит не менее k раз
PIV  P n (k )  P n (k  1)  ...  P n (n)
Нетрудно видеть, что
PIV  1  PI , PIII  1  PII
V) Событие А наступит не менее k1и не более k 2 раз
PI  P n (0)  P n (1)  ...  P n (k  1)
k2  k1
Пример
Монету бросают 5 раз. Найти вероятность того, что «герб»
выпадет :
а) менее 2-х раз
б) не менее 2-х раз
Вероятность того, что в каждом испытании выпадет «герб»
р = ½ , q = 1-p = ½ , n=5
a)
Pa  P5 (0)  P5 (1)
1
P5 (0)  C50   
 2
1
0
5
1
1
1
    1 1  
32 32
 2
4
5
1 1
P5 (1)  C51       
 2   2  32
1
5
6
3
Pa  


32 32 32 16
б)
3 13
Pb  1  Pa  1  
16 16
Случайные величины – величины , которые принимают
те или иные значения.
Дискрет ные случайные величины
Определение: Дискретной называют случайную величину ,
возможные значения которой есть отдельные
изолированные числа, причем величина принимает эти
значения с определенными вероятностями.
Возможные значения дискретной случайной величины можно
пронумеровать.
Определение: Законом распределения дискретной
случайной величины называют перечень ее возможных
значений и соответствующих им вероятностей.
Способы задания закона
распределения случайной
величины
1)
Табличный
Здесь
X
x1 x2 ... xn
p
p1 p2 ...
n
 pi  p1  p2  ...  pn  1
i 1
2) Аналит ический, т.е. в виде формулы
или с помощью функции распределения.
3)
pn
P( X  xi )   ( xi )
Графический
В прямоугольной системе координат строят точки
M 1 ( x1 ; p1 ), M 2 ( x2 ; p2 ), ... , M n ( xn ; pn ) и соединяют их отрезками прямых.
Полученную ломаную называют многоугольником
распределения
Биномиальным называют закон распределения дискретной
случайной величины Х – числа появления события в n
независимых испытаниях, в каждом из которых
вероятность появления события равна р.
Вероятность возможного значения X = k вычисляется по
формуле Бернулли:
k
n
k
Pn (k )  C p q
nk
Пример: n = 3, p = q = ½ . Построить многоугольник
распределения.
3
2
1
0
1
2
3
Закон Пуассона
Если число испытаний n велико, а вероятность р появления
события в каждом испытании очень мала ( р ≤ 0,1) , то
используют приближенную формулу:
k 
e
Pn (k ) 
k!
,
где k – число появлений события в n независимых испытаниях,
 np - (среднее число появлений события в
испытаниях).
Говорят тогда, что случайная величина распределена по закону
Пуассона

Пример
Написать биномиальный закон распределения дискретной
случайной величины Х – числа появлений «герба» при 2-х
бросаниях монеты
n=2, p = ½ ; q = ½ ; X = 0 ; 1 ; 2.
0
2
2
0
1
1 1
P2 (0)  C20       
4
 2  2
1 1
1 1
P2 (1)  C21    2  
2 2
4 2
1
1
2 1
P2 (2)  C2       
4
 2  2
X
0
1
2
P
1/4
1/2
1/4
Итак,
Проверка условия
 pi  1 :
1 1 1
  1 11
4 2 4
Числовые характеристики
дискретных случайных
величин
Закон распределения полностью характеризует случайную
величину, однако часто не известен.
Но для решения многих задач достаточно знать числовые
характеристики случайной величины.
Важнейшая из них – мат емат ическое ожидание.
Оно приближенно равно среднему значению случайной
величины. Если математическое ожидание числа
выбиваемых очков I-го стрелка больше, чем у II-го, то
I-ый лучше стреляет, чем II-ой.
Характеристикой среднего значения случайной
величины служит мат емат ическое ожидание,
описываемое формулой:
M ( X )  x1 p1  x2 p2  ...  xn pn
Свойства:
1. M(C) = C, C=const
2. M(CX) = CM(X)
3. M(XY) = M(X)M(Y)
4. M(X+Y) = M(X) + M(Y)
Примеры
1. Найти математическое ожидание случайной величины Х, зная
закон ее распределения:
2.
Х
3
5
2
Р
0,1
0,6
0,3
М(Х) = 3∙0,1 + 5∙0.6 + 2∙0,3 = 3,9
Х
-4
6
10
Р
0,2
0,3
0,5
М(Х) = -4∙0,2 + 0,3∙.6 + 0,5∙10 = 6
3. Z = X + 2Y, M(X) = 5, M(Y) = 3
|
M(Z) = ?
M(Z) = M(X + 2Y) = M(X) + M(2Y) = M(X) + 2M(Y) = 5+6 = 11
Рассмотрим случайные величины Х и У:
Х
-0,01
0,01
У
-100
100
Р
0,5
0,5
Р
0,5
0,5
М(Х) = -0,01∙0,5 + 0,01∙0,5 = 0; М(У) = -100∙0,5 + 100∙0,5 = 0 ,
т. е. математические ожидания равны, но возможные значения
сильно различаются. Математическое ожидание полностью
случайную величину не характеризует.
Для того, чтобы оценить, как рассеяны возможные значения
случайной величины вокруг ее математического ожидания,
используют числовую характеристику, которую называют
дисперсией.
Если Х-М(Х) – есть отклонение случайной величины от ее
математического ожидания, то дисперсией случайной
величины Х называют математическое ожидание квадрата
отклонения.
2
D( X )  M [ X  M ( X )]
Удобнее вычислять дисперсию по формуле:
D( X )  M ( X )  [M ( X )]
2
2
Свойства:
1. D (C )  0
2. D (CX )  C D ( X )
3. D ( X  Y )  D ( X )  D (Y )
2
Примеры
1.
Найти дисперсию случайной величины Х , которая задана
следующим законом распределения:
Х
1
2
5
Р
0,3
0,5
0,2
M ( x)  1 0,3  2  0,5  5  0,2  2,3  [M ( X )]2  5,29
X2
1
4
25
Р
0,3
0,5
0,2
М ( Х 2 )  0,3 1  0,5  4  0,2  25  7,3
D( X )  M ( X 2 )  [ M ( X )]2  7,3  5,29  2,01
Примеры
2.
Х
2
3
5
Р
0,1
0,6
0,3
, D(X) = ?
M ( x)  2  0,1  3  0,6  5  0,3  3,5  [M ( X )]2  12,25
X2
Р
X
2
4
9
25
0,1
0,6
0,3
М ( Х 2 )  4  0,1  9  0,6  25  0,3  13,3
D(X) = 13,3 – 12,25 = 1,05
Примеры
Сравнить дисперсии случайных величин, заданных законами
распределения:
Х
-1
1
Р
0,48 0,01
2
3
0,09 0,42
У
-1
1
2
3
Р
0,19
0,51
0,25 0,05
М ( Х )  0,48  0,01  0,18  1,26  0,97 
  М ( Х )  М (У )
М (У )  0,19  0,57  0,5  0,15  0,97 
D( X )  M ( X 2 )  [ M ( X )]2  0,48  0,01  0,36  3,78  (0,97) 2  3,69
D(У )  M (У 2 )  [ M (У )]2  0,19  0,51  1  0,45  (0,97) 2  1,21
т.е. D ( X )  D (У )
В тех случаях, когда желательно, чтобы оценка рассеяния
имела размерность случайной величины, вычисляют не
дисперсию, а среднее квадрат ическое от клонение  (х )
 ( х)  D( X )
ПРИМЕРЫ:
1.
Х
2
3
10
Р
0,1
0,4
0,5
,  ( х)  ?
М ( Х )  2  0,1  3  0,4  10  0,5  6,4  [ M ( X )]2  40,96;
M ( X 2 )  4  0,1  9  0,4  100  0,5  54
D( X )  54  40,96  13,04
 ( X )  13,04  3,61
2.
Х
-5
2
3
4
Р
0,4
0,3
0,1
0,2
D( X ),  ( X )  ?
М ( Х )  5  0,4  2  0,3  3  0,1  4  0,2  2  0,6  0,3  0,8  0,3
[ M ( X )]2  0,09;
M ( X 2 )  25  0,4  4  0,3  9  0,1  16  0,2  10  1,2  0,9  3,2  15,3
D( X )  15,3  0,09  15,21
 ( X )  15,21  3,9
Да-а-а…