Тангенс и котангенс угла

Тангенс и котангенс угла
Название тангенс происходит от латинского tanger (касаться) и
появилось в 1583 году. Tangens переводится как «касательная».
Тангенсом угла α называется отношение синуса угла α к его косинусу:
tg 𝛼 =
sin 𝛼
cos 𝛼
𝜋
, 𝛼 ≠ + 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍.
2
Прямая DC называется линией тангенсов.
Тангенсы возникли в связи с решением задачи об определении длины
тени. Тангенс введен в X в. арабским математиком Абу-л-Вафой, который
составил первые таблицы для нахождения тангенсов и котангенсов.
Однако эти открытия долгое время оставались неизвестными
европейским ученым, и тангенсы были заново открыты в XIV в. сначала
английским ученым Т.Браверином, а позднее немецким математиком,
астрономом Региомонтанов (1467 г.).
Котангенсом угла α называется отношение косинуса угла α к его синусу:
ctg 𝛼 =
cos 𝛼
sin 𝛼
, 𝛼 ≠ 𝜋 + 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍.
Прямая DC называется линией котангенсов.
Выражения tgα и сtgα могут принимать любые значения из множества
всех действительных чисел R. tgα и сtgα не имеют ни наибольшего, ни
наименьшего значений.
𝜋𝑘
2
Для всех значений α, для которых определены tgα и сtgα, т.е для 𝛼 ≠
. 𝑘 ∈ 𝑍, верно равенство tg𝛼ctg𝛼 = 1.
Нули тангенса и котангенса
tgα=0, если sinα=0, т.е. при α=n, nZ. Значения α=n, nZ являются
нулями тангенса.
𝜋
𝜋
сtgα=0, если cosα=0, т.е. при α= +n, nZ. Значения α= +n, nZ
2
2
являются нулями котангенса.
Промежутки знакопостоянства тангенса и котангенса
Используя знаки выражений синуса и косинуса, можно установить значки
тангенса и котангенса для любых углов:
𝜋
Если угол оканчивается в I или в III четверти, т.е. 𝜋𝑛 < 𝛼 < + 𝜋𝑛 (𝑛 ∈
2
𝑍), то tgα>0 и ctgα>0.
Если угол оканчивается во II или в IV четверти, т.е.
𝜋𝑛 (𝑛 ∈ 𝑍), то tgα<0 и ctgα<0.
𝜋
2
+ 𝜋𝑛 < 𝛼 < 𝜋 +
Примеры решения задач
Пример 1. Сравнить с нулем выражение tg( - 3986о).
Решение. tg( - 3986о)=tg( - 360о11 - 26o) )=tg( - 26o).
Угол - 26о лежит в IV четверти, следовательно, tg( - 3986о)<0
Ответ: tg( - 3986о)<0
Упражнения
1. Найдите:
1) tg45O
2) tg30O
3) tg60O
4) tg( - 45)O
5) tg210O
6) tg225O
7) tg( - 225)O
8) tg( - 60)O
9) tg180O
10) tg270O
𝜋
2. Определите знак выражения, если 0 < 𝛼 < :
2
𝜋
1) tg( + 𝛼)
2
𝜋
6) ctg( − 𝛼)
2
𝜋
2) ctg( + 𝛼)
2
7) tg(
3𝜋
2
+ 𝛼)
3) ctg(
3𝜋
2
− 𝛼)
𝜋
8) tg( − 𝛼)
2
3. В какой четверти оканчивается угол α, если:
4) tg(
3𝜋
2
− 𝛼)
9) ctg(𝜋 − 𝛼)
5) tg(𝜋 + 𝛼)
10) ctg(
3𝜋
2
+ 𝛼)
1) cos 𝛼tg 𝛼 < 0
2) sin 𝛼ctg 𝛼 < 0 3) cos 𝛼tg 𝛼 > 0
4)
5)
6) sin 𝛼tg 𝛼 > 0
8) sin 𝛼tg 𝛼 < 0
9)
10)
7) cos 𝛼ctg 𝛼 > 0
4. Определите знак выражения:
1) tg(−3400 )ctg1560
2) ctg( - 1)tg( -2)
3) ctg(−
4) – tg1890 – tg2690
5) tg5- ctg5
6) ctg(−3040 )ctg1030
7) tg
5π
9
− tg
25π
8) −ctg
18
π
15
− tg
49π
9) ctg(−
45
8π
11
)tg
15π
7
2π
9
)ctg
π
10
10) – ctg850 – ctg2950
5. Найдите значение выражения:
1) tg 2 + ctg 2
𝜋
𝜋
4
3
𝜋
𝜋
3
3
3) tg 2 − ctg 2
𝜋
3
4
𝜋
𝜋
4) tg 2 (− ) − ctg 2 (− ) + tg 2 (−
3
6
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
7) tg (− ) − ctg (− ) + tg(−
3
3
𝜋
𝜋
6
3
2𝜋
3
𝜋
𝜋
8) tg 2 (− ) + ctg 2 (− ) − ctg 2 (−
6
6
)
𝜋
𝜋
10) tg (− ) + ctg (− ) − ctg(−
4
4
2) tg(4x – 2)=0
3) ctg(0,1x+6)=0
4) tg(x+2)=0
5) ctg(x – 2)=0
6) ctg(2x+1)=0
7) tg(3x+4)=0
8) ctg(2x – 5)=0
9) ctg5x=0
10) tg0,5x=0
7. Упростите выражение:
3)
1−sin2 𝛼
1−cos2 𝛼
1+cos 𝛼
+ tg(−𝛼)ctg(−𝛼)
)
3
1) tg(x – 1)=0
sin 𝛼
6
6) ctg 4 + tg 2 𝜋
6. Решите уравнение:
1) ctg𝛼 +
5𝜋
𝜋
5𝜋
5) tg 2 ( ) + ctg 2 ( ) − ctg 2 ( )
6
6
6
9) ctg 2 + ctg 2
𝜋
2) tg 2 00 + tg 2 + tg 2
2)
4)
tg(−𝛼)+tg(−𝛽)
ctg𝛼+ctg𝛽
cos 𝛼
1+sin 𝛼
+ tg𝛼
5) tg 2 𝛼 − sin2 𝛼 − tg 2 𝛼 sin2 𝛼
6) cos 2 (−𝛼) tg 2 𝛼 + sin2 𝛼ctg 2 (−𝛼)
7) cos 𝛼tg𝛼 − sin(−𝛼)
8) ctg 2 𝛼 − cos 2 𝛼 − ctg 2 𝛼 cos 2 𝛼
3𝜋
4
5𝜋
6
)
)
9)
1+tg4 (−α)
10) sin 𝛼ctg(−𝛼) − cos(−𝛼)
tg2 (−α)+ctg2 (−α)
8. Найдите:
3𝜋
1) tgx, если cosx=0,8,
2
3
3𝜋
5
2
3) ctgx, если cosx=− , 𝜋 < 𝑥 <
7 3𝜋
5) tgx, если sinx=− ,
25
7) ctgx, если cosx=
1
,
2
3𝜋
√10
9) tgx, если cosx=−
5
2
,
2) tgx, если ctgx= - 2,
< 𝑥 < 2𝜋
𝜋
√34 2
𝜋
2
<𝑥<𝜋
3
3𝜋
5
2
4) tgx, если cosx=− , 𝜋 < 𝑥 <
𝜋
< 𝑥 < 2𝜋
6) ctgx, если sinx=0,6,
< 𝑥 < 2𝜋
8) ctgx, если sinx=− ,
<𝑥<𝜋
10) ctgx, если cosx=0,8,
2
<𝑥<𝜋
7 3𝜋
25
2
3𝜋
2
< 𝑥 < 2𝜋
< 𝑥 < 2𝜋
9. Определите знак выражения:
1)
2) ctg 1530 − ctg 1540
cos 2100 tg 3
3) tg 3190 − tg 3270
sin 4600
4) tg
𝜋
6
− ctg
𝜋
5) tg
6
7)
𝜋
6
− ctg
𝜋
3𝜋
8𝜋
6) ctg (7 ) − ctg (9 )
14
27
4
𝜋
8)
𝜋
9) tg (4 ) − tg (4 )
8
9
10)
10. Найдите значение выражения:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
𝜋
𝜋
6
4
7) 36√6 tg sin
𝜋
𝜋
3
6
8) 36√3 tg sin
10)
Дополнительные задания
1. Найдите значение выражения:
1) −2tg (2𝜋 + 𝛼) + 3tg(−𝛼), если tg=0,7
2)
3) 2tg (−4𝜋 + 𝛼) − 3tg(−𝛼), если tg=0,2
4)
5) 5tg (5𝜋 − 𝛼) − tg(−𝛼), если tg=7
6)
7)
8)
𝜋
𝜋
4
3
9) 4√3 tg sin
9)
10)
Тангенс и котангенс угла
Вариант 1
Вариант 2
1. Найдите значение
выражения
tg45o
ctg30o
2. Найдите значение
выражения
𝜋
ctg (− )
4
3. Найдите значение
выражения
tg60O+ctg30O – tg45O
ctg45O+tg30O – tg60O
4. Найдите значение
выражения
𝜋
𝜋
tg (− ) − ctg (− )
3
3
𝜋
𝜋
tg (− ) + ctg (− )
4
4
5. Определите знак
выражения
ctg 1530 − ctg 1540
tg 3190 − tg 3270
6. Определите знак
выражения
tg(−3400 )ctg1560
ctg(−3040 )ctg1030
7. Вычислить tgα,
если
8. Вычислить ctgα,
если
9. Решите уравнение
10. Упростите
выражение
sin ∝= 0,6
cos ∝= 0,8
𝜋
<∝< 𝜋
2
3𝜋
<∝< 2𝜋
2
tg
𝜋
6
cos ∝= 0,8 0 <∝<
sin ∝= 0,6
𝜋
2
𝜋
<∝< 𝜋
2
tg(x – 1)=0
ctg(x – 2)=0
tg 2 𝛼 − sin2 𝛼 − tg 2 𝛼 sin2 𝛼
ctg 2 𝛼 − cos 2 𝛼 − ctg 2 𝛼 cos 2 𝛼