Пример решения контрольной по производным

Пример решения контрольной по производным
1. y 
tg x
.
x4
 
 
3
3. y  cos x 7  e x .
2. y  ctg x 3 .

4. y  arcctg ln 4 x 5  1 .
tg x
.
4
x
Это пример на производную частного. Если u  u(x) и v  v(x) ,
то производная частного равна

 u  u   v  u  v
.
  
2
v
v
 
Подставляем в эту формулу u  tg x и v  x 4 . Используя таблицу
производных, имеем
1
4
3

x

tg
x

4
x


4
4 
2
 tg x  tg x   x  tg x  x
cos
x



 4 
2
8
4
x
x


x
 1

x
x3 

x

4
tg
x
 4tg x

2
2
cos
x


cos
x


.
x8
x5
1. y 
 
 
2. y  ctg x 3 .
Это производная сложной функции. Эту функцию можно представить в следующем виде:
y  ctg u , u  x 3 .
Применяем формулу производной сложной функции
1
1
3x 2

,
,
,
3 
2
y x  yu  u x  ctg u u  x x  
 3x  
.
cos 2 u
cos 2 x3
1 Так как производная есть функция от x, то в окончательном
выражении мы заменяем u на его выражение через x.
Можно предложить следующий приём нахождения производной
сложной функции. Чтобы получить значение y, зная значение
 
x, надо возвести x в куб, т.е. получить x 3 , а затем найти ctg x 3 .
Схематически это можно показать в виде цепочки так:
x
x 3  ctg x 3 .

u
y  ctg u
И нахождение производной нашей функции можно оформить
следующим образом:
u  x 3 
  u   ctg u    x3    1  3x 2 
3 
ctgx x  

y

u
x
x
u
cos 2 u
 y  ctg u 
3x 2
.

2 3
cos x

 

Функцию u иногда называют внутренней функцией, а функцию y
внешней. При этом говорят, что производная сложной функции есть производная внешней функции на производную внутренней функции.
Следует заметить, что если бы в данном примере вместо x 3 был
бы некоторый многочлен от x, например x 4  5x3  4 x 2  9 x  3 ,
то цепочка выглядела бы так:
2
x
x4 
 5
x 3

4 x

x
3  ctg ( x 4  5 x 3  4 x 2  9 x  3) .

9



u
y  ctg u
Это можно делать, так как производная от многочлена находится
достаточно просто.
 
3
3. y  cos x 7  e x .
Здесь мы имеем произведение двух сложных функций. Представим нашу функцию в виде произведения двух функций:
3
y  y1  y2 , где y1  cos( x 7 ) , y2  e x . Тогда по формуле производной произведения двух функций имеем
y  y1  y2  y1  y2 .
Естественно, целесообразно отдельно найти производные y  и
1
y2 и подставить их в эту формулу, и, конечно, разумеется,
подставить туда же и выражения для y1 и y2 .
Находим сначала y1 . Записываем цепочку для нахождения этой
производной.
x
x 7  cos
x7 .

u
y1  cos u
u  x 7 


 
 7
7
y1  cos( x ) x  
   y1 u  u x  (cos u )u  x 
 y1  cos u 
  sin u   7 x 6   sin x 7  7 x 6  7 x 6  sin x 7 .
Находим y1 . Записываем цепочку для нахождения этой производной.


 


3
x
x
x 3  e
.
u
 
y1  e u
u  x 3 

x3 
y1  e x  
  y1 u  u x  (eu )u  x 3 

 y1  eu 
 
3
3
 eu  3 x 2  e x  3 x 2  3 x 2  e x .