2.2 Данные и предварительный анализ
advertisement
1 Содержание Введение…………………….……………………………………………………………………2 Глава 1 Теория формирования портфеля………………………………………...…………5 1.1 Сущность и объекты инвестирования…………………...………………………….5 1.2 Портфель как метод диверсификации инвестиций…………………...……...……8 1.3 Традиционный и современный подходы к инвестированию……………......…..10 1.4 Основные этапы формирования портфеля финансовых инвестиций предприятия………………………………………………………………………...…...18 1.5 Проблемы формирования инвестиционного портфеля……………………...…...21 Глава 2 Исследование проблем формирования оптимального портфеля……………..25 2.1 Характеристика «голубых фишек»……………………………………………......25 2.2 Данные и предварительный анализ…………………………………………...…..28 2.2.1 Тест на единичный корень………………………………………………......31 2.2.2 Эмпирические факты……………………………………………...………....32 2.3 Расчёт коэффициентов кросс - корреляции цен и доходностей………………....33 2.4 Коинтеграционный анализ……………………………………………………...….40 2.5 Формирование диверсифицированных портфелей с помощью модели Марковица…………………...……………...……………………………….……….....42 2.6 Экономическая модель CAPM для портфелей……………………...…………….45 2.7 Измерение риска рыночного портфеля с помощью VALUE AT RISK (VaR)………………………………………………………………………………...…...48 2.7.1 Расчет VaR параметрическим методом…………………………………...….49 2.7.2 Расчет VaR методом Монте-Карло……………………………………...……51 2.7.3 Оценка ошибки параметрической модели VaR…………………………...…56 Глава 3 Экономические модели прогнозирования волатильности доходности……...59 3.1 Наблюдаемые данные………………………………………………………...…….60 3.2. Модели оценивания изменяющейся волатильности (GARCH)…………………62 3.3 Экономические модели для ряда доходностей портфеля……………………......65 Заключение………………...……………………………………………………………….….73 Список литературы………………………………………………………………………...…76 Приложение…………………...…………………………………...…………………………..80 2 Введение. Рынок ценных бумаг играет в рыночной экономике весьма значимую роль. Являясь составной частью финансового рынка, на котором происходит перераспределение свободных капиталов, рынок ценных бумаг позволяет правительствам и предприятиям расширять круг источников финансирования, не ограничиваясь самофинансированием и банковскими кредитами, предоставляет механизмы для реконструкции формы и структуры собственности. Российская экономика последних лет характеризуется становлением рынка ценных бумаг: завершает свое формирование правовая база, формируются специализированные на фондовой деятельности институты, начинается процесс лицензирования участников рынка. И хотя еще нельзя утверждать, что российский фондовый рынок является привлекательным и доступным для массового инвестирования, проблема выработки инвестиционных рекомендаций для инвесторов весьма актуальна. Суть портфельного инвестирования состоит в улучшении возможностей инвестирования путем придания совокупности объектов инвестирования тех инвестиционных качеств, которые недостижимы с позиции отдельно взятого объекта, а возможны лишь при их сочетании. Сущность инвестирования в портфель ценных бумаг состоит в том, чтобы распределить инвестиционные ресурсы между различными группами активов для достижения планируемых результатов. Соотношение активов в инвестиционном портфеле во многом зависит от целей и задач, стоящих при его формировании. В частности, основной задачей инвестиционного менеджера или обычного человека является формирование портфеля ценных бумаг, сочетающего разумный риск и приемлемую доходность с учетом потребностей инвестора. 3 Цель данной работы – демонстрация математических алгоритмов формирования портфеля ценных бумаг и управления им, расчёт уровня риска портфеля, прогнозирование эффективности волатильности с управления помощью портфелем различных и GARCH моделей. Для достижения поставленной цели необходимо решить ряд задач: Определить сущность портфеля ценных бумаг. Рассмотреть различные подходы к инвестированию. Сформулировать принципы формирования и типы инвестиционных портфелей. Обозначить стратегии управления портфелем ценных бумаг. Проанализировать динамику развития российского рынка ценных бумаг. Проанализировать показатели кросс-корреляции цен и доходностей «голубых фишек» и выяснить, насколько острой для инвесторов является проблема диверсификации портфеля в России. Проанализировать эффективность диверсификации инвестиционного портфеля. Составить портфели финансовых активов, используя теорию Марковица. Изучить основные модели управления портфелем, среди которых стоит выделить CAPM. Рассмотреть основные методы расчёта рыночного риска портфеля (в частности, вычислить VAR портфеля). Исследовать стохастические характеристики и спрогнозировать волатильность оптимального портфеля с помощью класса моделей GARCH, TARCH и EGARCH 4 Сделать выводы о проблемах, с которыми могут столкнуться инвесторы при формировании инвестиционного портфеля в условиях российского фондового рынка. Объектом исследования в данной работе будут методы формирования и прогнозирования поведения портфеля ценных бумаг, а предметом исследования – теоретические модели, статистические данные по итогам торгов. Основными методами исследования станут математико-статистические алгоритмы, направленные на подбор структур портфеля. Кроме того, при построении моделей типа «риск-доходность» эконометрические методы анализа. будут задействованы 5 Глава 1 Теория формирования портфеля. 1.1 Сущность и объекты инвестирования Термин инвестиции означает текущее вложение различных ресурсов, в том числе денежных, с целью получения выгод в будущем. Большая часть инвесторов, таких как индивидуальных (граждан) и институциональных (страховые компании, паевые и пенсионные фонды и др.), вкладывают свои средства в ценные бумаги (акции, облигации, производные финансовые инструменты), а также на банковские счета и вклады. Доходность и надежность таких вложений не обуславливаются деятельностью самого инвестора, а это значит, что инвестор должен самым точным образом подходить к отбору таких финансовых инструментов, учитывая их доходности и степени риска [10, с. 363]. Необходимо дать определение таким важнейшим понятиям как инвестиционная среда и инвестиционный процесс. Инвестиционная среда определяется типами бумаг, обращающихся на рынке, условиями их приобретения и продажи. Сущность инвестиционного процесса обуславливается тем, каким образом инвестор находит решения при выборе видов бумаг, объемов и сроков инвестирования. Инвестиционный процесс представляет собой принятие инвестором решения относительно ценных бумаг, в которые осуществляется инвестиции, объемов и сроков инвестирования [11, с 10]. Следующая процедура, состоящая из пяти этапов, является основой инвестиционного процесса: 1) Выбор инвестиционной политики: включает выявление цели инвестора и объема инвестируемых средств. 2) Анализ рынка ценных бумаг: содержит изучение отдельных видов ценных бумаг (или групп бумаг). 6 3) Формирование портфеля ценных бумаг: включает исследование конкретных активов для вложения средств, а также пропорций распределения инвестируемого капитала между активами. 4) Пересмотр портфеля ценных бумаг: связан с периодическим повторением трех предыдущих этапов. То есть через некоторое время цели инвестирования могут измениться, в результате чего текущий портфель перестанет быть оптимальным. 5) Оценка эффективности портфеля ценных бумаг: включает периодическую оценку, как полученной доходности, так и показателей риска, с которым сталкивается инвестор. Инвестирование с использованием ценных бумаг требует рассмотрения финансового рынка и инструментов, из которых формируют портфель. Под ценной бумагой будем понимать свидетельство на право получения в будущем доходов при определенных условиях. Все множество видов ценных бумаг можно разделить на два типа: долевые и долговые. Долевые ценные бумаги - это те бумаги, которые выражают отношение совладения и дают право на получения части прибыли эмитента ценных бумаг. Примером долевой ценной бумаги служат акции. В зависимости от инвестиционных целей практика акционерного дела выработала множество разновидностей акций. Акции не выпускаются государственными органами, они эмитируются только промышленными, торговыми и финансовыми корпорациями. По форме присваивания дохода акции подразделяются на простые (обыкновенные) и привилегированные акции. Основные отличия между этими типами акций заключаются в характере получения дохода и участия в управлении акционерным обществом 7 Вторым наиболее распространенным видом ценных бумаг являются долговые ценные бумаги - бумаги, которые удостоверяют отношения займа между эмитентом (должником) и владельцем (кредитором) ценных бумаг. К этому виду ценных бумаг можно отнести векселя, облигации, депозитные сертификаты и т.д. Приведенная выше классификация не включает многие финансовые объекты инвестирования. Помимо долговых и долевых ценных бумаг, на рынке обращаются так называемые производные ценные бумаги. К этому виду ценных бумаг можно отнести фьючерсы, опционы, свопы и др. Эти бумаги фиксируют права и обязанности участников контракта при так называемых срочных торговых сделках с основными ценными бумагами. В соответствие с этими правами одна из сторон приобретает возможность купить или продать по заранее оговоренной цене и в указанный срок заданное количество одного из видов ценных бумаг (или товаров), а другая сторона обязана обеспечить реализацию этой сделки. Кроме того, к объектам инвестирования можно отнести драгоценные металлы, иностранные валюты, как свободно конвертируемую валюту, так и общероссийский классификатор валюты. Набор инструментов в инвестиционном портфеле может быть совершенно различным, но все активы обязательно должны обладать свойством увеличения стоимости. Особо нужно отметить, что инвестиционный портфель может включать в себя множество различных инструментов. Инструменты могут относиться к различным видам активов, предоставлять различные права инвестору, но все они должны обладать сопоставимыми характеристиками, позволяющими инвестору сделать свой выбор. 8 1.2 Портфель как метод диверсификации инвестиций. Не существует такой ценной бумаги, которая будет иметь одновременно высокую доходность, надежность и ликвидность. Обычно ценная бумага может иметь не более чем две функции. Для того чтобы достигнуть поставленных целей инвесторы, как правило, прибегают к диверсификации своих вложений, то есть к формированию инвестиционного портфеля. Инвестиционный портфель — это набор инвестиционных инструментов, которые служат для достижения поставленных целей. В зависимости от целей и задач, стоящих при формировании портфеля, необходимо выбрать оптимальное соотношение между различными видами активов, из которых и составляют портфель. Распределяя вложения по разным направлениям, инвестор сможет достичь наиболее высокого уровня доходности своих вложений, либо снизить степень их риска. Одной из характерных особенностей портфеля является то, что его риск может быть значительно ниже, чем риск отдельных инвестиционных инструментов, которые входят в состав портфеля. Можно сделать вывод, что главная задача при формировании портфеля – это создать портфель, содержащий в себе приемлемую доходность и разумный уровень риска [10, с.364]. Цели создания портфеля могут быть разные: получение дохода, обеспечение прироста капитала за счет повышения курса ценных бумаг, сохранение капитала. В большинстве случаев портфель содержит множество инвестиционных инструментов и целью его составления является диверсификация. То есть инвестор использует различные по свойствам инвестиционные инструменты для того, чтобы уменьшить уровень риска [3]. Все портфели связаны с разной степенью риска. Безрисковыми инвестициями принято считать казначейские векселя. Векселям совершенно не угрожает возможность непогашения, а короткий срок означает 9 относительную устойчивость цен на них. В сущности, инвестор, дающий взаймы, скажем на три месяца, может обеспечить себе постоянный гарантированный доход, купив казначейские векселя на этот же срок. Но у инвестора нет уверенности в том, какова их реальная норма доходности, так как всегда остается неопределенность, порождаемая инфляцией. Инвестор, формирующий портфель, состоящий из долгосрочных правительственных облигаций, приобретает активы, цены на которые изменяются с изменением процентных ставок. (Цены на облигации понижаются, когда процентные ставки растут, и наоборот.) Когда же инвестор переходит от правительственных облигаций к облигациям корпораций, он сталкивается с дополнительным риском, который связан с невыполнением обязательств по ним, к примеру, неплатежеспособностью. Приобретая обыкновенные акции, инвестор разделяет риски предприятия, акции которого он приобрел. Основная ловушка диверсификации связана с тем, что примитивная диверсификация пренебрегает корреляционной связью между доходностями ценных бумаг. Покупка большого количества ценных бумаг не всегда обеспечивает высокую диверсификацию. Такие ценные бумаги могут быть акциями предприятий одной отрасли, поэтому, не исключено, что их доходы имеют сильную связь между собой. С другой стороны, несколько акций в другом портфеле могут быть выпущены предприятиями различных отраслей, и корреляция их доходностей окажется малой, что обеспечит низкую изменчивость дохода всего портфеля. Разумная диверсификация – это такое сочетание ценных бумаг, которое позволит, снизит риск инвестиций. 10 1.3 Традиционный и современный подходы к инвестированию Принято считать, что зарождение портфельной теории как науки произошло в первой трети ХХ века [22, с. 77]. В этот период И. Фишером были написаны основополагающие работы по приведенной стоимости и теории процентной ставки. Фишер предполагал, что абсолютно все инвесторы единодушны относительно суммы денег, которую необходимо инвестировать в ценные бумаги. Такую тенденцию можно объяснить тем, что все индивиды применяют одинаковый инвестиционный критерий. Поэтому, они могут объединиться в одной компании, управлять которой будет менеджер, и основной их целью будет максимизация чистой приведенной стоимости. Также, необходимо отметить, что в традиционном подходе Фишера выделяют ряд недостатков. Так, например, основное внимание было сконцентрировано на анализе поведения таких ценных бумаг, как акции и облигации. Другой минус заключается в том, что риск ценной бумаги в данном случае не получил ясной интерпретации при принятии инвестиционных решений, а главной его характеристикой была доходность. Модель Гарри Марковица. В 1952 году была опубликована статья «Выбор портфеля», написанная Гарри Марковицом, которая стала основополагающей в современной теории инвестиций. В данной статье впервые была предложена модель, позволяющая создать оптимальный инвестиционный портфель. [22, с. 97 ]. Марковец, в начале работы, выдвигает предположение о том, что в начальный период времени инвестор имеет определенную сумму денег для инвестирования, которую он вкладывает в ценные бумаги на определенный срок. По завершении срока владения ценными бумагами, инвестор их продает, после чего получает доход, который он сможет использовать на 11 инвестирование в другие ценные бумаги или на потребление. Индивид, инвестируя деньги в ценные бумаги, преследует две основные цели: минимизация риска и максимизация ожидаемой доходности. Гарри Марковиц предложил, как можно учесть обе эти цели. В своей статье он утверждал, что необходимо инвестировать не в одну ценную бумагу, а в несколько, тем самым прибегая к принципам диверсификации. Инвестор, выбирая портфель, должен учитывать стандартное отклонение и ожидаемую доходность. Имеется в виду, что ему необходимо оценить ожидаемую доходность и стандартное отклонение у каждого портфеля. После этого инвестор сможет выбрать оптимальный портфель, опираясь на соотношение параметров риска и доходности. Стандартное отклонение может быть представлено как мера риска, связанная с определенным портфелем, а ожидаемая доходность – это мера потенциального вознаграждения. В результате данного исследования, инвестор может отдать предпочтение портфелю, который будет для него самым подходящим. Как было отмечено в работах Марковица, инвестиционный портфель будет являться эффективным только тогда, когда удовлетворяет условиям максимальной доходности и минимального риска [17]. Оптимальный портфель ценных бумаг - это портфель, выбранный инвестором из множества других эффективных портфелей, как самый предпочтительный. На рисунке 1 представлена граница эффективного множества, а также эффективные, допустимые и недопустимые портфели. 12 Рис.1 Совокупность эффективных портфелей ценных бумаг Исходя из данного рисунка, портфели, расположенные ниже портфеля с минимальной дисперсией (на рисунке это нижняя точка на границе эффективного множества) не принимают во внимание. Поэтому, отдавать предпочтение следует портфелям, которые находятся на эффективной границе выше портфеля с минимальным риском. Однако необходимо отметить, что возможно присутствие различных ограничений, по причине которых инвестор не сможет выбрать портфель, который находится на границе эффективного множества. Далее приведем формулы, которые вывел Марковиц для расчета основных показателей портфеля [22, 23]. Ожидаемую доходность актива выглядит следующим образом: 𝐸(𝑅𝑖 ) = 𝑝1 𝑟1 + 𝑝2 𝑟2 + ⋯ + 𝑝𝑛 𝑟𝑛 (1) где: E(Ri) – ожидаемая доходность i-го актива; pn – вероятность реализации определенного значения доходности для iго актива; rn –доходность i-го актива. 13 Формула для расчета доходности портфеля ценных можно определить по следующей формуле: 𝑅 = ∑𝑁 𝑖=1 𝑥𝑖 𝑟𝑖 (2) где: R – доходность портфеля за период; ri – доходность i-го актива за период; xi – доля i-го актива в портфеле; N – количество активов в портфеле. Формула для определения вариации доходности i-го актива имеет следующий вид: 2 𝑣𝑎𝑟(𝑅𝑖 ) = ∑𝑁 𝑛=1 𝑝𝑛 [𝑟𝑛 − 𝐸(𝑅𝑖 )] (3) где: pn – вероятность реализации определенного значения доходности для iго актива; rn –доходность i-го актива; E(Ri) – ожидаемая доходность i-го актива; N – количество возможных значений доходности. Понятие ковариации означает взаимосвязь доходностей двух активов. Положительное значение ковариации говорит о том, что доходности двух активов меняются в одном направлении, а отрицательное значение означает изменение активов в противоположных направлениях. Ковариацию активов можно рассчитать по следующей формуле: 14 𝑐𝑜𝑣 (𝑅𝑖 , 𝑅𝑗 ) = 𝑝1 [𝑟𝑖1 − 𝐸(𝑅𝑖 )][𝑟𝑗1 − 𝐸(𝑅𝑗 )] + 𝑝2 [𝑟𝑖2 − 𝐸(𝑅𝑖 )][𝑟𝑗2 − 𝐸(𝑅𝑗 )] + ⋯ + 𝑝𝑛 [𝑟𝑖𝑛 − 𝐸(𝑅𝑖 )][𝑟𝑗𝑛 − 𝐸(𝑅𝑗 )] (4) где: rin – доходность i-го актива; rjn – доходность j-го актива; pn – вероятность реализации определенного значения доходности для iго или j-го активов; E(Ri) – ожидаемая доходность i-го актива; E(Ri) – ожидаемая доходность j-го актива. Понятие корреляции между доходностями ценных бумаг похоже на понятие ковариации между ними. Коэффициент корреляции находится в интервале [-1;1]. Следует заметить, что значение «1» говорит о полном совпадении направления изменения актива, а «-1» свидетельствует о совершенном расхождении направления их изменения. Формула для расчета может быть представлена в следующем виде: 𝑐𝑜𝑟𝑟 (𝑅𝑖 , 𝑅𝑗 ) = 𝑐𝑜𝑣(𝑅𝑖 ,𝑅𝑗 ) √𝑣𝑎𝑟(𝑅𝑖 )√𝑣𝑎𝑟(𝑅𝑗 ) (5) Дисперсию активов можно вычислить по формуле: 2 𝜎𝑖2 = ∑𝑁 𝑖=1 𝑝𝑖 [𝑟𝑖 − 𝐸(𝑅𝑖 )] (6) где: рi – вероятность реализации определенного значения доходности для iго актива; ri – доходность i-го актива; 15 E(Ri) – ожидаемая доходность i-го актива; N – количество активов в портфеле. Формула для расчета стандартного отклонения представлена ниже: 𝜎𝑖 = √𝜎𝑖2 (7) Общая формула для расчета дисперсии портфеля выглядит следующим образом: 𝑁 𝜎п2 = ∑𝑁 𝑖=1 ∑𝑗=1 𝑥𝑖 𝑥𝑗 𝜎𝑖𝑗 (8) где: xi – доля i-го актива в портфеле; xj – доля j-го актива в портфеле; 𝜎𝑖𝑗 – дисперсия между i-м и j-м активами; N – количество активов в портфеле. Частный случай расчета дисперсии для двух ценных бумаг можно представить так: 𝜎п2 = 𝑥12 𝜎12 + 𝑥22 𝜎22 + 2(𝑥1 𝑥2 𝜌12 𝜎1 𝜎2 ) где: x1 – доля 1-го актива в портфеле; x2 – доля 2-го актива в портфеле; 𝜎1 – дисперсия 1-го актива; 𝜎2 – дисперсия 2-го актива; 𝜌12 – коэффициент корреляции между первым и вторым активами. (9) 16 Модель Марковица не дает возможности выбрать оптимальный портфель, а определяет набор эффективных портфелей. Каждый из этих портфелей обеспечивает наибольшую ожидаемую доходность для определения уровня риска. Модель Шарпа. Основным недостатком модели Марковица является то, что для нее необходимо большое количество информации. Гораздо меньшее количество информации требуется в модели У. Шарпа. Данную модель можно считать упрощенной версией модели Марковица. Если модель Марковица можно назвать мультииндексной моделью, то модель Шарпа называют диагональной моделью или моделью единичного индекса. Согласно модели Шарпа, между прибылью каждой отдельной акции и общим рыночным индексом имеется строгая корреляция. Данный факт значительно упрощает процедуру нахождения эффективного портфеля. Проанализировав поведения акций на рынке, Шарп утверждал, что определение ковариации каждой акцией друг с другом не обязательно. Достаточно будет выявить, как каждая акция взаимодействует со всем рынком [10, с. 381]. Для того чтобы проанализировать влияния структуры портфеля на структуру капитала обратимся к графику на Рисунке 2, который показывает, как снижается риск портфеля, при условии, что число акций в портфеле увеличивается. 17 Рис. 2 Структура портфеля Риск, который может быть устранен с помощью диверсификацией, называют несистематический риском. Возникает такой риск в связи с тем, что каждой компании свойственно сталкивается с особыми характерными для нее рисками. Они могут быть, свойственны, разве что, ее непосредственным конкурентам. Данный риск может быть связан с такими явлениями, как забастовки персонала, удачный или неудачный запуск нового продукта, потеря важных клиентов и.т.д. Но есть и такой вид риска, который нельзя избежать независимо то, какова степень диверсификация вашего портфеля. Данный вид риска называют систематическим (рыночным) риском. Рыночный риск обусловлен рисками общеэкономического характера, который оказывает влияние на любой бизнес. Именно поэтому существует тенденция одновременного изменения цен на акции. Также это является причиной, по которой инвесторы страдают от “рыночной неопределенности”, независимо от того, каким количеством акций они владеют. Несистематический риск обладает важным значением, когда у вас имеется только один вид акций; если же в портфель включены акции 20 и 18 более компаний, роль диверсификации возрастает. Хорошо диверсифицированный портфель подвержен влиянию только рыночного риска. Следовательно, главным источником неопределенности для инвестора, занимающегося диверсификацией, является рыночная конъюнктура, от которой зависит портфель инвестора. [5 с. 149] 1.4 Основные этапы формирования портфеля финансовых инвестиций предприятия. 1. Выбор портфельной стратегии и типа формируемого инвестиционного портфеля. На первом этапе выявляются цели формирования инвестиционного портфеля предприятия, которые определяют содержание его портфельной стратегии. Цели должны быть сформулированы, принимая во внимание показатели взаимосвязи уровня риска и уровня ожидаемой доходности портфеля [3, с.350]. Далее осуществляется выбор типа формируемого портфеля, с учетом ранее сформулированных целей портфельной стратегии. Так как в современных условиях большинство формируемых инвестиционных портфелей носят полицелевой характер (т.е. являются комбинированными портфелями), определяется приоритетность отдельных признаков типизации портфеля. Основные типы портфелей Типы портфелей ценных Виды портфелей бумаг I. Портфели роста Агрессивного роста Среднего роста Консервативного роста 19 Регулярного роста II. Портфели дохода Корпоративных облигаций Конвертируемые Сбалансированные Денежного рынка III. Портфели роста и дохода Двойного назначения IV. Портфели государственных структур Ценные бумаги и обязательства Государственные Муниципальные V. Портфели, состоящие из ценных бумаг различных отраслей промышленности В результате первого этапа формирования портфеля происходит полная его идентификация по основным признакам типизации, а также определение задаваемых параметров уровня ожидаемой его доходности и риска [15]. 2. Оценка инвестиционных качеств финансовых инструментов инвестирования по показателям уровня доходности, риска и взаимной ковариации. Согласно положениям современной портфельной теории такие показатели являются наиболее важными характеристиками инвестиционных качеств финансовых инструментов инвестирования. 20 На основе осуществляется соответствующих оценка уровня моделей, ожидаемой рассмотренных доходности ранее, отдельных финансовых инструментов инвестирования. Для оценки уровня риска отдельных финансовых инструментов инвестирования используют показатели среднеквадратического (стандартного) отклонения или дисперсий их доходности. По формуле 5 происходит оценка взаимной ковариации отдельных финансовых инструментов инвестирования. Результатом этого этапа формирования портфеля будет определение перечня финансовых инструментов инвестирования, обращающихся на рынке, полностью соответствующих избранному его типу по всем важнейшим параметрам. 3. Оптимизация портфеля, направленная на снижение уровня его риска при заданном уровне ожидаемой доходности. Такая оптимизация основывается на оценке ковариации (коэффициента корреляции) и соответствующей диверсификации инструментов портфеля. Диверсификация финансовых инструментов инвестирования обеспечиваемая выбором их видов с отрицательной взаимной корреляцией позволяет снизить уровень несистематического риска портфеля, а соответственно и общий уровень портфельного риска. Результатом этого этапа формирования портфеля является обеспечение достижения минимально возможного уровня его риска при заданном уровне ожидаемого инвестиционного дохода. 4. Оценка основных параметров сформированного инвестиционного портфеля. Такая оценка позволяет оценить эффективность всей работы по его формированию. 21 Уровень доходности портфеля рассчитывается по формуле (5).Уровень риска портфеля рассчитывается по формуле (8) для нахождения дисперсии как меры риска. Результатом этого этапа формирования портфеля является определение того, насколько стартовые его характеристики отвечают целевым параметрам его построения. Инвестиционный портфель, который полностью отвечает целям его формирования как по типу, так и по составу включенных в него финансовых инструментов, представляет собой «сбалансированный стартовый инвестиционный портфель» [10]. 1.5 Проблемы формирования инвестиционного портфеля Уже несколько раз мы обращали внимание на доходность и риск портфеля и отмечали, что они являются одними из важных инвестиционных характеристик портфеля. После определения цели и осуществления необходимых расчетов можно рассмотреть несколько возможных (приемлемых) структур портфеля с их характеристиками. Однако с этими характеристиками и связаны основные проблемы, которые возникают при формировании портфеля ценных бумаг [39]. Одной из первоначальных проблем является наличие или отсутствие способности в нужное время купить (войти на рынок) или продать ценную бумагу. Это называется временем для операций на рынке, когда инвестору следует предусмотреть, предугадать будущую ситуацию на фондовом рынке, чтобы снизить систематический риск. При формировании портфеля инвестору приходится решать проблемы селективности, выбора времени совершения операций и диверсификации. 22 Селективность (микропрогнозирование) подразумевает анализ ценных бумаг и прогнозирование изменения цен отдельных видов ценных бумаг. Под выбором времени операций (макропрогнозирование) подразумевается составление прогноза, как изменяются уровни цен используемых ценных бумаг в сравнении с ценами фондовых инструментов, которые приносят фиксированный доход (к примеру, корпоративные облигации). Другой проблемой, о которой было уже много сказано, является диверсификация. Отметим лишь, что она заключается в минимизации риска путем создания неоднородной структуры портфеля. Эффективность инвестирования зависит также от того, используются ли для вложений лишь собственные средства или дополнительно привлекаются заемные ресурсы, поиск которых также требует времени. Большинство инвесторов используют независимые оценки, чтобы приобрести фонды. Тогда возникает проблема, которая заключается в предпочтении отдельными организациями использовать свои критерии для оценки. Для того чтобы оценить фонд, необходимо быть уверенным, что применяются такие же критерии, как и для оценки инвестиций. Более того, при формировании портфеля следует обратить внимание на налогообложение ценных бумаг. Насколько эффективной является вложение на определенном промежутке времени, скажет размер прибыли или точнее потери прибыли после вычета налогов и влияния инфляции. Первоначальное мнение о прибыльности инвестиции может измениться после того, как будут учтены инфляция и налоги. Структурирование и переструктурирование инвестиционного портфеля тоже является проблемой, поскольку необходимо осуществить аналитическую работу и выполнять весь цикл предварительных стадий инвестиционного процесса, что является трудоемким, длительным и 23 затратным процессом. Инвестор принимает решение пересмотреть инвестиционный портфеля из-за изменения курса акций, а также в зависимости от размера транзакционных издержек и степени изменения доходности вновь сформированного портфеля по сравнению со степенью риска. Структурирование портфеля, связанное с приобретением наиболее доходных ценных бумаг, получило название портфельного инвестирования с активным управлением. Сам процесс и схема активного управления являются наиболее сложными по сравнению с пассивным управлением. Пассивное управление подразумевает наличие издержек на снижение риска. Для проведения активного управления требуется не только постоянный контроль за курсом акций, но и аналитическая работа и специальные технологии, занимающиеся передачей информации в режиме реального времени. Поэтому активное управление считается наиболее затратным инвестированием. Этим способом инвестирования занимаются крупные компании, которые при первичном отборе ценных бумаг для портфеля оценивают своё финансовое положение на высоком уровне [41]. Особенностью российского рынка является то, что он характеризуется негативными чертами, которые препятствуют следованию принципов создания инвестиционного портфеля. А это, безусловно, снижает желание агентов участвовать на нем. Следует отметить, что российский фондовый рынок является недостаточно развитым, в то время как развитый фондовый рынок США является крупнейшим в мире (его доля на мировом рынке ценных бумаг составляет 40%) [40]. На российском же рынке обременителен поиск необходимых данных из-за их отсутствия. Это затрудняет статистический анализ, прогнозирование, а также применение различных методик формирования портфелей. Одной из острых проблем является слабый портфельный менеджмент внутри организации. Если не наблюдается 24 стремления к постоянной оптимизации портфеля, то не может идти речи о положительных перспективах развития рынка. В случае банков должны существовать отделы управления портфельным инвестированием, иначе небрежное отношение к портфелю ценных бумаг может привести к потере его управления и управления клиентским портфелем. 25 Глава 2 Исследование проблем формирования оптимального портфеля. 2.1 Характеристика «голубых фишек». Для практической части работы, в которой необходимо провести анализ зависимости доходности портфеля от его диверсификации, а также взаимозависимости цен и доходностей отдельных ценных бумаг, и составить оптимальный портфель, мною были выбраны данные по «голубым фишкам» двух стран – России и США. Выбор на эту категорию ценных бумаг пал неслучайно, поскольку «голубые фишки» обладают рядом свойств, позволяющих сделать выводы для надежных инвестиционных портфелей в целом. Вкратце рассмотрим, что представляют собой «голубые фишки», каковы их особенности. Голубые фишки (англ. Blue chips) — это ценные бумаги и акции наиболее ликвидных, надежных и крупных компаний со стабильными выплатами дивидендов и показателями получаемых доходов. Термин «голубая фишка» был заимствован из казино, так как фишки этого цвета имеют наибольшую стоимость в игре. Необходимо отметить, что голубые фишки являются индикаторами всего рынка, так как принято считать, что при увеличении цены акций крупнейших компаний, цены на акции компаний «второго эшелона» тоже возрастут, соответственно, понижение курса акций голубых фишек означает падение курса акций компаний «второго эшелона». Акции голубых фишек являются наиболее ликвидными на рынке ценных бумаг [2 c. 61]. Акции голубых фишек в долгосрочной перспективе обладают тенденцией к росту. Но есть и такие периоды, в которые более высокую динамику роста и большую доходность показывают акции «второго эшелона». 26 Преимуществом «голубых фишек» является их ликвидность, то есть возможность продать или купить определённый объём этих акции в любой момент торговой сессии на фондовой бирже, без существенной потери в цене. Голубым фишкам свойственно следующее: Устойчивый рост в течение длительного периода, причём, вызванный не спекуляциями, а реальным положением дел в компании. Оговорка по поводу реального положения дел существенна для сравнительно небольших временных периодов, так как порой трудно бывает различить, действительно ли рост курса вызван эффективной деятельностью компании, а не спекуляциями. Большая экономическая мощь (компания может быть даже монополией), с высоким показателем капитализации (то есть рыночной оценки компании, полученной путём умножения количества акций на рынке на их текущую цену). Высокая ликвидность в результате большого количества сделок, постоянно совершаемых акционерами этих компаний. Особенности российского рынка «голубых фишек». Российский рынок ценных бумаг, который был восстановлен заново в 90-е годы, можно отнести к числу развивающихся. Для оживления экономики страны необходимо создать более современный рынок ценных бумаг. Задачей государства является создание условий, позволяющих более слаженно функционировать отдельным частям рыночного механизма, включающего системы регулирования, инструменты, инфраструктуру и др. 27 Если ставить в сравнение рынок ценных бумаг в России и других западных странах, то по ряду причин российский рынок отстает от остальных по оборотам торгов. Иными словами, степень развития фондового рынка России и его активности несколько ниже, чем на Западе, поэтому он считается развивающимся. К. Л. Астапов, доктор экономических наук, связывает неразвитость российского «диспропорциями российской рынка ценных бумаг с экономики, неспособностью обеспечить устойчивое развитие компаний в долгосрочной перспективе, нежеланием раскрывать информацию инвесторам, а также отсутствием конкуренции, клановостью в политической и экономической элите, достаточно большой монополизацией в большинстве отраслей». В действительности некоторые эксперты считают, что развитие России находится на раннекапиталистическом строе, на котором не является обходимым развивать фондовый рынок. Однако происходит развитие рынка, но темпы не являются высокими. Причиной этого является тот факт, что на российском фондовом рынке действуют достаточно жесткие требования к эмитентам, которые, однако, не противоречат мировым. Но для развития данного рынка разумно ослабить действие требований для свободного входа на рынок новых компанийэмитентов. В России в основном идет ориентация на торговлю списочными бумагами, а торговля несписочными бумагами, которая должна проводиться дилерами, не развита. Однако из всего многообразия компаний, чьи акции зарегистрированы на фондовой бирже в России, выделяются несколько ведущих компаний, акции которых признаны считаться «голубыми фишками». Нахождение в числе «голубых фишек» определяется сравнительно большим весом акций в индексе РТС. [25]. 28 Таблица 1. Список «голубых фишек» России. №№ Биржев ой код акции 1 GAZP 2 SBER 3 LKOH 4 MGNT 5 SNGS 6 NVTK 7 ROSN 8 GMKN 9 10 11 12 13 14 15 Наименование компании Отрасль ОАО "Газпром", ао Нефтегазовая ОАО "Сбербанк России", ао Финансовая ОАО "ЛУКОЙЛ", ао Нефтегазовая ОАО "Магнит", ао Потребительский сектор ОАО "Сургутнефтегаз", ао Нефтегазовая ОАО "НОВАТЭК", ао Нефтегазовая ОАО "НК "Роснефть", ао Нефтегазовая ОАО "ГМК "Норильский Металургия никель", ао MTSS ОАО "МТС", ао Телекоммуникации VTBR ОАО Банк ВТБ, ао Финансовая TATN ОАО "Татнефть" им. В.Д. Нефтегазовая Шашина, ао AFKS ОАО АФК "Система", ао Финансовая TRNFP ОАО "АК "Транснефть", ап Нефтегазовая URKA ОАО "Уралкалий", ао Химия и Нефтехимия RTKM ОАО «Ростелеком», оа Телекоммуникации Примечание: список «голубых фишек» с 16 сентября по 15 декабря 2014 года На российском фондовом пространстве акций голубых фишек считанное количество. Они дислоцируются в нефтегазовой, финансовой, энергетической, металлургической и телекоммуникационных отраслях. 2.2 Данные и предварительный анализ Для анализа были использованы данные по дневным доходностям фондовых индексов 15-ти компаний, относящихся к числу «голубых фишек». Исходные данные по ценам охватывают период с 1 января 2008 г. по 1 апреля 2015 г. 29 Построение моделей и все прочие расчеты в данной главе проводятся для логарифмических доходностей индексов, то есть для величины: r(t)=ln(p(t)/p(t-1)) где p(t)- цена акции в конце дня t, p(t-1)- цена акции в конце дня t-1. При построении моделей возникла необходимость в синхронизации данных: доходности были рассчитаны на основе цен закрытия таких дней, когда одновременно торговали акциями всех 15 вышеперечисленных компаний. Соответственно, было осуществлено удаление некоторого количества наблюдений из исходных рядов дневных цен закрытия. Поэтому, строго говоря, рассчитанные мною доходности фондовых индексов соответствуют временным промежуткам разной длины. В таблице 2 приведено распределение длин временных промежутков, соответствующих построенным рядам доходностей. Таблица 2 Временные интервалы доходностей индексов. Дней между торгами Наблюдения Доля % Накопления наблюдений Накопленная доля % Наличие 0 1 2 3 4 5 6 7 1313 73.5 1313 59 3.3 1372 256 14.3 1628 107 6 1735 27 1.5 1762 11 0.6 1773 7 0.4 1780 7 0.4 1787 73.5 76.8 91.1 97.1 98.6 99.2 99.6 100 естественно при пропусков в два дня (главным образом, это выходные) работе с дневными доходностями. Потенциально, проблемными могут быть доходности за период в три и больше дней. Однако, как видно из Таблицы 2, для рассматриваемых нами данных такие доходности составляют 8,9% всех наблюдений, что в целом является допустимым. По этой причине специфика доходностей, соответствующих 30 промежуткам в 3 и более дней, не учитывается, и все доходности рассматриваются как однородные по времени. Построенный массив данных состоит из 1787 наблюдений для каждого из 15 рядов доходностей. Для анализа были построены графики изменения цен акций (Приложение 1). Можно констатировать нестационарное поведение цен во времени. Также были построены графики доходностей акций (Приложение 2). Можно заметить, что в графиках логарифмической суточной доходности тренд исчезает, таким образом, показатель доходности демонстрирует более стационарное поведение во времени. Таблица 3 Описательные статистики доходностей индексов. AFKS GAZP GMKN LKOH MGNT MTSS NVTK ROSN Среднее -0.001 0.000 0.000 0.000 0.001 0.000 0.000 0.000 Медиана 0.000 0.000 0.001 0.000 0.001 0.000 0.001 0.000 Максимум 0.724 0.346 0.339 0.273 0.137 0.234 0.212 0.376 Минимум -0.461 -0.224 -0.359 -0.221 -0.235 -0.195 -0.171 -0.274 Ст. отклон. 0.042 0.028 0.031 0.027 0.025 0.026 0.029 0.029 Ассиметрия 1.207 1.113 -0.439 0.551 -0.396 -0.523 -0.004 1.395 Эксцесс 73.332 31.512 26.349 24.382 11.451 18.946 11.919 37.681 RTKM SBER SNGS TATN TRNFP URKA VTBR Среднее -0.001 0.000 0.000 0.000 0.001 0.000 -0.000 Медиана -0.001 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 Максимум 0.224 0.424 0.349 0.393 0.288 0.305 0.295 Минимум -0.178 -0.367 -0.224 -0.368 -0.275 -0.428 -0.346 Ст. отклон. 0.026 0.035 0.029 0.032 0.032 0.039 0.031 Ассиметрия 0.723 0.910 1.499 0.388 0.156 -0.746 -0.514 Эксцесс 15.422 36.457 29.207 30.501 15.878 23.723 24.821 Для нормального распределения значение асимметрии должно быть равно нулю, а значение эксцесса равно 3. Таким образом, считается, что значение эксцесса, значительно превышающее 3, указывает на наличие «тяжелых хвостов» у распределения. 31 В Таблице 3 представлены описательные статистики для полных рядов доходностей из 1787 наблюдений. В таблице содержатся оценки первых четырех кумулянтов: среднего значения m=E(r), стандартного отклонения 𝜎 = √[𝐸(𝑟 − 𝑚)2 ] , коэффициентов асимметрии 𝐸[(𝑟 − 𝑚)4 ]/𝜎 4 − 3, а также минимальные 𝑆 = 𝐸[(𝑟 − 𝑚)2 ]/𝜎 3 , и эксцесса максимальные 𝑘= значения доходностей акций [8]. Заметим, что распределения всех рассматриваемых доходностей имеют тяжелые хвосты: коэффициент эксцесса для каждого фондового индекса существенно превышает 3. Это один из известных эмпирических фактов маржинальных распределений финансовых доходностей. Отметим также, что доходность акций компании AFKS имеет наибольший эксцесс и стандартное отклонение – этот индекс наиболее волатилен среди рассматриваемых. Коэффициенты существенно асимметрии разнятся от и эксцесса акции к распределений акции. При этом доходностей преобладает положительная асимметрия, что, как правило, характерно для рядов финансовых доходностей. 2.2.1 Тесты на проверку стационарности Для проверки стационарности рядов цен и доходностей были проведен расширенный тест Дики-Фуллера на единичный корень. Нулевой гипотезой теста является наличие единичного корня, что значит отсутствие стационарности в анализируемом ряде данных. В случае, если значение pvalue меньше 0.05, нулевая гипотеза отвергается на уровне значимости 5%. Проверим ряды цен на стационарность (Приложен 6). За исключением GAZP, MTSS, ROSN, SNGS, VTBR, все ряды являются нестационарными на 5% уровне. Другими словами имеет смысла протестировать их первые разности. При дальнейшем анализе временных рядов с первыми разностями выясняется, что все наблюдаемые переменные стационарны первого порядка. 32 Таким образом, ряды цен можно будет использовать в дальнейшем для проведения коинтеграционного анализа. Далее проверим на стационарность ряды доходностей акций (Приложение 7). Абсолютно все ряды котировок фондовых индексов являются стационарными нулевого порядка. Данный анализ нам потребуется для расчета коэффициентов кросс-корреляции доходностей. 2.2.2 Эмпирические факты Во множестве исследований, проведенных различными учеными, было выявлено, что финансовые временные ряды имеют ряд характерных для них особенностей – эмпирических стилизованных фактов. Дадим их краткое описание 1) Островершинное распределение плотности вероятности доходностей, тяжелые хвосты, негауссовость распределения [12]. Тяжелые хвосты безусловного вероятностного распределения дневных доходностей приводят к тому, что экстремальные значения доходности могут наблюдаться более часто, чем в случае нормального распределения. Островершинность плотности вероятности приводит к тому, что коэффициент эксцесса (excess kurtosis) принимает положительные значения. Это можно увидеть в таблице 2. 2) Нормальность отвергается в пользу некоторого распределения с хвостами. 3) Временные ряды абсолютных значений или квадратов доходности характеризуется значимой автокорреляцией, причём автокорреляционная функция убывает медленно [20]. 4) Волатильность Наблюдаются рядов доходностей продолжительные периоды является с кластеризованной. относительно низкой волатильностью и периоды, в течение которых волатильность высока [18]. 33 5) Асимметрия и левередж в динамической структуре волатильностей. Положительные и отрицательные доходности одинаковой амплитуды, наблюдаемые в предшествующий период, оказывают различное влияние на текущую волатильность (асимметрия). При этом текущая доходность и будущая волатильность отрицательно коррелированы (левередж). Положительные инновации влекут снижение волатильности. 2.3 Расчёт коэффициентов кросс - корреляции цен и доходностей «голубых фишек» России Кросс - корреляционный (далее корреляционный) анализ взаимной согласованности изменений цен различных активов позволяет выявить наиболее очевидные случаи взаимного влияния динамики различных активов. Можно отследить значительные корреляции в поведении рыночных цен, которые наблюдаются между самыми различными активами, к примеру, ценой акций нефтяной компании и крупного банка. Корреляция в поведении двух величин может быть связана как со скрытыми динамическими связями между ними или обусловленностью их от единой глубинной причины, либо вкладом чисто случайного фактора. И, как правило, влияние случайного фактора бывает достаточно большим. Снизить влияния случайного фактора на коэффициент корреляции возможно только за счет увеличения выборки. Регрессионная зависимость пар активов зачастую остается бесполезной, поскольку имеет значимые величины только для одномоментных срезов цен. В то время, как практическую ценность имеет зависимость цены искомого актива от прошлых цен базового актива. Для проведения данного вида анализа возьмем большую выборку за период с января 2008 по май 2015 с интервалом наблюдения раз в день. Прежде чем составить матрицу корреляции, необходимо провести расчеты. 34 Методика расчетов коэффициентов корреляции цен и доходностей «голубых фишек» Данные о ценах «голубых фишек» были взяты с сайта «Финам» (www.finam.ru/). Мы производили все необходимые расчеты в Microsoft Office Excel. Для расчета коэффициентов корреляции цен, прежде всего, было необходимо из эмпирических данных о ценах вычесть тенденцию их изменения. Для этого нами были построены графики и тренды изменения цен на «голубые фишки» обеих стран. В качестве тренда мы взяли полином 5 степени, рассчитанный с помощью метода наименьших квадратов, поскольку он наиболее точно описывает изменение цен по сравнению с такими трендами, как линейный, экспоненциальный и другие. Это доказывает величина достоверности аппроксимации (R^2), которая у полинома 5 степени является наибольшей из всех предлагаемых в Excel трендов. При моделировании изменения социально-экономического процесса важно построить математическую функцию, которая описывает приближенно развитие процесса во времени. Эта аппроксимирующая функция и называется трендом. Задачей аппроксимации является подобрать аналитическую формулу, которая могла бы как можно точнее описать изменение явления во времени. Отметим, что величина достоверности аппроксимации (R^2) показывает, насколько точно кривая тренда описывает график. К примеру, если R^2=0,9, то это означает, что 90% графика эмпирических данных может быть описано с помощью тренда. В нашем случае кривая тренда – это полином 5 степени, который наилучшим образом описывает ряд динамики. Получив уравнения тренда, мы вычли его из эмпирических данных о ценах. И уже на основе полученных данных мы рассчитывали корреляцию цен (по встроенной в Excel функции =КОРРЕЛ(…)). 35 Хотелось бы отметить, что взаимозависимость цен видна и по графикам (См. Приложения 1). Чем более похожи графики визуально, тем выше коэффициент корреляции между ними. Так как наш ряд доходностей является стационарным, что было доказано ранее, то нет необходимости вычитать значения тренда из эмпирических данных. По рассчитанным коэффициентам корреляции мы вычислили средние значения коэффициентов корреляции цен и доходностей для российского фондового рынка, чтобы в дальнейшем сделать необходимые поправки при формировании портфеля с помощью модели Марковица и Capital Asset Pricing Model (CAPM). После проведения описанных выше расчетов была составлена таблица коэффициентов корреляции цен. Таблица 4. Значения коэффициентов корреляции цен «голубых фишек» в России за период с 01.01.2008 по 01.04.2015. AFKS GAZP GMKN LKOH MGNT MTSS NVTK ROSN RTKM SBER SNGS TATN TRNFP URKA VTBR AFKS 1,00 0,19 0,72 0,21 -0,66 0,22 -0,09 0,00 0,33 -0,09 0,27 0,02 0,01 -0,14 0,70 GAZP 0,19 1,00 0,53 0,84 0,21 0,65 0,65 0,83 0,09 -0,09 0,53 0,78 0,39 0,78 0,50 GMKN 0,72 0,53 1,00 0,56 -0,29 0,40 0,21 0,41 0,31 -0,16 0,41 0,38 0,22 0,34 0,79 LKOH 0,21 0,84 0,56 1,00 0,29 0,77 0,43 0,86 0,00 -0,34 0,72 0,88 0,63 0,66 0,62 MGNT -0,66 0,21 -0,29 0,29 1,00 0,38 0,40 0,38 -0,20 0,07 0,12 0,39 0,41 0,40 -0,15 MTSS 0,22 0,65 0,40 0,77 0,38 1,00 0,32 0,72 -0,12 -0,34 0,61 0,76 0,55 0,50 0,57 NVTK -0,09 0,65 0,21 0,43 0,40 0,32 1,00 0,49 0,21 0,59 0,11 0,40 0,27 0,60 0,14 ROSN 0,00 0,83 0,41 0,86 0,38 0,72 0,49 1,00 -0,06 -0,42 0,59 0,86 0,55 0,73 0,42 RTKM 0,33 0,09 0,31 0,00 -0,20 -0,12 0,21 -0,06 1,00 0,28 0,08 -0,11 -0,14 -0,06 0,15 SBER -0,09 -0,09 -0,16 -0,34 0,07 -0,34 0,59 -0,42 0,28 1,00 -0,43 -0,38 -0,22 -0,04 -0,25 SNGS 0,27 0,53 0,41 0,72 0,12 0,61 0,11 0,59 0,08 -0,43 1,00 0,69 0,54 0,24 0,53 TATN 0,02 0,78 0,38 0,88 0,39 0,76 0,40 0,86 -0,11 -0,38 0,69 1,00 0,59 0,63 0,41 TRNFP 0,01 0,39 0,22 0,63 0,41 0,55 0,27 0,55 -0,14 -0,22 0,54 0,59 1,00 0,19 0,47 URKA -0,14 0,78 0,34 0,66 0,40 0,50 0,60 0,73 -0,06 -0,04 0,24 0,63 0,19 1,00 0,25 VTBR 0,70 0,50 0,79 0,62 -0,15 0,57 0,14 0,42 0,15 -0,25 0,53 0,41 0,47 0,25 1,00 Примечание: красным цветом в таблице отмечены значения корреляции, которые более близки к единице по сравнению с другими, а значит взаимозависимости цен этих пар акций значительные. Зеленым цветом отмечены ячейки, содержащие отрицательное значение 36 корреляции, характеризующие цены двух бумаг как не имеющих взаимозависимости или имеющие обратную зависимость. Для того чтобы дать качественную оценку связи, используем таблицу Чеддока (Таблица 5). Таблица 5 Таблица Чеддока. Значение 0,1-0,3 0,3-0,5 0,5-0,7 0,7-0,9 0,9-0,99 коэффициента Характеристика слабая умеренная заметная высокая весьма тесноты связи высокая Как мы видим из таблицы 2, у многих Российских компаний наблюдается высокая корреляция, то есть коэффициент корреляции выше 0,7. Проанализируем корреляцию внутри нефтегазовой отрасли. В рассматриваемой отрасли наблюдается пары с высокой связью: 1) ОАО «Газпром»- ОАО «Лукойл» 2) ОАО «Газпром»- ОАО «Татнефть» 3) ОАО «Газпром» -ОАО «Роснефть» 4)ОАО «Татнефть» -ОАО «Лукойл» 5) ОАО «Татнефть» -ОАО «Роснефть» 6) ОАО «Лукойл»- ОАО «Сургутнефть» 7) ОАО «Лукойл»-ОАО «Роснефть» Для того чтобы понять, почему цены их акций сильно взаимосвязаны, необходимо изучить их отраслевую принадлежность. ОАО "ЛУКОЙЛ" занимается добычей и переработкой нефти: 16,6% общероссийской добычи нефти и 17,7% общероссийской переработки нефти. Более того, это компания, акции у которой находятся на втором месте по объемам торгов среди акций иностранных компаний, торгуемых на Лондонской фондовой бирже (2011г) [33]. 37 ГМК "Норильский Никель" занимается поиском, разведкой, добычей, обогащением и переработкой полезных ископаемых, из которых следует отметить никель и палладий, платину и медь[30]. ОАО "Сургутнефтегаз" ведет добычу нефти и газа. Его доля добычи нефти в стране - около 13%, доля добычи газа нефтяными компаниями России - 25% [30]. ОАО «Татнефть» является нефтяной компанией. Ее акции входят в число наиболее востребованных на ведущих российских фондовых площадках: Лондонской фондовой бирже и в германской системе группы Дойче Бурс АГ [34]. Как мы видим, все названные компании занимаются добычей полезных ископаемых, преимущественно нефти и газа. В своем большинстве они занимают доминирующее положение на рынке: их доли добычи полезных ископаемых составляет примерно 1/7 от общего объема. Для ограничения конкуренции они могут заключать соглашения или договариваться об определенных действиях с их сторон. «Склонность к картелизации в нашей стране выше, чем в других странах», — считает профессор кафедры экономической теории Высшей школы экономики Надежда Розанова [28]. Таким образом, они могут удерживать монопольно высокую или низкую цену, что затруднит вход на рынок другим фирмам. Также нефтегазовый сектор имеет схожую ценовую политику со множеством других компаний, оперирующих в секторах, не связанных с данным сектором. Это доказывает тот факт, что по-прежнему многие компании широко зависят от цен на сырье. Также необходимо обратить внимание на пары компаний, чьи цены на акции находятся в отрицательной корреляции: ОАО "Ростелеком" - ОАО "Татнефть" им. В.Д. Шашина, ао 38 ОАО "Ростелеком" - ОАО "АК "Транснефть", ап; ОАО "Ростелеком" - ОАО "МТС". Наглядно представлено, что во всех парах участвует акционерное общество «Ростелеком». Известно, что эта компания является самой крупной в России телекоммуникационной группой, представляющей разнообразный пакет услуг. Остальные три фирмы в парных комбинациях – это фирмы, чья деятельность связана с добычей полезных ископаемых. «Ростелеком» предоставляет услуги и компаниям различных отраслей экономики. Но слабая корреляция наблюдается даже с компанией «МТС», которая также занимается телекоммуникациями [36]. Интересен тот факт, что значения корреляции цен многих компаний отрицательные, что свидетельствует о разнонаправленном движении цен этих фирм. Наибольшие отрицательные показатели у «Сбербанка» с «Сургутнефтегазом» и АФК «Система» с «Магнит», что доказывает их противоположную динамику. Показатели корреляции остатков (после вычитания тренда в виде полинома 5-й степени) цен могут информировать исследователя о взаимосвязи динамик цен акций «голубых фишек». Также можно провести визуальный анализ трендов изменения цен, которые представляют отчетливую картину о тенденции изменения цен. Однако показатели корреляции цен не являются единственно необходимыми для формирования портфеля. Наиболее информативными являются показатели корреляции доходности акций. Они позволяют определить, какая степень диверсификации будет оптимальна. В случае если ряд является нестационарным, то необходимо вычитать значения тренда из эмпирических данных, но с помощью теста Дики- 39 Фуллера мы доказали его стационарность. Проанализируем коэффициенты корреляции доходностей ценных бумаг. Таблица 6. Значения коэффициентов корреляции доходностей «голубых фишек» в России в период с 01.01.2008 по 01.05.2014 AFKS GAZP GMKN LKOH MGNT MTSS NVTK ROSN RTKM SBER SNGS TATN TRNFP URKA VTBR AFKS 1,00 0,53 0,44 0,47 0,36 0,63 0,44 0,48 0,32 0,54 0,41 0,49 0,38 0,37 0,43 GAZP 0,53 1,00 0,66 0,82 0,41 0,70 0,71 0,84 0,40 0,78 0,72 0,73 0,58 0,59 0,74 GMKN 0,44 0,66 1,00 0,64 0,35 0,56 0,53 0,66 0,36 0,61 0,58 0,60 0,55 0,46 0,60 LKOH 0,47 0,82 0,64 1,00 0,37 0,66 0,66 0,81 0,35 0,70 0,72 0,72 0,57 0,58 0,68 MGNT 0,36 0,41 0,35 0,37 1,00 0,44 0,40 0,38 0,29 0,42 0,30 0,42 0,36 0,31 0,37 MTSS 0,63 0,70 0,56 0,66 0,44 1,00 0,58 0,65 0,39 0,69 0,61 0,63 0,50 0,51 0,61 NVTK 0,44 0,71 0,53 0,66 0,40 0,58 1,00 0,67 0,35 0,65 0,58 0,60 0,48 0,51 0,62 ROSN 0,48 0,84 0,66 0,81 0,38 0,65 0,67 1,00 0,38 0,74 0,74 0,70 0,58 0,59 0,73 RTKM 0,32 0,40 0,36 0,35 0,29 0,39 0,35 0,38 1,00 0,39 0,36 0,36 0,34 0,30 0,38 SBER 0,54 0,78 0,61 0,70 0,42 0,69 0,65 0,74 0,39 1,00 0,62 0,63 0,55 0,50 0,76 SNGS 0,41 0,72 0,58 0,72 0,30 0,61 0,58 0,74 0,36 0,62 1,00 0,63 0,53 0,53 0,66 TATN 0,49 0,73 0,60 0,72 0,42 0,63 0,60 0,70 0,36 0,63 0,63 1,00 0,53 0,51 0,61 TRNFP 0,38 0,58 0,55 0,57 0,36 0,50 0,48 0,58 0,34 0,55 0,53 0,53 1,00 0,45 0,58 URKA 0,37 0,59 0,46 0,58 0,31 0,51 0,51 0,59 0,30 0,50 0,53 0,51 0,45 1,00 0,52 VTBR 0,43 0,74 0,60 0,68 0,37 0,61 0,62 0,73 0,38 0,76 0,66 0,61 0,58 0,52 1,00 Примечание: красным цветом в таблице отмечены значения корреляции, которые более близки к единице по сравнению с другими, а значит взаимозависимости цен этих пар акций значительные. Нам необходимо проанализировать данные таблицы 6 с позиции инвестора с целью выяснить, необходимо ли осуществлять диверсификацию портфеля и в какой степени. Наибольшая взаимосвязь доходностей наблюдается у «Лукойл» и «Газпрома» (значение коэффициента корреляции доходностей = 0,82), принадлежащих одной отрасли, а также всем парам фирм, чьи ячейки отмечены красным цветом. Это говорит о том, что большое количество акций этого вида не следует держать в портфеле, чтобы снизить риск потери большой части стоимости. Есть такие пары фирм, у которых доходности по ценным бумагам очень слабо зависят друг от друга. Следовательно, доходности этих акций не имеют взаимосвязи и 40 относительно друг друга могут изменяться как одноименно, так и разноименно. К сожалению, в таблице нет отрицательных значений корреляции доходностей. Дело в том, что обратная зависимость доходностей делает портфель более устойчивым к систематическому риску (потрясениям фондового рынка) и снижает возможность несистематического риска (одновременное падение доходностей многих видов акций). Таким образом, сформировать портфель нужно из акций компаний, на цены которых прогнозируется рост, и доходности которых зависят друг от друга в средней и малой степени. В таком случае мы попытаемся создать портфель с небольшой степенью риска путем диверсификации. Конечно, структура портфеля определяется в том числе и тем, насколько инвестор является рискованным человеком. Но мы исходим из положения модели Марковица, что инвестор не является склонным к риску, что в большинстве случаев и происходит. Для такого инвестора портфель будет преимущественно состоять из ценных бумаг фирм, чьи ячейки в таблице не обозначены никаким цветом. В данном случае мы обращаем особое внимание на степень риска портфеля, поскольку нет особых опасений относительно резкого снижения цен акций именно этих компаний. Это объясняется закрепившимися положениями фирм. 2.4 Коинтеграционный анализ Основной целью коинтеграционного анализа является нахождение стационарной линейной комбинации между нестационарными временными рядами. В рамках данного анализа будут использованы нестационарные ряды котировок цен. Для отыскания стационарных линейных комбинаций был использован коинтеграционный тест Йохансена, при этом использовались две статистики: статистика максимального собственного числа (Maximum 41 Eigenvalue) и статистика следа (Trace). Но целью коинтеграционного анализа является не только в нахождение стационарной комбинации нестационарных рядов, но и нахождение количества линейно независимых уравнений. Таким образом, результатом теста будет являться количество уравнений, причем их количество будет находиться по каждой из двух рассматриваемых статистик коинтеграционного теста Йохансена [14]. Полученные результаты будут использованы при выборе акций, входящих в оптимальный портфель. При проведении коинтеграционного теста необходимым условием является отсутствие стационарности нулевого порядка, иначе количество коинтеграционных уравнений будет всегда равняться количеству переменных, что не позволит сделать каких-либо значимых выводов. Ранее было доказано, что ряды цен компаний: AFKS, GMKN, LKOH, MGNT, NVTK, RTKM, SBER, TATN, TRNFP, URKA, могут быть использованы для проведения коинтеграционного анализа. Анализ проводился в программе Eviews. В результате проведенного коинтеграционного анализа Йохансена, используя обе, перечисленные выше, статистики, были получены следующие результаты (приложение 3, табл. 7). Таблица 6. Результаты коинтеграционного анализа. Связь между индексами Количество коинтеграционных стационарных векторов Статистика Статистика следа максимального собственного значения MGNT-TRNFP 1 1 TATN-TRNFP 1 1 В таблице 6 не приведены отношения, в которых не было найдено ни одного коинтеграционного стационарного и линейно независимого 42 уравнения по статистике следа, аналогично - по статистике максимального собственного значения. Однако в таблице указаны две пары акций, в каждой из которых найдено по одному коинтеграционному стационарному вектору, что было доказано обеими статистиками. Коинтегрированность показателей означает, что данные ряды имеют единый долгосрочный тренд, а, следовательно, данные показатели являются взаимосвязанными и влияют друг на друга. Так как это противоречит принципам диверсификации, коинтеграционной мы будем учитывать наличие связи между данными акциями при составлении оптимального портфеля Марковица и при расчете коэффициента бета модели CAMP. 2.5 Формирование диверсифицированных портфелей с помощью модели Марковица. Данный анализ будет проводиться на основе 15-ти российских компаний, входящих в список «голубых фишек» России в период с 01.01.2008 по 01.04.2015. Их наименования указаны в таблице 1. Так как, исходя из теории Марковица, инвестор минимизирует риск, его оптимальный портфель должен состоять из ценных бумаг тех фирм, чья корреляционная связь не была высокой или была отрицательной. Соответственно, набор акций, входящих в каждый портфель, был выбран исходя из результатов корреляционного анализа, приведенного выше. На основе условия о минимальной корреляционной связи между активами в портфеле, для улучшения диверсификации, было составлено 10 портфелей, в каждый из которых входил разный набор акций. 43 Далее приведен список акций входящих в портфель №1. Также в таблице 7 содержатся результаты вычисления среднего значения и стандартного отклонение для доходностей акций. Данные величины рассчитаны по встроенным в Excel функциям СРЗНАЧА (…) и СТАНДОТКЛОН (…). Таблица 7. Среднее значение и стандартное отклонение акций портфеля №1. AFKS GMKN MGNT MTSS NVTK RTKM SBER TRNFP ср. знач. -0,00048 0,000279 0,001233 -0,00023 0,000468 -0,00073 9,30195E-05 0,0005311 ст. отклон. 0,04251 0,030718 0,024991 0,026085 0,028856 0,026162 0,029370238 0,0317768 SNGS TATN SNGS TATN URKA VTBR ср. знач. 9,3019E-05 0,0003728 9,3019E-05 0,0003728 -8,39E-05 -0,000394 ст. отклон. 0,02937024 0,0325405 0,02937024 0,0325405 0,0388105 0,0309139 Далее проводим расчет ковариации по формуле (4), значения которой представлены в таблице 8. Таблица 8. Ковариация доходностей. AFKS GMKN MGNT MTSS NVTK RTKM SBER SNGS TATN TRNFP URKA VTBR AFKS 0,0018 0,0006 0,0004 0,0007 0,0005 0,0004 0,0008 0,0005 0,0007 0,0005 0,0006 0,0006 GMKN 0,0006 0,0009 0,0003 0,0004 0,0005 0,0003 0,0006 0,0005 0,0006 0,0005 0,0006 0,0006 MGNT 0,0004 0,0003 0,0006 0,0003 0,0003 0,0002 0,0004 0,0002 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 MTSS 0,0007 0,0004 0,0003 0,0007 0,0004 0,0003 0,0006 0,0005 0,0005 0,0004 0,0005 0,0005 NVTK 0,0005 0,0005 0,0003 0,0004 0,0008 0,0003 0,0006 0,0005 0,0006 0,0004 0,0006 0,0006 RTKM 0,0004 0,0003 0,0002 0,0003 0,0003 0,0007 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 SBER 0,0008 0,0006 0,0004 0,0006 0,0006 0,0003 0,0011 0,0006 0,0007 0,0006 0,0006 0,0008 SNGS 0,0005 0,0005 0,0002 0,0005 0,0005 0,0003 0,0006 0,0009 0,0006 0,0005 0,0006 0,0006 TATN 0,0007 0,0006 0,0003 0,0005 0,0006 0,0003 0,0007 0,0006 0,0011 0,0006 0,0006 0,0006 TRNFP 0,0005 0,0005 0,0003 0,0004 0,0004 0,0003 0,0006 0,0005 0,0006 0,0010 0,0006 0,0006 URKA 0,0006 0,0006 0,0003 0,0005 0,0006 0,0003 0,0006 0,0006 0,0006 0,0006 0,0015 0,0006 VTBR 0,0006 0,0006 0,0003 0,0005 0,0006 0,0003 0,0008 0,0006 0,0006 0,0006 0,0006 0,0010 На диагонали данной матрицы представлены дисперсии доходностей, а на побочных диагоналях – коэффициенты ковариации. Отметим также, что данная матрица симметричная. 44 Для расчета дисперсии необходимо применить формулу (8). После вычисления дисперсии необходимо воспользоваться функцией «Поиск решения» для того, чтобы вычислить оптимальные доли акций при минимальной дисперсии, задавая ограничение того, что сумма долей активов за вычетом единицы будет равна нулю. После применения указанной функции вычисляются оптимальные доли ценных бумаг портфеля с минимальной дисперсией. Затем считаем доходность портфеля по формуле (2). В ходе проведенных расчетов, получаем значения, представленные в таблице 9. Таблица 9. Доли и значения портфеля ценных бумаг №1. AFKS 0 GMKN 0,034 Ограничение 0 MGNT 0,344 MTSS 0,124 Доходность портфеля 0,074% NVTK 0,066 RTKM 0,300 SBER 0 SNGS 0,096 TATN 0 TRNFP 0,036 URKA 0 VTBR 0 Дисперсия Стандартное отклонение портфеля портфеля 0,037% 1,9% В результате получили оптимальные доли акций, которые нужно принять во внимание при создании портфеля с минимальным риском. 45 Таблица 10. Значения портфелей ценных бумаг с минимальным риском № Состав портфеля Доходность Дисперсия CAPM(B) 1 AFKS, GMKN, MGNT, MTSS, NVTK, ROSN, RTKM, SBER, SNGS, TATN, URKA, VTBR Исключили: GAZP, LOKH, TRNFP 0,07% 0,00036697 0,64557211 2 AFKS, GMKN, LKOH, MGNT, MTSS, NVTK, RTKM, SBER, SNGS, TRNFP, URKA, VTBR Исключили: GAZP ROSN TATN 0,02% 0,0003631 0,656336 3 AFKS, GMKN, MGNT, MTSS, NVTK, ROSN, RTKM, SBER, SNGS, TRNFP, URKA, VTBR Исключили: GAZP LKOH TATN 0,04% 0,00036697 0,64573062 4 AFKS, GAZP, GMKN, MGNT, MTSS, NVTK, RTKM, SBER, SNGS, TRNFP, VTBR, URKA Исключили: LKOH, ROSN, TATN 0,02% 0,00036697 0,645724 5 GAZP, LKOH, MGNT, MTSS, NVTK, SBER, SNGS, TATN, TRNFP, URKA Исключили: AFKS, GMKN, VTBR AFKS, GMKN, MGNT, NVTK, ROSN, SNGS, TATN, TRNFP, URKA, VTBR Исключили: GAZP LOKH MTS GMKN, LKOH, MGNT, MTSS, NVTK, SNGS, TATN, TRNFP, URKA, VTBR Исключили: AFKS GAZP ROST GAZP, GMKN, LKOH, MGNT, MTSS, RTKM, SBER, SNGS, TRNFP, VTBR Исключили: TATN URKA AFKS AFKS, GAZP, GMKN, MGNT, NVTK, SNGS, TATN, TRNFP, URKA, VTBR Исключили: MTSS LOKH ROSN AFKS, LKOH, MGNT, NVTK, ROSN, SNGS, TRNFP, TATN, URKA, VTBR Исключили: GAZP GMKN MTSS ROSN, RTKM, 0,03% 0,00036318 0,654858 RTKM, SBER, 0,06% 0,00037198 0,64010497 RTKM, SBER, 0,02% 0,0003631 0,65630167 NVTK, ROSN, 0,05% 0,0003631 0,65626913 RTKM, SBER, 0,03% 0,00037198 0,64010552 RTKM, SBER, 0,05% 0,00036632 0,6520368 6 7 8 9 10 Аналогичные расчеты были проведены для других 9 портфелей. Результаты вычислений представлены в таблице 10. На основании десяти построенных портфелей можно сделать вывод о том, что первый портфель является наиболее прибыльным. Также у него один из самых низких уровней риска. 2.6 Экономическая модель CAPM для «голубых фишек» России. Выше была разобрана портфельная теория Марковица, которая предполагает построение портфеля на основе вероятностно-статистических 46 методов. Однако получила широкое распространение также эконометрическая модель, устанавливающая соотношение между риском и доходностью, модель CAPM. Модель CAPM устанавливает связь между доходностью рынка (за рынок принимается рыночный индекс с широкой базой) и доходностью актива. Главное уравнение CAPM имеет вид: r rf rI (10) где rf - безрисковая ставка доходности, ri - премия за риск вложения в акции, равная разнице ставок рыночной и безрисковой доходности, β - коэффициент чувствительности актива к изменениям рыночной доходности. В этом уравнении коэффициент β находится эконометрически с помощью метода наименьших квадратов. Коэффициент «бета» устанавливает связь между доходностью рынка и доходностью актива. Если «бета» больше единицы, то доходность актива изменяется сильнее доходности рынка, а значит, данный актив является более рискованным. И, наоборот, при «бета» меньше единицы данный актив воспринимается как более безопасный. Таким образом, бета является мерой рыночного риска актива – чем она выше, тем больше и риск. Поэтому бета, наравне среднеквадратическим отклонением, используется в качестве меры риска портфеля. Бета портфеля находится как попарная сумма произведений бета-актива на вес данного актива [6]. Иными словами, она определяется по формуле: p wi i (11) Расчет «бета» для указанного выше портфеля производился в программе Microsoft Office Excel. 47 Для того, чтобы рассчитать коэффициент бета, необходимо рассчитать коэффициент линейной регрессии между доходностью каждой акции, входящей в портфель, и доходностью индекса ММВБ. осуществлялся по Расчет бета формуле: =ИНДЕКС(ЛИНЕЙН(….);); Таким образом, беты акций портфеля составят: Таблица 11. Показатели «бета» активов. GAZP GMKN LKOH MGNT MTSS NVTK RTKM ROSN 1,084 0,971 0,995 0,493 0,845 0,934 0,502 1,106 SBER SNGS TATN TRNFP URKA VTBR MICEX 0,979 0,979 1,077 0,883 1,065 1,055 1,000 Как видим, в данной таблице есть акции с высоким риском (выше рыночного) и акции с риском ниже рыночного. Кроме того, было бы логично, приравнять бета рыночного индекса к единице. Рассчитаем по указанной выше формуле бету портфеля №1. Она составила 0,646. Это достаточно невысокий показатель, свидетельствующий, что риск сформированного портфеля ниже рыночного. В таблице 11 приведены значения коэффициента бета для каждого из десяти портфелей. Согласно модели Марковица, мы выбрали оптимальный портфель №1, модель CAPM также не противоречит данному выбору. Значения бета у всех портфелей колеблется примерно на одинаковом уровне, но у портфеля №1 он один из самых низких. 48 2.7 Измерение риска рыночного риска портфеля с помощью VALUE AT RISK (VaR) Основным риском, который может возникнуть при управлении портфелем ценных бумаг, является рыночный риск. Он, как уже было сказано, не поддаётся диверсификации. Рыночный риск связан с возможными потерями, которые может понести компания в случае неблагоприятного изменения конъюнктуры рынка – курсов валют, цен на товары, процентных ставок и т.д. Таким неблагоприятным образом, действием рыночный внешних риск факторов также на связан компанию. с В соответствии с провоцирующими факторами можно выделить валютный, товарный, процентный риски. Рыночный риск можно вычислить как применительно к одному активу, так и ко всему портфелю вложений. Одной из наиболее интересных методик определения рыночного риска является расчёт VaR-фактора. Данный способ обладает достоинством относительно традиционного подхода, основанного на вычислении дисперсии доходности портфеля. Связано это с тем, что дисперсия хорошо отражает риск только в случае симметричного распределения доходностей с нулевым средним (то есть когда вероятность получения и положительной, и отрицательной доходности одинакова). Однако это не всегда так, так как многие акции, другие активы демонстрируют в среднем доходность чуть выше, чем нулевая. Методика расчета VaR позволяет учесть этот эффект [7]. Показатель VaR демонстрирует, какой суммы может максимально лишиться инвестор от своего портфеля с заданной доверительной вероятностью в течение определённого периода времени. Например, если портфель стоит 1 000 000 рублей, а дневной VaR равен 5 000, уровень значимости 95%, то это означает, что с вероятностью в 95% данный портфель потеряет не более 5 000 рублей в день. Или, что то же самое, в 95 49 случаях из ста просадка стоимости актива не превысит 5 000 рублей. Доверительную вероятность можно задать и другую, в зависимости от потребностей инвестора, однако большинство предпочитают 95% и 99%. Существует два типа моделей для определения VaR: параметрические и непараметрические. Под параметрическими понимаются такие типы моделей, для которых известно распределение доходностей портфеля, а также его основные параметры (математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратичное отклонение). Прошлые значения этих параметров переносятся на ожидаемые значения, и на их основе производится моделирование. Существуют более сложные и более точные непараметрические модели - метод Монте-Карло. В данной работе будет рассмотрен как параметрический метод, так и метод Монте-Карло. 2.7.1 Расчет VaR параметрическим методом Формула для определения параметрического VAR представлена ниже: VAR p P * * têð ( ) (11) В данном случае P – стоимость портфеля, σ – среднее квадратичное отклонение (СКО) доходностей портфеля, tкр – специальный коэффициент, показывающий, насколько отличается значение СКО доходности на стандартном уровне значимости от уровня значимости α. Данный коэффициент можно рассчитать по таблице нормального распределения (по таблице Лапласа) для заданного уровня значимости. Например, для 95%-ного уровня этот коэффициент будет равен 1,65. Отдельно хочется сказать о способе расчёта СКО портфеля. Она рассчитывается по следующей методике: 50 wÒ w (12) В данной формуле ∑ – вариационно-ковариационная матрица доходностей активов (на главной диагонали - дисперсии доходностей по каждому активу, на побочных – коэффициенты ковариации доходностей по каждой паре активов), w – вектор-столбец долей каждого актива в портфеле, wT – транспонированный столбец долей (строка). [6] Вычисления VAR-факторов для портфеля №1 приведены выше. Рассчитаем значение VAR портфеля на 95-процентном уровне значимости. В этом случае tкр=1.65. Допустим, что сумма портфеля составляет 10 миллионов рублей. Тогда VAR будет равно: VaR=10 000 000*0.019*1.65=313 500 руб. Так как доходности были рассчитаны для дневных данных, то и VAR имеет дневную периодичность. Таким образом, с вероятностью в 95%, портфель не обесценится более, чем на 313 500 рублей. Иными словами, можно прогнозировать с вероятностью ошибки в 5%, что данный портфель через день будет стоить не менее 10 000 000 – 313 500 = 9 686 500 рублей. Существуют понятия абсолютного и относительного значения VaR. В приведенном выше расчете был представлен абсолютный VaR. Абсолютный VaR можно быть интерпретирован, как максимальная сумма денег, которая может быть потеряна инвестором с заданной доверительной вероятностью в течение определенного периода времени. Отличительной чертой относительного VaR вялятся то, что он рассчитывается относительно ожидаемой доходности портфеля. Этот показатель учитывает, что инвестор с заданной вероятностью может как потерять сумму, равную абсолютному VaR, так и не получить сумму равную средней ожидаемой доходности 51 портфеля за рассматриваемый период. Рассчитанный показатель VaR и есть величина рыночного риска портфеля. Доходность оптимального портфеля составляет 0,07% от 10 млн. руб. это составляет 7 000 руб. Тогда относительный VaR равен: 313 500 + 7 000 = 320 500 руб. 2.7.2 Расчет VaR методом Монте-Карло Метод Монте-Карло это названия для группы численных методов. основанных на получении большого числа реализаций стохастического (случайного) процесса, который формируется таким образом, чтобы его вероятностные характеристики совпадали с аналогичными величинами решаемой задачи. Имитационное моделирование по методу Монте-Карло достаточно мало формализовано и не имеет жестких ограничений. При проведении анализа по методу Монте-Карло компьютер использует процедуру генерации псевдослучайных чисел для имитации данных из изучаемой генеральной совокупности. результаты После большого хорошо имитируют числа реальное повторений, сохраненные распределение выборочной статистики. Метод Монте-Карло позволяет получить информацию о выборочном распределении в случаях, когда обычная теория выборочных распределений оказывается бессильной. Целью данного метода является генерация будущих доходностей, в соответствии с приведенным выше уравнением. моделирование стохастического процесса Основной проблемой в является генерация потока случайных чисел. В программе Microsoft Excel существует несколько таких способов: true и pseudo. True случайные переменные находятся в интервале от 0 до 1, могут быть сгенерированы с помощью функции СЛЧИС(…). Проблемой true случайных переменных является их неустойчивость (при каждом нажатии клавиши F9 происходит пересчет и возникают другие 52 значения). В этом случае могут возникнуть проблемы, если необходимо будет повторно исследовать тот же самый набор случайных чисел или повторить эксперимент. В этом случае лучше использовать pseudo случайные числа. Такие случайные числа генерируются с помощью формул. Следовательно, это позволит получить фиксированный набор случайных чисел. Для генерирования необходимо воспользоваться инструментом «Генерация случайных чисел», находящаяся в разделе «Анализ данных». В данной работе было сгенерировано 2000 случайных наблюдений с нормальным распределением. Одним из наиболее популярных генераторов случайных чисел является линейный конгруэнтный метод, разработанный Лемером. Уравнение (13) представляет собой мультипликативный вариант линейного конгруэнтноого метода, который предназначен для генерации потока равномерно распределенных случайных чисел в интервале от 0 до 1: 𝑥𝑖+1 = ((𝑎𝑥𝑖 )𝑚𝑜𝑑 𝑚) (13) 𝑚 где 𝑚𝑜𝑑 - операция по модулю, 0 ≤ 𝑎 множитель (рекомендованное значение для большинства статистик составляет 75 ), 𝑚 𝑚 это модуль, который должен быть больше, чем 𝑎 (рекомендованное значение 𝑚 для большинства статистик 231-1), Максимально допустимая и 𝑥0 > 0 - это начальное значение. длиной невырожденных и нециклических случайных чисел является значение модуля [19]. Случайные числа х, генерируемые с помощью уравнения, являются равномерно распределенными случайными числами, представляющими вероятности событий, которые будут происходить для определенных норм прибыли. Они были преобразованы в нормально-распределенные числа (ε), прежде чем были включены в уравнение доходности. Преобразование 53 осуществляется с помощью функции НОРМСТОБР (…), где случайные числа, являются единственным аргументом этой функции. Приведенное выше описание расчетов закладывает основы для выполнения моделирования методом Монте-Карло. Процесс моделирования VaR на 5% уровне значимости включает в себя пять этапов: 1) Расчет параметров геометрического броуновского движения 2) Генерация равномерно распределенных псевдослучайных значений, находящихся в интервале от 0 до 1 3) Преобразование равномерно распределенных случайных чисел в нормальное распределение 4) Применение нормально распределенных случайных числа для моделированной доходности активов. 5) Расчет VaR на 5% уровне значимости Ниже приведены более подробные вычисления. 54 Таблица 12. Геометрическое броуновское движение Число наблюдений (день) 1780,000 Минимальная дохолность (%) -15,132% Максимальная доходность (%) 19,191% Цена портфеля (руб) 9104,080 Кол-во торговых дней в году (день) 243,000 Приращение времени в течение 1 дня 0,004 Дневная доходность портфеля (%) 0,026% Среднеквадратическое отклонение (%) 1,916% Годовая доходность (%) 6,350% Годовое СКО (%) 29,862% Ожидаемая доходность (%) 0,074% Таблица 12 показывает предварительные расчеты параметров для процесса геометрического броуновского движения. Для расчетов были использованы данные доходности портфеля №1 Приращение времени в течение одного дня рассчитывается как отношение 1/243, то есть, делим на число торговых дней в году. Далее переходим ко второму шагу процесса, который генерирует 100 рядов по 1780 наблюдений, равномерно распределенных псевдослучайных чисел между 0 и 1. Для этого необходимо выполнить уравнения (13) в Excel. В качестве начального значения для генерации случайных чисел будем использовать число 230. После генерации ряда случайных чисел был сгенерировано 100 рядов псевдослучайных чисел. Они были созданы с помощью деления соответствующего случайного числа на число (231-1), где деление на данное 55 значение производилось для избегания повторения значений псевдослучайных чисел. Далее с помощью функции НОРМСТОБР (…) преобразовали наши ряды в нормальное распределение. Также мы рассчитали среднее значение каждой строчки с помощью функции СРЗНАЧ (...). Доходность была рассчитана по формуле суммы двух произведений: ожидаемой доходности на приращение времени в течение дня и СКО на соответствующее значения ряда нормального распределения. Ниже представлен рисунок 2 с небольшой частью значений и соответствующими формулами. Рис. 2. Генерация псевдослучайных чисел Для расчета 5% VaR доходности была использована функция НАИМЕНЬШИЙ (массив доходностей; номер наблюдения, на котором заканчивается первые 5% выборки). Результаты расчетов представлены в таблице 12. Таблица 12. Расчет VaR на 5% уровне значимости. Уровень значимости Граница 5% наблюдений 5% VaR 0,95 88 -3,22796583% Стоимость портфеля Значение 5% VaR 10 000 000 322 796,583 Допустим, что сумма портфеля составляет 10 миллионов рублей. Тогда по результатам расчетов VaR будет равен 322 796,583 руб. 56 Разница между значением VaR, полученным параметрическим и непараметрическим способом, составляет 322 796,583 - 314 461=8 335,6 руб. Такая незначительная разница в результатах связана с тем, что при расчете непараметрического VaR методом Монте-Карло мы также использовали допущение о нормальности распределения. 2.7.3 Оценка ошибки параметрической модели VaR Для расчета VaR портфеля используются выборочные данные за определенный период времени. Вследствие чего необходимо оценить доверительный интервал для полученного значения VaR. По данным статистики мы определяем не истинное, а "исправленное" стандартное отклонение. Поэтому, сначала необходимо найти доверительный интервал для стандартного отклонения доходности портфеля [6]. Истинное совокупности, значение из которой математического осуществляется ожидания выборка генеральной данных, также неизвестно. По этой причине, для оценки доверительного интервала необходимо воспользоваться правилами математической статистики для случая "исправленной" дисперсии с неизвестным математическим ожиданием. Мы предполагаем, что доходность портфеля имеет нормальное распределение. Наилучшей оценкой дисперсии нормального распределения является "исправленная" дисперсия: (14) где s2 - "исправленная" дисперсия; Xi - значение случайной величины для i-ой выборки; X - среднее значение случайной величины; n - количество выборочных данных. 57 Из соотношения γ = 1 - 2α, где γ – коэффициент доверия, находим значение α, соответствующее доверительной вероятности 95%: На основе полученных данных рассчитаем доверительный интервал для VaR портфеля по формулам: (15) (16) где VaRH - нижняя граница доверительного интервала VaR; VaRв - верхняя граница доверительного интервала VaR; Рр - стоимость портфеля; z - количество стандартных отклонений, соответствующих выбранной доверительной вероятности. Расчитаем доверительный интервал VaR для выбранного нами портфеля. Из соотношения γ = 1 - 2α, находим значение α, соответствующее доверительной вероятности 95%: α= (1-0,95)/2=0,025 Возьмем количество случайных наблюдений, равное 1780. Поэтому количество степеней свободы равно 1780. По таблице квантилей распределений Х2 находим квантиль X21-α и Х2α со степенями свободы 1000: X20,975=914,26; Х20,025=1089,53 58 Верхняя граница доверительного интервала для дисперсии равна: 2 (𝑛 − 1)𝑠 = 𝑋20,975 1780 ∗ 0,00036 = 0,00039 914,26 А стандартного отклонения √0,00039 = 0,01984 Нижняя граница доверительного интервала для дисперсии равна: 2 (𝑛 − 1)𝑠 𝑋20,025 = 1780 ∗ 0,00036 = 0,00033 1089,53 А стандартного отклонения √0,00059 = 0,01819 По формулам (15) и (16) находим нижнюю и верхнюю границы доверительного интервала для VaR портфеля, при условии, что tкр=1.65: VaRн= 10 000 000*0,01819*1,65=297 000 руб. VaRв=10 000 000*0,01984*1,65=327 360 руб. Таким образом, с доверительной вероятностью 95%можно быть уверенным, что действительное значение VaR лежит в границах от 275 500 руб. до 363 440 руб. 59 Глава 3 Экономические модели прогнозирования волатильности доходности. На цены активов влияет большое количество факторов: новости, макроэкономические данные, отчеты компаний об итогах их деятельности, оценки стоимости компаний от ведущих инвестиционных фирм. Частота появления таких факторов различна. Это приводит к изменчивости доходностей активов волатильности. и характеристик Волатильность – непосредственно не наблюдается, это изменчивости статистический требуется провести доходности– показатель и оценку этого показателя по наблюдаемым данным. Исследования и работы многих ученых выявили, что финансовые временные ряды обладают специфическими особенностями, учесть которые могут определенные эконометрические модели. Модель условной гетероскедастичности (ARCH, autoregressive conditional heteroscedasticity) для оценки волатильности первым предложил использовать Р. Энгл в 1982 г. при моделировании инфляции в Великобритании [21]. Эта модель позднее была использована и для моделирования цен акций и обменных курсов. В 2003 г. Р. Энгл был удостоен Нобелевской премии по экономике совместно с К. Гренджером за методы анализа экономических временных рядов с изменяющейся во времени волатильностью [21]. Развитием модели ARCH стала модель обобщенной авторегрессионной условной гетероскедастичности (GARCH, generalized autoregressive conditional heteroscedasticity), предложенная Т. Боллерслевом в 1986 г. [18]. В настоящее время модели ARCH, GARCH и различные их модификации стали рабочим инструментом исследования временных рядов и активно используются в экономике и финансах. 60 Задачи идентификации моделей финансовых активов, оценки их параметров, и применение этих моделей для снижения риска и неопределенности привлекает повышенный интерес со стороны ученых [9]. 3.1 Наблюдаемые данные Для анализа были использованы данные по дневным доходностям оптимального портфеля №1 (см. таблицу 10) Исходные данные по ценам охватывают период с 1 января 2008 г. по 1 апреля 2015 г. В работе анализируется логарифмическая доходность портфеля. Построенный массив данных состоит из 1787 наблюдения. На рисунке 3 представлена описательная статистика доходности портфеля. Приведена оценка первых четырех значения, стандартного отклонения, кумулянтов: коэффициентов среднего асимметрии и эксцесса, а также максимальные и минимальные значения доходности портфеля. 600 Series: PORTFOLIO Sample 1 1800 Observations 1780 500 Mean Median Maximum Minimum Std. Dev. Skewness Kurtosis 400 300 200 0.000260 0.000846 0.191911 -0.151324 0.019165 -0.361143 15.62097 Jarque-Bera 11852.62 Probability 0.000000 100 0 -0.15 -0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 Рис. 3. Статистические характеристики доходности портфеля. 61 Из данного рисунка можно выявить одну из особенностей финансовых временных рядов: островершинное распределение плотности вероятности доходности, а также тяжелые хвосты [8]. Также на рисунке 4 представлен график автокорреляционной функции доходности, чье значение уже при небольших лагах не имеют значимого отличия от нуля. Доходность моделируется следующим образом: 𝑟𝑡 = 𝜇𝑡 + 𝜀𝑡 , где 𝜇𝑡 условное математическое ожидание ряда, а 𝜀𝑡 – ошибки. Для моделирования условного среднего используется модель ARMA(p,q). Для того чтобы получить представление о порядке модели ARMA для рассматриваемого ряда, изучим графики автокорреляционной и частной автокорреляционной функций (рис. 4). Рис. 4. График автокорреляционной и частной автокорреляционной функции портфеля. Исходя из рисунка 4, можно сделать вывод, что портфеля отсутствует значимая автокорреляция, и в доходности при построении 62 одномерных моделей условное среднее можно было бы представить в виде ARMA(0,0) без значительных потерь качества модели. Однако в теоретической модели авторегрессионная составляющая присутствует, и, помня о проблеме пропущенных переменных, ее необходимо включить в уравнение для средней доходности. В данной работе нет необходимости подбирать параметры ARMA модели. Ошибки 𝜀𝑡 будут моделироваться при использовании GARCH модели. 3.2. Модели оценивания изменяющейся волатильности (GARCH) В исследованиях по экономическому моделированию принято разделять нелинейные модели, учитывающие изменяющуюся дисперсию, на два вида. К первому относят модели семейства GARCH. Смысл данных моделей заключается в том, что они учитывают зависимость дисперсии не только от остатков предыдущих периодов, но и от самой лагированной дисперсии. Ко волатильность второй группе уравнением, относятся содержащие модели, описывающие дополнительный источник неопределенности. Данную категорию составляют модели стохастической волатильности (SV, stochastic volatility). Предпочтение в настоящее время чаще отдается моделям семейства GARCH и их спецификаций, поскольку процедура оценки параметров в этих моделях использует метод максимального правдоподобия и в настоящее время реализована во многих прикладных пакетах статистической обработки данных. В дальнейшем рассмотрим модели семейства GARCH, в которых временной ряд логарифма доходности финансового актива является условно нестационарным, то есть его условные математическое ожидание и дисперсия зависят от времени. GARCH-модель (Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity model) является обобщенной авторегрессионной моделью 63 условной гетероскедастичности, которая предполагает, что на текущую волатильность влияют как волатильность за предыдущий период времени, так и инновации за предыдущий период времени. Согласно данной модели GARCH(p,q), где p — порядок GARCH-членов членов и q — порядок ARCH- , расчет условной дисперсии производится по следующей формуле: (17) где ut2 – инновации, σt2 – волатильность, 𝛼, 𝛽 – коэффициенты при регрессии. Необходимое условие стационарности: (18) Безусловная дисперсия стационарного GARCH (p,q) -процесса будет постоянна и равна: (19) Говоря о GARCH, нельзя оставить без внимания факт существования многих ее модификаций. Одним из наиболее важных улучшений модели является введение ассиметричной волатильности. Такая модификация дает возможность описать различное воздействие положительных и отрицательных возмущений на волатильность в момент времени t. Асимметрия должна учитывать, что при неожиданном снижении цены на некоторую величину волатильность будет изменяться больше, чем при неожиданном увеличении цены на то же значение. Нельсон в 1990 году предложил асимметричную модель EGARCH (Exponential GARCH) [21]. EGARCH можно описать следующим уравнением: (20) 64 Пороговые модели GARCH (Threshold GARCH, TGARCH) также принадлежит к классу ассиметричных моделей. Она была предложена предложена Закояном в 1991 году и независимо от него Глостеном, Джаганнатаном и Ранклом в 1993 году (последнюю модель обозначают по именам авторов GJR-GARCH) [21]. Отличие этих двух моделей заключается лишь в том, что модель Закояна использует условные стандартные отклонения, а модель GJR — условную дисперсию. Эти модели можно представить следующим образом: (21) где It– функция индикатор, также для модели Закояна модели GJR — , а для . Фактически в моделях предполагаются разные коэффициенты для отрицательных и положительных прошлых значений ряда, поэтому иногда TGARCH-модель представляют также в следующем виде: (22) где . Основным преимуществом нелинейных моделей является тот факт, что они позволяют улавливать стилизованные факты, демонстрируемые временными рядами, такие как асимметричное влияние шоков разных знаков, тяжелые хвосты распределений и отрицательную корреляцию волатильности и случайных шоков доходности, что имеет большое значение при анализе рынков и построении прогнозов [12]. 65 3.3 Экономические модели для ряда доходности портфеля В настоящей работе модели семейства GARCH используются для исследования статистических характеристик и построения эконометрических моделей дневных доходностей оптимального портфеля № 1 (см. таблица 10). Подбор параметров для эконометрических моделей доходностей проводился методом максимального правдоподобия отдельно для классов моделей AR(p)-GARCH(P,Q), TARCH(P,Q) и EGARCH(P,Q). Критериями для выбора порядков моделей являлись значения информационных критериев Акаике (AIC), Шварца (BIC) и Ханнана-Куинна (HQ). Использовалось условие, что чем меньше значения информационных критериев, тем лучше модель. Также, после построения прогнозного значения волатильности, качество прогноза будет оценено по показателю: корень квадратный из среднеквадратической ошибки прогнозирования (RMSE). Этот показатель рассчитывается по следующей формуле: 2 1 𝑅𝑀𝑆𝐸𝑖ℎ = √ ∑ℎ𝑖=1(𝑦̂𝑖,𝑡 − 𝑦𝑖,𝑡 ) , ℎ где 𝑅𝑀𝑆𝐸𝑖ℎ -корень из среднеквадратического (23) отклонения для i-го временного ряд в момент времени t, 𝑦𝑖,𝑡 -фактическое значения для i-го ряда в момент времени t, 𝑦̂𝑖,𝑡 -прогнозное значение i-го ряд в момент времени t, hдлина интервала прогнозирования. Модель построена с использованием эконометрического пакета Eviews. Результаты моделирования Идентификация параметров моделей проводилась по данным исторических суточных доходностей портфеля на выборке из 1000 наблюдений (то есть на первой половине общей выборки). В случае предположения о нормальном распределении доходностей, лучшие результаты продемонстрировали модели с авторегресионным порядком p=1. 66 Для моделей TGARCH наиболее оптимальное пороговое значение оказалось равным 1, а для моделей EGARCH значение асимметрии, равное 1. Ниже представлена таблица со значениями информационных критериев для наилучших моделей: Таблица 13. Значение информационных критериев для семейства моделей GARCH Garch AIC BIC HQ EGarch AIC BIC HQ TGarch AIC BIC HQ Garch(3,3) -5,272 -5,228 -5,256 EGarch(4,3) -5,288 -5,234 -5,267 TGarch(4,3) -5,291 -5,237 -5,271 Garch(2,4) -5,261 -5,217 -5,245 EGarch(3,4) -5,285 -5,231 -5,265 TGarch(3,3) -5,282 -5,233 -5,264 Garch(5,3) -5,265 -5,211 -5,244 EGarch(1,1) -5,248 -5,218 -5,236 TGarch(4,2) -5,280 -5,231 -5,261 Garch(5,1) -5,262 -5,213 -5,243 EGarch(4,1) -5,260 -5,216 -5,244 TGarch(5,2) -5,283 -5,229 -5,263 Garch(3,5) -5,263 -5,209 -5,242 EGarch(1,5) -5,265 -5,216 -5,246 TGarch(2,4) -5,277 -5,228 -5,258 Garch(4,5) -5,265 -5,206 -5,242 EGarch(1,2) -5,250 -5,215 -5,237 TGarch(4,1) -5,269 -5,225 -5,253 Garch(3,4) -5,260 -5,211 -5,241 EGarch(2,4) -5,263 -5,214 -5,245 TGarch(1,1) -5,254 -5,225 -5,243 Garch(4,4) -5,262 -5,208 -5,241 EGarch(2,2) -5,253 -5,214 -5,238 TGarch(5,1) -5,273 -5,224 -5,254 Garch(2,5) -5,260 -5,211 -5,241 EGarch(4,2) -5,263 -5,214 -5,244 TGarch(2,1) -5,258 -5,223 -5,245 Garch(4,1) -5,254 -5,215 -5,239 EGarch(2,1) -5,248 -5,213 -5,234 TGarch(3,4) -5,276 -5,222 -5,256 Garch(5,4) -5,261 -5,202 -5,238 EGarch(3,1) -5,251 -5,212 -5,236 TGarch(2,5) -5,276 -5,222 -5,255 Garch(5,5) -5,262 -5,198 -5,237 EGarch(1,3) -5,250 -5,211 -5,235 TGarch(5,3) -5,280 -5,221 -5,258 Garch(1,5) -5,252 -5,208 -5,235 EGarch(3,5) -5,270 -5,211 -5,248 TGarch(1,2) -5,255 -5,221 -5,242 Garch(2,2) -5,248 -5,213 -5,234 EGarch(3,2) -5,255 -5,211 -5,238 TGarch(1,3) -5,257 -5,217 -5,242 Garch(4,3) -5,253 -5,204 -5,234 EGarch(5,1) -5,259 -5,210 -5,240 TGarch(3,1) -5,256 -5,217 -5,241 Garch(1,1) -5,243 -5,218 -5,233 EGarch(1,4) -5,254 -5,210 -5,237 TGarch(4,4) -5,276 -5,217 -5,254 Garch(1,4) -5,248 -5,208 -5,233 EGarch(2,5) -5,264 -5,210 -5,243 TGarch(3,2) -5,261 -5,217 -5,244 Garch(3,1) -5,246 -5,211 -5,233 EGarch(5,3) -5,265 -5,206 -5,243 TGarch(1,5) -5,265 -5,216 -5,247 Garch(2,3) -5,245 -5,206 -5,231 EGarch(3,3) -5,253 -5,204 -5,235 TGarch(2,2) -5,256 -5,216 -5,241 Garch(1,2) -5,241 -5,212 -5,230 EGarch(4,4) -5,260 -5,201 -5,237 TGarch(3,5) -5,275 -5,216 -5,252 Garch(2,1) -5,241 -5,211 -5,230 EGarch(2,3) -5,243 -5,199 -5,226 TGarch(1,4) -5,258 -5,214 -5,241 Garch(3,1) -5,243 -5,204 -5,228 EGarch(5,2) -5,251 -5,197 -5,231 TGarch(5,4) -5,276 -5,212 -5,252 Garch(1,3) -5,240 -5,206 -5,227 EGarch(5,4) -5,257 -5,194 -5,233 TGarch(2,3) -5,255 -5,211 -5,239 Garch(4,2) -5,241 -5,197 -5,224 EGarch(5,5) -5,258 -5,190 -5,232 TGarch(4,5) -5,273 -5,209 -5,249 Garch(5,2) -5,241 -5,192 -5,223 EGarch(4,5) -5,250 -5,187 -5,226 TGarch(5,5) -5,277 -5,208 -5,251 Garch(0,5) -5,213 -5,174 -5,198 EGarch(0,5) -5,143 -5,099 -5,126 TGarch(0,5) -5,212 -5,168 -5,195 Garch(0,4) -5,189 -5,154 -5,176 EGarch(0,3) -5,107 -5,073 -5,094 TGarch(0,4) -5,192 -5,153 -5,177 Garch(0,3) -5,184 -5,154 -5,172 EGarch(0,4) -5,106 -5,066 -5,091 TGarch(0,3) -5,186 -5,152 -5,173 Garch(0,2) -5,129 -5,105 -5,120 EGarch(0,2) -5,046 -5,017 -5,035 TGarch(0,2) -5,133 -5,104 -5,122 Garch(0,1) -5,017 -4,997 -5,009 EGarch(0,1) -5,017 -4,992 -5,008 TGarch(0,1) -5,017 -4,992 -5,008 В каждой из приведенных выше моделей, коэффициенты регрессии были близки по величине и отличаются от нуля на 5% уровне значимости 67 (Приложение 4). Наиболее оптимальной моделью, согласно значениям информационных критериев, является AR(1)-TGARCH (4,3). Это доказывает тот факт, что внутривыборочная нелинейная подгонка лучше подгонки линейной проекции, так как линейная проекция является ограниченной версией нелинейной модели [24]. Проверим модель AR(1)-TGARCH (4,3) на нормальность с помощью статистики Jargue-Bera. Гистограмма остатков представлена на рисунке 5. 240 Series: Standardized Residuals Sample 2 1000 Observations 999 200 160 120 80 40 Mean Median Maximum Minimum Std. Dev. Skewness Kurtosis -0.010829 0.015302 5.566366 -5.723736 1.009191 -0.287118 5.982835 Jarque-Bera Probability 384.0760 0.000000 0 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 Рис. 5. Гистограмма остатков для модели AR(1)-TGARCH (4,3) Нулевая гипотеза о нормальности отвергается. Высокое значение коэффициентов эксцесса и высокое значение статистики Jarque-Bera говорит о том, что моделирование ошибок с помощью TGARCH модели не достаточно, чтобы учесть эффект толстых хвостов для данного ряда. Далее, на рисунке 6,представлены графики оценок волатильности доходности AR(1)-TGARCH (4,3). Можно отметить, что в период острой фазы кризиса с сентября 2008 года по январь 2009 года (то есть с 160 по 240 наблюдение) наблюдался доходностей портфеля. резкий скачек волатильности суточных 68 .10 .08 .06 .04 .02 .00 250 500 750 1000 1250 1500 1750 Conditional standard deviation Рис. 6. Оценка волатильности портфеля в модели AR(1)– TGARCH(4,3). .00032 .00028 .00024 .00020 .00016 .00012 .00008 1700 1710 1720 1730 1740 1750 1760 1770 1780 1790 1800 Forecast of Variance Рис. 6. Прогноз волатильности портфеля в модели AR(1)-TGARCH (4,3). 69 Прогнозные значения волатильности однодневной доходности портфеля для моделей AR(1)-TGARCH (4,3) следующих торговых дней представлены на рисунке 7. Было спрогнозировано с 1780 по 1800 наблюдение. Модель TGARCH позволяет сделать успешный прогноз для горизонта не более чем для 20 рабочих дней [1]. Отметим, что в целом прогноз на некоторое увеличение волатильности в данной модели сохраняется. Выше уже упоминалось, что финансовые ряды обычно характеризуются большой величиной коэффициента эксцесса. Тяжелые хвосты не улавливаются моделью GARCH, и это проявляется в том, что стандартизированные инновации модели все еще характеризуются большой величиной коэффициента эксцеса. Таким образом, не выполняется одно из предположений модели GARCH о том, что ошибки условно по предыстории имеют нормальное распределение. В этом случае возникают трудности при использовании метода максимального правдоподобия. Альтернативой здесь может служить явное предположение об ином виде распределения ошибок. Часто вместо нормального распределения используют распределение Cтьюдента, поскольку это распределение при малых степенях свободы имеет большой коэффициент эксцесса. При этом количество степеней свободы ν рассматривается как неизвестный параметр, причем, непрерывный. Будем обозначать такую модель как GARCH-t Далее оцениваем модель, в которой случайное слагаемое распределено по Стьюденту. Возьмем три оптимальные спецификации, найденные ранее: AR(1) – GARCH (3,3)-t, EGARCH (4,3)-t, TGARCH (4,3)-t. Результаты оценок сведены в таблицу 14. 70 Таблица 14. Значение информационных критериев для семейства моделей GARCH-t Garch-t AIC BIC HQ Garch(3,3)-t -5.347 5.298 -5.328 EGarch-t AIC BIC HQ EGarch(4,3)-t -5.356 -5.297 -5.334 TGarch-t TGarch(4,3) AIC BIC HQ -5.373 -5.314 -5.351 Оценки во всех трех моделях отличаются от нуля на 5% уровне значимости (Приложение 5). Согласно таблице 14, для распределения Стьюдента, как и для нормального распределения, наиболее оптимальной моделью является TGarch AR(1)-TGARCH Однако, (4,3)-t. значение информационных критериев при использовании распределения Стьюдента ниже, чем при использовании нормального распределения. Можно сделать вывод, что распределение Стьюдента лучше описывает модель. Следует отметить, что хотя на рисунке 8 гистограмма полученного процесса близка к плотности распределения Стьюдента, но гипотеза о том, что полученный ряд описывается t-распределением Стьюдента, с числом степеней свободы, равном v= 4,5 отвергается по критерию КолмогороваСмирнова на 5% уровне значимости. 240 Series: Standardized Residuals Sample 2 1000 Observations 999 200 Mean Median Maximum Minimum Std. Dev. Skewness Kurtosis 160 120 80 40 Jarque-Bera Probability -0.025275 0.000439 5.547302 -5.601139 0.991553 -0.288615 6.326104 474.3653 0.000000 0 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 Рис. 8. Гистограмма остатков AR(1)-TGARCH (4,3)-t 71 Далее представлены графики оценок волатильности доходности AR(1)-TGARCH (4,3)-t на рисунке 9. .12 .10 .08 .06 .04 .02 .00 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 Conditional standard deviation Рис. 9. Оценка волатильности портфеля в модели AR(1)– TGARCH(4,3) -t .0007 .0006 .0005 .0004 .0003 .0002 .0001 .0000 1700 1710 1720 1730 1740 1750 1760 1770 1780 1790 1800 Forecast of Variance Рис. 10. Прогноз волатильности портфеля в модели AR(1)-TGARCH (4,3)-t. 72 Прогнозные значения волатильности однодневной доходности портфеля для моделей AR(1)-TGARCH (4,3) -t следующих торговых дней представлены на рисунке 10. Было спрогнозировано с 1780 по 1800 наблюдение. Отметим, что в целом прогноз на некоторое увеличение волатильности в модели AR(1)-TGARCH (4,3) -t, как и в модели AR(1)TGARCH (4,3) сохраняется. И завершающим шагом в исследованиях GARCH и GARCH-t моделях стало сопоставление величин ошибок прогноза, которые приведены в таблице 15. Лучшим считается прогноз, у которого RMSE ниже. Таблица 15. Статистика качества прогноза Root Mean Square Error (RMSE) RMSE AR(1)-TGARCH (4,3) AR(1)-TGARCH (4,3) -t 0,021963 0,021982 Несмотря на то, что лучшей моделью по критериям Акаике (AIC), Шварца (BIC) и Ханнана-Куинна (HQ) является модель AR(1)-TGARCH (4,3) –t, наилучшая статистики качества оказались у прогноза, построенного по модели AR(1)-TGARCH (4,3). При этом их прогнозы значимо не отличаются. 73 Заключение В настоящей работе исследованы вопросы, связанные с формированием, управлением портфелем ценных бумаг и прогнозированием его волатильности. Для анализа были использованы данные по дневным доходностям фондовых индексов 15-ти компаний, относящихся к числу «голубых фишек». Исходные данные по ценам охватывают период с 1 января 2008 г. по 1 апреля 2015 г. Показано, что для данных рядов финансовых временных характерны рядов - негауссовость, все особенности тяжелые хвосты, кластеризация, левередж, долгая память. Рассчитаны коэффициенты корреляции цен и доходностей. В результате данного исследования, была выявлена высокая корреляционная связь не только между компаниями из одной отрасли, но и другими ведущими компаниями, работающими на разных рынках. Данная тенденция на российском рынке ценных бумаг означает, что компании зависимы друг от друга, то есть реагируют одинаково на происходящее в экономике и в мире. Проведен коинтеграционный анализ с использованием теста Йохансена. Было выявлено две пары акций, имеющие коинтеграционные связи, наличие которых было доказано статистикой следа и статистикой максимального собственного значения. Коинтегрированность данных показателей была учтена при составлении ряда оптимальных портфелей с помощью модели Марковица. В основу принципов формирования современного портфеля положена портфельная теория Марковца. Она предполагает подбор долей ценных бумаг в инвестиционный портфель по такому принципу, чтобы была минимизирована дисперсия доходностей (риск портфеля). На основе показателей корреляции и коинтеграции было составлено 10 оптимальных 74 портфелей, содержащих разный набор акций. Для дальнейшего анализа выбран портфель с максимальной доходностью и умеренным уровнем риска. В рамках работы была рассмотрена модель CAPM, рассчитаны бета активов и бета для 10 оптимальных портфелей. Также, на основе полученных показателей, был выбран наилучший портфель и результат сравнен с моделью Марковица. Согласно модели Марковица, был выбран оптимальный портфель с наибольшей доходностью. Коэффициент бета для него также был одним из самых наименьших, тем самым, он не противоречил данному выбору. Представляет интерес определение рыночного риска портфеля. Для его определения был рассчитан VaR-фактор с помощью параметрического метода и с применением метода Монте-Карло. Значение VaR позволило сказать, сколько может потерять денежных средств за период портфель с заданной доверительной вероятностью. В данной работе был рассчитан VaR для указанного портфеля. Была получена незначительная разница между значением VaR, полученным параметрическим и непараметрическим способом. В работе были построены доходности индексов акций для эконометрические классов модели дневной моделей GARCH, TARCH и EGARCH. С помощью информационных критериев был найден оптимальный класс и порядок модели. В случае предположения о нормальном распределении доходностей, как и о распределении Стьюдента, оптимальной моделью является AR(1) - TGARCH (4,3). К сожалению, нулевая гипотеза о нормальности данной модели была отвергнуто из-за высокого значения статистики Jarque-Bera. распределение Аналогично Стьюдента была отвергнута гипотеза о по критерию Колмогорова-Смирнова на 5% уровне значимости. Но не смотрю на это, для обоих распределений были 75 найдены оценки изменяющейся условной волатильности на интервале наблюдения и были построены прогнозные значения волатильности. Результаты показали, что не стоит ограничиваться часто используемым нормальным распределением. Использование t-распределения Стьюдента дает лучший результат согласно информационным критериям. Впоследствии данное исследование может быть продолжено посредством увеличения числа акций с длинной историей. Кроме того, представляет интерес больше внимание уделить механизмам подбора акций для портфеля, стратегиям управления портфелем (пассивной и активной). Также существуют более продвинутые методики для расчёта VAR фактора, которые позволят рассчитывать рыночный риск портфеля для портфелей, включающих опционы и прочие сложные инструменты. Формирование такого портфеля само по себе представляет интерес. Ещё было бы интересно построить портфель, исходя из предпосылки, что распределение доходностей не является нормальным, рассчитать коэффициенты, асимметрию и эксцесс распределения доходностей. учитывающие 76 Список литературы. Учебные и научные издания на русском языке 1. Ананьев М.А. Митин Н.А. Сравнение линейных и неоинейных авторегрессионных моделей условной гетероскедастичности на примере доходности индекс РТС, 2013 2. Астапов, К.Л. Фондовый рынок как механизм стимулирования развития российской экономики/ К.Л. Астапов // Финансы. – 2010. - №10. – С. 60 – 64; 3. Бархатов В. И. Эволюционный анализ портфельных теорий и теорий риска.:Вестник Челябинского государственного университета № 5 (186), 2010. – 52-54 с. 4. Бланк И.А. Инвестиционный менеджмент: Учебный курс. – К.: Эльга-Н, Ника-центр, 2002. – 440 с. 5. Брейли Р., Майерс С. Принципыкорпоративных финансов. Перевод с англ-М.: ЗАО "Олимп-Бизнес", 2010 6. Буренин А.Н. Задачи с решениями по рынку ценных бумаг, срочному рынку и риск-менеджменту - М., Научно-техническое общество имени академика С.И. Вавилова, 2009. – 375 с. 7. Буренин А.Н. Управление портфелем ценных бумаг - М., Научнотехническое общество имени академика С.И. Вавилова, 2008. – 440 с. 8. Малахов А.Н. Кумулянтный анализ случайных негауссовых процессов и их преобразования. – М.: Сов. радио, 1978. 9. Силаева, В.А. Эконометрические модели оценивания волатильности доходности фондовых индексов. ПрепринтP1/2010/01 / В.А. Силаева, А.М. Cилаев– Нижний Новгород: НФ ГУ ВШЭ, 2010. – 46 с. 10. Шарп У.Ф., Александер Г.Дж., Бэйли Д.В. Инвестиции. М.: Инфра-М, 2001. 77 11. Шведов, А.С. Теория эффективных портфелей ценных бумаг / А.С.Шведов – М.: ГУ ВШЭ, 1999. – 144 с. 12. Шепард Н. истохастическая Статистические аспекты волатильность// моделей Обозрение типа ARCH прикладной и промышленной математики. 1996. Т. 3. Вып. 6. С. 764 – 826. 13. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Т. 1. Факты. Модели. – М.: «ФАЗИС», 1998. 14. Канторович Г.Г. Анализ временных рядов// Экономический журнал ВШЭ. 2003. №1 15. Рынок ценных бумаг: Инструменты и механизмы функционирования: учебное пособие / А.Г.Ивасенко, Я.И.Никонова, В.А.Павленко. – 4-е издание, стер. – М. : КНОРУС, 2008. – 272 с. Учебные и научные издания на иностранных языках 16. Bailey J., Alexander G., Sharpe W. Investments, 6th Edition. Prentice Hall, 1998. 17. Bodie Z., Marcus A., Kane A. Essentials of Investments, 4th edition. McGrawHill, 2001. 18. Bollerslev T., Chou R., Kroner K. ARCHmodeling in finance: A review of the theory and empirical evidence // Journal of Econometrics. 1992. Vol. 52. No. 1-2. Pp. 5 – 59. 19. Cheung, Yun Hsing and Powell, Robert J ., Anybody can do Value at Risk: A Teaching Study using Parametric Computation and Monte Carlo Simulation, Australasian Accounting , Business and Finance Journal, 6(5), 2012, 101-118. 20. Ding Z., Granger C. Modeling volatility persistence of speculative returns: a new approach // Journal of Econometrics. 1996. Vol. 73. Pp. 185 – 215 21. Engle R.F. Autoregressive conditional heteroscedasticity with estimates of variance of United Kingdom inflation // Econometrica. 1982. Vol.50. Pp. 987 – 1008. 78 22. Markowitz H., Portfolio Selection: Efficient Diversification of Investments, 1959. 23. Markowitz H., Portfolio Selection. The Journal of Finance, 1952, pp. 77-91. 24. Stock, J. & M. Watson (2006). Forecasting with many predictors. Глава в G. Elliott, C. Granger, A. Timmermann, K. Arrow & M. Intriligator (eds.). Handbook of economic forecasting. Eslevier: North Holland Интернет-источники 25. База расчета Индекса голубых фишек (действует с 18 марта по 16 июня 2014 года) //URL: http://moex.com/s900 26. Информация о «голубых фишках» США //URL: http://www.bloombexoptions.com/AssetIndex?lang=ru 27. Котировки/ Официальный сайт холдинга Финама. [Электронный ресурс]. – 2011-2014. //URL: www.finam.ru/ 28. Козырев, М. Картельные сговоры в экономике [Электронный ресурс] // URL: http://www.forbes.ru/forbes/issue/2004-07/20026-kartelnye-sgovory-v- ekonomike 29. Московская биржа. //URL:http://rts.micex.ru/ 30. Обзор нефтяного сектора 2013. //URL: http://www.lifebroker.ru/assets/files/Daily2012/%20%D1%81%D0%B5%D0% BA%D1%82%D0%BE%D1%802013.pdf 31. Официальный сайт ОАО «Банк ВТБ»// URL: http://www.vtb.ru/ 32. Официальный сайт ОАО «Газпром»// URL: http://www.gazprom.ru/ 33. Официальный сайт ОАО «Лукойл»// URL: http://www.lukoil.ru/ 34. Официальный сайт ОАО «НК Роснефть»// URL: http://www.rosneft.ru/ 35. Официальный сайт ОАО «Сбербанк России»// URL: https://www.sberbank.ru/ 36. Прикладная корреляция. //URL: http://www.russiantrader.com/forums/content/99%CF%F0%E8%EA%EB%E0 79 %E4%ED%E0%FF%EA%EE%F0%F0%E5%EB%FF%F6%E8%FF 37. Различия американского и российского фондового рынков. // URL: http://www.vostok-invest.ru/files/amerikanskij_fondovyj_rynok.pdf 38. Сухова, О. Организация рынка ценных бумаг США [Электронный ресурс]// РЦБ Архив 1998/2004. URL: http://old.rcb.ru/archive/articles.asp?id=990 (дата обращения: 07.03.2013); 39. Сравнительный анализ мировых фондовых бирж. //URL: http://www.ey.com/Publication/vwLUAssets/Comparing-global-stockexchanges-rus-2012/$FILE/Comparing-global-stock-exchanges-rus-2012.pdf 40. Фондовый рынок США/ Ekonomyks. //URL: http://ekonomyks.ru/01/09/1_fondovyiy_rynok_ssha.php 41. Формирование инвестиционного финансы портфеля// и Мировая экономика, инвестиции. //URL: http://www.globfin.ru/articles/finance/invest.htm 42. Энциклопедия экономиста. //URL: http://www.grandars.ru/ – Загл. с экрана. 43. Эффективный портфель по Марковицу. //URL: http://traderobots.ru/lab/stocks/43-efportfolio 44. Энциклопедия экономиста. //URL: http://www.grandars.ru/ 45. Companies in the Dow Jones Industrial Average. //URL: http://money.cnn.com/data/dow30/ 46. Historical components of the Dow Jones Industrial Average. //URL: http://en.wikipedia.org/wiki/Historical_components_of_the_Dow_Jones_Indus trial_Average
