ВНЕУРОЧНЫЕ ЗАНЯТИЯ «ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА»
advertisement
ВНЕУРОЧНЫЕ ЗАНЯТИЯ «ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА» ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН № п/п Тема Цели Содержание 1 2 3 4 1 Вводное занятие. Что дала математика людям? Зачем её изучать? Когда она родилась и что явилось причиной её возникновения? Показать практическую значимость математики; познакомить с еë историей; учить мыслить, слушать, запоминать Что дала людям математика? Зачем её изучать? Когда родилась и что явилось причиной её возникновения. Упражнения, задания, задачи Старинные системы записи чисел Расширить познания об истории математики; развивать внимание, память, воображение, логику мышления Когда появилась единичная система счисления? Разминка математическая. Задачи Иероглифическая система древних египтян Познакомить с иероглифической системой египтян; учить логически мыслить, управлять своим мышлением Что вы знаете о иероглифической системе древних египтян. Откуда мы узнали о тайне древнеегипетского счета? 4 Римские цифры Учить решать занимательные задачи, рассуждать, развивать мышление Иероглифы, символы чисел. Задачи логического и занимательного характера 5 Познакомить с римскими цифрами. Научить их Римские цифры. Как читать. Учить решать читать римские цифры? задачи логического характера, делать анализ и синтез задач 6 Другие иероглифические системы. Упражнения, задания, задачи 2 3 Познакомить с другими иероглифическими системами. Развивать память, мышление, умение решать логические задачи Как записываются римские цифры Запись чисел в десятичной системе. Упражнения, задания, задачи 7. 8 9 10 11 12 Алфавитные системы Из истории цифр Математика Древнего Востока. Древний Египет Первые учебники Познакомить с алфавитными системами; развитие памяти, мышления, умения анализировать; уметь логически мыслить. Познакомить с историей цифр; развивать пространственное мышление, математическую любознательность. Познакомить с математикой Древнего Египта; учить рассуждать, мыслить последовательно, доказательно. Познакомить с историей возникновения первых учебников; учить детей рассуждать; мыслить последовательно, доказательно. Учить мыслить последовательно, Методы вычислений. Простейшие уравнения доказательно; отстаивать с одним неизвестным свою точку зрения. Математика в Древнем Китае 13 Арифметика в Китае 14 Античная математика Познакомить с развитием математики древних цивилизаций; учить детей рассуждать; развивать математическое мышление Познакомить с развитием математики в Китае; развивать пространственное мышление; воспитывать математическую любознательность детей. Познакомить с Алфавитная система. Кто ею пользовался.Запись чисел с помощью алфавитной системы Из истории цифр. Упражнения, задания, задачи Развитие математики в Древнем Египте. Как была изобретена геометрия. Упражнения, задания, задачи История возникновения первых учебников. Папирус. «Кожаный свиток египетской математики» Правила счета древних египтян. Древние математические папирусы. Упражнения, задания, задачи Математические тексты Древнего Китая. Упражнения, задания, задачи Китайская нумерация. Иероглифическая форма обозначения чисел. Числовые таблицы. Дроби. Введение отрицательных чисел. античной Культурная революция математикой; учить детей в Греции. Упражнения, рассуждать; развивать задания, задачи математическое мышление. 1. ЧТО ДАЛА МАТЕМАТИКА ЛЮДЯМ? ЗАЧЕМ ЕЁ ИЗУЧАТЬ? КОГДА ОНА РОДИЛАСЬ, И ЧТО ЯВИЛОСЬ ПРИЧИНОЙ ЕЁ ВОЗНИКНОВЕНИЯ? Цель: показать практическую значимость математики, познакомить с историей развития. Ход занятия Актуализация опорных знаний. (Знаю.) З а д а н и я. Разделитесь на три группы и ответьте на вопросы: – Что дала людям математика? – Зачем ее изучать? – Когда она родилась и, что явилось причиной её возникновения? (Дети рассказывают друг другу, записывают главные мысли, выбирают консультанта, и он выступает от данной группы с выводами по этим вопросам.) Стадия осмысления содержания. Рассказ учителя. По поводу древности математики никто не спорит, а вот о том, что же побудило людей заниматься ею, существует много мнений. Одно из них: математика, так же как поэзия, живопись, музыка, театр и вообще – искусство, была вызвана к жизни духовными потребностями человека, его, быть может, не до конца осознанным еще стремлением к познанию и красоте. В истории науки принято называть первым математиком Фалеса – греческого купца, путешественника и философа (он родился в VII веке до н. э.). Конечно, существуют более ранние египетские и вавилонские источники, содержащие разнообразные арифметические и геометрические сведения, но в них нет ещё намека на доказательства. Фалесу же приписывают первые математические теоремы. Кстати, Фалес не был только «чистым» математиком, он решал и прикладные задачи. Изменив тень от египетской пирамиды и тень от шеста, и применив свои теоремы о подобии, он вычислил высоту пирамиды. Так, по легенде, родилась наша наука – математика. В прежние времена, вплоть до конца XIX столетия, математикой занимались немногие. Сейчас ей посвящают жизнь десятки, а возможно, и сотни тысяч людей. Одних вдохновляет прикладной аспект науки, других – её внутренняя красота и гармония, а третьих привлекает и то и другое. «Красота? Какая еще красота, – с недоумением спросит ученик, не полюбивший ещё этот предмет. – Искусство – совсем другое дело!» Мы не удивляемся, когда волшебная сила искусства заставляет рыдать человека. Но математика? Послушайте рассказ одного человека, современника Шекспира, об истории своего открытия. «Восемь месяцев тому назад передо мной блеснул луч света, за три месяца увидел я день, и наконец, совсем недавно я смог увидеть лучезарное солнце… Я похитил золотые сосуды египтян, чтобы создать храм моему божеству вдали от пределов Египта ... Жребий брошен, я пишу книгу. Прочтется ли она моими современниками или потомством – мне все равно – она найдет своего читателя. Разве господь Бог не ожидал шесть тысяч лет созерцателя Своего творения?» Кто пишет это восторженное послание? И что произошло? Пишет великий ученый, который всю жизнь характеризовал себя только одним словом – «математик Иоганн Кеплер». Зрелище, представшее пред ним, – не театральные подмостки, а сама Вселенная, хранящая множество тайн. И одна из них в результате титанических усилий Кеплера вдруг открылась ему. Теперь она известна всему культурному миру как третий закон Кеплера: квадрат отношения периодов обращения двух планет равен кубу отношения длин больших полуосей их орбит. Можно спросить: «Что ему орбиты, чтобы так ликовать?» Ответ находим у другого великого мыслителя, Альберта Эйнштейна: «Ощущение тайны – наиболее прекрасное из доступных нам переживаний. Именно это чувство стоит у колыбели истинного искусства и настоящей науки». Не всем дано испытать это чувство, этот восторг и это счастье зрителя Мироздания и страсть творца, но их происхождение то же, что у актера, рыдающего после удачно сыгранной и давно желанной роли: непостижимое свойство человека – стремление к познанию и восхищение гармонией. Но математика – это не только вдохновение и восхищение тех, кто способен оценить ее достижения. Её история переполнена и драматическими событиями. Нередко первооткрыватели опережали свое время и не встречали понимания у современников. Так было с открытием в XIX в. неевклидовой геометрии – одним из фундаментальных достижений науки, которое стало основой для всей современной физики; выдающийся русский ученый Николай Иванович Лобачевский умер непризнанным и неоцененным. На вопрос: «Для чего изучают математику?» – замечательно ответил ещё в XIII веке английский философ и естествоиспытатель Роджер Бэкон: «Тот, кто не знает математики, не может узнать никакой другой науки и даже не может обнаружить своего невежества». Не правда ли, хорошо сказано! Р а з м и н к а «Думаем!». 1. На что похожа половинка яблока? 2. Можно ли в решете принести воды? 3. Что находится между городом и селом? 4. Что можно увидеть с закрытыми глазами? 5. У семерых братьев по сестре. Сколько всего сестер? 6. Сын моего отца, а мне не брат. Кто это? 7. По чему часто ходят и никогда не ездят? 8. Как далеко в лес может забежать заяц? 9. Как можно прочесть слово «загадка»? 10. Что летит быстрее стрелы? О т в е т ы: 1. На вторую половину; 2. Можно, когда она замерзает; 3. Союз и. 4. Сон;. 5. Одна. 6. Я сам; 7. По лестнице; 8. До середины леса, дальше он уже выбегает из леса; 9. Только слева направо; 10. Мысль. Засеките время, за которое время вы справитесь с этим заданием. Д о п и ш и т е недостающее число: ? 1 8 13 2 4 ? 10 2 1 7 4 З а д а ч и и з а д а н и е. З а д а ч а 1. В первый день путешественники проехали 40 километров, а во второй – 45 километров. Но из-за ремонта дороги им пришлось на 15 километров вернуться назад. Сколько всего километров они проехали за два дня? Решение Малыши-коротыши проехали 100 километров за два дня (40 + 45 + 15 = 100). З а д а ч а 2. В школе-интернате 800 учащихся. Пятая часть всех учеников отправится путешествовать, половина из них едет по «Золотому кольцу». Сколько детей едет по «Золотому кольцу»? Решение (800: 5) : 2 = 80 уч. – едет по « Золотому кольцу». Это интересно! З а д а н и е. Проведите на этих четырех геометрических фигурах всего по одной линии, чтобы из них образовались буквы. Они составят название одного из видов спорта. Решение Стадия рефлексии. – Какое задание вам показалось трудное? – Почему вам было трудно? – А что вам было интересно? – Кто был первым математиком? – Почему именно Фалес? – Как он вычислил высоту египетской пирамиды? – Что это за «третий закон Кеплера»? – Кто замечательно ответил на в о п р о с: «Для чего изучают математику?» Что он сказал по этому поводу? Скажите это своим друзьям. 2.СТАРИННЫЕ СИСТЕМЫ ЗАПИСИ ЧИСЕЛ. УПРАЖНЕНИЯ, ИГРЫ, ЗАДАЧИ Цели: расширить познания об истории; развивать внимание, память, воображение, логику мышления. Ход занятия Стадия вызова. – Когда появилась единичная система счисления? – Для чего она была нужна? Какой вы знаете счет? (Выслушать все ответы детей. Сделать вывод из сказанного детьми.) Стадия осмысления содержания. Рассказ учителя. Память человечества не сохранила, не донесла до нас имя изобретателя колеса или гончарного круга. Это и неудивительно: более 10 тысяч лет прошло с тех пор, как люди всерьез занялись земледелием, скотоводством и производством простейших товаров. Назвать же имя гения, впервые задавшегося вопросом « сколько?», тем более невозможно. В каменном веке, когда люди собирали плоды, ловили рыбу и охотились на животных, потребность в счете возникла так же естественно, как и потребность в добывании огня. Об этом свидетельствуют находки археологов на стоянках первобытных людей. Например, в 1937 году в Вестонице (Моравия) на месте одной из таких стоянок была найдена кость с 55 глубокими зарубками. Позже и в других местах находили столь же древние каменные предметы с точками и черточками, сгруппированными по три или по пять. Такая система записи чисел называется единичной, так как любое число в ней образуется путем повторения одного знака, символизирующего единицу. Группировки и вспомогательные значки используются лишь для облегчения восприятия больших чисел. Единичная система счисления первобытных людей, рисовавших палочки на стенах пещеры или делавших зарубки на костях животных и ветках деревьев, не забыта и по сей день. Как узнать, на каком курсе учится курсант военного училища? Сосчитайте, сколько полосок нашито на рукаве мундира. На Кубе на форме девочек на юбке, нашито столько полос, на каком курсе она учится. О количестве самолетов противника, сбитых асом в воздушных боях, говорит число звездочек, нарисованных на фюзеляже его самолета. Поштучно считать предметы удобно тогда, когда их не очень много. Пересчитывать же таким образом большие совокупности скучно и утомительно, поэтому возникла идея объединять единицы в группы. Появился счет пятерками, десятками, двадцатками – по количеству пальцев рук и ног «счетовода». Р а з м и н к а. 1) 4 крыла, а не бабочка. Крыльями машет, а ни с места. Что это такое? 2) Имеет 4 зуба. Каждый день появляется за столом, а ничего не ест. Что это? 3) Для пяти мальчиков пятеро чуланчиков, а выход один. Что это? 4) 1 ствол, много ветвей, а на веточках много гостей. 5) Что становится легче, когда его надувают? 6) 3 брата по одной дорожке бегут. 1 впереди, а 2 – позади: эти 2 бегут, но никак переднего догнать не могут. 7) Всегда шагаем мы вдвоем, похожие , как братья. Мы за обедом – под столом, а ночью – под кроватью. 8) У него 4 лапки, лапки-цап-царапки, пара чутких ушей, он гроза для мышей. 9) На четырех ногах стою, ходить же вовсе не могу. 10) Возле елок из иголок летним днем построен дом. За травой не виден он, а жильцов в нем миллион. О т в е т ы. 1. Ветряная мельница; 2. Вилка; 3. Перчатка; 4. Дерево; 5. Резиновый шарик; 6. Колесо детского велосипеда; 7. Ботинки; 8. Кот; 9. Стол; 10. Муравейник. Вставьте пропущенное число. 16 (93) 15 14 (…) 12 О т в е т: 78. Вставьте пропущенную букву. 2 Д 8 ? Б 5 З ? О т в е т: К 11 В этом чайнворде 18 слов. Найдите их и расставьте номера: Расставьте в пустые клетки квадрата числа 11, 15, 19, 25, 29, 33, 39, 43 так, чтобы значения сумм во всех вертикальных и горизонтальных строчках были равны 87. О т в е т: 47 43 11 33 25 47 15 19 29 39 Р е ш и т е з а д а ч у. Для семьи дачница на зиму засаливает 86 кг огурцов. Сначала она засолила 42 кг огурцов, разложив их в три банки. Затем засолила еще три такие же банки. Хватит ли засоленных огурцов для семьи? Решите задачу разными способами. 1-й с п о с о б. Р е ш е н и е: 1) 42 : 3 = 14( кг) – в одной банке огурцов. 2) 14 3 = 42 (кг) – в трех банках. 3) 42 + 42 = 84 ( кг) – засолила дачница огурцов. 4) 86 – 84 = 2 ( кг) – осталось огурцов. О т в е т: останется 2 кг огурцов, так как 84 < 86. 2-й с п о с о б. Р е ш е н и е: 1) 42 + 42 =84 (кг) – засолила дачница огурцов, так как «затем засолила три такие же банки». 2) 86 – 84 = 2 (кг) – осталось огурцов у дачницы. О т в е т: останется 2 кг огурцов. 3-й с п о с о б. 86 – (42 +42) = 2 (кг) – останется огурцов у дачницы. Учимся думать. Найдите три одинаковых рисунка. Стадия рефлексии. – Какое задание вам показалось легким? – Какие задания вас заставляют думать, развивают вашу память, мышление? – Почему возникла у людей потребность в счете? – На чем они делали отметки? – Какая система называется единичной? – Где, в каких случаях сейчас пользуются этой системой? – Как удобно считать большие совокупности? – Какой появился счет? Домашнее задание: найдите в энциклопедии сведения о старинной системе древних египтян; приготовьте сообщение. 3. ИЕРОГЛИФИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ДРЕВНИХ ЕГИПТЯН. УПРАЖНЕНИЯ, ИГРЫ, ЗАДАНИЯ Цели: познакомить с иерографической системой; учить логически мыслить; управлять своим мышлением. Ход занятия Стадия вызова. – Что вы знаете о иероглифической системе древних египтян? – Какие записи чисел они употребляли? – Откуда мы узнали о тайне древнеегипетского счета? Стадия осмысления. Сообщения учителя. Около 3–2,5 тысяч лет до новой эры древние египтяне придумали свою числовую систему. В ней ключевые числа: 1, 10, 100 и т. д. – изображались специальными значками-иероглифами. Египтяне высекали их на стенах погребальных камер, писали тростниковым пером на свитках папируса. Для записи чисел они употребляли следующие иероглифы: 1 10 102 103 104 105 106 107 Все остальные числа составлялись из этих ключевых при помощи операции сложения. Например, запись: расшифровывалась так: две тысячи, три сотни, два десятка и шесть единиц. Величина числа, записанного в иероглифической системе, не зависит от того, в каком порядке расположены составляющие его знаки. Даже если записать их справа налево, один под другим или вперемешку – число от этого не изменится. В результате упрощений и стилизаций от иероглифов позднее произошли условные знаки, облегчающие письмо от руки. Они легли в основу так называемого иератического письма (от греческого «иератикос» – «священный»). Эту систему записи чисел можно обнаружить в более поздних египетских папирусах. Уцелели два математических папируса, раскрывающие тайну древнеегипетского счета. Один из них назван « папирусом Райнда», другой – «Московским». Стадия закрепления содержания. Р а з м и н к а. 1) Три сестры собирали грибы. Первая нашла 9 подберезовиков, вторая – 6 подберезовиков. Сколько нашла третья сестра, если всего они собрали 20 грибов? 2) Какое число следует за числами: 6; 8; 11. 3) Какие числа на 3 больше чисел: 8, 9; 14. 4) Увеличьте числа на 5: 12; 14; 16; 18. 5) Задумано число, прибавили к нему число 3 и получили число 9. Какое число задумали? 6) Задумано число. Увеличили его на 11 и получили число 16. Какое число задумали? 7) Назовите самое наименьшее двузначное число? 8) Какой отрезок меньше: 4 см или 2 см 1 мм? 9) Какое число больше двадцати девяти на 17? 10) Задумайте однозначное число, прибавьте к нему 17, из полученной суммы вычтите 9, из остатка вычтите задуманное число. В результате получится 8. Проверьте! У ч и м с я д у м а т ь. 1) Найди три одинаковых рисунка: 1 4 2 5 3 6 7 2) Гномы-механики построили паровоз, но он почему-то не поехал. Сравни паровоз с чертежом и найдите 5 ошибок, которые допустили незадачливые механики во время строительства. 3) Вставьте недостающую фигуру из четырех пронумерованных. 1 2 3 4 4) Задачи сказочного характера. Красная Шапочка несла бабушке 14 пирожков: с мясом, с грибами и с капустой, которых было наибольшее количество. Причем пирожков с капустой было вдвое больше, чем пирожков с мясом. Сколько пирожков с грибами? Решение Пусть пирожков с мясом 2, тогда с капустой 2 2=4 (п.) Следовательно, с грибами 14 – ( 2+4)) = 8 (п.) Но в этом случае пирожков с капустой не наибольшее количество. Пусть пирожков с мясом 3, тогда с капустой 3 2=6 (п.) Этот результат соответствует условию задачи. О т в е т: Красная Шапочка несла 5 пирожков с грибами. Сколько лет каждому сыну? Некто имеет 6 сыновей, один другого старше 4 годами, а самый старший сын втрое старше младшего. Каков возраст сыновей? О т в е т: Так как каждый из сыновей на 4 года старше последующего, то старший брат на 20 лет старше младшего. Значит, удвоенный возраст младшего сына равен 20 годам. Поэтому младшему сыну 10 лет. А возраста остальных братьев равны 14, 18, 22, 26 и 30 годам. Стадия рефлексии. – Как вы считаете величина, записанного в иероглифической системе зависит от того, в каком порядке расположены составляющие его знаки? – Как названы найденные египетские папирусы? Итог занятия. – Что было трудно на этом занятии? – Какое из заданий было более интересно для вас? – Как вы считаете на уроках математики вам пригодятся те знания, которые вы получили на внеклассных занятиях? Домашнее задание: подберите несколько занимательных задач. 4. РИМСКИЕ ЦИФРЫ (игры, упражнения, занимательные задачи) Цели: учить решать занимательные задачи; учить рассуждать; развивать мышление. Ход занятия Проверка домашнего задания. – Какие вы нашли задачи занимательного характера? Р а б о т а п о г р у п п а м. 1-я г р у п п а дает занимательные задания второй группе. 2-я г р у п п а – третьей группе. 3-я г р у п п а – первой группе. Консультанты рассказывают, как они решили задачи. Подводится итог. Стадия вызова. – Какая из множества иероглифических систем счисления используется до сих пор? – Изменился ли облик римских цифр? – Какие вы знаете обозначения римских цифр. Запишите их. Сообщение учителя. Среди множества иероглифических систем счисления, которые существовали в разные времена у разных народов, только одна используется до сих пор. Её цифры знакомы всем, хотя им уже около 2,5 тысячелетий. Эти цифры встречаются на циферблатах часов, фронтонах старинных и современных зданий, памятниках, страницах книг. Ну конечно же, речь идет о римской системе счисления. Нельзя сказать, что время совсем не коснулось облика римских цифр. Если бы житель Древнего Рима захотел прочитать число, обозначающее дату открытия станции метро «Римская» в Москве, то он оказался бы в неимоверном затруднении. Причина в том, что только знаки I, V, X с течением времени не претерпели каких-либо изменений. Другие же цифры в древности изображались иначе. Ученые предполагают, что первоначально иероглиф для числа 100 имел вид пучка из трех палочек наподобие русской буквы Ж, а для числа 50 – вид верхней половинки этой буквы: . В дальнейшем последний иероглиф постепенно трансформировался в знак L: L . А число 100 стали обозначать буквой С (от начальной буквы латинского слова centum – «сто»). Символы для чисел 500 и 1000 также прошли длительную эволюцию. Вначале для числа 1000 применялись значки . Например, на титульном листе книги «Рассуждение о методе» известного французского математика и философа Рене Декарта, изданной в 1637 г., указана дата ФРСXXXVII. В этой записи наряду с уже известными нам цифрами I, V, X, С использованы старинные римские иероглифы: Ф = 1000, D = 500 Пришедшие им на смену знаки М и D произошли от начальных букв латинских слов mille – «тысяча» и demimllle – «половина тысячи», «пятьсот». Древние римляне могли выразить одним знаком и числа больше тысячи. Так, для числа 10000 они применяли значок , для числа 100000 – . Крайние дужки в последнем иероглифе со временем сомкнулись в «арку» , ставшую прообразом специальной рамочки: Цифра, помещенная в такую рамку, умножалась на 100000. Запись, таким образом представляла число 1 000 000. В средние века эта традиция получила своеобразное продолжение. Для того, чтобы указать, что число следует умножать на 1000, сверху над ним ставили черточку. Например, запись обозначала число 4 1000 + 6 = 4006. Стадия осмысления содержания. Р а з м и н к а. 1) На четырех ногах стою, ходить же вовсе не могу. 2) Один сторож, много веток: все по горнице гуляют, сор повсюду подбирают. 3) Рядышком двое стоят, направо, налево глядят. Только друг друга не видят, это, должно быть, им очень обидно. 4) Спинка, доска и 4 ноги – что я задумал, скорей назови! 5) Вверху зелено, внизу красно, в землю вросло. 6) 5 братьев: годами равные, ростом разные. 7) У двух матерей по 5 сыновей. 8) Как только с места тронусь я, так четверо начнут кружиться. 9) Восемь ног, как восемь рук, вышивают шелком круг. Мастер в шелке знает толк. Покупайте, мухи, шелк! 10) 5 братьев у всех одно имя. О т в е т ы: 1. Стол. 2. Веник. 3. Глаза. 4. Стул. 5. Морковь. 6. Пальцы. 7. Пальцы. 8. Телега. 9. Паук. 10. Пальцы. Подумайте, как следует разделить эту фигуру на четыре равные и одинаковые по форме части, чтобы сумма чисел в каждой из них равнялась 20. 1 9 6 2 10 12 8 5 7 5 11 4 Выберите правильный ответ. – Выберите нужную фигуру из 6 пронумерованных, чтобы завершить картинку. В ы ч и с л и т е. На соревнованиях леопард прыгнул в длину на 7 метров. Это на 1 м дальше, чем собака. Антилопа прыгнула на 4 м дальше, чем собака, и на 7 м дальше, чем лягушка. На сколько метров прыгнули антилопа, лягушка, собака? О т в е т: Леопард – на 7 метров, собака – на 6 метров; антилопа – на 10 м (6 + 4); лягушка – на 3 м (10 – 7). П о р а с с у ж д а й т е. Летела стая гусей, а навстречу им гусак: – Здравствуйте, десять гусей! – Нет. Нас не десять. Если бы ты был с нами да еще двое гусей, то тогда бы было десять. Сколько в стае гусей? (10 – 3 = 7.) Будьте внимательны! – Приползли как-то к Айболиту на осмотр четыре змеи. Пока ждали своей очереди, перепутались. Помоги доктору! Только сами не запутайтесь! Р е ш и т е з а д а ч у. Помидоры укладывали в одинаковые ящики. В 7 ящиках помещается на 32 кг больше, чем в 3 ящиках. На базе 120 ящиков. Хватит ли их для укладки 872 кг помидоров? Р е ш е н и е: 1) 7 – 3 = 4 (ящ.) 2) 32: 4 = 8 (кг) – помещается помидоров в 1 ящик. 3) 872 : 8 = 109 – необходимо ящиков. О т в е т: хватит, так 120 > 109. Подумайте! Двое ели сливы. Один сказал другому: «Дай мне свои две сливы, тогда будет у нас слив поровну», – на что другой ответил: «Нет, лучше ты мне дай свои две сливы – тогда у меня будет в два раза больше, чем у тебя». Сколько слив у каждого? О т в е т: так как передача двух слив уравнивает число слив у собеседников, то у одного из них на четыре сливы больше, чем у другого. Если же человек, у которого слив меньше, две сливы, отдаст человеку, у которого их больше, то разница увеличится до 8 слив. Поскольку второй человек тогда будет иметь слив в два раза больше, то ясно, что у одного из них после передачи будет 8 слив, а у другого 16 слив. Следовательно, до передачи двух слив у одного было 10 слив, а у другого было 14 слив. Стадия рефлексии. – Какая из задач показалась вам трудной? В чем? – Вам интересно узнавать новое о математике? Например, о римской системе счисления? – Какой иероглиф был для числа 100? – Как стали обозначать число 100? – Что надо было сделать с цифрой, которая помещалась в рамочку? – Как в средние века указывали, что число следует умножать на 1000? Что ставили сверху? Домашнее задание: найдите в литературе (в энциклопедии или «Я познаю мир» или любой другой записи римских чисел. 5. РИМСКИЕ ЦИФРЫ. КАК ЧИТАТЬ РИМСКИЕ ЦИФРЫ? Цели: познакомить с римскими цифрами; учить решать задачи логического характера; делать анализ и синтез задач. Ход занятия Стадия вызова. – Какой значок у древних римлян мог выразить числа больше тысячи? – Что обозначала цифра, помещенная в рамочку? – Как надо было указать, что число следует умножать на 1000? Стадия осмысления содержания. Сообщение учителя. Как читать римские цифры? Одно из правил записи (в этом случае меньшая цифра не может повторяться), то меньшая вычитается из й». К примеру, VII = 5 + 1 + 1 = 7; IХ = 10 – 1 = 9. Пользуясь этим правилом, можно рассчитать, в каком году открылась станция метро «Римская»: МСМХСУ = 1000 + (1000 – 100) + (100 – 10) +5 = 1995. В наши дни любую из римских цифр запрещается записывать в одном числе более трех раз подряд. В связи с этим выражения VIIII, ХХХХ и т. п. считаются некорректными. Однако древние римляне о подобном ограничении ничего не ведали, и число 1995 скорее всего записали бы так: MDCCCCLXXXXV. Только что мы столкнулись с любопытным феноменом в «обществе» римских чисел: разрешив цифрам-кирпичикам при «сборке» новых чисел не только складываться, но и вычитаться, мы тем самым лишили римские числа одного из важных математических свойств – единственности представления. Что теперь мешает, например, записать дату открытия станции метро «Римская» как MVM, или как М DVD, или еще несколькими другими способами? Если вы хотите записывать римские числа так, чтобы они полностью соответствовали пока ещё не утвержденному международному стандарту, то в этом поможет приведенная таблица. Обозначение чисел римским цифрами Единицы 1–I 2 – II 3 – III 4 – IV 5–V 6 – VI 7 – VII 8 – VIII 9 – IX Десятки 10 – Х 20 – XX 30 – ХХХ 40 – XL 50 – L 60 – LX 70 – LXX 80 – LXXX 90 – ХС Сотни 100 – С 200 – СС 300 – CCC 400 – CD 500 – D 600 – DС 700 – DCC 800 – DCCC 900 – CM Тысячи 1000 – М 2000 – МММ 3000 – МММ Она позволяет обозначить любое число от 1 до 3999. Сначала запишите число как обычно, в десятичной системе. Затем для цифр, стоящих в разрядах тысяч, сотен, десятков и единиц, по таблице подберите соответствующую кодовую группу. Например, вот как будет выглядеть число 3999: МММСМХСIХ. Р а з м и н к а. 1) На сколько число 59 больше числа 32? 2) На сколько число 72 больше числа 17? 3) На сколько число 79 меньше 90? 4) На сколько число 93 больше 31? 5) К числу 31 прибавили задуманное число и получили число 96. Какое число задумали? 6) Из числа 76 вычли 28, Какое число получилось? 7) Из числа 84 вычли 37. Какое число получилось? 8) Дополните число 93 до 100. 9) Дополните число 69 до следующего десятка. 10) Задумайте однозначное число, прибавьте к нему 17, из полученной суммы вычтите 9. Из остатка вычтите задуманное число. В результате получится число 8. Проверьте. Добавьте крючочки и палочки к овалам, чтобы получилось слово: Можете ли вы с одного взгляда сказать, чего на рисунке больше, кругов или квадратов? – А теперь посчитайте. –? –? Р е ш и т е з а д а ч у. Лиса Алиса и кот Базилио привели на пустырь Буратино. – Это поле чудес: если закопаешь золотые монеты, то наутро вырастет дерево, на котором в 3 раза больше золотых монет. Затем полученные монеты снова можно закопать в землю, и снова вырастет дерево с монетами. Так можно снять несколько урожаев. Мы можем посторожить ночью эти монеты. В награду за услуги лиса и кот потребовали отдавать после каждого урожая 9 монет. Подумав немного, Буратино не согласился с их требованиями. Он заявил, что после двух урожаев у него совсем не останется денег. Уж лучше он сам посторожит. Сколько золотых монет было у Буратино? Решение Второй урожай даст 9 монет. Значит, во второй раз Буратино посадит 9 : 3 = 3 ( монеты). Первый урожай даст 3 + 9 = 12 (монет). Следовательно, в первый раз Буратино посадит 12 : 3 = 4 (монеты). О т в е т: У Буратино было 4 золотые монеты. Н а й д и т е п е р в ы й м н о ж и т е л ь. Решение Так как при умножении двузначного числа ** на число 8 мы получаем двузначное число, то число десятков множимого должно быть равно 1. При умножении числа единиц множимого на число 8 мы получаем число, в числе единиц которого стоит цифра 6. Это возможно в двух случаях: или число единиц множимого равно 2, или оно равно 7. Но в последнем случае имеем произведение 17 8 = 136, то есть число трехзначное, а по условию задачи оно должно быть двузначным. Значит, число единиц множимого равно 2, и пример расшифровывается так: З а б а в н ы е и с т о р и и. Смекалистый слуга Постоялец гостиницы обвинил слугу в краже всех его денег. Смекалистый слуга сказал так: «Это правда, я украл все, что он имел». Тогда слугу спросили о сумме украденных денег, и он отвечал: «Если к украденной мною сумме прибавить еще 10 рублей, то получится мое годовое жалованье. А если к сумме его денег прибавить 20 рублей получится вдвое больше моего жалованья». Сколько денег имел постоялец, и сколько рублей в год получал слуга? Решение Из условия задачи следует, что удвоенное жалованье слуги на 10 рублей превышает его жалованье. Значит, годовое жалованье слуги составляет 10 рублей, а постоялец, заявивший, что его обокрали, вообще не имел денег. Р е ш и т е з а д а ч у. Школьники посадили за 3 дня 390 деревьев. В первый день они посадили 120 деревьев, во второй – на 50 деревьев больше, чем в первый, а в третий – все остальные деревья. Сколько деревьев посадили школьники в третий день? Решение 1) 120 + 50 = 170 (д.) – посадили во второй день. 2) 120 + 170 = 290 (д.) – посадили в первый и второй день вместе. 3) 390 – 290 =100 (д.) – посадили в третий день. О т в е т: 100 деревьев. Н а й д и т е п р а в и л о изменения фигур (закономерность). О т в е т: На этом рисунке представлены схематичные изображения кошек. Уши кошек всегда одинаковые. Их туловища в первом и во втором ряду представлены в виде треугольника, прямоугольника и круга. В третьем ряду туловища двух первых кошек – круг и треугольник, следовательно, туловище третьей кошки в третьем ряду – прямоугольник. Головы кошек также представлены геометрическими фигурами, причем у треугольного туловища голова всегда квадрат, у прямоугольного – круг. Следовательно, голова у недостающей кошки должна быть в виде круга. В первом и втором ряду кошки имеют по одной, две и три пары усов. В последнем не хватает кошки с одной парой усов. В каждом ряду есть три разные формы хвостов. В последнем ряду не хватает хвоста, обращенного вправо. Значит, недостающая кошка выглядит так: Догадайтесь, в какую мишень стрелял Робин Гуд. Робин Гуд славился своей меткостью, и шериф приказал стражникам схватить того, кто попадет точнее всех в центр мишени. Но Робин Гуд сумел выиграть соревнование, не выдав себя. Так в какую мишень он стрелял? Стадия рефлексии. – Как будут выглядеть числа 2898; 1865, обозначенные римскими цифрами? – Так как читать римские цифры? – Какое вы знаете правило? Итог занятия. – Какие задания вызвали у вас затруднения? – Что было легко? – Что вам дал этот урок? – Пригодится ли вам такая «разминочка» на уроках? Домашнее задание: какие вы знаете другие иероглифические системы; найдите материал в энциклопедии и подготовьте к следующему занятию. 6. ДРУГИЕ ИЕРОГЛИФИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ УПРАЖНЕНИЯ, ИГРЫ ЗАДАНИЯ Цели: познакомить с другими иероглифическими системами; развивать память, мышление, умение решать логические задачи; умение рассуждать. Ход занятия Стадия вызова. – Какие вы знаете иероглифические системы? Запишите число как обычно, в десятичной системе, например, 1287. А сейчас запишите его же римскими цифрами, для этого по таблице, которую мы с вами записали, подберите соответствующую кодовую группу. Стадия осмысления содержания. Сообщение учителя. Кроме египетской и римской к иероглифической системам чисел относятся финикийская, пальмирская, критская, сирийская, греческая аттическая, или Геродианова ( именно из сообщения грамматика Геродиана, жившего во II–III веках, западноевропейские историки впервые узнали о её существовании). Известны также старокитайская, староиндийская, ацтекская иероглифические системы. В них, как и в египетской и римской системах, вводятся ключевые числа, для обозначения которых применяются специальные иероглифы. Все остальные числа образуются приписыванием с той или иной стороны ключевого числа других ключевых чисел, возможно, с некоторыми повторениями. Любопытно отметить, что у многих народов для обозначения числа 1 применялся один и тот же символ – вертикальная черточка. Это самое древнее число в истории человечества. Оно возникло из простой черты на земле, из зарубки на дереве или кости. Р а з м и н к а. 1) Два отца и два сына съели 3 апельсина, причем каждый съел по апельсину. Как это возможно? 2) Петя утверждает, что позавчера ему было 10 лет, а в будущем году исполнится 13. Возможно ли это? 3) Какие цифры скрыты в каждой клеточке: – = 1 4) Три зайчонка: Прыг, Скок, Трусь – учились в разных классах лесной школы. Прыг был не старше Труся, а Скок не старше Прыга. Назови имя старшего, среднего и младшего зайчонка. 5) Занимательный квадрат. Числа 3, 4, 5, 6, 8, 9 расставь в клетках так, чтобы в сумме получить 21 и по вертикали, и по горизонтали, и по диагонали. 10 7 11 6) Какими способами можно разложить 15 карандашей в две коробки? 7) Задумайте число больше 10, к нему прибавьте 28, из полученной суммы вычтите 16, из остатка вычтите задуманное число. В результате получится число 12 . Проверьте. 8) Первое слагаемое 39, второе слагаемое на 17 больше. Чему равно второе слагаемое? 9) Какое число надо прибавить к числу 29, чтобы получить 65? 10) Дополните число 93 до 100. О т в е т ы: 1. Апельсин ели дед, отец, сын. 2. Свое заявление Петя делает 1 января, 31 декабря у него был день рождения, и ему исполнилось 11 лет, а 30 (позавчера) было 10, тогда на будущий год исполнится 13, поскольку в этом году ему исполнится 12.; 3. 100 – 99 = 1. Возраст старика Хоттабыча записывается числом с различными цифрами. Об этом числе известно следующее: 1) если первую и последнюю цифры зачеркнуть, то получится двузначное число, которое в сумме цифр, равной 13, является наибольшим; 2) первая цифра больше последней в 4 раза. Сколько лет Хоттабычу? Решение Наибольшим двузначным числом с суммой цифр, равной 13, является 94. Пусть последняя цифра 1, тогда первая цифра 1 4 =4. Но такая цифра в числе уже есть – ведь все цифры различные. Пусть последняя цифра 2, тогда первая цифра 2 4 = 8. В этом случае все цифры различные. О т в е т: Старику Хоттабычу 8942 г. Р е ш и т е з а д а ч и. 1) Один из пяти братьев разбил окно. Андрей сказал: «Это или Витя, или Толя». Витя сказал: «Это сделал не я и не Юра». Дима сказал: «Нет, один из них сказал правду, а другой неправду». Юра сказал: «Нет, Дима, ты не прав». Их отец, которому, конечно, можно доверять, уверен, что не менее трех братьев сказали правду. Кто разбил стекло? Решение Установим имена братьев, сказавших правду. Предположим, что Толя сказал правду. Тогда сказали неправду Андрей, Витя (про них Толя сказал, что они говорят неправду) и Дима, который возражает Толе. Таким образом, сказавших неправду будет больше двух, а это противоречит условию задачи. Следовательно, Толя говорит неправду. Предположим, что Дима говорит правду. Тогда неправду сказали Толя, один из первых двух братьев (это утверждает Дима) и Юра, который возражает Диме. Вновь приходим к противоречию. Следовательно, Дима сказал неправду. Значит, правду сказали Андрей, Витя и Юра. Но из высказываний Андрея и Вити следует, что окно разбил Толя. 2) В школу-интернат привезли 3 мешка муки и расходовали в течение четырех дней, каждый день по 28 кг. После этого осталось 32 кг муки. Сколько весил один мешок муки? Решение 1) 28 4 = 112 (кг) – израсходовали за 4 дня. 2) 112 + 32 = 144 (кг) – было всего муки. 3) 144 : 3 = 48 (кг) – было муки в одном мешке. О т в е т: 48 кг. Найдите три рисунка, отличающиеся как между собой, так и от всех остальных. М н о г о л и н о г? Мельник пришел на мельницу. В каждом из четырех углов он увидел по 3 мешка, на каждом мешке сидело по 3 кошки, а каждая кошка имела при себе трое котят. Спрашивается, много ли ног было на мельнице? О т в е т: две ноги мельника, ибо у кошек и котят не ноги, а лапы. З а г а д о ч н ы й п р и м е р. Все домой! Звонок раздался! На доске пример остался. Залетели в класс синицы И склевали единицы. Залетели сойки И склевали двойки. Залетели воробьи, И не стало цифры три. Сообщить прошу вас , дети, Где стояли цифры эти? Стадия рефлексии. – Какое вы знаете самое древнее число в истории человечества? – Кроме египетской и римской систем, какие иероглифические системы вы знаете? – Чем они похожи? 7. АЛФАВИТНЫЕ СИСТЕМЫ Цели: знакомство с алфавитными системами; развитие мышления, умения анализировать; уметь логически мыслить. памяти, Ход занятия Стадия вызова. – Что такое алфавитная система? – Кто ею пользовался? – Как с помощью алфавитной системы можно записывать числа? Стадия осмысления содержания. Сообщение учителя. Наряду с иероглифическими в древности широко применялись системы, в которых числа изображались буквами алфавита. Именно такой была греческая алфавитная нумерация, получившая название ионической. Она сменила аттическую систему в III в. до н. э. С введение христианства и письменности эта нумерация пришла к славянам – сначала южным, а потом и к восточным. В таблице приведены 27 букв славянского алфавита с их числовыми значениями. Для обозначения чисел над буквами сверху ставился специальный значок «» – титло (сам алфавит в таблице представлен не полностью, например, отсутствуют буква Б – «буки» и некоторые другие). С помощью этой таблицы легко записать любое число от 1 до 999 включительно, например: 55 288 1 498 Числа 1000, 2000 и т. д. наши предки записывали теми же буквами, что 1, 2, …, но слева внизу ставили опознавательный знак тысяч: Числа, которые обозначались буквами в кружочках, точках и черточках, имели специальные названия: Эта нумерация получила название «малое число». В одной из славянских рукописей ХVII века упоминается и другая система – «большое число», или «великое число». Названия больших чисел в ней строятся на основе любопытного приема – «возьми столько по столько», весьма вероятно, заимствованного у Архимеда. Первоначально число 106 объявляется тьмой; затем тьма тем, т. е. 1012, получает название легион; легион легионов, т. е. 1024, получает название леодр; а леодр леодров, т. е. 1048 , именуется вороном. Вороны обозначались буквами, обрамленными кружочком из крестиков: Следующий рубеж, 1049, назывался колодой, на ней счет прерывался: … «и более того сего несть человеческому уму разуметь» Колода обозначалась так: Похожие системы счисления, в которых буквы алфавита по совместительству « подрабатывали» цифрами, использовались в старину у арабов, евреев, грузин, армян. Славянская нумерация просуществовала до конца ХVII столетия, пока вместе с реформами Петра I в Россию из Европы не пришла позиционная система счисления, которой мы пользуемся сейчас. Р а з м и н к а. 1) Выразите число 22 четырьмя единицами (двумя способами). 2) Напишите число 122 пятью цифрами 1. 3) Изобразите число 110 четырьмя единицами. 4) Выразите число 113 пятью единицами. 5) Представьте число 112 с помощью четырех цифр 1. 6) Напишите число 5 пятью цифрами 1 двумя способами: без применения скобок и с использованием скобок. 7) Изобразите число 6 пятью цифрами 1 (двумя способами). О т в е т ы: 22 = 11 + 11; 11 (1 + 1); 110 = 111 – 1; 112 = 111 + 1; 5 = 1 + 1 +1 +1 +1; (11 – 1) : ( 1 + 1); 6 = (11 + 1) : (1 + 1); ( 1 + 1) (1 + 1 + 1); 122 = 111 + 11; 113 = 111 + 1 + 1. Из каких частей состоит образец? В клетке дана фигура – равносторонний треугольник. А в другом квадрате – достаточно деталей, чтобы построить треугольник (ещё и останутся лишние). – Из каких деталей можно собрать треугольник, а какие отбросить? Пользоваться линейкой нельзя. Сделайте на «глазок». Аналогично и для других фигур. 5 4 2 3 1 2 3 4 1 2 1 3 4 5 1 3 2 5 О т в е т ы: – ______________________ – ______________________ – ______________________ 4 – ______________________ З а д а н и е «Что это такое?». Что это такое: две ноги сидели на трех, а когда пришли четыре и утащили одну, то две ноги, схватив три, бросили их в четыре, чтобы четыре оставили одну? О т в е т: повар сидел на стуле, имеющем три ножки, пришла собака и утащила куриную ногу. Повар бросил стул в собаку, чтобы она оставила куриную ногу. У К. Чуковского на этот счет есть стихотворение-загадка: Две ноги на трех ногах, А четвертая в зубах. Вдруг четыре прибежали И с одною убежали. Подскочили две ноги, Ухватили три ноги, Закричали на весь дом – Да тремя по четырем! Но четыре завизжали И с одною убежали. З а д а ч и. 1) Два межвежонка нашли головку сыра. Они долго спорили, как её поделить, но никто не хотел уступать. Мимо пробегала лиса. Узнав, о чем спор, она предложила помочь. Разломив головку сыра на две части так, чтобы одна из них была полкилограмма, а другая меньше, она спросила, усмехаясь: – Куски равны? Жадные медвежата дали отрицательный ответ. Тогда лиса откусила от большей части, но так, чтобы от неё остался кусок меньше, чем другая часть, и повторила вопрос. И на этот раз медвежата сообщили, что получились неравные части. После этого лиса повторила откусывание ещё 9 раз, каждый раз откусывая одинаковое количество сыра. В результате остались маленькие кусочки, причем один из них оказался на 20 г больше другого. Лиса заявила, что медвежатам трудно угодить. Она отправила оба кусочка в рот и, вильнув хвостом, скрылась в кустах. Какова была масса головки сыра? 8. ИЗ ИСТОРИИ ЦИФР Цели: познакомить с историей цифр; развивать пространственное мышление, математическую любознательность. Ход занятия Стадия вызова. – Как вы считаете, в математике всегда начертания цифр были такими, какими вы сейчас записываете выражения, решения задач и т. д.? – А как они менялись со временем? Стадия осмысления содержания. Рассказ учителя. Время изменило внешний облик цифр. Если в ХII в. цифры «губар», применявшиеся в мавританских государствах, имели следующий вид: 1 2 3 4 5 67 8 9 0 , то уже в 1480 г. в книге «Зеркало вселенной» англичанина Какстона они изображаются так: . И лишь в 1522 г. в книге итальянца Тонсталля они принимают болееменее современный вид: Любопытно, что в Индии цифры тоже видоизменялись и к началу ХХ в. выглядели так: Начиная с ХVI в., когда в Европе уже было развито книгопечатание, многие художники работали над созданием разнообразных типографских шрифтов, над формой букв и цифр. Они старались придать им приятный для глаза вид. Но история цифр на этом не кончается. Например, совсем недавно в ряде стран стали использовать такую запись: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 Чем эти цифры лучше обычных? А тем, что у четных цифр «хвостики» идут вверх, а у нечетных – вниз. Теперь труднее спутать, скажем 2 и 5. Правда, это нововведение широко не привилось. А вот начертание цифр, которое знакомо каждому: Эти цифры можно видеть на микрокалькуляторах и ручных электронных часах. С помощью набора из семи отрезков удается достаточно «узнаваемо» изобразить каждую из десяти цифр. Еще одно изображение цифр, связанное с потребностями техники, можно найти на обороте почтового конверта: Здесь в написании цифр участвуют уже девять отрезков. Цифры предназначены для электронной машины, сортирующей корреспонденцию. Жирные черточки над индексом на конверте нужны для того, чтобы машина смогла точно настроиться на написанный отправителем индекс: Р а з м и н к а. 1) Сколько месяцев в году? 2) Назовите третий и восьмой. 3) Могут ли они поменяться местами? Почему? 4) Напишите число 1 тремя двойками. 5) Какое наибольшее возможное однозначное число можно представить с помощью четырех цифр 2? Как это сделать? 6) Изобразите число 13 посредством четырех двоек. 7) Выразите число 23 пятью цифрами. 8) Представьте число 40 путем использования четырех цифр 2. 9) Выразите число 90 посредством пяти цифр 2 (без скобок). 10) Изобразите число 200 с помощью пяти двоек. О т в е т ы: 4) 1 = 2 – 2 : 2; 5) 9; 22 : 2 – 2; 6) 13 = 22 : 2 + 2; 7) 23 = 22 + 2 – 2 : 2; 8) 40 = (22 – 2) 2; 9) 90 = 2 2 22 + 2; 10) 200 = 222 – 22. Н а й д и т е закономерность, по которой построена последовательность чисел: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, …, … О т в е т: 23, 29 (ряд состоит из простых чисел, которые делятся только сами на себя). – Придумайте свой числовой ряд и дайте решить соседу. В приведенной ниже таблице числа расположены в соответствии с определенной закономерностью. Установите эту закономерность и назовите число, которое следовало бы вписать в пустое место таблицы. 3 12 6 4 16 8 5 20 О т в е т: 10. П о п р о б у й т е р е ш и т ь, какое слово нужно вписать вместо точек в скобках. 19 (Виза) 103 91 (…) 85 О т в е т: Джаз (порядковый номер буквы соответствует ее месту в алфавите; читать справа налево). З а с к о л ь к о м и н у т? Ребята пилят бревна на метровые куски. Отпиливание одного такого куска занимает одну минуту. За сколько минут они распилят бревно длиной 5 метров? О т в е т: за 4 минуты. З а д а ч а - ш у т к а. Поросята Ниф-Ниф и Нуф-Нуф бежали от волка к домику Наф-Нафа. Волку бежать до поросят (если бы они стояли на месте) 4 мин. Поросятам бежать до домика 6 мин. Волк бежит вдвое быстрее поросят. Успеют ли поросята добежать до домика Наф-Нафа? Решение Волку бежать до домика Наф-Нафа 4 + 6 : 2 = 8 (мин): 6 < 7, значит, поросята успеют добежать до домика Наф-Нафа. О т в е т: успеют. З а д а ч а. Для проверки всхожести семян пшеницы взяли 400 зерен и посеяли в 4 ящиках по сто семян в каждом. В первом взошло 96 зерен, во втором – 87, в третьем –93, а в четвертом – 92 зерна. Какова средняя всхожесть семян? Решение (96 + 87 + 93 + 92) : 4 = 92 (з.) – средняя всхожесть семян. Вместо звездочек п о с т а в ь т е нужные числа. Решение Так как произведение делителя на число десятков частного оканчивается цифрой 5, а число единиц делителя равно 7, то число десятков частного равно 5. Так как произведение числа единиц частного на 7 оканчивается цифрой 1, то число единиц частного равно 3. Таким образом, частное равно 53. Установим число десятков делителя. Оно может быть равно 1, так как в этом случае произведение 17 5 = 85 – число двузначное, а по условию оно трехзначное. Оно не может быть равно 3, так как в этом случае произведение 37 3 = 111 – число трехзначное, а по условию оно двузначное. Следовательно, число десятков частного равно 2, делитель равен 27, делимое равно 27 53 = 1431, и ребус расшифровывается так: П о д у м а й т е! Который сейчас час, если оставшаяся часть суток вдвое больше прошедшей? Решение Всего в сутках 24 часа. Одна третья часть суток – это 8 часов, 16 часов вдвое больше восьми. О т в е т: 8 часов. Л а б и р и н т. По какой дороге Винни-Пух попадет к горшочку с медом? Стадия рефлексии. – Как выглядели цифры в книге итальянца Тонсталля? – Какова особенность цифр, используемых для электронной машины, для чего они предназначены? 9. МАТЕМАТИКА ДРЕВНЕГО ВОСТОКА. ДРЕВНИЙ ЕГИПЕТ Цели: познакомить с математикой Древнего Египта; учить рассуждать, мыслить последовательно, доказательно. Ход занятия Стадия вызова. – Какие две великие цивилизации древности оставили самые ранние математические тексты? – Что об этом писал знаменитый греческий историк Геродот? Стадия осмысления содержания. Слово учителя. Самые ранние математические тексты, известные в наши дни, оставили две великие цивилизации древности – Египет и Месопотамия, или Междуречье. Именно там появились первые математические задачи, решения которых требовала повседневная жизнь. Ведь невозможно без расчетов построить здание, будь то величественный дворец или простой склад для зерна. И как поделить землю между родственниками, прибыль между торговцами, найти правильный путь в пустыне или в море, если вы не знакомы с правилами счета? Несколько тысячелетий культура Египта развивалась без каких бы то ни было внешних влияний, и именно этим объясняется её самобытность. Уровень древнегреческой математики был довольно высок. Древние греки, достижения которых лежат в основе современной науки, считали себя учениками египтян. Вот как писал об этом в V в. до н. э. знаменитый греческий историк Геродот: «Они (египетские жрецы) говорили, что царь разделил землю между всеми египтянами, дав каждому по равному прямоугольному участку; из этого он создал себе доходы, приказав ежегодно вносить налог. Если же от какого-нибудь надела река отнимала что-нибудь, то владелец, приходя к царю, сообщал о происшедшем. Царь же посылал людей, которые должны были осмотреть участок земли и измерить, на сколько он стал меньше, чтобы владелец вносил с оставшейся площади налог, пропорциональный установленному. Мне кажется, что так и была изобретена геометрия, которая затем из Египта была перенесена в Элладу». Р а з м и н к а. 1) Что легче: килограмм ваты или килограмм железа? 2) Какие два месяца, следующие один за другим, имеют по 31 дню? 3) Число 100 обозначается тремя цифрами, название числа сто – тоже из трех букв. Когда еще название числа и количество цифр в нем совпадает. 4) Чем больше берут, тем больше это становится. Что это? 5) Не отрывая карандаша от бумаги, разделите изображенную на рисунке фигуру на 6 равных треугольников. 6) Что становится легче, когда увеличивается в размерах? 7) Что общего между следующими цифрами и буквами? 4 8 5 Г Ж Д 8) Найдите двух одинаковых Винни-Пухов. 9) Найдите на чертеже все треугольники и все четырехугольники. Каких фигур больше, треугольников или четырехугольников? 10) У Марины, Наташи и Нади было всего две ручки и один карандаш. У кого что было, если у Нади с Наташей и у Марины с Надей были разные предметы? О т в е т ы: 1) Вес одинаковый. 2) Июль, август. 3) Миллион – 1 000 000. 4) Яма. 5) 6) Воздушный шарик. 7) Первые три цифры – номера букв по порядку в алфавите. 9) Треугольников – 6; четырехугольников – 12. 10) Надя – карандаш, Марина – ручка; Наташа – ручка. П о д у м а й т е! В очереди за билетами в кино стоят Юра, Миша, Володя, Саша и Олег. Известно, что: 1) Юра купит билет раньше, чем Миша, но позже Олега. 2) Володя и Олег не стоят рядом. 3) Саша не находится рядом ни с Олегом, ни с Юрой, ни с Володей. – Кто за кем стоит? Решение По условию задачи в очереди за билетами три мальчика стоят в порядке: Олег, Юра и Миша. Олег Юра Миша Поэтому нужно установить места в очереди для Саши и Володи. Но Саша не находится рядом ни с Олегом, ни с Юрой, ни с Володей. Это возможно лишь в случае, когда Саша стоит за Мишей, а остальные мальчики стоят перед Мишей. Теперь нужно установить место Володи в очереди. По условию задачи Володя не стоит рядом ни с Олегом, ни с Сашей. Значит, Володя стоит между Юрой и Мишей. Олег Юра Володя Миша Саша Таким образом, мальчики стоят в очереди в следующем порядке: Олег, Юра, Володя, Миша и Саша. З а д а ч и. 1) Мальчик идет к клетке со львом. Каждый раз, когда он делает два шага вперед, лев рычит, и мальчик отступает на шаг назад. За какое время он дойдет до клетки, если до неё 5 шагов, а 1 шаг мальчик делает за 1 секунду. О т в е т: за 11 секунд. 2) В двух вазах лежали яблоки, по 16 штук в каждой. Из первой взяли несколько яблок, а из второй взяли столько, сколько осталось в первой. Сколько яблок осталось в обеих вазах вместе? Решение В двух вазах вместе будет: (16 – х) + х = 16 – х + х = 16. О т в е т: 16 яблок. 3) Маленький Мук и королевский скороход соревновались в беге по дорожке длиной 30 км, которая шла вокруг леса. По условиям соревнования выигрывает тот, кто обгонит другого, пробежав на круг больше. Скороход делает круг за 10 мин, а Маленький Мук за 6 мин. Оба бегут равномерно. Через сколько минут Маленький Мук обгонит скорохода? А Решение За каждую минуту Маленький Мук пробегает 30 : 6 = 5 (км), а скороход 30 : 10 = 3 ( км). Когда соревнующиеся начали двигаться от старта А, то Маленький Мук начал удаляться от скорохода. Если принять, что Маленький Мук должен пробежать на круг больше, чем скороход, то можно считать, что первый будет догонять второго. За одну минуту они сближаются на 5 – 3 = 2 (км). Но Маленький Мук будет догонять скорохода на расстоянии 30 км. Следовательно, Маленький Мук обгонит скорохода через 30 : 2 = 15 (мин). О т в е т: Маленький Мук обгонит скорохода через 15 мин. Н а п и ш и т е ч и с л о. Написать цифрами число, состоящее из одиннадцати тысяч, одиннадцати сотен и одиннадцати единиц. О т в е т: Конечно, многие считают, что это будет число 111 111. На самом деле Это число равно 12 111, так как если к 11 тысячам, т. е. к 11000, прибавить 11 сотен, т. е. 1100, и 11 единиц, то будет 12 111. Семь утят в пруду все время ссорятся. Как разделить утят тремя линиями, чтобы прекратить ссоры? Стадия рефлексии. – Как была изобретена геометрия, по предположению Геродота? – Куда перенесена была геометрия из Египта? 11. ПЕРВЫЕ УЧЕБНИКИ Цели: познакомить с историей возникновения первых учебников; учить детей рассуждать; мыслить последовательно, доказательно. Ход занятия Стадия вызова. – Когда был найден первый папирус? – Сколько задач включал в себя Московский папирус? – Когда был «распрямлен» «Кожаный свиток египетской математики»? Стадия осмысления содержания. Рассказ учителя. Общественное устройство Древнего Египта не менялось в течение долгого времени. Сохранялись без изменений и научные знания, поэтому сегодня ученым очень трудно точно определить дату того или иного открытия. К тому же источников, по которым можно судить об уровне математических знаний древних египтян, совсем немного. Назовем самые известные из них. Во-первых, это папирус Райнда, названный так по имени своего первого владельца. Он был найден в 1858 году, расшифрован и издан в 1870 году. Рукопись представляла собой узкую (33 см) и длинную (5,25 м) полосу папируса, содержащую 84 задачи. Теперь одна часть папируса хранится в Британском музее в Лондоне, а другая находится в Нью-Йорке. Во-вторых, так называемый Московский папирус – его в декабре 1888 г. приобрел в Луксоре русский египтолог Владимир Семенович Голенищев. Сейчас папирус принадлежит государственному музею изобразительных искусств имени А. С. Пушкина. Этот свиток длиной 5,44 м и шириной 8 см включает 25 задач. И наконец, «Кожаный свиток египетской математики», с большим трудом распрямленный в 1927 году и во многом проливший свет на арифметические знания египтян. Ныне он хранится в Британском музее. Эти рукописи относятся к эпохе Среднего царства (ХХ–ХVII вв. до н. э.). Московский папирус был переписан неким учеником между 1800 и 1600 гг. до н. э. с более древнего текста, примерно 1900 г. до н. э. А папирус Райнда переписал писец Ахмес около 1650 г. до н. э. Автор оригинала неизвестен, установлено лишь, что текст создавался во второй половине Х1Х в до н. э. «Кожаный свиток» датируется ХIХ–ХVIII вв. до н. э. Подобные папирусы, по-видимому, служили своего рода учебниками. Как сказано в рукописи Ахмеса, она посвящена «совершенному и основательному исследованию всех вещей, пониманию их сущности, познанию их тайн». Так высоко ценились в те далекие времена математические знания! В папирусах есть задачи на вычисление – образцы выполнения арифметических операций, задачи на раздел имущества, на нахождение объема амбара или корзины, площади пола и т. д. Для кого же предназначались такие учебники? Папирус Райнда заканчивается такими словами: «Лови гадов, мышей, выпалывай сорные травы засвежо; получай обильную пряжу. Проси у бога Ра тепла, ветра и высокой воды». Поэтому некоторые исследователи решили, что свиток адресован земледельцам. Однако многие из содержавшихся в нём задач вовсе не нужны крестьянину. В стране феодалов была особая группа людей, которой требовались подобные знания, – это писцы. Писец – должность ответственная и весьма привилегированная. Он обязан был обладать самыми разнообразными математическими навыками, чтобы без труда разрешить любую задачу. Р а з м и н к а. 1) Что летит быстрее стрелы? 2) А что быстрее мысли? 3) Чем заканчивается день и ночь? 4) У семерых братьев по одной сестрице. Много ли сестер? 5) Сидит кошка на окошке, голова и хвост, как у кошки, но все же не кошка. Кто это? 6) Укажите соответствующую часть. Укажите ее номер. 1 4 2 5 3 6 7) Можно ли бросить мяч так, чтобы он пролетел некоторое время, остановился и начал движение в обратном направлении? 8) Перед вами прямоугольник. Какое наименьшее количество отрезков в нём надо провести, чтобы получилось три различных прямоугольника? 9) Перед вами 4 квадрата, используя которые, вы должны показать, как четырьмя различными способами можно разделить квадрат на 4 равные части. 10) Что без огня горит? О т в е т ы: 1) Мысль. 2) Время. 3) Мягкий знак. 4) Одна. 5) Кот. 6) 3. 8) 9) 10) Солнце. Р е ш и т е з а д а ч и. 1) Два стрелка произвели по 5 выстрелов, причем попадания были следующие: 10, 9, 9, 8, 8, 5, 4, 4, 3, 2. Первыми тремя выстрелами, они выбили одинаковое количество очков, но тремя последними выстрелами первый стрелок выбил втрое больше, чем второй. Определите, сколько очков набрал каждый из них тремя выстрелами. О т в е т: первый стрелок третьим выстрелом набрал 100 очков, а второй стрелок – 2 очка. 2) У фермера было 785 овец. Летом фермер продал 253 овцы, а к зиме увеличил стадо, купив 176 овец. Сколько голов стало у фермера? Решение 1) 785 – 253 = 532(ов.) – осталось у фермера. 2) 532 + 176 = 708 (ов.) – стало у фермера. О т в е т: 708 голов. Установите закономерность в расположении следующих чисел и определите, какие числа должны находиться в пустых квадратах: 10 3 27 7 16 20 16 О т в е т: сумма чисел, расположенных в соседних квадратах по горизонтали, равна числу, написанному в квадрате, находящемуся над ними. Поэтому: 10 + 27 = 37, 27 + 36 = 63 и 37 + 63 = 100. 100 37 10 3 63 27 7 36 20 16 О т в е т ь т е н а в о п р о с ы. 1) Из каких геометрических фигур составлены маски? 2) Которая из шести масок лишняя (не похожа на остальные)? Чем она отличается от других? Р а з д е л и т е к в а с п о р о в н у. Восьмиведерный бочонок заполнен доверху квасом. Двое должны разделить квас поровну. Но у них есть только два пустых бочонка, в один из которых входит 5 ведер, а в другой 3 ведра. Спрашивается, как они могут разделить квас, пользуясь только этими тремя бочонками? О т в е т: приводим два решения этой задачи в виде таблицы, которые показывают, сколько кваса остается в каждом бочонке после каждого переливания. Решение До переливания 8 ведер 5 ведер 3 ведра После 1-го переливания 3 5 0 После 2-го переливания После 3-го переливания После 4-го переливания После 5 –го переливания После 6-го переливания После 7-го переливания 3 6 6 1 1 4 2 2 0 5 4 4 3 0 2 2 3 0 Н а й д и т е ш е с т ь о т л и ч и й. Стадия рефлексии. – Что сказано в рукописи Ахмеса? – Что сказано в папирусе Райнда? – Что значили писцы в стране фараонов? 11. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ. ПРОСТЕЙШИЕ УРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ Цели: учить мыслить последовательно, доказательно; отстаивать свою точку зрения. Ход занятия Стадия вызова. – Как умножали, делили, складывали и вычитали древние? – Что мы встречаем в древних математических папирусах? Стадия осмысления содержания. Сообщение учителя. Все правила счета древних египтян основывались на умении складывать и вычитать, удваивать числа и дополнять дроби до единицы. Умножение и деление сводили к сложению при помощи особой операции – многократного удвоения или раздвоения чисел. Выглядели такие расчеты довольно громоздко. Для дробей были специальные обозначения. Египтяне использовали дроби вида 1/n, где n – натуральное число. Такие дроби называются аликвотными. Единственная неаликвотная дробь, которую «признавали» египетские математики, – 2/3. Иногда вместо деления m : n производили умножение m · 1/n. Для этого применяли специальные таблицы. Надо сказать, что действия с дробями составляли особенность египетской арифметики, в которой самые простые вычисления порой превращались в сложные задачи. Сравнительно небольшой круг задач в египетских папирусах сводится к решению простейших уравнений с одним неизвестным, например 33-я задача из папируса Райнда: «Некое количество, его 2/3, его 1/2 и его 1/7, сложенные вместе, дают 37. Каково это количество?». О т в е т: 162/97 записан в аликвотных дробях: 16 + 1/56 + 1/679 + 1/776. При решении подобных задач для неизвестного использовали специальный иероглиф со значением «куча». В задачах про «кучу», решаемых единым методом, можно усмотреть зачатки алгебры как науки об уравнениях. В египетских папирусах встречаются также задачи на арифметическую и геометрическую прогрессии, что еще раз подчеркивает не только практический, но и теоретический характер древней математики. Р а з м и н к а. 1) Продолжите числовой ряд: 6, 8, 10, 12, 14, 16, … 2) Вставьте пропущенное число: 17 (112) 39 28( …) 49 3) Вставьте недостающее число: 5 4 ? 4 4 6 3 5 2 4) Исключите лишнюю фигуру. 1 2 3 4 5) Исключите лишнюю фигуру. 1 2 3 5 4 6 5 6 6) Вставьте недостающее число. 4 ? 6 10 9 13 7) Вставьте недостающее число. 3 5 3 6 2 8) Найдите две одинаковые фигуры. 7 ? 3 2 1 3 2 5 6 4 7 9) Найдите левый ботинок. 10) Найдите кольцо. Из трех одинаковых по виду колец одно несколько легче каждого из двух других. Как найти его одним взвешиванием на весах? О т в е т ы: 1) 18, числа имеют два чередующихся ряда; в одном ряду числа возрастают на 4, в другом на 3. 2) 154, удвоенная сумма чисел, стоящих вне скобок. 3) 3, число на «голове» равно полусумме на «ногах». 5) 4, фигура каждый раз поворачивается на 90 против часовой стрелки: исключение 4, которая поворачивается по часовой. 10) Два любых кольца положите на чашки весов. Если масса этих колец одинакова, то легкое кольцо третье. З а д а ч а «С к в о р ц ы». Летели скворцы, и встретились им деревья. Когда сели они по одному на дерево, то одному скворцу дерева не хватило, а когда на каждое дерево сели по два скворца, то одно осталось незанятым. Сколько было скворцов и сколько деревьев? Решение 1 Похожая задача звучит и в литературной считалке: Прилетели галки, Сели на палки. Если на каждой палке Сядет по одной галке, То для одной галки Не хватит палки. Если же на каждой палке Сядет по две галки, То одна из палок Будет без галок. Сколько было галок? Сколько было палок? Предположим, что, после того как скворцы сели на деревья по два, с каждого дерева взлетело по одному скворцу. Один из взлетевших скворцов может сесть на незанятое дерево, тогда на каждом дереве будет сидеть по одному скворцу. По условию, если на каждое дерево сядет по одному скворцу, то один скворец останется в воздухе. Значит, взлетело 2 скворца. Тогда общее количество равно 4, а число деревьев 3. Решение 2 Поскольку в первом случае для одного скворца не хватило дерева, а во втором случае сидели все скворцы и одно дерево осталось без скворца, то, чтобы занять все деревья, во втором случае нужно скворцов на три больше, чем в первом. Во втором случае на каждое дерево садится на одного скворца больше. Следовательно, деревьев было три, а тогда скворцов было четыре. В фигуре, состоящей из 5 квадратов, убрать 3 палочки, чтобы осталось 3 таких же квадрата. О т в е т: З а д а ч а. У школьника была некоторая сумма денег монетами достоинством в 15 и 20 копеек. Причем двадцатикопеечных монет было больше, чем пятнадцатикопеечных. Пятую часть всех денег школьник истратил, отдав две монеты за билет в кино. Половину оставшихся денег он отдал за обед, оплатив его тремя монетами. Сколько монет каждого достоинства было у школьника вначале? Решение Учитывая, что у школьника были монеты только достоинством 15 копеек и 20 копеек, и за билет в кино он отдал две монеты, имеем три возможных варианта траты денег при покупке билета: 1) 15 + 15 = 30 коп; 2) 15 + 20 = 35 коп; 3) 20 + 20 = 40 коп. Так как стоимость билета в кино составляла 1/5 часть денег школьника, то имеем три возможных варианта суммы всех денег школьника: 1) 150 коп, 2) 175 коп, 3) 200 коп. После оплаты билета в кино у него осталось одна из трех возможных сумм денег: 1) 120 коп, 2) 140 коп, 3) 160 коп. Половину этих денег составляют суммы: 1) 60 коп, 2) 70 коп, 3) 80 коп.. Так как половину оставшихся денег школьник отдал за обед, оплатив его тремя монетами, то это возможно лишь в одном из трех случаев, когда половина оставшихся денег есть сумма в 60 копеек. Отсюда ясно, что у школьника было 150 копеек. Их распределение по достоинствам монет могло быть таким: 1) 15 + 15 + 20 + 20 + 20 + 20 + 20 + 20 2) 15 + 15 + 15 + 15 + 15 + 15 + 20 + 20 + 20 3) 15 + 15 + 15 + 15 + 15 + 15 + 15 + 15 + 15 + 15 Но из условия задачи двадцатикопеечных монет больше. Значит, имеем первый случай. «О п я т ь – д в а д ц а т ь п я т ь». Заполни пустые клетки цифрами от 1 до 5 так, чтобы сумма цифр в горизонтальных, вертикальных и пятиклеточных диагональных рядах была равна 15, при этом ни в одном ряду по вертикали или горизонтали не должно быть одинаковых цифр. 3 5 1 2 О т в е т: 2 5 1 3 4 1 3 4 2 5 4 2 5 1 3 5 1 3 4 2 3 4 2 5 1 З а д а ч а. В заповеднике было 18 лосей, а лосят – на 14 больше. Сколько лосят и лосей было в заповеднике? Решение 1) 18 + 14 = 32 (л.) – было лосят. 2) 18 + 32 = 50 (л.) – лосей и лосят было в заповеднике. О т в е т: 50 лосей и лосят. Стадия рефлекси. – Какой специальный иероглиф использовался в Древнем Египте при решении задач с одним неизвестным? – Как назывались в Египте дроби вида: 1/n? 12. ДРЕВНИЙ КИТАЙ. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕКСТЫ ДРЕВНЕГО КИТАЯ Цель: познакомить с развитием математики древних цивилизаций; учить детей рассуждать; развивать математическое мышление. Ход занятия Стадия вызова. – Какая книга у древних китайцев была основным математическим трудом? – Кому требовались математические знания? Стадия осмысления содержания. Слово учителя. Наиболее ранние из дошедших до нас китайских математических текстов относятся к концу I тысячелетия до н. э. Во II веке до н. э. были написаны математико-астрономический «Трактат об измерительном шесте» и «Математика в девяти книгах». Позднее, уже в VII в., оба сочинения вошли в сборник «Десять классических трактатов», который изучали в течение многих столетий. Сборник включал и другие труды: «Трактат о морском острове» Лю Хуэя (III в.) с задачами на определение расстояний до недоступных предметов и их размеров; «Математический трактат» Сунь-Цзы (II в.), содержащий математические таблицы, арифметические и геометрические задачи, задачи на системы линейных уравнений; анонимный «Математический трактат пяти ведомств» с задачами практического содержания. Основным научным трудом была «Математика в девяти книгах». Она предназначалась для всех, кому требовались математические знания: для землемеров, чиновников, торговцев. По существу, это сборник из 246 задач без вводных текстов и предварительных разъяснений. Каждый раз вначале формулируется задача, затем сообщается ответ и в сжатой форме указывается способ решения. Р а з м и н к а. 1) Из числа 76 вычли 28. Какое число получили? 2) Из числа 84 вычли 37. Какое число получили? 3) Назовите от числа 97 пять предшествующих чисел. Назовите от числа 97 пять следующих чисел. 4) Задумайте однозначное число, прибавьте к нему 17, из полученной суммы вычтите 9, из остатка вычти задуманное число. В результате получится число 8. Проверьте. 5) Задумайте число больше 10, к нему прибавьте 28, из полученной суммы вычтите 16, их остатка вычтите задуманное число. В результате получится число 12. Проверьте. 6) Какими способами 15 карандашей можно разложить в две коробки? 7) Представьте в виде разрядных слагаемых числа: 237; 349; 56. 8) Составьте три выражения с ответами 127; 131, 223. 9) Составьте три выражения с ответами: 127; 131; 223. 10) Составьте выражение: к числу 56 прибавить разность чисел 111 и 80. Найдите значение. Р е ш и т е з а д а ч у. На острове живут два племени: аборигены и пришельцы. Аборигены всегда говорят правду, а пришельцы всегда врут. Путешественник, приехавший на остров, нанял жителя острова в проводники. Они пошли и увидели другого жителя острова. Путешественник послал проводника узнать, к какому племени принадлежит этот туземец. Проводник вернулся и сказал, что туземец говорит, что он абориген. Кем был проводник: пришельцем или аборигеном? Решение Чтобы выяснить, к какому племени принадлежит проводник (к пришельцам или аборигенам), нужно установить, какой ответ мог дать проводнику встреченный житель острова. Легко видеть, что ответ встреченного жителя острова мог быть только один: «Я – абориген». Этот ответ является правдой для аборигена и ложью для пришельца. Следовательно, проводник сказал путешественнику правду, и поэтому он принадлежит к племени аборигенов. Каким видом спорта занимается каждая девочка? Три одноклассницы: Соня, Таня и Женя – занимаются в различных спортивных секциях: одна из них – в гимнастической, другая – в лыжной, третья – плавания. Каким видом спорта занимается каждая из них, если известно, что Соня плаванием не увлекается, Таня в лыжную секцию никогда не ходила, а Женя является победителем в соревнованиях по лыжам? О т в е т: из последнего предложения видно, что в лыжной секции занимается Женя. Тогда Соня занимается либо плаванием, либо гимнастикой. Но она плаванием не увлекается, значит, она ходит в гимнастическую секцию, то есть плаванием занимается Таня. З а д а ч а - ш у т к а. – Помогу тебе, Иван, найти Василису Прекрасную, – сказала Баба Яга, – по душе ты мне пришелся. Вот тебе волшебный клубок. Он приведет тебя к большому камню. От этого камня идут три дороги: – на одной ты встретишь свою смерть; – на другой с тобой ничего не случится; – третья дорога приведет тебя к Василисе Прекрасной; – учти, что все три надписи на камне неверные – сделаны они Кащеем Бессмертным. Бросил Иван клубок на землю. Покатился он, а Иван за ним. Долго ли, коротко ли шел Иван за ним, но пришел он к огромному камню. На камне написано: «Пойдешь налево – встретишь свою смерть». «Пойдешь направо – вызволишь из неволи Василису Прекрасную». «Пойдешь прямо – с тобой что-то случится». Ребята, куда идти Ивану? Помогите ему вызволить Василису Прекрасную. Решение Третья запись неверна – по дороге прямо с Иваном ничего не случится. Вторая запись тоже неверна, то есть по дороге направо Иван не вызволит Василису Прекрасную, значит, на оставшейся дороге (дороге налево) Иван вызволит Василису Прекрасную. Интересная расстановка. Расставить в круг или в ряд 12 черных и 12 белых шашек так, чтобы при отсчитывании, начиная с первой шашки, выбрасывать из круга или ряда каждую седьмую шашку и чтобы выброшенными оказались все белые шашки, а черные остались на своих местах. Решение Для решения задачи шашки нужно поставить так, как показано на рисунке: Как же найти это решение? Поставим в ряд 24 спички: Считая от 1 до 7, находим, что первый раз придется выбросить 7-ю, 14-ю и 21-ю спички. Отбрасываем их и опять начинаем считать от 1 до 7; сначала отсчитаем три спички за 21-й, а затем возвращаемся к началу ряда, который содержит теперь только 21 спичку. Из него придется на этот раз выбросить 4ю, 12-ю и 20-ю спички. Повторяя этот процесс, на следующем шаге мы выбросим 5-ю, 15-ю, 24-ю спички, затем 10, 22-ю и, наконец, 9-ю спичку. Останется 12 спичек. Если теперь на места оставшихся спичек поставить черные шашки, а на места выброшенных – белые, то получим требуемое расположение. О т г а д а й т е с л о в а, зашифрованные в ребусах. Что показали сравнения? Зина, Клава и Нина в один из дней в разных магазинах купили шелковые ленты. Выйдя из магазина, Клава встретили Зину. Они стали показывать друг другу свои покупки и сравнивать ширину лент. Расставшись с Зиной, Клава через несколько минут встретилась с Ниной. Они также показали друг другу ленты и сравнили между собой их ширину. Когда Клава рассказала и своей встрече с Зиной и результатах сравнения ширины лент, то Нина, еще встретив Зину, заранее сделала вывод, что ширина ленты у Зины такая же, как и у нее. Что сказала Клава Нине о результатах сравнения ширины лент её и Зины? Что показало сравнение ширины лент, принадлежащих Клаве и Нине? О т в е т: Клава должна сказать, что ширина лент у неё и у Зины одинаковая. Ленты у Клавы и Нины также равной ширины. На сколь он стар? Некто будучи вопрошен, сколь он стар, ответствовал: « Когда я проживу еще половину, да треть, да четверть моих лет, тогда мне будет сто лет». Сколько лет этому человеку? О т в е т: предположим, что у этого человека есть внук, который в 12 раз младше его. Тогда 12 возрастов внука, да еще 6 возрастов внука, да еще 4 возраста внука, да 3 возраст внука составляют, по условию задачи, 100 лет. Другими словами, возраст внука в 25 раз меньше, чем 100 лет, и равен поэтому 4 годам. Тогда возраст человека, которому был задан вопрос, равен 48 годам. В фигуре из 5 квадратов переложить 4 палочки так, чтобы получилось 3 квадрата. Стадия рефлексии. – Какие труды включал сборник « Десять классических трактатов»? – Какой научный труд предназначался для общего пользования в Китае? – Сколько задач в нем содержалось? – Как был устроен этот сборник? 13. АРИФМЕТИКА В КИТАЕ Цели: познакомить с развитием математики в Китае; развивать пространственное мышление; воспитывать математическую любознательность детей. Ход занятия Стадия вызова. – Когда в Китае установилась форма обозначения чисел – иероглифическая? – Какие были числовые таблицы кроме таблицы умножения? – Какие названия имели дроби? – Какое самое большое открытие сделали в математике китайские ученые? Стадия осмысления содержания. Слово учителя. В глубокой древности счет в Китае вели десятками. Примерно с IV в. до н. э. стали считать с помощью специальных палочек. Они были в ходу на протяжении более полутора тысяч лет. Палочки раскладывали на счетной доске, которая, как полагают, была разлинована на строки и столбцы. Если какой-то разряд в числе отсутствовал, то соответствующая ячейка оставалась пустой. Так что китайская нумерация с помощью счетных палочек – древнейшая из десятичных позиционных систем. К III в. до н. э. установилась и другая форма обозначения чисел – иероглифическая. При записи числа, состоящего, например, из тысяч, сотен, десятков и единиц, сначала записывали число тысяч, затем справа или снизу иероглиф, обозначающий сотню, число десятков, знак десяти и, наконец, число единиц. Таблицу умножения от 1 1 до 9 9 заучивали наизусть. Её декламировали или даже распевали на уроках. Были и другие числовые таблицы, включавшие произведения квадратов, кубов и четвертых степеней. Издавна в Китае были известны дроби. Некоторые имели даже свои названия. Половина называлась «бань», треть – «шао бань» («малая половина»), две трети – «тай бань» («большая половина»). Позднее появилось специальное наименование для четвертой части – «слабая половина». Пользовались и десятичными дробями. При решении задач порой приходилось от меньшего количества отнимать большее. Так во II в. до н. э. появились отрицательные числа. На счетной доске их выделяли палочками другого цвета или формы, а в рукописи – другими чернилами или косой чертой. Отрицательные числа назывались «фу», а положительные – «чжэн». Постепенно числа «фу» стали истолковывать как долг, недостаток. Введение отрицательных чисел и правил их сложения и вычитания можно считать одним из самых крупных открытий китайских ученых. В греческой математике это сделал Диофант в средине III в., и лишь в VII в. отрицательные числа появились в индийской математике. Р а з м и н к а. 1) Найдите два числа. Обратите внимание на эту таблицу: Числа, сумма которых составляет 7 : Произведение этих чисел: 1, 6 6 2, 5 10 3,4 12 Числа, сумму которых составляет 10: Произведение этих чисел: Нарисуйте такую же таблицу и заполните её со всеми возможными решениями следующих примеров. Найдите два числа, у которых: 1) сумма равна 7, а произведение – 10; 2) сумма равна 7, а произведение – 12; 3) сумма равна 10, а произведение – 21; 4) сумма равна 10, а произведение – 16; 5) сумма равна 10, а произведение – 9; 6) сумма равна 9, а произведение – 14; 7) сумма равна 9, а произведение – 20; 8) сумма равна 9, а произведение – 8; 9) сумма равна 7, а разность – 1; 10) сумма равна 7, а разность – 3; 11) сумма равна 8, а разность – 6; 12) сумма равна 8, а разность – 2; 13) сумма равна 11, а разность – 1; 14) сумма равна 12, а разность – 4; 15) сумма равна 12, а разность – 8. З а д а ч а - ш у т к а. Какое число получится, если перемножить количество горбов у двугорбого верблюда, хоботов у слона, шей у вертишейки, панцирей у черепахи, клювов у дятла, крыльев у воробья, глаз у зайца, хвостов у головастика, гребешков у петушка, лап у медведя, бивней у мамонта, копыт у лошади, ног у сороконожки, щупалец у осьминога, зубов у крокодила, иголок у ежа и рогов у осла? О т в е т: ноль, потому что у осла нет рогов. З а д а ч а «Сколько раз бьют часы?». Часы бьют каждый час и отбивают столько ударов, сколько показывает часовая стрелка. Сколько ударов отобьют часы в течение 12 часов? О т в е т: Количество ударов равняется 1 + 2 + 3 + … + 12 и, как легко сосчитать, равно 78. Эту сумму можно вычислить очень просто, если заметить, что сумма членов, равноотстоящих от концов (1 + 12, 2 + 11, 3 + 10 …), все равны между собой и равны 13. Таких пар равноотстоящих от концов чисел, имеется 6. Значит, 1 + 2 + 3 … + 12 = 6 13 = 78. Найдите два способа распределения ребят на лодках. Ребята сидели на трех лодках и ожидали ещё трех своих товарищей, Тараса, Федю и Игната, которые задержались, покупая для всех продукты. Когда опоздавшие подошли к реке, то внимательно посмотрели, как распределились на лодках их самые близкие друзья. Зная, что каждому из них надо сесть в одну из трех лодок, они выразили такие пожелания: Тарас. Я хотел бы сесть в первую лодку или во вторую. Федя. Мне хочется сесть в первую лодку или в третью. Игнат. Я бы сел во вторую лодку или в третью. Посмотрите на таблицу, где вопросы показывают пожелания, высказанные ребятами о посадке в первую, вторую и третью лодки. Помогите руководителю распределить троих ребят по лодкам так, чтобы выполнить их пожелания. Найдите два способа распределения ребят по лодкам. 1 2 Тарас ? ? Федя ? Игнат 3 ? ? ? О т в е т: 1-й с п о с о б: Тарас на первой лодке, Игнат – на второй, Федя – на третьей. 2-й с п о с о б: Тарас на второй лодке, Федя – на первой, Игнат – на третьей. Р а с с т а в ь т е 16 чисел. В квадрате, состоящем из 16 клеток, нужно расставить целые числа от 1 до 16 так, чтобы суммы чисел, стоящих в каждом вертикальном ряду, в каждом горизонтальном ряду, а также на любой диагонали были равны. Решение 1-й с п о с о б. 4 5 14 11 1 15 8 10 16 2 9 7 13 12 3 6 3 2 15 14 13 16 1 4 10 11 6 7 8 5 12 9 2-й с п о с о б. З а д а ч а - ш у т к а. Один человек должен был перевезти через реку волка, козу и капусту. Но его лодка была такая маленькая, что он при каждом переезде мог взять с собой только одно животное или капусту. Между тем волка нельзя оставить на берегу одного с козой, так как он мог её съесть. Нельзя было также допустить, чтобы коза оставалась одна с капустой, так как она могла её съесть. Как при этих условиях перевезти все на другой берег? О т в е т: 1-я переправа: человек и коза (обратно – 1 человек). 2-я переправа: человек и волк (обратно – человек и коза). 3-я переправа: человек и капуста (обратно – 1 человек). 4-я переправа: человек и коза. З а д а ч а. Четыре подруги пришли на каток, каждая со своим братом. Они разбились на пары и начали кататься. Оказалось, что в каждой паре «кавалер» выше «дамы», и никто не катается со своей сестрой. Самый высокий из компании – Юра Воробьев, следующий по росту – Андрей Егоров, потом Люся Егорова, Сережа Петров, Оля Петрова, Дима Крымов, Инна Крымова и Аня Воробьева. Кто с кем катался? О т в е т: до разбития участников катания на пары построим их по росту. Изобразим такое построение цепочкой кружков, вписывая инициалы участников катания в кружки. Учитывая условия задачи, получим цепочку: Ю. В. А. Е. Л. Е. С. П. О. П. Д. К. И. К. А. В. Из этой цепочки ясно, что: 1) Юра Воробьев должен кататься с Люсей Егоровой, иначе Люся Егорова останется без партнера, рост которого выше роста Люси. 2) Андрей Егоров должен кататься с Олей Петровой, иначе Оля останется без соответствующего партнера. 3) Саша Петров должен кататься с Инной Крымовой, в противном случае он будет кататься с Аней Воробьевой , а Инна Крымова останется со своим братом Димой Крымовым, что противоречит условию задачи. 4) Наконец, Дима Крымов должен кататься с Аней Воробьевой. Таким образом, образуются следующие пары: Ю. В. А. Е. Л. Е. Д. К. О. П. С. П. А. В. И. К. «Соблюдайте правило». Проверьте свою внимательность! Стадия рефлексии. – Как учили таблицу умножения в Китае? – Как назывались отрицательные числа в Китае? – А положительные? – Какое самое крупное открытие в математике сделали китайские ученые? 14. АНТИЧНАЯ МАТЕМАТИКА Цели: познакомить с античной математикой; учить детей рассуждать; развивать математическое мышление. Ход занятия Стадия вызова. – Когда произошла у греков настоящая культурная революция, что у них появилось? – Когда возникли Олимпийские игры? – Откуда приходили самые интересные известия? – Что дал прочный мир под властью персов? Стадия осмысления содержания. Слово учителя. Пожалуй, дату точного появления математики как науки можно определить довольно точно – VI в до н. э. На протяжении 20–30 предыдущих веков народы древнего Востока сделали немало открытий в арифметике, геометрии и астрономии, но единой математической науки они не создали. Грекам же это удалось в течение одного столетия, что до сих пор кажется чудом. На полтора столетия раньше – в середине VIII в. до н. э. – греки пережили настоящую культурную революцию. У них появился свой алфавит, включавший гласные буквы. Тогда же были созданы поэмы «Илиада» и «Одиссея». Гомеровский эпос позволил приобщиться к культуре всем, даже неграмотным. Ведь стихи нетрудно выучить наизусть. В эту же эпоху возникли Олимпийские игры. На них каждые четыре года встречались наиболее активные и просвещенные граждане городов Эллады (так называли свою родину сами греки). С середины VIII в. до н. э. быстро росло число городов, особенно в заморских колониях. В поисках новых земель, пригодных для сельского хозяйства, сотни семей переправлялись за море и селились по всему побережью Средиземного и Черного морей – рядом с местными «варварами». Эллины знакомились с культурой соседних народов, учились у них и сами учили их. Жители городских республик – полисов – ежедневно обсуждали на улицах и площадях волновавшие их вопросы: от видов на урожай и настроений окрестных варваров до новостей, привезенных заезжими купцами. Самые интересные известия приходили из государств Ближнего Востока – Египта и Ассирии, а после гибели Ассирийского царства – из поделивших его владения Вавилонии и Мидии. В середине VI в. до н. э. все эти земли попали под власть персов, которые установили прочный мир в своей огромной империи. Теперь многие любознательные эллины имели возможность безопасно путешествовать по землям Персидской державы: одни – с торговыми целями, другие – в надежде приобщиться к мудрости египтян и вавилонян. Вернувшись домой, такой путешественник всегда возбуждал живое любопытство сограждан. Но не во всем ему верили на слово. Например, он говорил, будто в Египте стоят рукотворные холмы из камня – гробницы древних царей – высотой в 200 или 300 локтей. Неужели он сам измерил их высоту? Каким образом? Пусть докажет, что его слова – правда! И еще: он сказал, что мудрые египтяне умеют предсказать срок будущего затмения Луны или Солнца. Пусть объяснит, как это они делают! И когда мы увидим очередное затмение в нашем городе? Видимо, первым из греков, кто научился убедительно отвечать на подобные вопросы, был Фалес Милетский. Р а з м и н к а. Н а р и с у й т е т а б л и ц у. Первое число Второе число Сумма – Найдите два числа, если: 1) Их сумма равна 5 и одно из них на 1 больше другого. 2) Их сумма равна 8 и одно из них на 2 больше другого. 3) Их сумма равна 8 и одно из них на 4 больше другого. 4) Их сумма равна 12 и одно из них на 2 больше другого. 5) Их сумма равна 11 и одно из них на 1 больше другого. 6) Их сумма равна 15 и одно из них на 1 больше другого. 7) Их сумма равна 15 и одно из них на 3 больше другого. 8) Их сумма равна 9 и одно из них в 2 раза больше другого. 9) Их сумма равна 18 и одно из них в 2 раза больше другого. 10) Их сумма равна 30 и одно из них в 2 раза больше другого. 11) Их сумма равна 21 и одно из них в 2 раза больше другого. 12) Их сумма равна 27 и одно из них в 2 раза больше другого. Р е ш и т е з а д а ч и. 1) В булочную привезли 788 кг белого и черного хлеба. К концу дня было продано 572 кг белого хлеба, а черного хлеба – на 405 кг меньше. Сколько хлеба осталось в булочной? Решение 1) 572 – 405 = 167 (кг) – продали черного хлеба. 2) 572 + 167 = 739 (кг) – продали белого и черного хлеба. 3) 788 – 739 = 49 (кг) – осталось хлеба в булочной. О т в е т: 49 кг. 2) Два самосвала возили цемент на стройку: первый самосвал прошел 178 км, второй на 75 км больше первого. Сколько километров прошли оба самосвала? Решение 1) 178 + 75 = 253 (км) – прошел второй самосвал. 2) 253 + 178 = 431 (км) – прошли два самосвала. О т в е т: 431 км. Друзья математика. Математик попал в плен. Через подкупленного стражника друзья сообщили ему, что в полночь двери его темницы будут открыты, и он сможет пройти через другие незапертые камеры, на которых мелом написаны числа, делящиеся на 3, или в написание которых входит цифра 3. Найдите этот путь. 1 2 4 5 6 7 8 10 11 11 12 13 15 16 18 21 24 25 26 27 28 30 31 32 40 3 6 7 9 12 14 16 17 18 19 20 21 22 23 25 27 30 31 40 1 3 6 7 8 10 11 12 14 16 18 19 21 23 24 25 27 28 29 30 31 32 1 3 6 9 10 12 14 16 17 18 19 20 22 23 О т в е т: З а д а ч а «Мальчики и яблоки». Трое мальчиков имеют по некоторому количеству яблок. Первый из мальчиков дает другим столько яблок, сколько каждый из них имеет. Затем второй мальчик дает двум другим столько яблок, сколько каждый из них теперь имеет; в свою очередь и третий дает каждому из двух других столько, сколько есть у каждого в этот момент. После этого у каждого из мальчиков оказывается по 8 яблок. Сколько яблок было вначале у каждого мальчика? О т в е т: так как в конце у каждого из мальчиков оказывается по 8 яблок, а непосредственно перед тем третий дал первому и второму столько, сколько они имели, то перед последней передачей яблок первый и второй мальчик имели по 4 яблока, а третий – 16 яблок. Но тогда перед второй передачей первый мальчик имел 2 яблока, третий 8 яблок. а следовательно, второй мальчик 4+ 2 + 8 = 14 яблок. З а д а ч а - ш у т к а «Витя на распутье». У Вити дедушка – лесник. Летом Витя решил навестить его. Захотелось ему съездить в Солнечную Поляну (там живет дедушка) на велосипеде. Стал просить маму: – Разреши мне съездить к дедушке. – Ты заблудишься, сынок, – сказала мама. – На дороге, по которой надо ехать к дедушке, есть перекресток; от него расходятся три дороги. И только одна из них ведет в Солнечную Поляну. Остальные же ведут в дремучий лес. Надо знать, по какой дороге из трех следует ехать. Боюсь я тебя отпускать. – Пусти, мама – продолжал настаивать Витя. – Я найду дорогу. – Ладно, поезжай, разрешила мама. – Если на перекрестке не сумеешь сообразить, по которой дороге ехать, то сразу возвращайся домой. Обрадовался Витя, сел на велосипед и поехал. Доехал Витя до перекрестка и увидел, что от перекрестка идут три дороги. А у этих дорог поставлены три колышка с прибитыми на них щитами. На щитах было написано: На щите у первой дороги сообщалось: «Эта дорога ведет в Солнечную Поляну». На втором щите, стоящим у средней дороги, объявлялось, что данная дорога не приведет в Солнечную Поляну. На щите у третьей дороги было написано: «Внимание! На одном из рядом стоящих щитов сказана правда, а на другом – неправда. На моем щите – истина несомненная. Учти это каждый идущий и едущий в Солнечную Поляну. Прояви смекалку. И ты правильно выберешь одну из трех дорог, которая и приведет тебя в Солнечную Поляну». И остановился Витя на перепутье. По какой же из этих трех дорог ему поехать, ребята? О т в е т: написавшие на щитах убеждали, что на третьем щите написана несомненная правда. И мы обязаны поверить этому. На третьем щите написано: «На одном из рядом стоящих щитов сказана правда, а на другом – неправда». А на каком же правда? Предположим, что на первом щите правда сказана, то есть первая дорога ведет в Солнечную поляну. Тогда на втором щите написана неправда, и средняя дорога тоже ведет в Солнечную Поляну. Но Витина мама сказала, что туда ведет только одна дорога, а не две. Поэтому придется отбросить первое предположение. Теперь допустим, что на первом щите сказана неправда и в действительности первая дорога не ведет в Солнечную Поляну. Тогда на втором щите написана правда, то есть и эта дорога не направлена в Солнечную Поляну. Но ведь одна из трех дорог приводит в эту деревню. Значит, такой, которая приведет в Солнечную Поляну, является дорога у третьего щита. Из каких геометрических фигур состоят эти поросята? – Где больше кругов? – Сколько геометрических фигур в каждом поросенке? З а д а ч а - ш у т к а. Собрался Иван Царевич на бой со Змеем Горынычем, трехглавым и треххвостым. «Вот тебе меч-кладенец – говорит ему Баба Яга. – Одним ударом ты можешь срубить либо один хвост, либо одну голову. Либо две головы, либо два хвоста. Но запомни: срубишь один хвост – два вырастут, срубишь два хвоста – голова вырастет, срубишь голову – голова вырастет, срубишь две головы – ничего не вырастет». За сколько ударов Иван Царевич может срубить Змею все головы и хвосты? О т в е т: все головы и хвосты Иван Царевич срубит Змею Горынычу за 9 ударов. Каждая фигура в этих строчках заменяет собой какую-то цифру от 0 до 9. Можешь ли ты найти цифровое значение каждой фигуры? О т в е т: Стадия рефлексии. – Откуда приходили самые интересные известия к грекам? – Когда любознательные эллины получили возможность безопасно путешествовать по землям Персидской державы? – Что это за рукотворные холмы поражали воображение персов? – Кто из греков мог отвечать убедительно на вопросы?
