мат-ка БГПУ 8

1. Найти два числа, зная их сумму 168 и общий делитель 24.
Поскольку чИсла имеют общий делитель 24, то они представимы в виде 24*х и
24*у, где х и у - тоже натуральные числа. Из условия 24*х + 24*у = 168 получаем,
что х + y = 7. Отсюда получаем следующие возможности:
x = 1, y = 6. Тогда сами числа равны 24 и 144.
x = 2, y = 5. Тогда сами числа равны 48 и 120.
x = 3, y = 4. Тогда сами числа равны 72 и 96.
2. В каком году родились люди, которым 1958 году исполнилось столько лет, какова
сумма цифр года их рождения?
Они родились в 1942 году (1+9+4+2)=16 в 1958 году им было16 лет
3. Найти такое трехзначное число, удвоив которое мы получим число, выражающее
количество цифр, необходимое для написания всех последовательных целых чисел
от 1 до этого трехзначного числа.
Решение
Пусть x – искомое число. Однозначных чисел всего 9, двузначных – 90, трёхзначных
чисел до x включительно – x – 99. Количество цифр, необходимое для написания всех
последовательных чисел от 1 до x, равно 9 + 2·90 + 3·(x – 99) = 3x – 108. Получим
уравнение
2x = 3x – 108, откуда x = 108.
4. Если к некоторой сумме денег прибавить через год 112 ее, а в следующий - 112
новой суммы, то первоначальная сумма за два года увеличиться на 16900. Найти
первоначальную сумму.
5. Дана система
zx+y=2,zy-x=3,
где x>0, y>0, z>0. Что больше: z или x?
Решение:
Z больше
6. Сколько всего диагоналей можно провести в многоугольнике, имеющим 103
стороны.
n(n – 3)/2=103*100/2=5150 диагоналей
7. В треугольнике АВС высота ha составляет половину биссектрисы внешнего угла
этого треугольника при вершине А. Найти разность углов В и С.
8. Найти сумму 12+1+13+2+…+110+99=10989
Решение
(1+99)*99
1+2+…+99=--------------------=4950
2
(12+110)*99
12+13+…+110=--------------------=6039
2
Ответ: 10989
9. Найти все пары натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению x2-y2=69
х^2-у^2=69
(х-у)(х+у)=69
Какие числа дают в произведении 69? Это числа 1 и 69; -1 и -69; 3 и 23; -3 и -23. Выберем из них
натуральные., т е неотрицательные.
Теперь решаем систему уравнений:
1)х-у=3
х+у=23. Ответ (13;10)
2) х-у=1
Х+у=69 ответ:(35;34)
10. В школе 30 классов и 1000 учащихся. Докажите, что есть класс, в котором не менее
34 учеников.
Решение
следуем от обратного
предположим, что в этой школе нет класса, где было бы учеников больше 33-х.
Тогда предположим, что во всех классах по 33 ученика - это предел допустимого в этом случае порога.
итого получается 990 учеников. Но их у нас 1000. т.е. ещё десять нам так или иначе надо "раскидать" по
классам. Следовательно, у нас появится, как минимум, один класс, где учеников будет больше 33-х.