8 класс Решение.

8 класс
1. Докажите, что 2013 произвольных куска сыра можно разделить на две равные по массе части, разрезав не более одного куска.
Решение. Решение. Пусть общая масса сыра 2x. Будем откладывать куски сыра в один пакет, пока масса пакета впервые не превысит x. От последнего отложенного куска отрежем «излишки».
2. Назовем диагональ многоугольника хорошей, если она делит его площадь пополам. Какое наибольшее число хороших диагоналей может быть у выпуклого пятиугольника?
Решение. Две. Легко видеть, что такие диагонали не могут выходить из одной вершины.
ствительно, если бы это было так (см. рис. справа), то площади левой и правой частей равнялись бы по половине площади пятиугольника, а на среднюю часть ничебы не осталось. Очевидно, что в пятиугольнике можно провести не более двух диагоналей без общих вершин.
Дейго
Две хорошие диагонали в пятиугольнике могут быть. Например, пятиугольник
площади 12, изображенный на рисунке слева, диагональю разделяется на две части площади 6. И таких диагоналей две.
3. Каких чисел среди всех целых чисел от 1 до 1000000 больше и на сколько: делящихся на 5, чья
сумма цифр на 5 не делится, или не делящихся на 5, чья сумма цифр на 5 делится?
Решение. Ответ: первых на 1 больше. Обозначим первое из множеств чисел за A, а второе за B. Рассмотрим какое-нибудь число X, меньшее 100000 с суммой цифр, не делящейся на 5. Очевидно, что
дописав к нему справа одну цифру d, можно добиться, чтобы сумма цифр стала делиться на 5. Причём, это можно сделать двумя способами: дописав 5-r или 10-r, где r – остаток от деления суммы
цифр исходного числа на 5. При этом r не равно 0 или 5, т.е. новое число не будет делиться на 5.
Если же к X справа дописать 0 или 5, то получится число, делящееся на 5, с суммой цифр не делящейся на 5. Итак, каждое рассмотренное нами число порождает ровно по два числа из множеств A и
B. Ясно, что каждое число из этих множеств порождается ровно один раз, кроме числа 1000000.
Значит, количество чисел в множестве A на 1 больше, чем в B.
4. В треугольнике ABC через AA1, BB1 и CC1 обозначим высоты, а через AA2, BB2 и CC2 – медианы.
Докажите, что длина ломаной A2B1C2A1B2C1A2 равна периметру треугольника ABC.
Решение. Каждое звено ломаной – это отрезок, проведённый из основания высоты к середине противоположной стороны, т.е. это медиана в прямоугольном треугольнике, проведённая к гипотенузе
(стороне треугольника). Длина такой медианы равна половине гипотенузы (стороны треугольника).
А сумма всех отрезков равна сумме всех сторон.
5. Найдите все натуральные числа, которые можно представить в виде
mn  1
, где m и n − натуральmn
ные числа.
Решение. Ответ: любое натуральное число. Для представления числа k можно взять m  2k  1 , а
mn  1 (2k  1)(2k  1)  1 4k 2
.
Тогда


k.
n  2k  1
mn
(2k  1)  (2k  1)
4k