Графики взаимно обратных функций

Взаимно обратные функции. Графики взаимообратных функций
Две функции f и g называются взаимно обратными, если формулы y=f(x)
и x=g(y) выражают одну и ту же зависимость между переменными х и у, т.е.
если равенство y=f(x) верно тогда и только тогда, когда верно равенство x=g(y):
y=f(x)  x=g(y)
Если две функции f и g взаимно обратны, то g называют обратной
функцией для f и, наоборот, f – обратная функция для g.
Например, у=10х и х=lgy – взаимно обратные функции.
Ели есть некоторая зависимость между переменными у и х, которая
позволяет выразить у как функцию от х и х как функцию от у, то эти две
функции являются взаимно обратными.
Графики взаимно обратных функций
Теорема. Пусть f и g взаимно обратные функции. Графики функций y=f(x)
и x=g(y) симметричны друг другу относительно биссектрисы угла хОу.
Доказательство.
По определению взаимно обратных функций формулы y=f(x) и x=g(y)
выражают одну и ту же зависимость между переменными х и у, а значит, эта
зависимость изображается одним и тем же графиком – некоторой кривой С.
Кривая С является графиком функции y=f(x). Возьмем произвольную
точку Р(a; b)С. Это означает, что b=f(a) и одновременно a=g(b).
Построим точку Q, симметричную точке Р относительно биссектрисы
угла хОу. Точка Q будет иметь координаты (b; a). Так как a=g(b), то точка Q
принадлежит графику функции y=g(x): действительно, при х=b значение у=а
равно g(x).
Таким образом, все точки, симметричные точкам кривой С относительно
указанной прямой, лежат на графике функции у=g(x).
Примеры функций графики которых взаимно обратны:
у=ех и у=lnx;
y=x2 (x0) и y=√𝑥;
𝑥
у=2x – 4 и у= +2.
2
Условие существования взаимно обратной функции
Функция f имеет обратную, если из соотношения y=f(x) переменную х
можно однозначно выразить через у.
Есть функции, для которых нельзя однозначно выразить аргумент через
заданное значение функции.
Например:
1. y=|x|. Для данного положительного числа у найдутся два значения
аргумента х, такие, что |x|=у. Например, если у=2, то х=2 или х= - 2. Значит,
выразить однозначно х через у нельзя. Следовательно, эта функция не имеет
взаимно обратной.
2. у=х2. х=√𝑦, х= - √𝑦
3. y=sinx. При заданном значении у (|y|1) найдется бесконечно много
значений х, таких, что y=sinx.
Функция y=f(x) имеет обратную, если всякая прямая у=у0 пересекает
график функции y=f(x) не более чем в одной точке (она может совсем не
пересекать график, если у0 не принадлежит области значений функции f).
Это условие можно сформулировать иначе: уравнение f(x)=y0 при каждом
у0 имеет не более одного решения.
Условие того, что функция имеет обратную, заведомо выполняется, если
функция строго возрастает или строго убывает. Если f строго возрастает, то при
двух различных значениях аргумента она принимает различные значения, так
как большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Следовательно, уравнение f(x)=y для строго монотонной функции имеет не
более одного решения.
Показательная функция у=ах строго монотонна, поэтому она имеет
обратную – логарифмическую функция 𝑦 = log 𝑎 𝑥.
Многие функции не имеют обратных. Если при некотором b уравнение
f(x)=b имеет более одного решения, то функция y=f(x) обратной не имеет. На
графике это означает, что прямая y=b пересекает график функции более чем в
одной точке.
Например,
у=х2;
y=sinx;
у=tgx.
С неоднозначностью решения уравнения f(x)=b можно справиться, если
уменьшить область определения функции f так, чтобы ее область значений не
изменилась, но чтобы каждое свое значение она принимала один раз.
Например,
у=х2, х0;
𝜋
𝜋
y=sinx, 𝑥 ∈ [− ; ];
2 2
𝜋 𝜋
у=tgx, 𝑥 ∈ (− ; ).
2
2
Каждая из этих функций имеет обратную:
у=х2, х0  𝑦 = √𝑥;
𝜋
𝜋
y=sinx, 𝑥 ∈ [− ; ]  x=arcsiny;
2 2
𝜋 𝜋
у=tgx, 𝑥 ∈ (− ; )  x=arctgy.
2
2
Свойства взаимно обратных функций
Тождества
Пусть f и g взаимно обратные функции. Это означает, что равенства y=f(x)
и x=g(y) равносильны: f(g(y))=y и g(f(x))=x.
Например,
𝑎
1. Пусть f – показательная, g – логарифмическая функция. Получаем:
= 𝑦 и log 𝑎 𝑎 𝑥 = 𝑥.
log𝑎 𝑦
2. Функции у=х2, х0 и y=√𝑥 взаимно обратны. Имеем два тождества:
(√𝑥)2 = 𝑥 и √𝑥 2 = 𝑥 при х0.
Область определения
Пусть f и g взаимно обратные функции. Область определения функции f
совпадает с областью значений функции g, и, наоборот, область значений
функции f совпадает с областью определения функции g.
Пример. Область определения показательной функции – вся числовая ось
R, а ее область значений – множество всех положительных чисел. У
логарифмической функции наоборот: область определения – множество всех
положительных чисел, а область значений – все множество R.
Монотонность
Если одна из взаимно обратных функций строго возрастает, то и другая
строго возрастает.
Доказательство. Пусть х1 и х2 – два числа, лежащие в области
определения функции g, причем x1<x2. Обозначим g(x1)=y1, g(x2)=y2. Числа у1 и
у2 лежат в области определения функции f, так как они являются значениями
функции g. Предположим, что y1у2. В силу монотонности функции f имеем
f(y1)f(y2). Но f(y1)=f(g(x1))=x1 и f(y2)=f(g(x2))=x2, т.е. х1х2, что противоречит
условию x1<x2. Следовательно, y1<y2.
Производная обратной функции
Пусть f и g взаимно обратные функции. Графики функций y=f(x) и x=g(y)
симметричны друг другу относительно биссектрисы угла хОу.
Возьмем точку х=а и вычислим значение одной из функций в этой точке:
f(a)=b.
Тогда по определению обратной функции g(b)=a.
Точки (a; f(a))=(a; b) и (b; g(b))=(b; a) симметричны относительно прямой
l. Так как кривые симметричны, то и касательные к ним симметричны
относительно прямой l.
Из симметрии угол одной из прямых с осью х равен углу другой прямой с
осью у. Если прямая образует с осью х угол α, то ее угловой коэффициент равен
𝜋
1
k1=tgα; тогда вторая прямая имеет угловой коэффициент k2=tg( – α)=ctgα= .
2
𝑘1
Таким образом, угловые коэффициенты прямых, симметричных относительно
1
прямой l, взаимно обратны, т.е. k2= , или k1k2=1.
𝑘1
Переходя к производным и учитывая, что угловой коэффициент
касательной является значением производной в точке касания делаем вывод:
Значения производных взаимно обратных функций в соответствующих
1
1
точках взаимно обратны, т.е. 𝑔′ (𝑏) = ′ = ′
.
𝑓 (𝑎)
𝑓 (𝑔(𝑏))
3
Пример 1. y=f(x)=x3. Обратной функцией будет функция y=g(x)= √𝑥. Найдем
1
1
1
производную функции g: 𝑔′ (𝑥) = ′
=
= 3 2.
2
𝑓 (𝑔(𝑥))
3
Т.е. ( √𝑥)′=
1
3
3 √𝑥 2
3(𝑔(𝑥))
3 √𝑥
.
𝜋
𝜋
2
2
Пример 2. у=f(x)=sinx, x[− ; ]. Обратной функцией будет y=g(x)=arcsinx.
Найдем производную арксинуса: 𝑔′ (𝑥) =
(arcsinx)'=
1
√1−𝑥 2
1
𝑓′ (𝑔(𝑥))
=
1
cos arcsin 𝑥
=
1
√1−𝑥 2
. Т.е.
.
Упражнения
1. Докажите, что функция, заданная формулой, обратима:
1) 𝑦 = 2𝑥
2) 𝑦 = 𝑥 − 2
3) 𝑦 = 𝑥 2 , 𝑥 ≥ 0
4) 𝑦 = , 𝑥 > 0
5) 𝑦 = −3𝑥 + 1
6) 𝑦 = −4𝑥
7) 𝑦 = 𝑥 2 , 𝑥 ∈ [0; 2]
8) 𝑦 = 𝑥 3
1
9) 𝑦 = − 𝑥
3
2
3
4
𝑥
1
10) 𝑦 = 𝑥 − 3
2
2. Задайте формулой функцию, обратную данной:
2
4
1) 𝑦 = 2𝑥
2) 𝑦 = 𝑥 − 2
3) 𝑦 = 5𝑥 − 10
4) 𝑦 = , 𝑥 > 0
5) 𝑦 = −3𝑥 + 1
6) 𝑦 = −4𝑥
7) 𝑦 = 0,1𝑥 + 1
8) 𝑦 = 𝑥 3
1
9) 𝑦 = − 𝑥
3
3
1
10) 𝑦 = 𝑥 − 3
2
𝑥