TK4

28
§10. Приложения принципа сжатых отображений и теоремы о неявной функции.
В дальнейшем E - банахово пространство. Оператор F есть оператор сжатия на
множестве Q  E , если существует число   0,1 такое, что для любых x1 , x2  Q
 
выполнено неравенство
F x2   F x1    x2  x1
Теорема 1. Если
Q есть замкнутое множество в банаховом пространстве E , а
оператор F отображает множество Q в себя и есть на этом множестве оператор
сжатия, то у оператора F есть на множестве Q единственная неподвижная точка.
Теорема 2. Если оператор сжатия
U r  x0   E ,
F определен на замкнутом шаре
F x0   x0  r 1    , то оператор F отображает этот шар в себя и имеет в
этом шаре единственную неподвижную точку.
F слабо дифференцируем на выпуклом множестве K
Fc  x     1 , то оператор F является оператором сжатия на множестве K .
Теорема 3. Если оператор
и
Доказательство. Применяя формулу конечных приращений, получаем при
x1 , x2  K
F x2   F x1   Fc  x1    x2  x1   x2  x1   x2  x1
Может быть полезным следующее обобщение принципа сжатых отображений.
F действует в полном метрическом пространстве X ,
m
и некоторая целая степень оператора F является оператором сжатия, то у
оператора F есть единственная неподвижная точка.
m
Доказательство. Так как F оператор сжатия, то у него есть неподвижная точка
F m x  x . Отсюда следует, что FFm x  Fm1 x  Fm Fx  Fx . Следовательно,
Fx также является неподвижной точкой оператора Fm . Так как неподвижная точка
единственна, то x  Fx . Точка x будет и неподвижной точкой оператора F . Покажем,
x  F~
x , то F m ~
x~
x . Так как
что других неподвижных точек о оператора F нет. Если ~
m
x.
неподвижная точка оператора F единственна, то x  ~
Теорема 4. Если оператор
Дифференциальные уравнения в банаховом пространстве.
Пусть задан оператор
F : E  0,  E . Рассмотрим дифференциальное уравнение
29
dx t 
 F x t , t 
dt
Задача Коши для этого уравнения; найти решение, удовлетворяющее начальному
условию x 0  x0 .

x  x0  r , 0  t   0 выполнены следующие условия:
1. Оператор F  x, t  непрерывен по t
Теорема 5. Пусть при
2.
3.
4.
F x , t   C
F x2 , t   F x1 , t    x2  x1
  minr / C , 1 /  ,  0 
t  0,   существует единственное решение задачи Коши x t  на
отрезке 0,  , причем x t   x0  r .
Тогда при
Доказательство. Рассмотрим интегральное уравнение
t
x t    F x s , s ds  x0  Ax
0



и банахово пространство CE 0,  непрерывных функций x t со значениями в
банаховом пространстве E . Определим норму в этом пространстве как
x  max xt 
t0, 
Покажем, что оператор
A
отображает шар
U r  x0   xt   C E 0,   : xt   x0  r
в себя и является в этом шаре оператором сжатия.
Заметим, что абстрактная функция F t , x t
   ставящая в соответствие
непрерывной функции xt  U r x0  функцию Ft, x t  непрерывна. Действительно,
Ft , x t   Ft0 , x t0   Ft , x t   Ft , x t0   Ft , x t0   Ft , x t0  
  x t   x t0   Ft , x t0   Ft , x t0 
Поэтому оператор
F ставит в соответствие
непрерывной функции
непрерывную функцию. Покажем, что он отображает шар U r
x0  в себя
xt  U r x0 
30

Ax t   x0   Fs, x s  ds  C  r
0
согласно определению числа


. Покажем, что оператор
A сжимающий
Ax1 t   Ax2 t    Fs, x2 s   Fs, x1 s  ds 
0

   x2 s   x1 s  ds   x2  x1 , Ax1 t   Ax2 t   q x2  x1
0
q    1
Следовательно
Ax1  Ax2  q x2  x1
Вследствие теоремы о сжатых отображениях у оператора A существует
единственная неподвижная точка в шаре U r x0 , что доказывает существование
решения задачи Коши.
 
Теорема 6. Если при каждом фиксированном
на отрезке
x оператор F x, t  непрерывен по t
0,   и удовлетворяет условию Липшица
F x2 , t   F x1 , t   c x2  x1
то на
0,   существует единственное решение задачи Коши.
Доказательство. Решение задачи Коши эквивалентно решению интегрального
уравнения
t
x t    F  x s , s ds  x0  Ax
0
Так как удовлетворяется условие Липшица, то
Ax2  Ax1 
t
 Fx2 s , s   Fx1 s , s ds

0
t
t
0
0
  F x2 s , s   F x1 s , s  ds   c x2  x1 ds  ct x2  x1
Итерируя это неравенство, получаем
31
t
t
A x2  A x1   c Ax2  Ax1 ds   c s x2  x1
2
2
2
0
A x2  A x1
A x2  A x1

c m

m
m
m
m!
Найдется такое

2
0

cs m

m

cs 2
ds 
m!
x2  x1

c m

m!
x2  x1
x2  x1
x2  x1
m , что c m / m!   1. Оператор A m

есть оператор сжатия
в пространстве C E 0,  и согласно теореме 4 у оператора A существует единственная
неподвижная точка в пространстве E , что эквивалентно существованию решения задачи
Коши.
Пример 1. Рассмотрим систему обыкновенных нелинейных дифференциальных
уравнений
x t   F t, xt  , x  x1 , x2 ,, xn  , F  F1 ,, Fn 
где функции
Fi t, x  непрерывны на отрезке 0,  0 
Положим
x  max xi
i 1,n
x  x0  r , 0  t   0 выполнены условия
Функции Fi  x, t  при любом x  x0  r непрерывны по t на 0,  0  .
Fi  x, t   C
Fi  x2 , t   Fi  x1 , t    x2  x1
  minr / C , 1/  ,  0 
Пусть при
1.
2.
3.
4.
0,   существует решение задачи Коши для системы
xi t   xi 0   .
дифференциальных уравнений, причем
Тогда на отрезке
Если рассматривается система линейных уравнений
xt   At x  f t 




где матрица A t и функция f t непрерывны на отрезке 0,  , то существование
решения задачи Коши на этом отрезке сводится к проверке условий теоремы 6. Если
32
предположить, что
непрерывна на
F x, t   At x  f
, то при любом
0,  . Удовлетворено условие Липшица
x  R n функция F t, x 
At x1  At x2  At   x1  x2   x1  x2
  n max max aij t 
t0,   i , j 1. n
§11. Метод Ньютона решения нелинейных уравнений.
f x   0 , где f : E1  E2 .
Пусть элемент x0 есть начальное приближение для корня этого уравнения x . . Если
существует производная Фреше f  x  в некоторй окрестности точки x0 ,то
Рассмотрим уравнение в банаховом пространстве
0  f x   f x0   f x0 x  x0   ox  x0 
Приближенное значения x1 находится из уравнения
f x0   f x0 x1  x0   0
Если оператор
f x0  обратим, то
x1  x0   f  x0 1 f  x0 
Предполагается, что x1 лучшее приближение, чем x0 . Беря в качестве
начального приближения x1 , получаем аналогично предыдущему новое приближение
x2  x1   f  x1 1 f  x1 
Строится последовательность
xn  xn 1   f  xn 1 1 f  xn 1 
Если эта последовательность окажется сходящейся к элементу
воспользовавшись непрерывностью, получим
x , то
x  x   f  x 1 f  x   f  x   0
Описанный процесс называется итерационным процессом Ньютона.
Модифицированный метод Ньютона заключается в построении
последовательности
33
xn  xn 1   f  x0 1 f  xn 1 
Преимущество модифицированного процесса Ньютона в том, что обратный
оператор надо вычислить только один раз в точке x0 , но сходимость итераций будет
медленней, чем в прямом методе Ньютона.
x0  производная Фреше
f  x  удовлетворяет
условию Липшица с постоянной Липшица, равной l . Оператор f  x  имеет обратный и
Теорема 1. Пусть в шаре U r
f  x 1  m ,
. Если
f  x0   
(11.1)
q  m2l / 2  1 и

r   m  q 2
k
1
(11.2)
k 0
то итерационный процесс Ньютона сходится к решению уравнения
xn  x  m
q 2
n
f x   0 , причем

1
1 q
2n
.
(11.3)
Доказательство. Введем обозначения
f n  f xn  , f n  f xn 
В этих обозначениях итерационная последовательность Ньютона имеет вид
xn 1  xn   f n 1 f n
Покажем, что при сделанных предположениях все x n
U r   x0  . Имеем
x1  x0  f 0 f 0 , f 0  f 0 x1  x0   0
1
x1  x0  f 0 f 0  f 1  x0   f  x0   m
1
f1  f1  f 0  f 0 x1  x0   f  x1   f  x0   f  x0  x1  x0  

l
x1  x0
2
2
Далее по индукции покажем, что
(11.3)
34
xn  x n 1  mq 2
n 1
1
 r , f n 
l
x n  xn 1
2
2
(11.4)
Пусть выполнены условия (11.4). Тогда
xn 1  xn  f n1 f n
xn 1  xn   f n 1 f n  m f n  m
l
xn  xn 1
2
2
ml 2 2 2 2 n  2
m q

2

n
n
l
 2n
 m  m 2  q 2  2  mqq 2  2  mq 2 1
2

Далее
f n  f n  x n 1  x n   0
f n 1  f n 1  f n  f n  x n 1  x n   f  x n 1   f  x n   f  x n  xn 1  x n  

l
x n 1  x n
2
2
Таким образом доказаны по индукции равенства (11.4). Докажем
фундаментальность последовательности x n
xn  p  xn  xn  p  xn  p 1    xn 1  xn  m
n  p 1

q2
k
1
k n
Так как 0  q  1, то из этого неравенства следует фундаментальность
последовательности.
Переходя к пределу при
p   , получаем оценку скорости сходимости
xn  p  xn  xn  p  xn  p 1    xn 1  xn  m

 m  q
2  n  k  1
k 0

mq 2
n
1  q2
1
n

 m  q
k 0
2 n 2 k 1

 m  q
k 0
2 n 1 k 1
n  p 1

q
2 k 1
k n
 mq
2 n 1

 m  q 2
 q

k 0
k n
2n

k
k
1
35
x0  функция f x  дифференцируема и f x 
удовлетворяет условию Липшица с постоянной Липшица l , оператор f  x0  имеет
Теорема 2. Пусть в шаре U r
обратный. Если выпонены неравенства
f  x0    , f  x0 
1
1  1  2m 2 l
r
 m , 2m l  1 , r  
ml
2
(11.5)
f x   0 имеет единственное решение x* U r x0  к которому
сходится модифицированный процесс Ньютона, начатый с точки x0 , причем скорость
то уравнение
сходимости задается неравенством
x n  x0
1 

1  2m 2 l
1  2m 2 l
 m
n
Доказательство. Рассмотрим оператор
F  x   x  f  x0 1 f  x 
(11.6)
Покажем, что он отображает шар U r   x0  в себя
F  x   x0  x  x0  f  x0 1 f  x   f  x0 1  f  x   f  x0  x  x0  
 m f  x   f  x0   f  x0  x  x0   f  x0  
m f  x   f  x0   f  x0  x  x0   m f  x0   m
l
x  x0
2
2
 m 
mlr 2

 m  r 
2
поскольку
r
есть наименьший корень уравнения
1
mlr 2  r   m  0
2
Покажем, что оператор F сжимающий в шаре U r  x 0  . Достаточно показать, что
производная этого оператора удовлетворяет условию Липшица с константой меньшей
единицы
F  x   I  f  x0 1 f  x   f  x0 1  f  x0   f  x  
 ml x  x0  mlr   1  1  2m 2 l  1
36
Итак оператор
F
действует в шаре U r  x 0  и есть оператор сжатия с
коэффициентом сжатия q  1  1  2m
оператора. Оценим скорость сходимости
2
l . Пусть x *
неподвижная точка этого

m 1  1  2m 2 l
qn
qn
1
*
xn  x 
F  x0   x0 
f  x0  f  x0  
1 q
1 q
1  2m 2 l

n
Скорость сходимости геометрическая. Модифицированный процесс Ньютона
сходится медленнее, но требует меньших затрат на вычисление обратного оператора.
Пример на метод Ньютона. Рассмотрим нелинейную краевую задачу для
обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка
 x t     x t , t   0 , 0  t  1
(11.7)
x 0   , x 1  
Нелинейные краевые задачи, например, возникают при решении вариационных
задач. Предположим, что функции  x, t и  x x, t непрерывны в
 

 
 0,1, и в окрестности точки x0 равномерно по t удовлетворено
полосе  , 
условие Липшица
  x1 , t     x2 , t   l x1  x2
Чтобы свести задачу к решению операторного уравнения, введем банаховы пространства
X  C 2 a, b и Y  C a, b  R 2
x  max x t   max x t 
Для
x X
Для
y  ht , ,   Y
Оператор
норма
0,1
норма
0,1
y  max h t    2   2
0,1
f : X  Y определяется следующим образом
f x    xt   f xt , t , x0   , x1   
f x 
Краевая задача эквивалентна нахождению решения функционального уравнения
 0 . Найдем производную Фреше оператора f
37
f  x  z   f  x    z t     x t   z t     x t , z 0, z 1 
1


d  x t   z t , t 
   z t   
d , z 0, z 1 


d

0

1


   z t     x  x t   z t , t z t d , z 0, z 1 



0

  z t    x  x t , t z t , z 0, z 1  
1

     x  x t   z t , t    x  x t , t z t d ,0,0 
0

Так как
1
1
    x  x t   z t    x  x t   z t  d  l z t   d 
2
0
 
0
l
z
2
то оператор
l
z
2
2
2
f дифференцируем и
f x z   zt    x xt , t zt  , z0, z1
Но тогда
f  x1 z  f  x2 z  (  x1 t , t     x2 t , t ) z t ,0,0
f  x1 z  f  x2 z  max (  x1 t , t     x2 t , t ) z t  
t 0,1
 z  max   x1 t , t     x2 t , t   l z  max x1 t   x2 t  
t 0,1
t 0,1
 l x1  x2  z
f  x1   f  x2   l x1  x2

Таким образом, производная оператора f в окрестности точки x0 ,  , 
удовлетворяет условию Липшица. Пусть задано начальное приближение
x0 t ,0 ,  0 .
Невязка
 

f  x0    x0 t     x0 t ,t  
       
2
0
0
2  

38
Предположим, что существует в окрестности точки U r
оператор
x0   X
обратный
f  x 1 . Это означает, что для любого x U r x0  однозначно разрешима линейная
граничная задача
f x z  h
или
 zt    x xt , t zt   ht  , z0  z0 , z1  z1
причем
z  f  x 1 h  m h , f  x 1  m
Если выполнены неравенства теоремы 1 ,то итерационный процесс Ньютона
сходится
xn 1  xn  f  xn 1 f  xn 
Удобнее записать его в виде
f xn xn 1  f xn xn  f xn 
Или
 xn1 t   f x  xn t , t xn 1 t  , xn 1 0, xn 1 1 
  xn t   f x  xn t , t xn t  , xn 0, xn 1 
  f  xn t , t  , xn 0   , xn 1   
Или
 xn1 t   f x  xn t , t xn 1 t    xn t   f x  xn t , t xn t   f  xn t , t 
xn 1 0   , xn 1 1  