Косинский Ю.И., «Задача двух взаимодействующих тел

Косинский Юрий Иванович
Задача двух взаимодействующих тел
В работе [1] были определены энергетические и скоростные свойства
эллиптических орбит массы тела в поле центральных сил. В данной работе мы
определим свойства эллиптических орбит двух вращающихся тел, соизмеримых
по массе.
Материальная точка массой m движется в круговой системе
координат, имеет координату R0 и вектор скорости  0 . За время t точка
пройдет путь  0  t и координата радиус-вектора повернется на угол ,
который связан таким соотношением:
 t
(1)
tg ()  0
R0
Согласно рис.1 , по происшествии времени t , точка в круговом базисе будет
иметь координату R, компоненты вектора-скорости   и  R , которые
связаны через угол  такими зависимостями:
R

R
0
y

 0R

R0
Рис.1
x
0
    0  Cos()
 R   0  Sin( )
R0
R
Cos( )
(2)
(3)
(4)
Исключив из соотношений (2),(4) Сos(), получим очень важную зависимость,
которая будет применена в дальнейшем:
(5)
R     R0   0 ,
где слева равенства стоит произведение переменных величин, а справа
находится произведение констант-начальных условий.
В общем случае, когда начальный вектор имеет две составляющие  0
и  0R (см, рис.1), соотношения (2)-(3) запишутся в таком виде:
    0  Cos()   0R  Sin() ;
    y  Cos()   x  Sin() ,
(6)
 R   0  Sin()   0R  Cos() ;
 R   y  Sin()   x  Cos() .
(7)
Возьмем дифференциал от левой и правой части соотношения (1):
0
1
(8)

d


 dt .
R0
Cos 2 ()
Исключим функцию Cos2 ( ) с помощью соотношений (2), (4). В результате
получим:
R
(9)
d 
 dt .

В дальнейшем это соотношение будет использовано при замене переменных и
вычислении периода обращения тела на орбите..
Путем дифференцирования соотношений (2), (3) можно получить также
следующие зависимости:
d
 R
d
d R
(10)
 
d
d 2 
 d
2
   0
Постановка задачи следующая: на тело (точку) массой m, имеющее
скорость  0 (максимальную), действует центральная гравитационная сила
a
(11)
F 2,
R
где a    m  M ,
(12)
 - гравитационная постоянная,
m - масса тела,
M - центральная масса,
R - радиус-вектор расстояния между массами.
При соизмеримых массах m и M центральная масса также вращается вокруг
неподвижного центра двух масс. Из определения центра двух масс следует
соотношение (при стационарных орбитах двух масс):
Rm  m   RM  M
(13)
Центральная сила действующая на обе массы может быть записана так:
 mM
,
(14)
F
2
R

R
 m M
Из формул (13) и (14) следует:
 mM
 mM
,
(15)
F


2
2
m
M




2
Rm2  1  
RM
  1


m 
M
В декартовых координатах по осям x и y действуют соответствующие силы:
 mM
Fx  
 Cos( )
2
m


R m2  1  

M
(16)
 mM
Fy  
 Sin( )
2
m


R m2  1  

M
Соответствующие импульсы [1] силы обозначим так:
t
I x ( t )   Fx ( t ')  dt '
0
t
I y ( t )   Fy ( t ')  dt '
0
(17)
Подставив значения (9), (16) в соотношения (17) и учитывая равенство (5),
получим функциональные зависимости для импульсов:

a
I m x ( )   
m

Rm  m  1  
 M
0


0

a
m

Rm0  m0 1  
 M
a
m

Rm0  m0 1  
 M

I m y ( )   
0


2
2
2
 Cos( ' )  d ' 
 Cos( ' )  d ' 
 Sin ( )
a
m

Rm  m 1  
 M
a
2
2
 Sin ( ' )  d ' 
 Sin ( ' )  d ' 
m

Rm0  m0 1  
 M
a
 (Cos( )  1)
2
m

Rm0  m0 1  
 M
0
(18)
 


I M x ( )  
 

a
 M
RM   M   1  
m

a


2
2
 Cos( ' )  d ' 
 Cos( ' )  d ' 
 M
RM 0   M 0 1  
m

a
 Sin ( )
2
 M
R M 0   M 0 1  
m

 
I M y ( )  
 





a
 M
RM   M  1  
m

a
2
2
 Sin ( ' )  d ' 
 Sin ( ' )  d ' 
 M
RM 0   M 0 1  
m

a
 (1  Cos( ))
2
 M
R M 0   M 0 1  
m

(19)
Соответствующие им компоненты скоростей [1] имеют такую зависимость:
1
 I m x ( )
m
1
 m y ()   0m y   I m y ( )
m
1
 M x ( )   0Mx 
 I M x ()
M
1
 M y ()   0M y 
 I M y ( )
M
 m x ()   0mx 
Начальные условия следующие:
(20)
(21)
 0m x  0
 0m y   m 0
(22)
 0M x  0
 0M y   M 0
С учетом начальных условий и соотношений (18) и (19) компоненты скоростей
примут такой вид:

 m x    B(m)  Cos(' )  d'   B(m)  Sin(),
0
, (23)

 m y   m 0   B (m)  Sin(' )  d'   m 0  B (m)  B(m)  Cos().
0
Mx  

 B( M )  Cos(' )  d'   B( M )  Sin(),

M y  M
0

,

(24)
 B( M )  Sin(' )  d'   M 0  B( M )  B( M )  Cos().

где введено обозначение : В - скоростной параметр орбиты.
B (m) 
1

m
a
m

Rm 0  m 0  1  

M
2
B( M )  
1

M
a
M

RM 0   M 0 1  

m
2
,
(25)
m
B (m).
M
m
m
Rm 0 ,  M 0  
m 0 ,
M
M
()   I M x () , I m y ()   I M y ()
RM 0  
Im x
, B( M )  
(26)
Подставив функциональные зависимости (23) и (24) в соотношения (6). (7),
найдем зависимости для компонент скорости в круговом базисе для двух масс:
    0  B  Cos( )  B
.
(27)
 R   0  B  Sin( )
Из функциональных зависимостей (27) следует, что при равенстве  0  B ,
радиальная составляющая скорости равна нулю, а угловая скорость имеет
постоянную величину, т.е. точка вращается по круговой орбите, Этот же вывод
следует из соотношений (23), (24). При начальной скорости (угол )  0
больше или меньше скоростного параметра орбиты В орбита принимает
форму эллипса. Из соотношения (23), (24) для  y следует, что при  0 В для
двух масс
 max   0 (  0)
,
 min  2B   0 (   )
а при  0 В
 min   0 (  0)
 max  2B   0 (   )
(28)
.
(29)
где  max - максимальное значение скорости , которое может принимать тело
на орбите,  min - минимальное значение скорости, которое может принимать
тело на орбите.
Область возможных значений начальной скорости  0 (при сохранении
тела на замкнутой орбите ) находится в пределах: 0   0  2B .
(30)
Из соотношения (5) найдем функциональную зависимость от угла  для
радиуса орбиты.
m 0  B(m)
1

Rm 0  m 0
m 0
B
Rm 
 Rm 0 
 Rm 0 



B
(
m)
m 
B(m)  ( m 0  B(m))  Cos()
m0
1
Cos()
B(m)
1 e
Rm 0 
1  e  Cos()
(31)
RM 
RM 0   M 0
M 
 RM 0 
M 0
B( M )  (  M 0  B( M ))  Cos()
RM 0 
1
 RM 0 
1
 M 0  B( M )
B
 M 0  B( M )
B( M )

Cos()
1 e
1  e  Cos()
(32)
где e 
m 0  B(m)
B(m)

 M 0  B( M )
B( M )
- эксцентриситет орбит двух масс.
(33)
X
V m

V0m
V0M
Y

V   M
Рис. 2
Как видно из формул (31), (32) (33) , эксцентриситет орбиты e ,как параметр,
функционально заменяет скоростной параметр орбиты В
Согласно (30) эксцентриситет орбиты может находиться в пределах 1  e  1
и быть как положительным, так и отрицательным числом .
(34)
При этом, если e  0 , R(   )  Rmax  R0 , а если e  0, R(   )  Rmin  R0 .
Эксцентриситет орбиты также можно выразить через (из (31) и (32))
экстремальные значения радиуса орбиты:
R  R0
e  max
 0,
Rmax  R0
(34)
Rmin  R0
e
 0.
Rmin  R0
А также
Rmax 1  e

, e>0.
(35)
R0
1 e
Из
формул
(33), (28), (29) выразим
эксцентриситет
орбиты
через
экстремальные значения скорости тела на орбите для двух масс:
e
0  min
 0,
0  min
  max
e 0
 0.
0  max
(36)
А также
0
1 e
,
e>0.
(37)

 min 1  e
На круговой орбите, когда начальная скорость равна скоростному
параметру орбиты :  0  B , из соотношения (25) следует
a
a
2
m   2m 0 
,
M



,
(38)
M0
2
2
m
M




Rm 0  1  
R M 0 1  


M
m
что удвоенная кинетическая энергия равна потенциальной энергии. Это и
есть физическое условие движения тела по круговой орбите. Равенство (38)
можно представить еще в таком виде:
m   2m 0 M   2M 0

 F.
(39)
Rm 0
RM 0
В формуле (39) представлено соотношение между силой, которая притягивает
к центру орбиты, радиусом кривизны орбиты , кинетической энергией
вращающегося тела, которое необходимо выполнять, чтобы тело двигалось по
круговой орбите.
Из соотношений (23) и (24) найдем абсолютную скорость вращающегося
тела в общем случае на эллиптической орбите для двух масс.
(41)
 2   2x   2y  B 2  2  B  (  0  B)  Cos()  (  0  B) 2
В качестве примера рассмотрим вращение планеты Юпитер вокруг Солнца
[2]. Планета Юпитер наибольшая планета солнечной системы. Масса Юпитера
составляет 1.901 1030 г (вдвое больше массы остальных планет, вместе взятых).
Так как остальные планеты вращаются вразнобой по отношению друг к другу,
поэтому в первом приближении массой остальных планет можно пренебречь.
Расстояние между Юпитером и Солнцем приблизительно равно 778 млн. км.
Период вращения вокруг Солнца составляет 11.9 года. Эксцентриситет орбиты
планеты Юпитер равен 0.0484.
Солнце - центральное тело солнечной системы. Радиус солнца - R=6.96 105
км. Масса составляет 1.99 1030 кг (99.866 % массы всей солнечной системы).
Цикличность солнечной активности составляет (с средним периодом) 11.2 года.
Количество солнечных пятен изменяется с периодом приблизительно 11 лет циклом солнечной активности.
Выше было приведено доказательство, что при соизмеримых массах тел,
центральное тело тоже имеет орбиту с тем же эксцентриситетом, что и тело с
my u
меньшей массой, и соизмеримым радиусом орбиты RC  Ry u
. Масса
MC
Юпитера приблизительно в 1000 раз меньше массы Солнца, поэтому средний
радиус орбиты Солнца равен
19
.  1030
RC  778000000
 743000 км,
199
.  1033
и практически равен радиусу солнечной планеты  700000 км. При этом
солнечная поверхность почти касается фокусной точки орбиты. Как было
показано выше эксцентриситеты орбит двух масс равны. При этом Солнце,
вращаясь по орбите, приближается к своему фокусному центру с периодом 11.9
лет. С таким же периодом у Солнца возникает повышение солнечной активности
(доли %). И наоборот, при удалении Солнца от фокуса вращения, на Солнце
возникают солнечные пятна с тем же периодом. Разница между приближением и
удалением равна:
RM a x  RM i n  e 2 R  38000 км.
Если предположить, что фокусный центр орбиты Солнца “облучается”
энергией электромагнитных волн, которые переизлучает сфера звездного неба и
центр этой сферы совпадает с фокусом орбиты Солнца, то вполне можно
объяснить возникновение периодического максимума солнечной активности и
периодического возникновения пятен на Солнце. Таким образом Солнце излучает
энергию электромагнитных волн в окружающее его пространство, а сфера
звездного неба частично возвращает эту энергию, фокусируя ее в центр фокуса
солнечной орбиты. Поверхность Солнца, как уже выяснилось выше, касается
фокуса орбиты и фокусного пятна сферы звездного неба и “разогревается”
энергией электромагнитных волн, распространяющихся в обратном направлении
и фокусирующихся в центр сферы звездного неба, совпадающий с фокусом
орбиты Солнца.
Орбита имеет эксцентриситет не равный нулю и при удалении от фокусного
пятна Солнце постепенно “остывает”, при этом формируются солнечные пятна.
При приближении к фокусному пятну Солнце “разогревается”, при этом
возрастает солнечная активность. Солнце облучается сферой звездного неба так
же, как Земля облучается излучаемой энергией Солнца. Можно предположить,
что на Солнце проявляется нестабильность “атмосферы” за счет облучения также,
как и на Земле в виде ветров, бурь, ураганов, тайфунов, смерчей и т.д. На Солнце
аналогичные явления проявляются в больших масштабах в виде солнечных пятен,
факелов, спикулов, флокулов, солнечных ветров, солнечных вспышек и т.д.
Сферическое пространство вокруг Солнца (вакуум) пронизано
гравитационным полем, источником которого является масса Солнца.
Гравитационное поле за счет взаимодействия удерживает Юпитер и все планеты
солнечной системы на орбитах.
Есть предположение, что рентгеновское и оптическое излучение есть не что
иное, как “возмущение” гравитационного поля, которое распространяется в
пространстве (вдоль вектора напряженности гравитационного поля) со скоростью
света. Из этого следует, что источниками гравитационного поля являются
стационарные орбиты ядер, атомов и молекул. Стационарные орбиты атомов
“видят” гравитационное поле в виде силы притяжения (направленной по вектору
градиента напряженности поля), а “возмущения” атомы “видят” в виде
возникновения переизлучающего дипольного момента или резонансного
поглощения энергии с переходом электронов атома на более высокие орбиты.
Гравитационное поле “заставляет” вновь образовывающиеся атомы занимать их
электроны нижайшую стационарную орбиту.
Литература
1. Ю.И. Косинский, Энергетические и скоростные свойства
эллиптических орбит,1-18, (2003).
2. Таблица физических величин, Справочник под редакцией академика
И.К, Кикоина, 975, Москва, Атомиздат, (1976).