прогрессии

Прогрессии
4.1. Последовательность
Последовательность – одно из основных понятий математики. Последовательность
может быть составлена из чисел, точек, функций, векторов и т.д. Наиболее часто
рассматривают числовые последовательности, т.е. последовательности, члены которых числа.
1 1 1 1
; ; ; ;... ,
Например, 1;3;5;7;9;…,
или
или
2;6;18;54;…
2 3 4 5
Числа,
образующие
последовательность,
называются
членами
последовательности. Члены последовательности обычно обозначают буквами с
индексами, например, а1 , а2 , а3 , а4 ,… а n На
первом месте стоит первый член
последовательности ( а
первое), на втором, соответственно второй член
последовательности ( а второе), на месте с порядковым номером n n-ый член
последовательности. Саму последовательность обозначают ( а n ).
Примером последовательности является, например, число дней в месяце от 1 до
31. или порядковые номера домов на улице.
По заданной формуле n-ого члена последовательности можно найти член
последовательности с любым порядковым номером.
ПРИМЕР 1.
Последовательность задана формулой n-ого члена: а n =4n+1. Вычислите первых
пять членов последовательности.
Подставляя вместо n натуральные числа 1,2,3,4,5 в формулу, получим:
а1 =4  1 +1=4+1=5,
а 2 =4  2 +1=8+1=9,
а 3 =4  3 +1=12+1=13,
а 4 =4  4  1  16  1  17,
а 5 =4  5 +1=20=1=21.
Кроме того, по формуле n-ого члена можно вычислить порядковый номер
заданного члена последовательности.
ПРИМЕР 2.
Последовательность задана формулой n-ого члена: а n =-2n+3. Определите номер
члена последовательности, равного -7.
Подставляя в формулу вместо а n число -7, получим уравнение -7=-2n+3,
2n=7+3, 2n=10, n=5.
Следовательно, пятый член данной последовательности буде равен -7.
Проверь
себя
1. Продолжи ряд
а) 4,6,8,10,12,…;
б) 1,4,9,16,25,…
2. Вычисли первые четыре члена последовательности а n =5n+2.
3. Определи номер члена последовательности а n =n-1, равного 4.
Примерами числовых последовательностей являются арифметическая прогрессия
и геометрическая прогрессия.
Первые задачи на прогрессии возникли из наблюдений над явлениями природы и
из исследования общественно-экономических явлений на протяжении древних и средних
веков.
Прогрессия - это ряд чисел, в котором каждое получается из предыдущего. Когда
для получения каждого числа ряда предыдущее складывается с одним и тем же числом,
прогрессия называется арифметической. Прибавляемое число называется разностью
арифметической прогрессии.
Например, последовательность 1;4;7;10;13;… является арифметической
прогрессией с разностью 3, т.к. каждое последующее число получается прибавлением к
каждому предыдущему числа 3.
1
4
+3
7
+3
10
+3
13
+3
Когда для получения каждого числа ряда предыдущее умножается на одно и то же
число, прогрессия называется геометрической. Число. На которое умножается каждое
предыдущее, называется знаменателем геометрической прогрессии.
Например,
последовательность
2;4;8;16;32;…
является
геометрической
прогрессией со знаменателем 2, т.к. каждое последующее число равно предыдущему,
умноженному на 2.
2
4
8
16
13
х2
2
х2
х2
х2
Немного истории
Слово progressio означает «движение вперёд».
Сами по себе прогрессии известны так давно, что, конечно, нельзя говорить о том,
кто их открыл. Это и понятно – ведь уже натуральный ряд 1,2,3,4,…n, …есть
арифметическая прогрессия с первым членом 1, и разностью 1.
О том, как давно была известна геометрическая прогрессия, косвенным образом
свидетельствует знаменитое предание о создании шахмат:
Согласно древней индийской легенде, однажды человек по имени Сета изобрёл
шахматы. Когда его представили царю Шераму, тот, восхищённый, обещал дать ему
большое вознаграждение.
- Проси, что хочешь, Сета. Я могу дать тебе всё, что угодно.
- Мой великодушный владыка, - ответил тот, указывая на шахматную доску, - прошу дать
мне то, что я скажу: одно пшеничное зерно за первую клетку, два за вторую, четыре за
третью, восемь за четвёртую, шестнадцать за пятую, и так последовательно за все 64. В
общем, я хочу, чтобы каждый раз количество удваивалось по сравнению с предыдущим.
Царь решил, что желание Сеты было очень скромным, и приказал вручить ему
большой мешок зерна. Один из придворных математиков подсчитал и сказал:
- Ваше Величество, во всём Вашем царстве нет достаточно зерна, чтобы выполнить Ваше
обещание.
Царь не понял, о чём идёт речь, но придворный математик знал, что сумма членов
прогрессии, придуманной Сетой, составляла огромное количество зерна. В этой задаче
речь шла о суммировании геометрической прогрессии 1, 2, 22, 23, 24,…, 263. Её сумма
равна 264-1=18446744073709551615. Такое количество зёрен пшеницы можно было
собрать лишь с урожая планеты, поверхность которой примерно в 2000 раз больше всей
поверхности Земли.
_____________________________________________________________________________
4.2. Арифметическая прогрессия
!
Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член
которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и
тем же числом.
аn1  an  d , где d – разность арифметической прогрессии.
Например, арифметическими прогрессиями являются последовательности:
1, 5, 9, 13, …,
-10, -9, -8, -7, …,
0,5; 2,5; 4,5; 6,5;… .
Формула n-го члена арифметической прогрессии
Зная первый член и разность арифметической прогрессии, можно найти любой её
член, последовательно вычисляя второй, третий, четвёртый и т.д. члены.
ПРИМЕР 3.
Первый член арифметической прогрессии а1  2 , d=3. Найдём второй, третий и
четвёртый члены прогрессии:
а2  а1  d  2  3  5;
а3  а 2 + d =5 + 3 = 8;
а 4  а3  d  8  3  11.
Существует способ, позволяющий гораздо быстрее найти любой
арифметической прогрессии – по формуле n-го члена арифметической прогрессии.
аn  a1  d (n  1)
член
ПРИМЕР 4.
Вычислить первых пять членов арифметической прогрессии (аn), если а1=7, d= -2.
а2=а1+d=7+(-2)=5;
а3=а1+d(n-1)=7+(-2)(3-1)=7-4=3;
а4= а1+d(n-1)=7+(-2)(4-1)=7-6=1;
а5= а1+d(n-1)=7+(-2)(5-1)=7-8=-1.
ПРИМЕР 5.
Найти 21-й член арифметической прогрессии (аn), если а1=1, d= 4.
а21= а1+d(n-1)=1+4(21-1)=1+ 4 20 =81.
Ответ: а21=81.
ПРИМЕР 6.
Найти 1-й член арифметической прогрессии (хn), если х10 =50, d= 5.
х1= х10 - d(n-1)=50- 5(10-1)=50- 5 9 =50 – 45=5.
Ответ: х1=5.
ПРИМЕР 7.
Найти 1-й член и разность арифметической прогрессии (сn), если с16 =-5, с26=55.
с16= с1 + d(n-1)= с1+d(16-1)= с1+15d;  с1= с16-15d =-5-15d;
с55= с1 + d(n-1)= с1+d(26-1)= с1+25d;  с1= с26-25d =55-25d.
Приравняем правые части полученных равенств:
-5-15d=55-25d,
25d-15d=55+5,
10d=60,
d=6.
Найдём первый член арифметической прогрессии из любого равенства ( с1= -5-15d
или с1=55-25d):
с1=55-25d=55-25  6 =55-150= -95.
Ответ: с1= -95, d=6.
Проверь
себя
Варианты ответов:
Найти 10-ый член арифметической
прогрессии, если а1=2, d=3
31
32
Найти разность арифметической
прогрессии -1; -0,5; 1; 1,5; 2;…
1
-1
0,5
-0,5
Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии
Немного истории
Когда великому немецкому математику К.Ф. Гауссу было 9 лет, учитель, занятый
проверкой работ учеников других классов, задал на уроке следующую задачу:
«Сосчитать сумму всех натуральных чисел от 1 до 40 включительно:
1+2+3+4+5+…+40». Каково же было удивление учителя, когда один из учеников (это
был Гаусс) через минуту воскликнул: «Я уже решил». Большинство учеников после
долгих подсчётов получили неверный результат. В тетради Гаусса было только одно
число, но зато верное.
Вот схема его рассуждений. Сумма чисел в каждой паре равна 41:
1, 2, 3, …, 20
+
40, 39, 38, …, 21
41, 41, 41, …, 41.
Таких пар 20, поэтому искомая сумма равна 41  20  820.
_______________________________________________________________________________
С помощью аналогичных рассуждений можно найти сумму первых членов любой
арифметической прогрессии.
Такое рассуждение легло в основу вывода формулы суммы
n первых членов
арифметической прогрессии.
(а1  а n )n
2
(1)
2а1  d (n  1)
n
2
(2)
Sn=
или
Sn=
ПРИМЕР 8.
Найти сумму первых восьми членов арифметической прогрессии (аn), если а1=3, а8=17.
Подставим данные значения формулу (1):
S8 =
(3  17)8 20  8

 80.
2
2
Ответ: S8=80.
ПРИМЕР 9.
Найти сумму первых десяти членов арифметической прогрессии 3,5,7,9,… .
В данной арифметической прогрессии а1=3, а d=2. В данном случае лучше
воспользоваться формулой (2):
S10=
2  3  2(10  1)
6  18
 10 
 10  24  5  120.
2
2
Ответ: S10=120.
Проверь
cебя
Варианты ответов:
Найти сумму пяти первых членов арифметической
прогрессии (bn), если b1= -1, b5=23.
60
55
50
4.3. Геометрическая прогрессия
!
Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля
чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену,
умноженному на одно и то же число.
bn1  bn  q и bn  0, где q – знаменатель геометрической прогрессии.
Примером геометрической прогрессии являются последовательности:
1 1
2, 4, 8, 16, 32, …,
9, 3, 1, , , …,
1; 0,1; 0,001; 0,0001; … .
3 9
Формула n-го члена геометрической прогрессии
Зная первый член и знаменатель геометрической прогрессии можно найти любой
член геометрической прогрессии.
ПРИМЕР 10.
В геометрической прогрессии b1=4, q=2. Найти первые пять членов геометрической
прогрессии.
Можно найти первые пять членов, умножая каждый предыдущий член на 2:
b1=4,
b2=4  2  8 ,
b3=8  2  16,
b4=16  2  32,
b1=32  2  64.
При нахождении большого количества членов, данный способ становится очень
трудоёмким. Лучше это делать по формуле n-го члена геометрической прогрессии.
bn=b1  q n 1
ПРИМЕР 11.
Найти первых четыре члена геометрической прогрессии (bn), если b1= -1, q=3.
b2=  1  3 21 =-1  31  3 ,
b3= -1  331  1  3 2  9 ,
b4=-1  341  1  33  27,
b5=-1  351  1  3 4  81.
ПРИМЕР 12.
Найти b1 и q геометрической прогрессии (bn), если b3= 8, b4= -32.
b
 32
 4 ,
q= 4 
8
b3
По формуле n-го члена геометрической прогрессии имеем:
b
8
8 1
b3= b1  q 31 = b1  q 2 , отсюда b1= 32 

 .
2
16 2
q
(4)
1
Ответ: q= -4, b1= .
2
ПРИМЕР 13.
Найти седьмой член геометрической прогрессии 2; -6; … .
В данной прогрессии первый член равен 2, второй -6. Найдём знаменатель
геометрической прогрессии, разделив второй член на первый.
b
6
 3 ,
q= 2 
2
b1
По формуле n-го члена геометрической прогрессии получим:
b7=b1  q 71 =2  (3) 6  2  729  1458.
Ответ: b7=1458.
Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии
bn q  b1
, q 1
q 1
(1)
b1 (q n  1)
Sn =
, q 1
q 1
(2)
Sn =
или
ПРИМЕР 14.
Найти сумму первых шести членов геометрической прогрессии (bn), если b1= 3, q = 2.
Воспользуемся формулой (2):
3(2 6  1) 3  (64  1)
S6=

 3  63  189.
2 1
1
ПРИМЕР 15.
Найти сумму первых пяти членов геометрической прогрессии -1,2,-4,… .
Знаменатель данной прогрессии равен -2 ( 2 разделить на -1).
b5= b1  q 51  1  (2) 4  1  16  16 ,
b q  b1  16  (2)  (1) 33
По формуле (1) имеем: S5= 5


 11 .
q 1
 2 1
3
Ответ: S5=-11.
Проверь
cебя
Варианты ответов:
Найти сумму четырёх первых членов
геометрической прогрессии (bn), если b1= 4, q =2.
48
60
36
Сумма бесконечной геометрической прогрессии при q <1
Чтобы представить себе бесконечную геометрическую прогрессию, разобьём
прямоугольник площадью в 1 квадратную единицу на два прямоугольника одинаковой
площади. Один из получившихся прямоугольников вновь разобьём на два
прямоугольника одинаковой площади. Продолжая мысленно этот процесс деления,
1 1 1 1 1
получим прямоугольники, площади которых равны , , , ,
и т.д. квадратных
2 4 8 16 32
1 1 1 1 1
1
, , , , ,… n представляет собой
единиц. Последовательность таких чисел
2 4 8 16 32
2
бесконечную геометрическую прогрессию.
Сумму бесконечной геометрической прогрессии вычисляют по формуле:
S=
b1
, q 1
1 q
ПРИМЕР 16.
Вычислить сумму бесконечной геометрической прогрессии 9,3,1,… .
b
3 1
9
2
3
b1=9, q=  . S= 1 =
 9 :  9   13,5 .
1
9 3
1 q
3
2
1
3
Упражнения
1. По заданной формуле n-го члена последовательности вычислите первых пять членов
последовательности:
а) а n =2n+4;
в) cn=5n-2;
б) bn =-7n+3;
г) хn=-3n-7.
2. Определите, является ли заданная последовательность арифметической прогрессией:
а) 2,4,6,8,10,12,…;
в) 13,10,7,4.1,-2,…;
б) 5,5,5,5,5,5,5,…;
г) 3,1,3,1,3,1,3… .
3. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии:
а) 3,-1,-5,-9,…;
в) 0,7; 0,9; 1,1; 1,3;…;
б) 7,4,1,-2,…;
г) -1; -0,9; -0,8; -0,7;… .
4. Выпишите первых пять членов арифметической прогрессии (аn), если:
а) а1 =3, d=7;
в) а1 = -1, d=3;
б) а1 =10, d=-2,5;
г) а1 =17, d=-2.
5.
Найти разность арифметической прогрессии (аn), если:
а) а1 =12, а 5 =40;
в) а1 = -8, а11 =30;
б) а 6 =-30, а16 =30;
г) а11 =4,6, а 36 =54,6.
6. Найдите первый член арифметической прогрессии (аn), если:
а) а 7 =9, d=2;
в) а 26 = -71, d=-3.
7. Число 29 является членом арифметической прогрессии 9,11,13,… . Найдите номер
этого члена.
8. Найдите сумму членов конечной арифметической прогрессии Sn, если известны
первый и последний её члены:
а) а1 =-1, а 30 =86;
в) а1 = -13, а10 =-5;
б) а1 =41, а 20 =-16;
г) а1 =17, а 25 =31.
9. Найдите сумму первых ста членов арифметической прогрессии ( а n ), если известно:
а) а1 =-12, d=2;
в) а1 = 73, d=-1;
б) а1 =1,5, d=0,5;
г) а1 =-7,3, d=-1,1.
10. Найдите сумму первых n членов арифметической прогрессии ( а n ), если известно:
а) а1 =-3, d=3, n=16;
в) а1 = -2,5, d=-0,5, n=40;
б) а1 =121, d=-2, n=25;
г) а1 =7, d=4, n=10.
11. Заполните таблицу:
a1
7
2
56
2
d
4
2
an
80
26
87
21
n
13
Sn
11
7
801
105
12. Найдите шесть первых членов геометрической прогрессии (bn), если:
а) b1 =-1, q=3;
в) b1 =-1, q= -3;
1
б) b1 =-2, q= 
г) b1 =2, q=4.
2
13. Какие из приведённых ниже последовательностей являются геометрическими
прогрессиями?
1
1 1
а) 3,9,27,81,243,…;
в) 4,-1, ,- ,
,…;
4 16 64
б) 3,6,9,12,15,…;
г) 10,100,1000,10000,… .
14. Найдите знаменатель геометрической прогрессии:
а) 4,8,16,32,64,…;
в) 4,12,36 ,108, …;
б) 1,6,36,216,…;
г) 81,27,9,3,1,… .
Найдите b1 и q для геометрической прогрессии, заданной следующими условиями:
3
3
а) b2 =8, b3 =-32;
в) b2 = , b3 = ;
2
4
1
б) b4 =1, b5 =- ;
г) b5 =6, b6 =3.
2
Найдите сумму первых четырёх членов геометрической прогрессии ( bn ), у которой:
1
а) b1 =1, q=2;
в) b1 =1, q= ;
3
1
б) b1 =3, q=4;
г) b1 =4, q=- .
2
15. Найдите сумму пяти членов геометрической прогрессии ( bn ):
3 3
а) 3,6,12,…;
в)-3,- ,- , …;
2 4
б) -1,2,-4,8,…;
г) 3,9,27, … .
16. Заполните таблицу:
b1
15
q
1
3
n
3
bn
3
18
6
5
18
Sn
2
21
3
25
Зачётная работа
Уровень I
Задания
№1-№3
=
Оценка
3
№1-№
Уровень II
Задания
№1-№3
+
Задание
№4
=
Оценка
4
№1-№
Уровень III
Задания
№1-№3
+
Задание
№4
+
Задание
№5
=
Оценка
5
Вариант
Задание №1
Задание №2
Задание №3
Задание №4
Задание №5
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
2
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
3
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
4
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
5
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
6
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
Задание №1.
Найти n-й член последовательности, если:
1.1 а) ( а n ) –арифметическая прогрессия и а1=-15, d=3, n=23.
б) (bn) – геометрическая прогрессия и b1 =-2, q=3; n=5.
1.2 а) ( а n ) –арифметическая прогрессия и а1=70, d= -3, n=18.
б) (bn) – геометрическая прогрессия и b1 =-24, q=0,5; n=9.
1.3 а) ( а n ) –арифметическая прогрессия и а1=75, d= -2, n=37.
б) (bn) – геометрическая прогрессия и b1 =625, q=-0,2; n=8.
1.4 а) ( а n ) –арифметическая прогрессия и а1=-86, d=3, n=29.
б) (bn) – геометрическая прогрессия и b1 =6, q=2; n=6.
1.5 а) ( а n ) –арифметическая прогрессия и а1=2, d=5, n=15.
б) (bn) – геометрическая прогрессия и b1 =-8, q=2; n=7.
1.6 а) ( а n ) –арифметическая прогрессия и а1=10, d=4, n=21.
б) (bn) – геометрическая прогрессия и b1 =2, q=3; n=5.
Задание №2.
Найти сумму n первых членов арифметической прогрессии:
2.1 8; 4; 2; … , n=16.
2.2 -21;-18;-15;… , n=20.
2.3 3; 7; 10; 13;… , n=18.
2.4 1; 11; 21;… , n=5.
2.5 2; 4; 6; 8;… , n=41.
2.6 1; 3; 5; 7;… , n=33.
Задание №3.
Найти сумму n первых членов геометрической прогрессии, если:
3.1 b1 =1, q=2; n=4.
3.2 b1 =2, q=3; n=6.
3.3 b1 =-9, q= -2; n=6.
3.4 b1 =6, q=2; n=7.
3.5 b1 =-4, q=2; n=5.
3.6 b1 =3, q=3; n=4.
Задание №4.
Найти сумму бесконечной геометрической прогрессии, если:
4.1 24; 12; 6;… .
4.2 -40; -20; -10;….
4.3 36; -18; 9;… .
4.4 -45; 15; -5;… .
4.5 125; 25; 5;… .
4.6 100; 10; 1;… .
Задание №5.
Найти сумму первых десяти членов арифметической прогрессии, если:
4.1 а4=10, а10=19.
4.2 а2=11, а6=27.
4.3 а3=2, а5= -2.
4.4 а4=13, а8=25.
4.5 а3=14, а6=29.
4.6 а2=9, а7=24.
Основная цель изучения темы:
Иметь понятие об арифметической и геометрической прогрессиях
как числовых последовательностях особого вида.
Планируемые достижения:
1. Знать:
 понятие последовательности, арифметической и геометрической
прогрессии;
 формулы n-го члена и арифметической и геометрической
прогрессий;
 формулы суммы n первых членов арифметической и
геометрической прогрессий;
 понятие бесконечной геометрической прогрессии.
2. Уметь находить:
 разность арифметической прогрессии;
 знаменатель геометрической прогрессии;
 член арифметической и геометрической прогрессий с любым
порядковым номером;
 сумму n первых членов арифметической и геометрической
прогрессий;
3. Выполнить зачётную работу соответствующего уровня (по выбору):
1 уровень соответствует оценке «3»
2 уровень соответствует оценке «4»
3 уровень соответствует оценке «5»