Задача Файлона

УДК 519.688.681.3
А. Н Аверин.
ГРАФИЧЕСКАЯ ИЛЛЮСТРАЦИЯ ГИПОТЕЗ И ПРОВЕРКА ФОРМУЛ
СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ НА РЕШЕНИЯХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ
УПРУГОСТИ.
АННОТАЦИЯ. На примерах решения задач теории упругости дается графическая
иллюстрация допущениям, принимаемым в сопротивлении материалов при выводе
основных формул плоского изгиба стержней. Решения задач выполняется в системе
Maple.
Рассмотрим балку-полосу длиной L, высотой h, толщиной δ. На балку-полосу по
верхней и нижней кромкам действует три равномерно распределенных на малой площади
a*δ нагрузки интенсивностью q, q/2, q/2. Они соответствуют действию на балку
сосредоточенной силы F=q*a*δ и опорным реакциям Ra=Rb=F/2 (рис.1).

Рис.1
Будем считать, что точки торцевых сечений пластины не перемещаются в
вертикальном направлении, а горизонтальные перемещения возможны. На левой и
правой кромках пластины нормальные напряжения σx равны нулю (граничные условия
задачи Файлона.) [1]. Несложно показать, что вблизи точек левой и правой кромок
пластины имеет место напряженное состояние чистого сдвига:
x0, y0, xy0, x0, y0, xy0
.
(1)
Уравнение совместности деформаций плоской задачи теории упругости (ПЗТУ),
заданное через функцию напряжений  имеет вид
  4 
  4
   4 
 x4  2  y2 x2   y4  0



 

(2)
.
Решение уравнения (2) с учетом условий (1) будем искать в виде разложения в ряд по
синусам

mx
  m( y ) sin
(3)

 a 
m  1
.
Для функций перемещений точек срединной поверхности пластины в направлении
координатных осей x и y имеем следующие представления:

mx
u  um( y ) cos

 a 
m 1
,
(4)
.
(5)

mx
v  vm( y ) sin

 a 
m  1
Алгоритм решение поставленной задачи изложен в работе [1] . В данной статье
представлены
результаты вычислений по этому алгоритму и их графическая
иллюстрация, полученные с помощью системы Maple [4].
Приведем результаты анализа напряженного состояния балки–полосы при
следующих исходных данных:: L=120 см, h=30 см, δ=1 см, a= 2 см. Интенсивность
равномерно распределенной нагрузки на участке малой площади по верхней кромке
равна qB=5000 кГс/см2, а интенсивность опорных реакций qH= 2500 кГс/см2 .
Распределенные нагрузки на малой площади a* δ=2 см2, соответствуют действию на
балку-полосу сосредоточенной силы F=10000 кГс и опорных реакций Ra=Rb= 5000 кГс .
Нагрузки, действующие на балку-полосу, разложим в ряд Фурье
mx
q( x )  qm sin

 a 
m 1
mm
,
(6)
где коэффициенты разложения определяются по формулам
a
2
qm
a

  m x  dx

 q( x ) sin

 a 

0
.
(7)
Результаты аппроксимации функции нагрузки (приложенной по верхней и нижней
кромкам пластинки рис.1) для нечетных значений m=1,3,…, 301 представлены на рис.2.
Рис.2
Горизонтальные линии на рис.2 соответствуют заданным величинам интенсивности
нагрузки, приложенной по верхней и нижней кромкам пластинки. Отметим, что
приближение отрезком ряда Фурье дает хорошие результаты для периодической функции.
В случае непериодической функции имеет место так называемый эффект Гиббса [3],
который состоит в том, что значение аппроксимации на некоторых интервалах всегда
превосходит значение исходной функции и вблизи точек разрыва имеют место колебания
аппроксимации и рост погрешности. Оценка погрешности проводилась сравнением
величин сосредоточенных сил F, Ra+Rb с соответствующими равнодействующими
аппроксимированной нагрузки по верхней FB и нижней FH кромкам
a
a
 q ( x ) d x F  q ( x ) d x

( FB
).
B
H
H


0
0
,
Погрешность по верхней кромке составила 0.03%, а по нижней 4%. Это объясняется тем,
что функция аппроксимации нагрузки по нижней кромке при x<0 и x>a не определена.
Для каждой амплитуды нагрузки с номером m записываем условия на
поверхности. На верхней кромке пластинки (y=h)
y qv , xy 0
m
m
m
,
(8)
на нижней кромке пластинки (y=0)
y qn , xy 0
m
m
m
.
(9)
Из условий (8), (9) находим константы интегрирования, которые используются для
определения амплитуд функции напряжений, нормальных и касательных напряжений и
перемещений.
На рис. 3 показана поверхность нормальных напряжений σx. На рис.4
представлены сечения поверхности напряжений (эпюры) вблизи места приложения
нагрузки и на достаточном удалении от нее.
Рис. 3 Нормальные напряжения σx
Рис.4 Эпюры нормальных напряжений σx
В сечении x=30 см в нижнем волокне пластины (y=0) σx=97.8 МПа, в верхнем
(y=h) σx=-94.7 МПа, т.е. по высоте сечения закон изменения напряжений близок к
линейному. По формулам сопротивления материалов в нижнем волокне σx=100. Мпа, в
верхнем σx=-100. МПа. В сечении x=58 см (вблизи места приложения распределенной
нагрузки) максимальное растягивающее напряжение возникает в нижнем волокне σx=188.
МПа, а максимальное сжимающее напряжение достигается в волокне с координатой
у=29.2 см σx=-249. МПа. Значения напряжений в середине пролета балки в нижнем и
верхнем волокнах, вычисленные по формуле сопротивления материалов 200 Мпа и -200
Мпа. Таким образом, в сечении вблизи места приложения нагрузки решения
сопротивления материалов и теории упругости имеют существенные различия.
На рис.5,6 представлена поверхность нормальных напряжений σy и ее сечения
вблизи места приложения нагрузки. В теории плоского изгиба стержней нормальные
напряжения σy=0, т.е. используется гипотеза о ненадавливании продольных волокон [2].
Результаты вычислений, представленные на рис.5,6 показывают, что на достаточном
удалении от места приложения внешних сил σy →0. Эти результаты наглядно
подтверждают обоснованность принятой гипотезы.
Рис.5 Напряжения σy
Рис.6 Эпюры напряжений σy
На рис.7 показана поверхность касательных напряжений τxy, а на рис.8
соответствующие эпюры. Вблизи места приложения нагрузки закон изменения
напряжений существенно отличается от квадратной параболы. Максимальное значение
напряжений в сечении пластины x=60.5 см достигается в точке с координатой y=29.2 см
(вблизи верхней кромки пластины) и равно τxy =79.7 МПа. По формуле Журавского
касательные напряжения по высоте сечения изменяются по закону квадратной параболы и
наибольших значений достигают в точке с координатой у=15 см . Соответствующее
напряжение τxy =25.0 МПа . На достаточном удалении от места приложения нагрузки в
сечении x=75 см τxy =25.5 МПа (y=15 см) т.е имеет место хорошее совпадение с
результатами, полученными по формуле сопротивления материалов..
Рис.7 Напряжения τxy
Рис. 8 Эпюры напряжений τxy
По известным значениям нормальных и касательных напряжений вычисляем
главные напряжения в точках срединной поверхности пластины
1
1
1
max x y
2
2
2
x 2 x yy 4 xy
1
1
1
min x y
2
2
2
x 2 x yy 4 xy
2
2
2
2
2
,
(10)
2
.
Результаты вычислений представлены на рис. 9, 10.
Рис.9 Напряжения
max
Рис.10
Напряжения
min
Напряжения max , min характеризуются не только своей интенсивностью, но и
направлением. Угол между осью x и внешней нормалью к сечению, в котором действует
напряжение max определяется из уравнения
,
xy
tan( max )
maxx
(11)
.
Положительное направление угла отсчитывается против хода часовой стрелки. Сечения
(главные площадки), на которых действуют напряжения max , min взаимно
перпендикулярны.
Векторное поле главных напряжений строится следующим образом. Срединная
плоскость пластинки разбивается на квадратные элементы (при симметричной нагрузке
разбиение выполняется для половины пластинки). В окрестности центра каждого
элемента строится квадрат, направление сторон которого совпадает с направлением
главных площадок. Вектор главного напряжения направляется по внешней нормали к
главной площадке, если напряжение растягивающее (положительно) и по внутренней,
если напряжение сжимающее (отрицательное). Построенное таким образом векторное
поле в дальнейшем будем называть картиной напряженного состояния (КНС). На
(рис.11). КНС представлена для половины пластики на сетке 20*10.
Рис.11 Картина напряженного состояния
Из рис.11, что в точках вблизи приложения силы вдоль верхней кромки имеет место
напряженное состояние - двухстороннее сжатие. По формулам сопротивления материалов
в окрестности точек верхней кромки балки одностороннее сжатие (продольные волокна
друг на друга не давят).
Анализ (КНС) показывает, что в зоне приложения нагрузки имеет место двухстороннее
сжатие позволяет правильно выбрать теорию прочности определиться
На рис. 12,13 выделены векторные поля растягивающих и сжимающих напряжений
Рис.12 Векторное поле главных растягивающих напряжений
Рис.13 Векторное поле главных сжимающих напряжений
Главные напряжения 3( 21 )
Рис. 15
1
Рис.17 2
Рис.18 3
На рис.10 показаны эквивалентные напряжения по 3-й теории прочности, а на рис.11
показаны эквивалентные напряжения по 4-й теории прочности. На рис 12 поверхность
разности напряжений по 3-ей и 4-ой теориям прочности. Наибольшее расхождение в зоне
двухстороннего сжатия
На рис.11, 12 показаны потоки наибольших растягивающих напряжений ( на рис . 12
масштаб между длиной и высотой пластины принят 1:1). Это дает возможность правильно
оценить размеры зоны двустороннего сжатия и действительное направление наибольших
растягивающих напряжений
Рис. 11
Рис. 12
Эквивалентные напряжения, вычисленные по гипотезе наибольших касательных
напряжений представлены на рис. 13, а фрагмент поверхности вблизи места приложения
сил на рис. 14
Рис. 13
Рис. 14
Эпюры эквивалентных напряжений представлены на рис.15. Результаты вычислений
полученные по формулам сопротивления материалов хорошо согласуются в сечениях
балки, находящихся на достаточном удалении от места приложения внешних сил и имеют
существенное качественное и количественное отличие вблизи их приложения.
Рис. 15
Отметим, что проведенный анализ напряженного состояния через функцию
напряжений не зависят от упругих свойств изотропного линейно-упругого материала (E,μмодуля упругости и коэффициента Пуассона). Это означает, что полученное напряженное
состояние можно переносить на геометрически подобные и аналогично загруженные
детали конструкций, выполненные из другого материала [2].
Анализ деформированного состояния балки – пластины проведем при следующих
упругих постоянных материала E=2.06e8 кН/м2 ,  =0.3.
На рис. 16 показан деформированный вид балки-полосы. На рис 17. показаны
перемещения точек вертикальных торцевых волокон и волокон вблизи места приложения
внешних сил. Торцевые сечения остаются плоскими и после деформации балки, а сечения
вблизи приложения сил искривляются, т.е. гипотеза плоских сечений, принимаемая в
сопротивлении материалов не выполняется.
Рис.16
Рис. 17
На рис.18 показаны вертикальные перемещения верхней и нижней кромок балки, а также
ее оси. Из рис.18 видно, что наибольшие перемещение получает точка верхней кромки
балки в месте приложения силы. Перемещения нижней кромки меньше чем перемещения
оси. В сопротивлении материалов, балка закрепляется на уровне оси и считается, что
перемещения точек верхней и нижней кромок балки одинаковые и равны перемещениям
соответствующих точек оси. На достаточном удалении от места приложения силы
Рис. 18
решение линейного дифференциального уравнения оси изогнутой балки хорошо
согласуется с решением плоской задачи теории упругости.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК.
1. Александров А.В., Потапов В.Д. Сопротивление материалов. Основы теории
упругости и пластичности. М. :Высшая школа, 2002.-399 c.
2. Александров А.В. , Потапов В.Д., Державин Сопротивление материалов. М.: Высшая
школа, 2000.-559 c.
3. Хеминг Р.В. Численные методы. М.: Наука, 1972.
4.Говорухин В. , Цибулин В. Компьютер в математическом исследовании. Учебный
курс. Maple, MATLAB, LaTex. СПБ: Питер, 2001. 624 с.