Лекция 04

8
Лекция 4 (24 сентября 2002 года).
Определение. А – непрерывно, если для x  B1
Определение. А – ограничено, если C : x :
Предложение. Пусть A : B1
Доказательство.
 Ax  
1
  ( x) : y  x    Ay  Ax   .
x  1 имеем Ax  C для линейного оператора.
 B2 - линейный оператор. А непрерывно  А ограничено.
 А – непрерывно. Положим   1 . Отсюда существует  :
x    Ax  1
x (т.к. A(x)  A( x) ), если шар радиуса  - он переводит во внутренность единичного шара. В
силу линейности оценку достаточно получить на единичной сфере.
 Достаточно доказать непрерывность при х = 0 (это в силу линейности).
если x  1    0 :  

c
 x 

c
Ax  C,
: Ax   (в силу линейности). 
Определение. Пусть Н – гильбертово пространство. F  l ( H , C ) т.е. линейное отображение:
H  C , называется линейным непрерывным функционалом (ЛНФ).
Задача. ЛНФ образует линейную структуру, т.к. если F1 , F2
Все аксиомы ЛП выполнены.
До этого доказали, что ЛНФ = l ( H , C ) - банахово пространство.
 ЛНФ, то F1  F2 ,F1 (  C) тоже ЛНФ.
Теорема (Рисса-Фреше). Любой ЛНФ в гильбертовом пространстве Н представим в виде
F ( f )  ( f , h), h  H при этом U : F  h изоморфизм Н* на Н. Тем самым Н* и Н изоморфны.
Доказательство. Рассмотрим N  { y  H | F ( y )  0}  ядро функционала F. Если
N  H  F ( f )  0   f ,0,  h  0 (в этом случае теорема доказана). Если N  H  g  N  : F ( g )  0
(в противном случае мы бы расширили ядро). Достаточно найти один элемент:

F( f )  F( f )
f  H , f   f 
g
g Т.е. т.к. это для f  H , то Н разлагается в ортонормированную сумму N
( g )  F ( g )
F



 
F ( f )
N
и одномерного подпространства N
получить, что F (h) 

 {g},  C. Ищем h  g ,   C : Мы должны, с одной стороны,
h, h , а с другой стороны, F (h)  F ( g ),   


 g , g 
2
F (g)
. А отсюда
F (g)
2
, т.к.   . Получаем, что если  выбрано так, что
g , g 
 f , h  F ( f ), f  N и f , h  0, f  N  F ( f )  ( f , h). (Далее для изоморфности).

 h  1
h, h   h , т.е. F  h достигается
F  sup  f , h   h , т.к.  f , h  f h . F   
f 1
 h  h
U
h
при f 
,  F  H *  h,U определён F  H * и есть отображение на Н (т.к.  f , h  F ( f )  H * ) и
h
U
это отображение сохраняет норму  H *  H изоморфизм. 
Нигде
не
используется
ограниченность,
кроме
y  N , yn  y  H ,0  F ( yn )  F ( y)  0  Н – замкнута, поэтому: H  N  N  .
того,
что:
9
СОПРЯЖЁННЫЙ ОПЕРАТОР В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Пусть A l ( H , H ) .
Определение. Оператор А* называется сопряжённым к А, если
Теорема. A l ( H , H )
Ax, y   x, A * y , x, y  H .
!A *.
F ( x)   Ax, y  - это ЛНФ на Н (по х). Непрерывность
вытекает из ограниченности. !h  H :  Ax, y   x, h, x  H . Положим A * y  h. Это определение
распространим для y  H . (у был «заморожен»; «размораживаем» у и этим пользуемся). Тем самым
имеем  Ax, y   x, A * y , x, y  H . (сопряжённый определён однозначно). 
Доказательство. Фиксируем y  H и рассмотрим:
БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА
Определение. Множество М в банаховом пространстве В называется нигде не плотным, если оно не
плотно ни в одном шаре В, т.е. не существует 
 0, x0  B : M  Bx0 ,    M (замыкание) не содержит



шар
внутренних точек.
Теорема (Бэра о категориях). Полное метрическое (или банахово) пространство не может быть
представлено в виде объединения счётного числа нигде не плотных множеств.
Доказательство. Пусть метрическое и банахово пространство X 

M
n
, M n  нигде не плотное в Х. M 1 не
n1
содержит внутренних точек  x1  X , u1
 0, т.ч. B[ x1 , 1 ]  M 1   . Возьмём 1  1 . Далее 2ой шаг:
центр рад.
1
M 2  нигде не плотно  x2  B[ x1 , 1 ],  2  , можем взять таким – это возможно т.к. важно, чтобы радиусы
2
уменьшались M 2  B[ x2 ,  2 ]   ……………… Повторим процедуру.
1
M n  нигде не плотно  xn  B[ xn1 ,  n1 ],  n  , т.ч. M n  B[ xn ,  n ]   . xn  B[ xn0 ,  n0 ], n  n0 .
n
Т.е. {xn }  фундаментальная последовательность (по определению), т.е. x  lim xn , x  X , т.к. Х – полное.
n
Т.к. шары замкнуты, то x 

B
n
. С другой стороны, Bn1  M n  M n  X .
n 1
Лемма.
ограничен  M1
Пусть
А
–
линейный
оператор
из
В1
в
В2
(банаховы).
Тогда
А
 {x  B1 | Ax  1} - прообраз единичного шара имеет внутренние точки (т.е. не может
быть нигде не плотным).
 
Доказательство.  Если оператор ограничен, то он непрерывен, следовательно обязан быть внутренней
точкой (из определения непрерывности).
 Пусть M1  B[ x0 ,  ]. Отсюда для всех х, т.ч.
x   , имеем: Ax  A( x  x0 )  Ax0 , в силу



(1)
линейности и свойств нормы. Но (1)
аналогично,
 B[ x0 ,  ]  M1 ,  A(1)  1, по определению М1. x0  M 1 ,  Ax0  1,
 Ax  1  1  2  Ax  2 1 x  A  ограничена. 