Лекция 05

10
Лекция 5 (15 октября 2002 года).
Лемма. X , Y  банаховы, А – ограничен, как оператор из X
 Y  M C  x | A  C, т.е. прообраз
шара радиуса С, имеет внутренние точки (при С > 0).
 Пусть Bx0 ,    M C , x0  центр,   радиус. Тогда для всех x  B0,   имеем:
Ax  Ax  x0   Ax0   Ax  Ax  x0   Ax0   C  C x , C x  константа, зависящая от x0 , не



Доказательство.
0
B 0 ,  M C
зависящая от x

0

 Ax   1 C  Cx0 x  ограниченность.
Ax  K x , K  const ,  M C  x | Ax  C содержит шар радиуса
 А – ограничен, тогда
K 1C, ч.т.д.
Теорема (Банаха-Штейнгауза). Пусть A  LB1 , B2 , B1 , B2  банаховы пространства,
множество индексов. Пусть для любого x  B1C x : A x  C x , C x  const , не зависящая от
  
 . Тогда
C const  : A x  C x , C  не зависит ни от  , ни от x.
Доказательство. Пусть норма A x ограничена на каждом элементе, следовательно иеем равномерную


ограниченность. Рассмотрим: M n  x | A x  n,    , n  целые числа. Тогда B1 

M
n
кроме того,
n 1
M n замкнуты, т.к. Ах – непрерывно. Если последовательность xk  M , xk  x, то в силу непрерывности:
Axk  Ax  n. Из теоремы Бера следует, что M n , которое не является нигде не плотным, т.е.
M n  Bx0 ,   - какой-то шар.  A x  n выполняется для x  Bx0 ,    . А теперь пользуемся
леммой и получаем, что A x  C x , C  зависит от
n, x0 ,  . 
Это принцип равномерной ограниченности.


Пусть В – банахово пространство. Рассмотрим пространство L B, C - одномерное пространство комплексных
чисел. Это пространство называется сопряжённым к В и обозначается через В*.
Иногда рассматривают вещественный ЛНФ (линейный непрерывный функционал) т.е. L B, R -вещественное


f  B*, x  B : f x   f , x  условная запись для (банаховых пространств).
Для гильбертовых пространств Н имеем: f  H * : f x  x, f 
. ,  скалярное произведение.
Фиксируя f имеем: x, f  B * . При фиксированном x  B имеем  f , x   линейный непрерывный функционал
на В* (меняем f). B ** : B * *  второе сопряжённое пространство.
Во 2м сопряжённом пространстве элементов не меньше, чем в исходном В, положим, что каждому x  B можно
~ B. ~
x  f    f , x , f  B * .
поставить в соответствие элемент из В** по правилу, которое мы написали т.е. B * * 
банахово пространство.
B**
Утверждение.
Доказательство.
~
x
B**
 x B.
~
x  sup  f , x   sup f x   x  оценка в одну сторону. С другой стороны, доказательство
f B*
f 1
f B*
f 1
обратной оценки требует применения теоремы Хана-Банаха. Определяем функционал
 


f x   x на одномерном
пространстве. x  sin x ,  C. Далее f x продолжаем с сохранением нормы (Но это в гильбертовом
пространствах). В банаховых пространствах нет разложения на пространство и ортогональное ему.
11
f x 
Теорема (Хана-Банаха). Действительный случай. Пусть Х – вещественное банахово пространство,
- линейный непрерывный функционал на подпространстве Y  X . Предположим, что p x  выпуклый
функционал на Х (т.е.

px  y   px  p y , px    px  ) и f x   p y , y  Y . Тогда f x 
продолжается как ЛНФ на всё Х, причём
f x  px, x  X .
Доказательство. Пусть x1  X , x1 Y . Продолжим
одномерное расширение. Пусть
f  y  на Y  x1  x | y  tx1 , y Y , t  R  X1 -
z1 , z2  X  f z1   f z2   f z1  z2   pz1  z2   pz1  x1  z2  x1   pz1  x1   pz2  x1 . Имеем:
f z1   pz1  x1   pz2  x1   f x2   верно для всех z1 , z2  X . Отсюда, a  R, т.ч.
f z1   pz1  x  a  pz2  x1   f x2   верно для всех z1 , z2  X . Определяем продолжение: f x1   a.
Надо показать, что f  y  tx1   p y  tx1 . Пусть, например, t  0 :
y

 y
y

 y
 y
y

f   x1   f    a  p  x1   f    f    p  x1  . Аналогично для t  0.
t

t
t

t
t
t
