Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости

Лекция 13: Классификация квадрик на
плоскости
Б.М.Верников
Уральский федеральный университет,
Институт математики и компьютерных наук,
кафедра алгебры и дискретной математики
Б.М.Верников
Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости
Вступительные замечания
В предыдущих трех лекциях мы изучили три типа кривых второго порядка
— эллипс, гиперболу и параболу. Цель данной лекции — указать все
существующие типы таких кривых. Как мы увидим, кроме трех только что
указанных, существуют лишь несколько вырожденных квадрик на
плоскости, некоторые из которых вообще трудно считать кривыми в
общепринятом смысле этого слова.
Б.М.Верников
Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости
Определение квадрики на плоскости
Определение
Квадрикой на плоскости (или кривой второго порядка) называется
множество всех точек плоскости, координаты которых в подходящей
системе координат удовлетворяют уравнению 2-го порядка с двумя
неизвестными, т. е. уравнению вида
a11 x 2 + 2a12 xy + a22 y 2 + 2a1 x + 2a2 y + a0 = 0,
2
2
2
где a11
+ a12
+ a22
6= 0.
Б.М.Верников
Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости
(1)
Примеры квадрик на плоскости
Примерами квадрик на плоскости являются кривые, рассмотренные в трех
предыдущих лекциях, — эллипс, гипербола и парабола. Рассмотрим еще
несколько уравнений вида (1) и выясним, какие квадрики они задают.
1 x 2 − y 2 = 0. Это уравнение равносильно уравнению (x − y )(x + y ) = 0
и потому задает пару пересекающихся прямых с уравнениями
x − y = 0 и x + y = 0.
2 x 2 − 1 = 0. Это уравнение равносильно уравнению (x − 1)(x + 1) = 0 и
потому задает пару параллельных прямых с уравнениями x − 1 = 0 и
x + 1 = 0.
3 x 2 = 0. Это уравнение, очевидно, равносильно уравнению x = 0 и
потому задает на плоскости прямую (ось ординат). В теории квадрик
на плоскости квадрику такого типа принято называть парой
совпавших прямых. Этот термин объясняется следующими
соображениями. Рассмотрим пару параллельных прямых x = ±a, где
a > 0, задаваемую уравнением x 2 = a2 . Если a −→ 0, то прямые x = a
и x = −a «сближаются» и в пределе, при a = 0, совпадают друг с
другом.
4 x 2 + y 2 = 0. Это уравнение равносильно равенствам x = y = 0 и
потому задает на плоскости точку (начало координат).
5 x 2 + 1 = 0. Точек, координаты которых удовлетворяли бы этому
уравнению, не существует. Поэтому его геометрическим образом
является пустое множество.
Б.М.Верников
Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости
Классификационная теорема
Оказывается, что никаких других квадрик, кроме упомянутых на
предыдущем слайде, не существует. А именно, справедлива следующая
Теорема 1
Всякая квадрика на плоскости является или эллипсом, или гиперболой,
или параболой, или парой прямых (пересекающихся, параллельных или
совпавших), или точкой, или пустым множеством.
Доказательство этой теоремы весьма длинное — ему будет посвящена вся
оставшаяся часть данной лекции. Отметим, однако, что это
доказательство несложно по своей сути (оно сводится к простым
вычислениям и перебору большого числа возникающих при этом случаев).
Еще более важно то, что это доказательство конструктивно: в нем, по сути
дела, изложен алгоритм, следуя которому можно определить тип
квадрики, заданной произвольным уравнением вида (1), и найти систему
координат, в которой уравнение этой квадрики имеет наиболее простой
вид. Последнее обстоятельство особенно ценно с точки зрения решения
задач.
Приведение уравнения произвольной квадрики к простейшему виду,
описываемое в доказательстве теоремы 1, принято называть
приведением квадрики к каноническому виду.
Б.М.Верников
Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости
Доказательство классификационной теоремы: шаг 1 (1)
Доказательство. Пусть в системе координат Oxy квадрика ` задается
уравнением (1). Разобьем дальнейшие рассуждения на три шага.
Шаг 1. Проверим прежде всего, что систему Oxy можно повернуть вокруг
точки O на некоторый угол α так, что в новой системе координат
уравнение той же квадрики ` не будет содержать слагаемого с
произведением неизвестных.
Если a12 = 0, то уже в исходной системе координат уравнение квадрики `
не содержит слагаемого с произведением неизвестных и в качестве
искомого α можно взять угол 0◦ . Поэтому далее можно считать, что
a12 6= 0.
(2)
Повернем систему Oxy на некоторый угол α. В новой системе координат
квадрика будет иметь уравнение вида
0
0
0
a11
(x 0 )2 + 2a12
x 0 y 0 + a22
(y 0 )2 + 2a10 x 0 + 2a20 y 0 + a00 = 0.
Б.М.Верников
Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости
Доказательство классификационной теоремы: шаг 1 (2)
Используя формулы (9) из лекции 6, легко проверить, что
0
a11
= a11 cos2 α + 2a12 sin α cos α + a22 sin2 α,
(3)
0
2a12
= 2a12 (cos2 α − sin2 α) − 2(a11 − a22 ) sin α cos α,
(4)
0
a22
(5)
2
2
= a11 sin α − 2a12 sin α cos α + a22 cos α.
0
Докажем, что существует угол α такой, что 2a12
= 0. Из (4) вытекает, что
0
0
2a12
= 2a12 cos 2α − (a11 − a22 ) sin 2α. Таким образом, 2a12
= 0 тогда и
только тогда, когда
2a12 cos 2α = (a11 − a22 ) sin 2α.
(6)
Ясно, что α 6= 0 (в противном случае, т. е. при «повороте» системы
координат на 0◦ , коэффициент при xy останется без изменения и потому
будет отличен от 0). Следовательно, и 2α 6= 0. Без ограничения общности
можно считать, что 0 < α < π2 , и потому 0 < 2α < π (если найдется
удовлетворяющий этому ограничению угол α такой, что выполнено
равенство (6), то этого будет достаточно для наших целей).
Следовательно,
sin 2α 6= 0.
(7)
Б.М.Верников
Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости
Доказательство классификационной теоремы: шаг 1 (3)
Неравенства (2) и (7) позволяют нам разделить обе части равенства (6)
на 2a12 sin 2α. В результате мы получаем следующее уравнение
относительно α:
a11 − a22
ctg 2α =
.
(8)
2a12
Это уравнение всегда имеет решение. Повернув систему координат на угол
α, являющийся решением этого уравнения, мы добьемся поставленной
цели — «уберем» из уравнения квадрики слагаемое с произведением
неизвестных.
0
Итак, после поворота на угол α, определяемый уравнением (8), a12
= 0.
0
0
Докажем, что при этом хотя бы один из коэффициентов a11
и a22
отличен
0
0
от нуля. Предположим, напротив, что a11
= a22
= 0. Складывая равенства
(3) и (5), имеем
0
0
0 = a11
+ a22
= a11 (cos2 α + sin2 α) + a22 (cos2 α + sin2 α) = a11 + a22 ,
откуда a22 = −a11 . Подставим −a11 вместо a22 в равенства (3) и (4).
Получим:
0
a11
= a11 cos2 α + 2a12 sin α cos α − a11 sin2 α = a11 cos 2α + a12 sin 2α,
0
a12
= a12 (cos2 α − sin2 α) − 2a11 sin α cos α = a12 cos 2α − a11 sin 2α.
Б.М.Верников
Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости
Доказательство классификационной теоремы: шаг 1 (4)
Таким образом,
a11 cos 2α + a12 sin 2α = 0,
(9)
a12 cos 2α − a11 sin 2α = 0.
(10)
Если a11 = 0, то из (9) вытекает, что a12 sin 2α = 0. Но это невозможно в
силу (2) и (7). Следовательно, a11 6= 0. С учетом (2) и (7) из (9) вытекает
12
теперь, что ctg 2α = − aa11
, а из (10) — что ctg 2α = aa11
. Следовательно,
12
a11
a12
2
2
=
−
.
Но
тогда
a
+
a
=
0.
Отсюда,
в
частности,
вытекает, что
11
12
a12
a11
a11 = 0. Но, как отмечалось выше, это невозможно.
Итак, если повернуть систему координат на угол α, являющийся решением
уравнения (8), то в уравнении квадрики в новой системе координат
коэффициент при xy будет равен 0, а хотя бы один из коэффициентов при
x 2 и y 2 будет отличен от 0. Иными словами, в новой системе координат
уравнение квадрики ` имеет вид
a11 x 2 + a22 y 2 + 2a1 x + 2a2 y + a0 = 0,
(11)
где по крайней мере один из коэффициентов a11 и a22 отличен от 0.
Б.М.Верников
Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости
Доказательство классификационной теоремы: шаг 2 (1)
Шаг 2. Проверим теперь, что параллельным переносом системы
координат можно избавиться от линейных слагаемых. Более точно, мы
установим, что:
а) если a11 6= 0, то сдвигом начала системы координат вдоль оси Ox
можно получить новую систему координат, в которой в уравнении
квадрики ` коэффициент при x равен 0;
б) если a22 6= 0, то сдвигом начала системы координат вдоль оси Oy
можно получить новую систему координат, в которой в уравнении
квадрики ` коэффициент при y равен 0.
Оба этих утверждения доказываются абсолютно аналогично. Поэтому мы
ограничимся проверкой только первого из них. Итак, пусть a11 6= 0.
В уравнении (11) выделим полный квадрат по x:
a1 2
a2
a11 x +
+ a22 y 2 + 2a2 y + a0 − 1 = 0.
a11
a11
Проведем замену неизвестных:
0
x = x +
y0 = y
Б.М.Верников
a1
a11
,
.
Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости
Доказательство классификационной теоремы: шаг 2 (2)
Геометрически этой замене неизвестных соответствует параллельный
перенос системы координат, при котором начало системы координат
1
переходит в точку с координатами (− aa11
, 0). В новой системе координат
квадрика ` имеет уравнение
a11 (x 0 )2 + a22 (y 0 )2 + 2a2 y 0 + a00 = 0,
a2
1
. Коэффициент при x в этом уравнении равен 0. При
где a00 = a0 − a11
необходимости, т. е. в случае, когда a22 6= 0, аналогичным образом
(выделив полный квадрат по y ) можно обнулить коэффициент при y .
Итак, мы можем считать, что уравнение квадрики ` имеет один из
следующих видов:
Ax 2 + By 2 + C = 0,
где A 6= 0, B 6= 0,
(12)
Dx 2 + 2Ey + F = 0,
где D 6= 0,
(13)
где D 6= 0.
(14)
2
Dy + 2Ex + F = 0,
Если квадрика имеет уравнение вида (13), то, сделав замену неизвестных
0
x = y,
(15)
y 0 = x,
мы придем к уравнению (14). Поэтому далее можно считать, что квадрика
имеет либо уравнение вида (12), либо уравнение вида (14).
Б.М.Верников
Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости
Доказательство классификационной теоремы: шаг 3, случай 1 (1)
Шаг 3. Дальнейшие рассмотрения естественно распадаются на два случая.
Случай 1: квадрика задается уравнением вида (12). Здесь возможны два
подслучая.
Подслучай 1.1: C 6= 0. В этом случае уравнение (12) можно переписать в
виде
x2
y2
+
= 1.
(16)
−C /A
−C /B
Предположим сначала, что числа − CA и − CB больше нуля. Введя
q
q
2
2
обозначения a = − CA и b = − CB , мы получаем уравнение xa2 + yb2 = 1.
Если a > b, оно является каноническим уравнением эллипса. В противном
случае мы получим тот же результат, сделав замену неизвестных (15).
Пусть теперь числа − CA и − CB имеют разные знаки. Без ограничения
общности можно считать, что − CA > 0 и − CB < 0 (в противном случае
q
следует сделать замену неизвестных (15)). Введя обозначения a = − CA ,
q
2
2
b = CB , мы получим уравнение xa2 − yb2 = 1, т. е. каноническое уравнение
гиперболы.
Б.М.Верников
Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости
Доказательство классификационной теоремы: шаг 3, случай 1 (2)
Наконец, если числа − CA и − CB меньше нуля, то уравнение (16) не имеет
решений, и потому его геометрическим образом является пустое
множество.
Подслучай 1.2: C = 0. При таком C уравнение (12) можно переписать в
виде
x2
y2
+
= 0.
(17)
1/A
1/B
Если числа A1 и B1 имеют одинаковый знак, то уравнение (17) имеет
единственное решение: x = y = 0. Следовательно, его геометрическим
образом является точка (начало координат).
Пусть теперь числа A1 и B1 имеют разные знаки. Умножив, если
потребуется, наше уравнение на −1, можно добиться
q выполнения
q
неравенств
1
A
>0и
1
B
2
< 0. Введя обозначения a =
1
A
иb=
− B1 , мы
2
получим уравнение xa2 − yb2 = 0, которое можно переписать в виде
( xa + yb )( xa − yb ) = 0. Оно задает совокупность прямых xa + yb = 0 и
x
− yb = 0. Очевидно, что главные векторы этих прямых,т. е. векторы
a
~n1 = ( 1a , − b1 ) и ~n2 = ( 1a , b1 ), не пропорциональны. Следовательно, наши
прямые пересекаются (см. теорему 2 в лекции 7). Итак, в
рассматриваемом случае квадрика есть пара пересекающихся прямых.
Б.М.Верников
Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости
Доказательство классификационной теоремы: шаг 3, случай 2 (1)
Случай 2: квадрика задается уравнением вида (14). Здесь также
возможны два подслучая.
Подслучай 2.1: E 6= 0. При таком E уравнение квадрики можно упростить,
избавившись от свободного члена. Для этого перепишем уравнение (14) в
виде
F 2E
F
2E x+
.
y2 = −
x−
=−
D
D
D
2E
Сделаем замену неизвестных
0
F
x = x + 2E
,
0
y = y
,
которая соответствует параллельному переносу системы координат, при
котором начало системы координат переходит в точку с координатами
F
(− 2E
, 0). В новой системе координат квадрика имеет уравнение
2E
· x 0.
D
E
, получаем уравнение (y 0 )2 = 2px 0 . Если p > 0, то оно
Полагая p = − D
является каноническим уравнением параболы. Если же p < 0, то мы
придем к тому же результату после замены неизвестных
00
x = −x 0 ,
y 00 = y 0 .
(y 0 )2 = −
Б.М.Верников
Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости
Доказательство классификационной теоремы: шаг 3, случай 2 (2)
Подслучай 2.2: E = 0. При таком E уравнение (14) можно переписать в
виде
F
y2 = − .
(18)
D
q
F
F
Если − D
> 0, то, полагая a = − D
, мы получаем уравнение y 2 = a2 ,
геометрическим образом которого является пара параллельных прямых
y = a и y = −a.
F
Если − D
= 0, то уравнение (18) имеет вид y 2 = 0 и определяет пару
совпавших прямых.
F
< 0, то уравнение (18) не имеет решений, и потому его
Наконец, если − D
геометрическим образом является пустое множество.
Мы завершили разбор всех возможных случаев и подслучаев. Как видим,
в процессе этого разбора возникли все восемь видов квадрик, упомянутых
в формулировке теоремы, и не возникло никаких других. Теорема
полностью доказана.
Б.М.Верников
Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости