Найти точку, симметричную относительно прямой
advertisement
307 Расчетно-графическая работа y Задача 8б. Найти точку M 1 , симметричную точке M (1, 0, − 2) относительно прямой l : x−2 = = z +1 . 1 2 −3 Решение. Сначала составим уравнение плоскости α , проходящей через точку M перпендикулярно прямой l (рис. 6.9). l S M O α M1 Рис. 6.9 Вектор нормали N к плоскости α совпадает с направляющим вектором S прямой l — N = S = (1, 2, − 3) . Тогда уравнение плоскости имеет вид: 1(x − 1) + 2( y − 0 ) − 3(z + 2 ) = 0 или x + 2 y − 3z = 7 . Найдем координаты точки O (x 0 y 0 , z 0 ) пересечения прямой l и плоскости α так, как мы это делали в задаче 7. Запишем параметрические уравнения прямой l : ⎧ x = t + 2, ⎪ ⎨ y = 2t , ⎪ z = −3t − 1, ⎩ t∈R . Подставим эти выражения в уравнение плоскости и найдем соответствующее значение параметра t 0 : t 0 + 2 + 2(2t 0 ) − 3(− 3t 0 − 1) = 7 ( ) Итак, точка O имеет координаты O 15 , 2 , − 10 . 7 7 7 Поскольку точка O является серединой отрезка MM 1 , x M + x M1 ⎧ , ⎪ x0 = ⎧ x M = 30 − 1 = 23 , 2 ⎧ x M1 = 2 x 0 − x M , ⎪ 7 ⎪ 1 7 y M + y M1 ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ 4 4 , ⇒ ⎨ y M1 = 2 y 0 − y M , ⇒ ⎨ y M 1 = − 0 = , ⎨ y0 = 7 7 2 ⎪ ⎪ ⎪ z z z 2 , = − ⎪⎩ M1 0 M z M + z M1 ⎪ z M 1 = − 20 + 2 = − 6 . ⎪ 7 7 ⎩ , ⎪z0 = 2 ⎪⎩ ( ) Ответ: точка M 1 имеет координаты M 1 23 , 4 , − 6 . 7 7 7 ⇒ t 0 = 17 .
