«Анизотропное» пространство

«Анизотропное» пространство.
Вейник В.А.
Рукопись, 29 августа 1982 года.
Рассмотрим множество V, элементами которого служат
упорядоченные наборы действительных чисел вида X i2 , где i = 1,
2,..., n чисел в каждом наборе (n – фиксированное натуральное
число). Элемент такого множества записывается следующим образом
X i2 =( X 12 ; X 22 ; ...; X n2 ).
(1)
Будем считать множество V n-мерным и введём в него систему
координат. Пусть начало этой системы находится в какой-либо
выбранной точке 0. Сопоставим множеству V n-мерное линейное

 
пространство с базисом е1 ; е2 ; ...; еn
и назовем его V-пространством.
Разложение радиус-вектора произвольной точки Р из множества

 
V по базису е1 ; е2 ; ...; еn будет иметь вид



ОР = = X 12 е1 + X 22 е2 + ... + X n2 еn
(2)
здесь коэффициенты разложения X 12 ; X 22 ; ...; X n2 представляют
собой координаты радиус-вектора точки Р в V-пространстве.
Очевидно, что точечно-векторная аксиоматика введённого
пространства будет полностью соответствовать точечно-векторной
аксиоматике аффинного пространства [1, 2]. Отличие аффинного и
V-пространства состоит в том, что по осям координат в V-пространстве откладываются квадраты значений аффинных координат.
Зададим метрические свойства V-пространства билинейной




скалярной функцией  ( Х 2 , Y 2 ) двух векторных аргументов X 2 и Y 2 ,
удовлетворяющих условиям симметрии и невырожденности. Запишем


билинейную функцию  ( Х 2 , Y 2 ) в развернутом виде:


 ( Х 2 ,Y 2 ) =
2 2
1 1
= a11 X Y
2 2
2 1
+ a21 X Y
2 2
1 2
+ a12 X Y
2 2
2 2
+ a22 X Y

ik
X i2Yk2 =
(3)
2 2
1 n
+
2 2
2 n
+
+ ... + a1n X Y
+ ... + a2 n X Y
...................................................
+ an1 X n2Y12 + an 2 X n2Y22 + ... + ann X n2Yn2


В случае, если  Х 2  =  Y 2 , билинейная функция называется

квадратичной функцией или скалярным квадратом вектора Х 2 :
Стр.1


 ( Х2, Х 2 ) =

ik
X i2 Х k2 =
(4)
= a11 X 14 + 2 a12 X 12 Х 22 + 2 a13 X 12 Х 32 + ... + 2 a1n X 12Yn2 +
+ a 22 X 24 + 2 a 23 X 22 Х 32 +... + 2 a 2 n X 22Yn2 + ... + a nn X n4
Если в некотором базисе окажется, что коэффициенты
при i  k, то в таком базисе квадратичная функция имеет
канонический вид:
aik = 0


 ( Х 2 , Х 2 ) = a11 X 14 + a 22 X 24 + ... + a nn X n4
(5)
Заметим, что коэффициенты aik могут быть как постоянными,
так и переменными, т.е. зависящими от местонахождения вектора X 12
в V-пространстве и от времени существования. Однако с физической
точки зрения в пространстве и во времени можно выделить
достаточно малую область, в любой точке которой коэффициенты aik
практически неизменны. Систему координат, помещённую внутри
такой области, принято называть локальной системой координат.
Наиболее широкое применение имеет двухмерная локальная

система координат. Скалярный квадрат радиус-вектора Х 2 в такой
системе записывается следующим образом:
Х 
2
2
= Х 4 = a11 X 14 + 2 a12 X 12 Х 22 + a 22 X 24
(6)
Здесь постоянные коэффициенты a11 и a 22 представляют собой
масштабы величин X 12 и X 22 , откладываемых по осям абсцисс и
ординат соответственно, поэтому a11 и a 22 никогда не могут быть
равными нулю. Коэффициент a12 зависит от степени асимметрии (или
величины искажения) V-пространства, т.е. от угла  между осями
координат.
a12 = f() a11a22
(7)
Угол  может изменяться в диапазоне от 00 до 1800, причём
никогда не достигая значения 00 до 1800. В противном случае
пространство вырождается и превращается в линию.
В традиционной геометрии на плоскости функцию f()
приравнивают к тригонометрическому косинусу угла :
f() = cos 
(8)
при этом –1  f()  +1.
Отобразим локальную систему координат V-пространства на
аффинную ортогональную систему координат и перепишем уравнение
(6) в виде, более удобном для дальнейших выкладок. Для этого
введём общепринятые обозначения
Стр.2
X = R;
1
;
a4
a12 =
a22 =
1
b4
и выполним следующие преобразования:
X 14
X 24
1
2
2
+
2
f()
+
= R4
X
Х
1
2
a 2b 2
a4
b4
Пусть
f() = 2q2 – 1,
где
q = cos
(9)

.
2
Далее
 X 12 X 22 
 2  2 
b 
a
2
+ 4q2
X 12 X 22
= R4
a2 b2
(10)
Отсюда следует
aR
X1 =
4

0
bR
X2 =
2
4
X2
X1
В частном случае, когда
упрощается (рис.1):
2
1
 X 22
,
(12)
b
a
(13)
 2 
2
1  2   4 q 2 2
  
0
0 


где
X
(11)
2
 2 
2
1  2   4q 2 2
0
 0 

2
и
0 
R = 1,
a = b = 1, уравнение (10)
+ 4q2 X 12 Х 22 = 1
(14)
При этом переменные X 1 и X 2 превращаются в обобщённые
нормированные функции соответственно:
1
сv  =
4
1   
2 2
 4q 
2
(15)
2

sv  =
4
1   
2 2
 4q 2  2
(16)
Обе этих функции периодические и непрерывные для всех
значений q, кроме q = 0.
Стр.3
Для нормального случая при  = 00 (q = 1) уравнение (14)
преобразуется в
X
2
1
X
2
1

2
= 1,
(17)
 X 22
0
а для гипотетического случая при  = 180 (q = 0) оно приобретает
вид

2
= 1,
(18)
 X 22
Из уравнений (17) и (18) легко выводятся тригонометрические
и гиперболические функции через единое безразмерное отношение
 = tg  = th ,
(19)
где  - угол между радиус-вектором и осью абсцисс в аффинной
ортогональной системе координат:
1
сos  =
4
1   
2 2
(20)
Стр.4

sin  =
4
1   
2 2
1
сh  =
4
1   
2 2

sh  =
4
1   
2 2
(21)
(22)
(23)
В тригонометрических и гиперболических функциях аргументом
должна служить не площадь сектора с центральным углом 2 [3, стр.
196-197], а параметр . Целесообразность этого объясняется
структурой формул (15) и (16), а также вытекающими из них как
следствие формулами (20-23) при подстановке q = 0 и q = 1.
Особо следует подчеркнуть, что в уравнениях (17) и (18), в
формулах (20-23) однократное извлечение квадратного корня из
правых частей неправомерно. Но тогда может быть сделан важный
вывод: гиперболические функции (22) и (23) являются
периодическими по аналогии с тригонометрическими функциями (20)
и (21) (рис.2 и 3). Графически уравнение (18) будет изображаться
замкнутой кривой за исключением четырёх точек разрыва на
биссектрисах координатных углов (рис.1).
Стр.5
Литература.
1. Рашевский П.К., Риманова геометрия и тензорный анализ,
изд. «Наука», М., 1967.
2. Ефимов Н.В., Розендорн Э.Р., Линейная алгебра и
многомерная геометрия, изд. «Наука», М., 1970.
3. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А., Справочник по математике
для инженеров и учащихся втузов, изд. «Наука», М., 1964.
Впервые опубликовано 05.07.2005 г. на сайте Veinik.ru
Справка:
Вейник Виктор Альбертович (1945 г.р.), инженер-металлург,
кандидат технических наук (1973). Окончил Московский авиационный
технологический институт (1967), специалист в области сварки,
металловедения, металлургии, прикладной математики.
Стр.6