1 АНАЛИЗ СЕТЕЙ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С

АНАЛИЗ СЕТЕЙ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
С ДИСКРЕТНЫМ ВРЕМЕНЕМ
Ю. И. Митрофанов
Саратовский государственный университет
имени Н. Г. Чернышевского, Саратов, Россия
Системы и сети массового обслуживания с дискретным временем в
настоящее время широко используются в качестве математических моделей коммуникационных и вычислительных систем и сетей. Особую важность в этом отношении представляют классы сетей массового обслуживания, стационарное распределение которых имеет мультипликативную
форму, так как стационарные характеристики сетей этих классов могут
быть вычислены достаточно просто. Теория сетей обслуживания с дискретным временем имеет намного более короткую историю, чем теория сетей обслуживания с непрерывным временем. Только в 1990 году в работе
[1] был опубликован общий результат о мультипликативной форме стационарного распределения сетей массового обслуживания. Предложенный
в этой работе метод анализа неоднородных сетей массового обслуживания
с непрерывным и дискретным временем, групповыми переходами и групповым обслуживанием требований получил дальнейшее развитие в [2, 3].
Обобщение и развитие содержащихся в этих работах результатов по теории и методам анализа сетей обслуживания с дискретным временем представлено в [4, 5]. В работе [6], посвященной теории и методам анализа сетей обслуживания с дискретным временем, исследуется проблема существования мультипликативной формы стационарного распределения для сетей трех классов: (1) линейных сетей одноприборных систем массового
обслуживания с дисциплиной «первый пришел–первый обслужен», геометрическим распределением длительности обслуживания и входящим потоком требований типа Бернулли; (2) сетей обслуживания с дважды стохастическими и геометрическими системами обслуживания; (3) сетей обслуживания с групповыми переходами требований и групповым обслуживанием. Теоретические и практические аспекты использования сетей обслуживания с дискретным временем в качестве математических моделей
телекоммуникационных систем, вычислительных систем и сетей обсуждаются в [7, 8]. Основные результаты теории сетей массового обслуживания с дискретным временем и методы их анализа рассматриваются в фундаментальной работе [9]. Некоторое представление о методах анализа сетей массового обслуживания с непрерывным временем и групповыми переходами требований дает работа [10].
Целью работы является рассмотрение представленных в [1–5] результатов, связанных с определением стационарного распределения в
мультипликативной форме сетей обслуживания с дискретным временем.
1
Пусть N – открытая сеть массового обслуживания с дискретным
временем, L системами массового обслуживания Si , i = 1,2,K, L , K классами требований, групповыми переходами и групповым обслуживанием
требований (предполагается, что L и K являются конечными). Класс требований может изменяться при переходах требований между системами.
Предполагается,
что
временная
ось
моментами
времени
t ∈ T = {0, ± 1, ± 2,K} разбита на интервалы фиксированной длины (слоты)
(номер начинающегося в момент t слота равен t ). Все поступления требований в системы и выходы обслуженных требований из систем происходят
в конце слотов. Предполагается, что выходы требований из систем осуществляются раньше поступления требований в системы («поздние поступления»). Выходы требований в течение слота (t − 1) происходят в момент
времени t − , а поступления требований в течение этого слота – между моментами t − и t . Идентификация состояний сети обслуживания производится в моменты t ∈ T .
Состояние
сети
в
момент
t
описывается
вектором
st = ( st (i, k ); 1 ≤ i ≤ L, 1 ≤ k ≤ K ) , где st (i , k ) – число требований класса k в
системе Si в момент t . Пространство состояний сети обозначим X . Предположим, что эволюция сети может быть описана цепью Маркова
sˆ = {st : t ∈ T } , T = {0, ± 1, ± 2,K}, с дискретным временем, пространством
состояний X и матрицей вероятностей перехода P = ( pss ' ) , s, s '∈ X .
Для описания поступления в системы групп требований и их выходов из систем используются случайные векторы соответственно входящих и выходящих групп требований, которые назовем векторами перемещений,
at = ( at (0), at (i , k ),1 ≤ i ≤ L, 1 ≤ k ≤ K ) ,
d t = (d t (0), d t (i, k ),1 ≤ i ≤ L, 1 ≤ k ≤ K ) ,
где d t (0) и at (0) – число требований, выходящих из сети во внешний источник требований и поступающих в сеть из источника в момент t , а
d t (i, k ) и at (i , k ) – соответственно число требований класса k , выходящих
из системы Si и поступающих в систему Si в момент t . Предполагается,
что процессы {d t } и {at } имеют одно и то же множество состояний Y .
Динамика сети обслуживания определяется соотношением
st +1 = st − d t∗ + at∗ ,
где « ∗ » – признак удаления первой компоненты векторов d t , at ∈ Y , т. е.
d t∗ = ( d t (i , k ); 1 ≤ i ≤ L, 1 ≤ k ≤ K )
для
d t = ( d t (0), d t (i , k ); 1 ≤ i ≤ L, 1 ≤ k ≤ K ) ∈ Y . Если сеть в момент t находится в
состоянии st , то состояние сети в момент (t + 1) − непосредственно после
выхода из систем требований, представленных вектором d t∗ , назовем ос2
товным
состоянием
сети
обслуживания
и
обозначим
bt = (bt (i , k ); 1 ≤ i ≤ L, 1 ≤ k ≤ K ) , где bt (i, k ) – число требований класса k в
системе Si в момент времени (t + 1) − , bt = st − d t∗ . Вектор bt зависит только от состояния st и вектора d t и для данных st и d t не зависит от t .
Сделаем следующие предположения относительно выходов и поступлений групп требований в системы. Вектор d t зависит только от состояния st в течение всей эволюции сети, и условная вероятность формирования вектора d t для данного st не зависит от t . Обозначим эту условную
вероятность через ps , d , т. е.
ps , d = P ( d t = d st = s )
( s ∈ X , d ∈Y ) .
Предполагается, что ps , d > 0 , если только s ≥ d ∗ (это означает, что из каждой системы не может уйти требований больше, чем находится в системе).
Между моментами (t + 1) − и ( t + 1 ) вектор d t преобразуется в вектор
at входящих требований с вероятностью pda . Вектор at зависит только от
d t , и вероятность
pda = P ( at = a d t = d )
(d , a ∈Y ) .
Предполагается, что pda > 0 , если только суммы всех компонент векторов
d и a равны, т. е.
L K
L K
d 0 + ∑ ∑ d ik = a0 + ∑ ∑ aik
i =1 k =1
i =1 k =1
для d = ( d 0 , d ik ,1 ≤ i ≤ L, 1 ≤ k ≤ K ) и a = ( a0 , aik ,1 ≤ i ≤ L, 1 ≤ k ≤ K ) (это означает, что при переходе групп требований новых требований не формируется, и требования не теряются).
Рассмотрим переход сети обслуживания (цепи Маркова
sˆ = {st : t ∈ T } ) из состояния s в состояние s ' , обусловленный тем, что d i
требований покинули систему Si , ai требований поступили в систему Si , а
bi требований оставались в системе Si . Таким образом, можно записать
s = b + d и s' = b + a , где b = (b1 ,..., bL ) – вектор оставшихся требований, а
d = ( d1 ,..., d L ) и a = ( a1 ,..., a L ) – векторы, представляющие соответственно
выходящие и поступающие требования. Соответствующая вероятность
перехода для этого частного перехода между состояниями s и s ' обозначается pda ,b . Заметим, что для данных векторов d и a (данных групп требований d i и ai , 1 ≤ i ≤ L ), разложение векторов s , s ' на s = b + d и
s' = b + a является единственным, но переход из состояния s в состояние
s ' может произойти также и при других векторах d и a (других значениях
компонент векторов d и a ). Полная вероятность перехода из состояния s
в состояние s ' тогда определяется выражением
3
pss ' =
∑
pda ,b .
{d , a , b: b + d = s , b + a = s '}
Заметим, что при переходе из состояния s в состояние s ' направляемые по определенным маршрутам группы требований d i и ai , 1 ≤ i ≤ L ,
полностью определены, если фиксирован вектор b . Для случая d ≠ 0 можно положить qdd ,b ≠ 0 и считать это фиктивным переходом.
Введем в рассмотрение цепь Маркова α̂ с дискретным временем,
определенную на множестве векторов перемещений Y , с вероятностями
переходов γ da = pda , если ps , d > 0 для некоторого s , и γ da = δ da в противном случае. Эту цепь назовем маршрутной цепью. Вероятности ps , d и γ da
назовем соответственно вероятностью выхода и маршрутной вероятностью. Рассмотренная модель является моделью открытой сети массового
обслуживания, но если удалить компоненты at (0) и d t (0) в векторах at и
d t , то получим модель замкнутой сети массового обслуживания.
Хендерсон и Тейлор [1] ввели следующие предположения.
(A) Существуют положительная функция Φ на X , неотрицательные
функции Ψ и Ξ соответственно на X − и Y такие, что
Ψ ∗ Ξd
ps, d = s − d
(s ∈ X , d ∈Y ) ,
(1)
Φs
где X − = {s − d ∗ ≥ 0 s ∈ X , d ∈ Y } . Так как ps , d – вероятность,
Φ s = ∑ Ψs − d ∗ Ξ d .
d
(B) Существует положительная функция f на Y , удовлетворяющая
уравнению
Ξ d f d = ∑ Ξ a f aγ ad (d ∈ Y ) .
a∈Y
Заметим, что Ξ d f d определяет инвариантную меру для маршрутной цепи
α̂ , и множество функций f не пусто, если множество Y состоит из положительных классов.
Необходимым и достаточным условием, чтобы множество F
функций f было непустым, является
(1) Ξ d > 0 для d ∈ Y , если и только если содержащий d существенный класс Rd множества состояний маршрутной цепи является
положительным.
Это, в свою очередь, значит, что для того чтобы множество F
было непустым, необходимо:
(2) Вероятность ps , d > 0 , если и только если существует векторы
a ∈ Y и s'∈ X такие, что ps ', a pad > 0 .
(3) Если a ∈ Rd , b + d ∗ ∈ X и pb + d ∗ , d > 0 , то b + a ∗ ∈ X .
4
(С) Существует положительная функция g на Y , удовлетворяющая
соотношению
gs
f
(2)
= d,
gs −d ∗ +a∗
fa
для всех s ∈ X и d , a ∈ Y с qs , d γ da > 0 .
Хендерсон и Тейлор показали, что при этих условиях
π s′ = Φ s g s
(3)
является инвариантной мерой для сети массового обслуживания N , и если
существует нормализующая константа
G ≡ ∑ Φ s gs < ∞ ,
s∈ X
то выражение
(s ∈ X )
(4)
π s = G −1Φ s g s
определяет стационарное распределение сети обслуживания N .
Пусть ξik = f eik f e0 , где eik (e0 ) является единичным вектором, в
котором (i , k ) -я (0-я) компонента равна 1, а остальные – нулю. Предположим, что ps , e0 γ e0 ei ,k > 0 для всех i, k . Тогда из (С) следует, что
g s + e∗ = ξik g s . Следовательно, (2) эквивалентно
ik
L
K
g s = g 0 ∏ ∏ ξiksik ,
i =1 k =1
для всех s = ( s0 , sik ,1 ≤ i ≤ L, 1 ≤ k ≤ K ) и поэтому f определяется выражением
L
K
f d = f e0 ∏ ∏ ξikd ik ,
i =1 k =1
для всех d = ( d 0 , d ik ,1 ≤ i ≤ L, 1 ≤ k ≤ K ) .
Обозначим через α~ обращенную во времени маршрутную цепь с
обращенными во времени вероятностями перехода относительно Ξ d f d
Ξ f γ
γ~ad = d d da (d , a ∈ Y ) .
(5)
Ξa fa
Теперь предположим, что обращенная вероятность перехода из состояния
s' = s − d ∗ + a ∗ , обусловленного преобразованием вектора перемещения a в
вектор d (и, следовательно, формирования состояния s ), определена выражением
Ψ ∗ Ξa ~
~
ps ', ad = ps ', a γ~ad = s ' − a
γ ad .
(6)
Φ s'
Справедливость равенств
π s ps , d γ da = π s ' ~ps ', ad
(7)
и
5
∑ ps,d = ∑∑ ~ps,da
d
d a
достаточна, чтобы установить, что π s′ является инвариантной мерой для
сети обслуживания. Если эта инвариантная мера может быть нормализована, то получим стационарное распределение.
Равенство (7) может быть проверено для всех s , d , a и s' , используя
равенства (3), (6) и (5) следующим образом:
Ψ ∗ Ξ a Ξ d f d γ da
=
π s ' ~ps ', ad = G −1 Φ s ' g s ' s ' − a
Φ s'
Ξa fa
f
= G −1 g s ' d Ψs ' − a ∗ Ξ d γ da .
fa
Замечая, что s'− a ∗ = s − d ∗ , и используя (1) и (2), видно, что правая часть
должна быть
G −1 g s Φ s ps , d γ da = π s ps , d γ da .
Получим выражение для совместного стационарного распределения
π s, d вероятностей формирования вектора d при нахождении сети в состоянии s . Это распределение является также совместным стационарным
распределением вероятностей пребывания сети в состоянии s и остовном
состоянии s − d ∗ с поступлением в сеть d 0 требований из источника.
Теорема. Пусть существует f (⋅) ∈ F и функция g (⋅) : X → R , которая
удовлетворяет для всех b ∈ X − Y , d и a ∈ Y с pb + d ∗ , d γ da > 0 равенству
gb + d ∗
gb + a ∗
=
fd
.
fa
Тогда для сети массового обслуживания имеет место стационарное распределение вероятностей
π s, d = G −1g s Ψs − d ∗ Ξ d ,
при условии, что существует нормализующая константа G < ∞ .
Доказательство. Используя (1) и (4), непосредственно получим
π s , d = π s ps, d = G −1g s Ψs − d ∗ Ξ d .
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Henderson W., Taylor P. G. Product form in networks of queues with batch arrivals
and batch services // Queueing Systems. 1990. Vol. 6. P. 71–88.
2. Henderson W., Taylor P. G. Some new results on queueing networks with batch
movement // J. Appl. Prob. 1991. Vol. 28. P. 409–421.
3. Boucherie R. J., Van Dijk N. M. Product forms for queueing networks with statedependent multiple job transitions // Adv. Appl. Prob. 1991. Vol. 23. P. 152–187.
4. Ōsawa H. Quasi-reversibility of discrete-time queue and related models // Queueing
Systems. 1994. Vol. 18. P. 133–148.
6
5. Miyazawa M. On the characterization of departure rules for discrete-time queueing
networks with batch movements and its applications // Queueing Systems. 1994. Vol. 18. P.
149–166.
6. Daduna H. Queueing networks with discrete time scale: explicit expressions for the
steady state behavior of discrete time stochastic networks. Berlin, Heidelberg: SpringerVerlag, 2001. 143 p.
7. Woodward M. E. Towards the accurate modelling of high-speed communication
networks with product-form discrete-time networks of queues // Computer Communications.
1998. Vol.21. P. 1530-1543.
8. Alfa A. S. Queueing theory for telecommunications: discrete time modelling of a
single node system. New York, Heidelberg, London: Springer Science+Business Media, LLC,
2010. 248 p.
9. Boucherie R. J., Van Dijk N. M. (Editors). Queueing networks: a fundamental approach. New York, Heidelberg, London: Springer Science+Business Media, LLC, 2011.
823 p.
10. Митрофанов Ю. И., Рогачко Е. С., Станкевич Е. П. Анализ неоднородных
сетей массового обслуживания с групповыми переходами требований // Изв. Сарат. унта. Нов. cер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2011. Т. 11, вып. 3. С. 41–46.
7