mitrophanov_y_i - Саратовский государственный университет

АНАЛИЗ СЕТЕЙ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
С ДИСКРЕТНЫМ ВРЕМЕНЕМ
Ю. И. Митрофанов
Саратовский государственный университет
имени Н. Г. Чернышевского, Саратов, Россия
Системы и сети массового обслуживания с дискретным временем в
настоящее время широко используются в качестве математических моделей коммуникационных и вычислительных систем и сетей. Особую важность в этом отношении представляют классы сетей массового обслуживания, стационарное распределение которых имеет мультипликативную
форму, так как стационарные характеристики сетей этих классов могут
быть вычислены достаточно просто. Теория сетей обслуживания с дискретным временем имеет намного более короткую историю, чем теория сетей обслуживания с непрерывным временем. Только в 1990 году в работе
[1] был опубликован общий результат о мультипликативной форме стационарного распределения сетей массового обслуживания. Предложенный в
этой работе метод анализа неоднородных сетей массового обслуживания с
непрерывным и дискретным временем, групповыми переходами и групповым обслуживанием требований получил дальнейшее развитие в [2, 3].
Обобщение и развитие содержащихся в этих работах результатов по теории и методам анализа сетей обслуживания с дискретным временем представлено в [4, 5]. В работе [6], посвященной теории и методам анализа сетей обслуживания с дискретным временем, исследуется проблема существования мультипликативной формы стационарного распределения для
сетей трех классов: (1) линейных сетей одноприборных систем массового
обслуживания с дисциплиной «первый пришел–первый обслужен», геометрическим распределением длительности обслуживания и входящим потоком требований типа Бернулли; (2) сетей обслуживания с дважды стохастическими и геометрическими системами обслуживания; (3) сетей обслуживания с групповыми переходами требований и групповым обслуживанием. Теоретические и практические аспекты использования сетей обслуживания с дискретным временем в качестве математических моделей телекоммуникационных систем, вычислительных систем и сетей обсуждаются
в [7, 8]. Основные результаты теории сетей массового обслуживания с дискретным временем и методы их анализа рассматриваются в фундаментальной работе [9]. Некоторое представление о методах анализа сетей массового обслуживания с непрерывным временем и групповыми переходами требований дает работа [10].
Целью доклада является рассмотрение представленных в [1–5] результатов, связанных с определением стационарного распределения в
мультипликативной форме сетей обслуживания с дискретным временем.
1
Пусть N – открытая сеть массового обслуживания с дискретным
временем, L системами массового обслуживания S i , i  1,2,, L , K классами требований, групповыми переходами и групповым обслуживанием
требований (предполагается, что L и K являются конечными). Класс требований может изменяться при переходах требований между системами.
Предполагается,
что
временная
ось
моментами
времени
t T  0,  1,  2, разбита на интервалы фиксированной длины (слоты)
(номер начинающегося в момент t слота равен t ). Все поступления требований в системы и выходы обслуженных требований из систем происходят
в конце слотов. Предполагается, что выходы требований из систем осуществляются раньше поступления требований в системы («поздние поступления»). Выходы требований в течение слота (t  1) происходят в момент времени t  , а поступления требований в течение этого слота – между
моментами t  и t . Идентификация состояний сети обслуживания производится в моменты t  T .
Состояние
сети
в
момент
описывается
вектором
t
st  ( st (i, k ); 1  i  L, 1  k  K ) , где st (i, k ) – число требований класса k в
системе S i в момент t . Пространство состояний сети обозначим X . Предположим, что эволюция сети может быть описана цепью Маркова
sˆ  {st : t  T } , T  0,  1,  2,, с дискретным временем, пространством
состояний X и матрицей вероятностей перехода P  ( pss ' ) , s, s' X .
Для описания поступления в системы групп требований и их выходов из систем используются случайные векторы соответственно входящих и выходящих групп требований, которые назовем векторами перемещений,
at  ( at (0), at (i, k ),1  i  L, 1  k  K ) ,
d t  (d t (0), d t (i, k ),1  i  L, 1  k  K ) ,
где d t (0) и at (0) – число требований, выходящих из сети во внешний источник требований и поступающих в сеть из источника в момент t , а
d t (i, k ) и at (i, k ) – соответственно число требований класса k , выходящих
из системы S i и поступающих в систему S i в момент t . Предполагается,
что процессы {d t } и {at } имеют одно и то же множество состояний Y .
Динамика сети обслуживания определяется соотношением
st 1  st  d t  at ,
где «  » – признак удаления первой компоненты векторов d t , at  Y , т. е.
d t  ( d t (i, k ); 1  i  L, 1  k  K )
для
d t  ( d t (0), d t (i, k ); 1  i  L, 1  k  K )  Y . Если сеть в момент t находится в
состоянии st , то состояние сети в момент (t  1)  непосредственно после
выхода из систем требований, представленных вектором d t , назовем
2
остовным
состоянием
сети
обслуживания
и
обозначим
bt  (bt (i, k ); 1  i  L, 1  k  K ) , где bt (i, k ) – число требований класса k в
системе S i в момент времени (t  1)  , bt  st  d t . Вектор bt зависит только от состояния st и вектора d t и для данных st и d t не зависит от t .
Сделаем следующие предположения относительно выходов и поступлений групп требований в системы. Вектор d t зависит только от состояния st в течение всей эволюции сети, и условная вероятность формирования вектора d t для данного st не зависит от t . Обозначим эту условную вероятность через ps , d , т. е.
ps , d  P( d t  d st  s )
( s  X , d Y ) .
Предполагается, что ps, d  0 , если только s  d  (это означает, что из каждой системы не может уйти требований больше, чем находится в системе).
Между моментами (t  1)  и ( t  1) вектор d t преобразуется в вектор
a t входящих требований с вероятностью p da . Вектор a t зависит только от
d t , и вероятность
pda  P(at  a d t  d )
(d , a Y ) .
Предполагается, что pda  0 , если только суммы всех компонент векторов
d и a равны, т. е.
L K
L K
i 1 k 1
i 1 k 1
d 0    d ik  a0    aik
для d  ( d 0 , d ik ,1  i  L, 1  k  K ) и a  ( a0 , aik ,1  i  L, 1  k  K ) (это означает, что при переходе групп требований новых требований не формируется, и требования не теряются).
Рассмотрим переход сети обслуживания (цепи Маркова
sˆ  {st : t  T } ) из состояния s в состояние s ' , обусловленный тем, что d i
требований покинули систему S i , a i требований поступили в систему S i , а
bi требований оставались в системе S i . Таким образом, можно записать
s  b  d и s'  b  a , где b  (b1 ,...,bL ) – вектор оставшихся требований, а
d  ( d1 ,..., d L ) и a  ( a1 ,...,a L ) – векторы, представляющие соответственно
выходящие и поступающие требования. Соответствующая вероятность
перехода для этого частного перехода между состояниями s и s ' обозначается pda,b . Заметим, что для данных векторов d и a (данных групп требований d i и a i , 1  i  L ), разложение векторов s , s ' на s  b  d и
s'  b  a является единственным, но переход из состояния s в состояние
s ' может произойти также и при других векторах d и a (других значениях
компонент векторов d и a ). Полная вероятность перехода из состояния s
в состояние s ' тогда определяется выражением
3
pss ' 
 pda,b
.
{d , a ,b: b  d  s , b  a  s '}
Заметим, что при переходе из состояния s в состояние s ' направляемые по определенным маршрутам группы требований d i и a i , 1  i  L ,
полностью определены, если фиксирован вектор b . Для случая d  0 можно положить qdd ,b  0 и считать это фиктивным переходом.
Введем в рассмотрение цепь Маркова ̂ с дискретным временем,
определенную на множестве векторов перемещений Y , с вероятностями
переходов  da  pda , если ps, d  0 для некоторого s , и  da   da в противном случае. Эту цепь назовем маршрутной цепью. Вероятности ps , d и  da
назовем соответственно вероятностью выхода и маршрутной вероятностью. Рассмотренная модель является моделью открытой сети массового
обслуживания, но если удалить компоненты at ( 0) и d t (0) в векторах a t и
d t , то получим модель замкнутой сети массового обслуживания.
Хендерсон и Тейлор [1] ввели следующие предположения.
(A) Существуют положительная функция  на X , неотрицательные
функции  и  соответственно на X  и Y такие, что
  d
(1)
( s  X , d Y ) ,
ps , d  s  d
s
где X   {s  d   0 s  X , d Y } . Так как ps , d – вероятность,
 s   s  d   d .
d
(B) Существует положительная функция f на Y , удовлетворяющая
уравнению
 d f d    a f a ad (d Y ) .
aY
Заметим, что  d f d определяет инвариантную меру для маршрутной цепи
̂ , и множество функций f не пусто, если множество Y состоит из положительных классов.
Необходимым и достаточным условием, чтобы множество F
функций f было непустым, является
(1)  d  0 для d Y , если и только если содержащий d существенный класс Rd множества состояний маршрутной цепи является положительным.
Это, в свою очередь, значит, что для того чтобы множество F
было непустым, необходимо:
(2) Вероятность ps, d  0 , если и только если существует векторы
a Y и s' X такие, что ps ', a pad  0 .
(3) Если a  Rd , b  d   X и pb  d  , d  0 , то b  a   X .
4
(С) Существует положительная функция g на Y , удовлетворяющая
соотношению
gs
f
(2)
 d,
gs d  a
fa
для всех s  X и d , a Y с qs,d  da  0 .
Хендерсон и Тейлор показали, что при этих условиях
 s   s g s
(3)
является инвариантной мерой для сети массового обслуживания N , и если
существует нормализующая константа
G    s gs   ,
sX
то выражение
 s  G 1 s g s
(4)
(s  X )
определяет стационарное распределение сети обслуживания N .
Пусть ik  f eik f e0 , где eik ( e0 ) является единичным вектором, в
котором (i, k ) -я (0-я) компонента равна 1, а остальные – нулю. Предположим, что ps,e0  e0ei ,k  0 для всех i, k . Тогда из (С) следует, что
g s  e  ik g s . Следовательно, (2) эквивалентно
ik
L
K
g s  g0   iksik ,
i 1 k 1
для всех s  ( s0 , sik ,1  i  L, 1  k  K ) и поэтому f определяется выражением
L
K
f d  f e0  ikd ik ,
i 1 k 1
для всех d  ( d 0 , d ik ,1  i  L, 1  k  K ) .
Обозначим через ~ обращенную во времени маршрутную цепь с
обращенными во времени вероятностями перехода относительно  d f d
 f 
(5)
~ad  d d da (d , a Y ) .
a fa
Теперь предположим, что обращенная вероятность перехода из состояния
s'  s  d   a  , обусловленного преобразованием вектора перемещения a в
вектор d (и, следовательно, формирования состояния s ), определена выражением
  a ~
~
(6)
ps ', ad  ps ', a ~ad  s '  a
 ad .
 s'
Справедливость равенств
(7)
 s ps,d  da   s ' ~
ps ', ad
и
5
 ps,d   ~ps,da
d
d a
достаточна, чтобы установить, что  s является инвариантной мерой для
сети обслуживания. Если эта инвариантная мера может быть нормализована, то получим стационарное распределение.
Равенство (7) может быть проверено для всех s , d , a и s ' , используя
равенства (3), (6) и (5) следующим образом:
   a  d f d  da
=
 s ' ~ps ', ad  G 1  s ' g s ' s '  a
 s'
a fa
f
 G 1 g s ' d s '  a   d  da .
fa
Замечая, что s' a   s  d  , и используя (1) и (2), видно, что правая часть
должна быть
G 1 g s  s ps, d  da   s ps, d  da .
Получим выражение для совместного стационарного распределения
 s, d вероятностей формирования вектора d при нахождении сети в состоянии s . Это распределение является также совместным стационарным
распределением вероятностей пребывания сети в состоянии s и остовном
состоянии s  d  с поступлением в сеть d 0 требований из источника.
Теорема. Пусть существует f ()  F и функция g() : X  R , которая
удовлетворяет для всех b  X  Y , d и a Y с pb  d  , d  da  0 равенству
gb  d 
gb  a 

fd
.
fa
Тогда для сети массового обслуживания имеет место стационарное распределение вероятностей
 s , d  G 1g s s  d   d ,
При условии, что существует нормализующая константа G   .
Доказательство. Используя (1) и (4), непосредственно получим
 s , d   s ps , d  G 1g s s  d   d .
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Henderson W., Taylor P. G. Product form in networks of queues with batch arrivals
and batch services // Queueing Systems. 1990. Vol. 6. P. 71–88.
2. Henderson W., Taylor P. G. Some new results on queueing networks with batch
movement // J. Appl. Prob. 1991. Vol. 28. P. 409–421.
3. Boucherie R. J., Van Dijk N. M. Product forms for queueing networks with statedependent multiple job transitions // Adv. Appl. Prob. 1991. Vol. 23. P. 152–187.
4. Ōsawa H. Quasi-reversibility of discrete-time queue and related models // Queueing
Systems. 1994. Vol. 18. P. 133–148.
6
5. Miyazawa M. On the characterization of departure rules for discrete-time queueing
networks with batch movements and its applications // Queueing Systems. 1994. Vol. 18. P.
149–166.
6. Daduna H. Queueing networks with discrete time scale: explicit expressions for the
steady state behavior of discrete time stochastic networks. Berlin, Heidelberg: SpringerVerlag, 2001. 143 p.
7. Woodward M. E. Towards the accurate modelling of high-speed communication
networks with product-form discrete-time networks of queues // Computer Communications.
1998. Vol.21. P. 1530-1543.
8. Alfa A. S. Queueing theory for telecommunications: discrete time modelling of a
single node system. New York, Heidelberg, London: Springer Science+Business Media, LLC,
2010. 248 p.
9. Boucherie R. J., Van Dijk N. M. (Editors). Queueing networks: a fundamental approach. New York, Heidelberg, London: Springer Science+Business Media, LLC, 2011.
823 p.
10. Митрофанов Ю. И., Рогачко Е. С., Станкевич Е. П. Анализ неоднородных
сетей массового обслуживания с групповыми переходами требований // Изв. Сарат. унта. Нов. cер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2011. Т. 11, вып. 3. С. 41–46.
7