1 Вопросы для подготовки к экзамену (Уравнения математичес

Вопросы для подготовки к экзамену (Уравнения математической физики. Теория вероятностей.)
1. Уравнения с частными производными. Классификация линейных
уравнений второго порядка. Приведение к каноническому виду.
2. Уравнения колебания струны (вывод). Начальные и граничные
условия.
3 Решение однородных уравнений гиперболического и
параболического типов на отрезке методом Фурье разделения
переменных.
4. Задача Штурма-Лиувилля. Свойства ее собственных чисел и
собственных функциий.
5.Решение неоднородных уравнений гиперболического и параболического типов с однородными граничными условиями на
отрезке методом Фурье.
6. Применение метода Фурье к решению уравнений гиперболического и параболического типов с неоднородными граничными
условияьи на отрезке..
7. Конечное интегральное преобразование Фурье.Применение его
к решению неоднородных уравнений гиперболического и
параболического типов с неоднородными граничными условиями
на отрезке.
8. Решение уравнения теплопроводности на полупрямой.
9 Решение задачи Коши на прямой для волнового уравнения.
10.Колебание прямоугольной мембраны.
11.Уравнение Лапласа.Задача Дирихле для круга.
12.События. Операции над событиями.
13.Классическое определение вероятности.
14.Теоремы сложения и умножения вероятностей событий.
15.Формула полной вероятности и формула Байеса.
16.Дискретная случайная величина. Закон распределения.
Функция распределения. Ее свойства.
17.Числовые характеристики дискретной случайной величины.
Математическое ожидание. Дисперсия.
18. Биноминальное распределение случайной величины. Ее
математическое ожидание и дисперсия.
19.Распределение Пуассона. Математическое ожидание и
дисперсия случайной величины, распределенной по закону
Пуассона.
20.Непрерывная случайная величина. Функция распределения и
плотность распределения случайной величины. Свойства
плотности распределения.
1
21.Числовые характеристики непрерывной случайной величины.
Математическое ожидание. Дисперсия.
22.Равномерное и показательное распределение случайных
величин Их числовые характеристики.
23.Свойства математического ожидания и дисперсии.
24. Нормальное распределение случайной величины.Вероятностный
смысл параметров распределения. Вероятность попадания
случайной величины в интервал.
25. Двумерная случайная величина. Функция распределения , ее
свойства.
26.Дискретные и непрерывные двумерные случайные величины.
Плотность распределения непрерывной двумерной случайной
величины, ее свойства.
27. Понятие независимости случайных величин
28. Числовые характеристики двумерной случайной величины ( начальный и центральный моменты к-го порядка).
29. Понятие ковариации и коэффициента корреляции. Ковариация
независимых случайных величин.
30. Область значений коэффициента корреляции. Значения коэффициента корреляции при линейной зависимости между случайными
величинами.
31.Точечные оценки параметров распределения.
Задачи
1. ut=a2uxx+Asinβt, 0<x<L, t.>0
ux(0,t)=u(L,t)=0, u(x,0)=cos(5πx/2L)
2. utt=a2uxx+Asinβt, 0< x <L, t>0.
ux(0,t).=u(L,t)=0, u(x,0)=cos(3πx/2L), ut(x,0)=0.
3. ut=a2uxx-2u+xe-2t, 0<x<L , t>0
ux(0,t)=u(L,t)=0, u(x,0)=x2
4 ut=a2uxx+βu, 0<x<L , t>0
ux((0,t)=u(L,t)=0, u(x,0)=cos(5πx/2L)
5. uxx+uyy=0, 0<x<a, y>0
u(0,y)=u(a,y)=0, u(x,0)=1-x/a, u(x,y)yض=0
6.uxx+uyy=0, 0<x<a, 0<y<b,
u(0,y)=u0, u(a,y)=0, u(x,0)=u(x,b)=0
7. uxx+uyy=0, 0<r<1, u(1,j)=j2
2
u(0,y)=u(a,у)=0, u(x,0)=A(1-x/a), uy→∞=0.
6. uxx+uyy=0, 0<x<a, 0<y<b,
u(0,y)=u0, u(a,y)=0, u(x,0)=u(x,b)=0
7. utt=a2(uxx+uyy), 0<x<L, 0<y<b, t>0.
u(0,y,t)=u(L,y,t)=0, u(x,0,t)=u(x,b,t)=0, u(x,y,0)=sin(πx/L) sin(πy/b),
ut(x,y,0)=0
8. Привести к каноническому виду и найти общее решение
uxx-10uxy+25uyy+5ux-25uy=0
9. Привести к каноническому виду и найти общее решение.
3uxx+20uxy+25uyy=0
10. Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа в круге
uxx+uyy=0, 0<r<1, u(1,φ)=φ2.
1.Наудачу взятый телефонный номер состот из 5 цифр. Какова
вероятность, что: а) все цифры различны
в) все цифры нечетные.
2.Из партии, в которой 31 деталь без дефекта и 6 с дефектом,
берут наудачу 3 детали. Чему равна вероятность, что
а )все детали без дефекта
в) по крайней мере одна деталь без дефекта.
3.Найти вероятность того, что наудачу взятое двузначное число
окажется кратным либо 2, либо 5, либо тому и другому
4.При ремонте прибора берут из ящика случайным образом две
радиолампы. В ящике лежат 7 радиоламп завода « Заря» и 5
радиоламп завода « Светоч». Какова вероятность, что обе
радиолампы изготовлены на заводе «Заря».
5.На стелаже библиотеки в случайном порядке расставлено 15
учебников, причем 5 из них в переплете. Библиотекарь берет наудачу 3 учебника. Найти вероятность того, что хотя бы один из
взятых учебников в переплете.
6. В ящике 10 деталей, из которых 4 окрашены. Сборщик наудачу
взял 3 детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из взятых
деталей окрашена.
7. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в
мишень при одном выстреле для 1-го стрелка равна 0,7 , а для
2-го – 0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень
попадет только один из стрелков.
3
8. Брошены 3 игральные кости. Найти вероятности событий:
а) на каждой из выпавших граней появится 5 очков;
в) на всх выпавших гранях появится одинаковое число очков
9. Среди 100 лотерейных билетов есть 5 выигрышных. Найти
вероятность того, что два наудачу выбранных билета окажутся
выигрышными.
10. Студент знает 20 из 25 вопросов. Найти вероятность того, что
студент знает предложенные ему экзаменатором три вопроса.
11. Устройство содержит два независимо работающих элемента.
Вероятности отказа элементов соответственно равны 0,05 и 0,08.
Найти вероятность отказа устройства, если для этого достаточно
чтобы отказал хотя бы один элемент.
12. Вероятность попадания в мишень каждым из двух стрелков
равна 0,3. Стрелки стреляют по очереди, причем каждый должен
сделать по два выстрела. Попавший в мишень первым получает
приз. Найти вероятность того, что стрелки получат приз.
13.Для участия в отборочных спортивных соревнованиях выбрано
из 1-ой группы 4 студента, из 2-ой группы 6 студентов из 3-ей
- 5студентов. Вероятности того, что отобранный студент из 1, 2, 3
группы попадет в сборную команду равны: 0,9; 0,7; 0,8. Наудачу
выбранный студент попал в сборную. К какой группе он вероятнее
всего принадлежит.
14. Имеются две урны: в 1-ой урне 5 белых и 3 черных шара,
во 2-ой два белых и семь черных. Из 1-ой урны во 2-ую перекладывается один шар. Найти вероятность того, что,вытащенный
затем из 2-ой урны шар будет белым.
15. На сборку поступило 300 деталей с 1-го станка и 200 деталей
со 2-го, 1-ый станок дает 2% брака, 2-ой – 3%. Найти вероятность
того, что взятая наудачу из нерассортированной продукции деталь
будет бракованной.
16. У рыбака два излюбленных места лова, которые он посещает с
равной вероятностью. Вероятность поймать рыбу в 1-ом месте –0,5,
во 2-ом –0,7.Рыбак поймал рыбу. Найти вероятность того, что это
было в 1-ом месте.
17.В батарее 10 орудий, из них одно непристрелянное.Вероятность
попадания в цель из пристрелянного орудия - 0,73, из непристрелянного –0,23.Произведен один выстрел, не попавший в цель. Найти вероятность того, что он был произведен из непристрелянного
орудия.
18. Из 18 стрелков 5 попадают в мишень с вероятностью 0,8; 4 с
4
вероятностью 0,6 и 2- с вероятностью 0,5. Наудачу выбранный
стрелок не попал в мишень. К какой группе вероятнее всего
принадлежит этот стрелок?
19 В гараже завода стоят 5 грузовых машин Вероятность выхода
на линию каждой машины равна 0,8. Найти вероятность
нормальной работы завода, если для этого нужно, чтобы не менее 4
машин вышло на линию.
20. Дискретная случайная величина задана законом распределения
хi
-2 -1 1 2
4
рi 0,3 0,5 0,1 0,05 0,05
Найти: а)математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины ζ; б) вероятность
Р(ζ > 0); в) условную вероятность Р( ζ >0/ ζ > -2); г) построить
график функции распределения случайной величины ζ.
21. Число попыток сдачи экзамена по высшей математике для
студентов кулинарного техникума является случайной величиной ζ,
распределенной по следующему закону
хi 1
2 3 4
5
рi 0,2 0,4 0,3 0,07 0,03
Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины
ζ. Найти вероятность, что студент сдаст экзамен не более чем с трех
попыток.
22. Найти закон распределения количества ζ выпавших «решек» при
двукратном бросании монеты. Определить Мζ, Dζ и б.
23. Закон распределения случайной величины ζ имеет вид
хi
-2
1
3
6
10
Найти Мζ, Dζ р4,
pi 0,25 0,15 0,05 Р4 0,43.
Р( ζ < 8/ ζ > 1).
24. Из колоды в 36 карт наудачу берут три карты. Случайная
величина ζ– количество вынутых тузов. Найти закон распределения,
Мζ , Dζ.
25. Случайная величина ζ имеет плотность вероятности
 0, х ≤ 0
 х, 0 < x ≤ 1
f ( x) = 
 2 − х, 1 < x ≤ 2

 0, х > 2
Найти: а) функцию распределения случайной величины ζ ; б)вероятность события А=( 0,2< ζ < 0,9 ); в) Мζ, Dζ.
5
26. Пусть плотность вероятности случайной величины ζ задается
формулой
 0, х ≤ 1
f ( x) =  1
, х >1
 х 2
Найти вероятности Р{A B} и Р{ A+B }, если событие А={ 1< ζ <2},
А событие В={ 4< ζ <5}.
27. Суточный дебит скважины на газовом промысле можно считать
случайной величиной ζ , имеющей нормальный закон распределения
с математическим ожиданием а=106 м3/сут. и средним квадратичес –
ким отклонением σ=0,2 106 м3/сут. Найти вероятности событий:
А- суточный дебит будет больше 1,5 106 м3/сут.
В- суточный дебит не превысит 0,9 106 м3/сут.
С- суточный дебит заключен в пределах ( 0,8 ÷ 1,2 ) 106 м3/сут.
28.Случайная величина ζ задана функцией распределения
 0 при х ≤ 2

F ( x) = 0,5 х при 2 < x ≤ 4
 1 при х > 4

Найти вероятность того, что в результате испытания ζ примет
Значение: а) меньшее 0,2; б) меньшее 3; в)не меньшее 3
29. Случайная величина ζ задана функцией распределения
 0, х ≤ 0

F ( x) =  х 2 , 0 < x ≤ 1
 1, х > 1

Найти вероятность того, что в результате четырех независимых
испытаний величина ζ ровно три раза примет значение,
принадлежащее интервалу (0,25; 0,75).
30. Задана плотность распределения случайной величины ζ
6

0, х ≤ 0


π
f ( x) = sin x, 0 < x ≤
2

 1, х > π

2
Найти функцию распределения F(x), Мζ , Dζ и Р{ π /4 <ζ < π/2}.
Билет№1
1. Найти решение задачи Штурма – Лиувилля
y”+λy=0, 0≤x≤2, y(0)=y’(2)=0
2. Найти решение
ut=a2uxx, 0<x<2, t >0
u(0, t)=ux (2,t)=0, u(x,0)=sin(3πx/4)
3.Устройство содержит два независимо работающих элемента.
Вероятности отказа элементов соответственно равны 0,05 и 0,08.
Найти вероятности отказа устройства, если для этого достаточно,
чтобы отказал хотя бы один элемент.
4.Дискретная случайная величина ζ задана законом распределения
ζ
4,3
5,1
10,6
р
0,2
0,3
0,5
Найти F(x), Mζ , Dζ.
5.Задана плотность распределения случайной величины ζ
f(x)= (x-0,5){σ(x – 1) – σ(x – 2)} и f(x)=0 при х<1 и х>2.
Hайти F(x), Mζ и Dζ.
Билет№2.
1.В ящике 10 деталей, среди которых 6 окрашенных. Сборщик
наудачу извлекает 4 детали. Найти вероятность того, что все
извлеченные детали окажутся окрашенными.
2Задан закон распределения случайной величины ζ
хi
-4
6
10
рi
0,2
0,3
0,5
Найти F(x), Mζ, Dζ.
3.Задана плотность распределения случайной величины ζ
7
0, х ≤ 0


f ( x) = соs x, 0 < x ≤ π / 2
 0, x > π / 2

Найти F(x), Mζ , Dζ .
4Найти общее решение уравнения, приведя его к каноническому
виду.
uxx+2uxy+uyy+ux+uy=0.
5. Решить задачу
uxx=a2ut, 0<x<4, t>0
u(0,t)=u(4,t)=0, u(x,0)=sin πx/4.
8