Контрольные работы для студентов

Контрольные работы для студентов
4 курса
Контрольная работа рассчитана на 120 минут.
Блок дисциплин предметной подготовки
Вариант I
1. Докажите, что площадь параболического сегмента, заключенного
между параболой
у=x2 и произвольной прямой параллельной оси абсцисс, равна две
трети площади прямоугольника с вершинами в точках пересечения
прямой с параболой и основаниями перпендикуляров к оси абсцисс,
опущенных из точек пересечения.
2. Имеет ли прямая 3x+2y-20=0 общие точки с эллипсом
2
x2 y

1
40 10
3. Разложить многочлен f(x) по степеням (x-a), если:
f(x)=x4-8x3+24x2-50x+90, a=2
4. Определить главное фокусное расстояние рассеивающей линзы, если
известно, что изображение предмета, помещенного перед ней на
расстоянии 50 см., получилось уменьшенным в 5 раз.
5. Два пути введения понятий, их суть, примеры.
Вариант II
1. В дно водоема глубиной 1,5 м вбита свая, которая выступает из воды
на 30 см. Найти длину тени от сваи на дне водоема при угле падения
солнечных лучей 45.
2. Доказать, что сумма кубов трех последовательных натуральных чисел
делится на 9.
 
3. Какой угол образуют единичные векторы s и t , если векторы
 

 

p  s  2t и q  5s  4t взаимно перпендикулярны?
4. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры,
ограниченной линиями:
1
y
1 2
1
x , y  x3
4
8
5. Конкретно-индуктивный путь введения теорем, его сущность,
примеры.
Вариант III
1. Доказать методом математической индукции, что для любого
натурального n:
1  4  2  7  n(3n  1)  n ( n 1)2
2. Составить уравнение плоскости проходящей через точку
М(1;-1;-1) и прямую:
x  3 y 1 z  2


2
3
4
3. Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой y   x 2  2 x  3 ,
касательной к ней, проведенной через точку (2;-5) и осью OY.
4. Гальванический элемент дает ток 0,3 А при замыкании его на
сопротивление 6,0 ОМ и 0,15 А при замыкании его на сопротивление
14,0 ОМ. Определить ток короткого замыкания.
5. Основные этапы работы над теоремой. Цели изучения теорем.
Вариант IV
1. Разложить многочлен f(x) по степеням (x-a), если :
f(x)=x5, а=1.
2. Составить уравнение сферы с диаметром АВ, где А(2;-3;5) ,
В(4;1;-3).
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
y  2x  x 2
4. Тело брошено вертикально вверх со скоростью 20 м/с. На какой
высоте и через какой промежуток времени его скорость уменьшится в
2 раза?
5. Методика введения аксиом.
2
Вариант V
1. Вычислить определитель:
1
2
3
2 1 4
3  4 1
4
3
4
3
2
 2 1
2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
y  x2 1 и y  5  x
3. Вычислить угловой коэффициент к прямой, проходящей через две
данные точки:
М1(2;-5), М2(3;2).
4. Какую работу надо затратить на перемещение проводника длиной
0,40 м с током 21А в однородном магнитном поле с индукцией 1,2 Тл
на 0,25 м? Проводник движется перпендикулярно к силовым линиям
поля.
5. Доказательство " от противного". Суть (этапы); примеры.
3
Ответы
к контрольным работам
4 курс
Блок дисциплин предметной подготовки
Вариант I
1.
Sпрям = a·2 а
a
Sпарб.сим. = 2
2
 (a  x )dx  2(ax 
0
x3 a
a a
4
) 0  2(a a 
) a a
3
3
3
2
2
4 aa
S прям  2a a 
, ч.т.д.
3
3
3
a
 a
a
2. Ответ: Одна общая точка (6;1).
4
3. Ответ: f(x)=38-18(x-2)+(x-2)
4. Ответ: -12,5 см.
5. Существуют два пути введения понятий: конкретно – индуктивный и
абстрактно – дедуктивный. При формировании математических
понятий конкретно-индуктивным методом предлагается рассмотрение
конкретных объектов. В результате анализа, синтеза, сравнения,
обобщения учащихся выделяются существенные признаки данного
понятия. При условии обучения их построению определений в итоге
наблюдения они формируют определение понятия. Конкретно4
индуктивный путь формирования понятий преобладает в младших
классах: например, при формировании понятий Н. О. Д., Н.О.К.,
уравнение, дроби правильной и неправильной, функция , понятие в
теме «Приближенные вычисления». Этот метод используется и в
старших классах, например, числовая последовательность, первые
понятия стереометрии. Абстрактно-дедуктивные введения понятий
предполагает введение учащимся формулировки определения до
знакомства с конкретными объектами. Учащиеся должны понять
структуру определения и найти объекты, которые обладают
перечисленными в определении признаками. У учащихся должен
быть соответствующий уровень логического мышления и запас
конкретных представлений.
Вариант II
1. Ответ: 124 см.
2.
n3+(n+1)3+(n+2)3 ∶9
13+(1+1)3+(1+2)3 = 1+8+27 =36 ∶9
1. n=1
2. Пусть при n=k выполняется: k3+(k+1)3+(k+2)3 ∶9
3. Докажем для n=k+1 (k+1)3+(k+2)3+(k+3)3 =
(k  1)3  (k  2)3  k 3 +9k2+27k2+27

∶9
∶9
∶9
∶9
Следовательно, выражение ∶9 при n N
3. Ответ: 60
4. Ответ: 4  куб. ед.
35
5. Индукция – наведение. С помощью рассмотрения подвижных
наглядных пособий или чертежей, выполнения построений и умений,
использования жизненного опыта, решение задач на вычисление
учащиеся «открывают» новые для них факты. Например,
рассматривая подвижные модели вертикальных или смежных углов,
учащиеся формируют их свойства. На основе построений и
измерений учащиеся могут сформулировать теорему Фалеса, о
5
свойстве средней линии треугольника и трапеции, признаки равенства
треугольников. Жизненный опыт проводит их к теореме о длине
перпендикуляра и наклонной, проведенных к плоскости из данной вне
плоскости точки. Решение соответствующих упражнений подводит
учащиеся к теореме Виета, к формулировке признаков делимости.
Вариант III
1. 1·4+2·7+…+n(3n+1) = n(n+1)2
1. n=1
1·4 =1 ( 1+1)2
4=4
2. Пусть n=k 1·4+2·7+…+k(3k+1) = k(k+1)2
3. n=k+1
1·4+2·7+…+k(3k+1)+(k+1)(3(k+1)+1) = (k+1)(k+2)2
1·4+2·7+…+ k(3k+1)+(k+1)(3k+4) = (k+1)(k2+4k+4)
1·4+2·7+…+ k(3k+1) = (k+1)(k2+4k+4 -3k –4)
1·4+2·7+…+ k(3k+1) = (k+1)(k2+k)
1·4+2·7+…+ k(3k+1) = k(k+1)2
для n=k+1 равенство верно  оно верно для  n
2. Ответ: 5x  12 y  8 z  19  0
3. Ответ: 8 куб. ед.
3
1
4. Ответ: ,2 А .
5. Основные этапы работы теоремой:
1) введение (индуктивным или дедуктивным путем)
2) изучение формулировки, выделение условия теоремы и ее
заключения, т.е. выявление структуры теоремы;
3) выполнение чертежа
а) чтение чертежа с учетом условия и заключения теоремы;
б) поиск доказательства (т.е. анализ теоремы)
4) Доказательство теоремы;
6
5) Работа по видоизмененному чертежу (изменение обозначений,
формы и положения чертежа по плоскости);
6) Применение теоремы к решению задач.
Цель изучения теоремы
1) Усвоение формулировки теоремы;
2) Усвоение самого геометрического факта;
3) Понимание доказательства теоремы;
4) Умение изложить доказательство, оформить его устно или
письменно
5) Умение применить теорему к решению задач и к доказательству
новых теорем.
Вариант IV
2
3
4
5
1. Ответ: f(x)=1+5(x-1)+10(x-1) +10(x-1) +5(x-1) +(x-1)
2. Ответ: ( x 3)2  ( y 1)2  ( z 1)2  21
3. Ответ: 8 куб. ед.
3
4. Ответ: t = 1 c; h = 15 м
5. Аксиомами называются те основные положения геометрии, которые
принимаются в качестве исходных. У А.В. Погорелова 9 групп
аксиом, которые четко формулируется в его геометрии 7 – 11 классов;
первоначально термина «аксиома» нет. Они называются «основными
свойствами». Необходимо подчеркивать их опытные происхождение
(кроме аксиомы параллельности) и роль в доказательствах. С
помощью построений и наблюдений учащимся подводятся к
формулировкам аксиом, затем лишь дается их четкая формулировка;
вывешивается плакат с соответствующим текстом. Обратить
внимание, что утверждение «Из трех точек прямой одна и только
одна лежит между двумя другими» состоит из двух утверждений
(существование и единственность). У Л.С. Атаносяна V групп аксиом;
не все они сформулированы в учебнике, изучаются в ходе
выполнения практических заданий. В приложении четко
формулируются все аксиомы основным понятием является понятие
«наложение».
Варианты V
1. Ответ: 900.
7
2.
Ответ:
73
куб. ед.
3
3. Ответ: 7.
4. Ответ: 2,5 Дж.
5. Доказательство «от противного» – один из распространенных методов
у А.В. Погорелова. Суть его. Любую теорему в условной форме
кратко можно записать: А⇒В, где А – условие, В – заключение.
Этапы: 1) сначала делают предложение, противоположное тому, что
утверждается теоремой
2) путем рассуждений, опираясь на аксиомы и доказанные
теоремы, приходим к выводу, противоречащему либо
условию теоремы, либо одной из аксиом, либо доказанной
ранее теореме;
3) на этом основание заключаем, что наше предложение было
неверным, а значит верно утверждение теоремы: А⇒В.
8