УДК 621.382.323 ОБОБЩЕНИЕ КОМПАКТНОЙ МОДЕЛИ MOSFET LEVEL 1 ПРИ НЕНУЛЕВОЙ

УДК 621.382.323
ОБОБЩЕНИЕ КОМПАКТНОЙ МОДЕЛИ MOSFET LEVEL 1 ПРИ НЕНУЛЕВОЙ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ПРОВОДИМОСТИ В РЕЖИМЕ НАСЫЩЕНИЯ НА
СЛУЧАЙ НЕНУЛЕВЫХ СОПРОТИВЛЕНИЙ ИСТОКА И СТОКА
1Турин
В. О., 2Зебрев Г. И., 3Макаров С.В., 4Инигез Б., 5Шур М.С.
1
Россия, г. Орёл, Госуниверситет-УНПК
2
Россия, г. Москва, НИЯУ «МИФИ»
3
Россия, г. Москва, Зеленоград, ООО «Интегральные Решения»
4
Испания, г. Тарагона, УниверситетРовира и Вирджинии
5
США, г. Трой, Нью-Йорк, Ренсселаеровский политехнический институт
Получено уравнение для асимптотического поведения тока стока МОП-транзистора
в режиме насыщения с учётом ненулевой дифференциальной проводимостидля случая с
аналитическим учётом сопротивлений истока и стока. Разработана итерационная
процедура его решения. Это уравнение, линеаризацией выражения для тока насыщения,
преобразовано в квадратное уравнение, решение которого позволяет построить
компактную модель, являющуюся обобщением модели MOSFETLevel 1.
Ключевые слова: МОП-транзистор, компактная модель, дифференциальная
проводимость в режиме насыщения, сопротивление истока и стока.
Weobtained an equation for the drain current asymptote for the MOSFET in the saturation
regime with account of a non-zero differential conductivity for the case with an analytical account
of the source and drainresistances.To solve this equation we developed an iteration procedure. This
equation, by the linearization of the expressions for the saturation current, is transformed into a
quadratic equation, the solution of which allowsus to build a compact model that is a generalization of the MOSFET Level 1 model.
Key words: MOSFET, compact model, differential conductivity in saturation regime, source
and drain resistances.
Модель MOSFET Level 1, несмотря на свои недостатки, устранённые в улучшенной
модели [1], [2], очень проста, сохраняет практическое и методическое значение и доступна во
всех современных электронных САПР. На основе этой модели построена RPI TFTмодель.
Соответственно, обобщение этой модели на «внешней» случай (с аналитическим учётом
сопротивлений истока RS и стока RD) актуально. Кроме того, мы отрабатываем методику для
обобщения улучшенной модели [1], [2] на «внешний» случай.
Используемые обозначения: 𝑉𝐺𝑆 - напряжение затвор-исток; 𝑉𝐷𝑆 - напряжение стокисток; 𝑉𝑇 - пороговое напряжение; 𝑉𝐺𝑇 = 𝑉𝐺𝑆 − 𝑉𝑇 - центрированное напряжение на затворе;
RT=RS + RD - суммарное сопротивление истока и стока; 𝑊 - ширина затвора; 𝑑 - толщина
подзатворного окисла; 𝜀 - относительная диэлектрическая проницаемость подзатворного
окисла; 𝜀0 -электрическая постоянная; 𝛼 - безразмерный параметр, связанный со значением
напряжения на подложке транзистора; 𝑣𝑠 - скорость насыщения дрейфовой скорости; µ подвижность.
Напряжённость электрического поля и характерное напряжение, связанные с
эффектом насыщения дрейфовой скорости:
𝐸𝑆 = 𝑣𝑆 ⁄𝜇𝑛 ,𝑉𝐿 = 𝐸𝑆 𝐿.
Удельная крутизна МОП-транзистора:
𝑊
𝜀 𝜀
𝛽 = 𝜇𝑛 𝐶𝑜𝑥 𝐿 ,𝐶𝑜𝑥 = 𝑜𝑥𝑑 0 .
Зависимость тока стока от малых напряжений на стоке:
𝐼𝐿 = 𝛽𝑉𝐺𝑇 𝑉𝐷𝑆 .
Уравнения для тока насыщения [3]:
𝐼𝑆𝐴𝑇 =
𝛽𝑉𝐿2
𝛼
𝛼𝑉𝐺𝑇 2
∙ (√1 + (
𝑉𝐿
) − 1).
Если дифференциальная проводимость в режиме насыщения равна нулю, то крутизна в
режиме насыщения определяется уравнением:
𝜕𝐼
𝛼𝛽𝑉𝐺𝑇
𝑔𝑚𝑆𝐴𝑇 = 𝜕𝑉𝑆𝐴𝑇 =
.
𝐺𝑆
√1+(
𝛼𝑉𝐺𝑇 2
)
𝑉𝐿
Асимптота для тока стока при ненулевой дифференциальная проводимость в режиме
насыщения определяется уравнением:
𝐼𝐴 = 𝐼𝑆𝐴𝑇 ∙ (1 +  ∙ 𝑉𝐷𝑆 ).
Для тока стока используется аппроксимация:
𝐼 𝐼
𝐼 = 𝑚 𝐿𝑚𝐴 1⁄𝑚.
(𝐼𝐿 +𝐼𝑆𝐴𝑇 )
Для обобщения этого уравнения на «внешний» случай необходимо преобразовать во
«внешний» случай уравнения для IL, IAи ISAT и подставить их в это уравнение. Для этого надо
использовать уравнения, связывающие «внутреннее» и «внешнее» напряжения на контактах
транзистора:
𝑉𝐷𝑆 = 𝑉𝑑𝑠 − 𝐼𝑅𝑇 ,𝑉𝐺𝑇 = 𝑉𝑔𝑡 − 𝐼𝑅𝑆 .
Для линейного режима легко получить уравнение:
𝐼𝑙 = 𝐼𝐿 (𝑉𝐺𝑇 (𝑉𝑔𝑡 , 𝐼𝑙 ), 𝑉𝐷𝑆 (𝑉𝑑𝑠 , 𝐼𝑙 )) = 𝛽 ∙ (𝑉𝑔𝑡 − 𝐼𝑙 𝑅𝑆 ) ∙ (𝑉𝑑𝑠 − 𝐼𝑙 𝑅𝑇 ).
Это уравнение является квадратным относительно Il и его решение известно и имеет вид:
𝐼𝑙 =
1+𝛽∙(𝑉𝑔𝑡 𝑅𝑇 +𝑉𝑑𝑠 𝑅𝑆 )
2𝛽𝑅𝑆 𝑅𝑇
∙ (1 − √1 −
4𝛽 2 𝑅𝑆 𝑅𝑇 𝑉𝑔𝑡 𝑉𝑑𝑠
2
).
(1+𝛽∙(𝑉𝑔𝑡 𝑅𝑇 +𝑉𝑑𝑠 𝑅𝑆 ))
Для тока насыщения при нулевом значении параметра  получаем уравнение:
𝐼𝑠𝑎𝑡 = 𝐼𝑆𝐴𝑇 (𝑉𝐺𝑇 (𝑉𝑔𝑡 , 𝐼𝑠𝑎𝑡 )) =
𝛽𝑉𝐿2
𝛼
𝛼∙ (𝑉𝑔𝑡 −𝐼𝑠𝑎𝑡 𝑅𝑆 )
∙ (√1 + (
𝑉𝐿
2
) − 1).
Это уравнение является квадратным относительно Isat, и его решение известно и имеет вид:
𝐼𝑠𝑎𝑡 =
2
𝛼𝛽𝑉𝑔𝑡
2
.
√1+2𝛼𝛽𝑉𝑔𝑡 𝑅𝑆 +(𝛼𝑉𝑔𝑡 ⁄𝑉𝐿 ) +1+𝛼𝛽𝑉𝑔𝑡 𝑅𝑆
Для асимптоты тока стока в режиме насыщения получаем уравнение:
𝐼а = 𝐼𝐴 (𝑉𝐺𝑇 (𝑉𝑔𝑡 , 𝐼а ), 𝑉𝐷𝑆 (𝑉𝑑𝑠 , 𝐼а )) = 𝐼𝑆𝐴𝑇 (𝑉𝑔𝑡 − 𝐼𝑎 · 𝑅𝑆 ) ∙ (1 +  ∙ (𝑉𝑑𝑠 − 𝐼𝑎 · 𝑅𝑇 )) .
Это уравнение не решается легко аналитически, но его можно решать численным методом.
Мы разработали итерационный метод решения этого уравнения, переписав его так:
𝐼𝑆𝐴𝑇 (𝑉𝑔𝑡 −𝐼𝑎 𝑅𝑆 )
𝐼𝑎 = 1+∙𝐼
𝑆𝐴𝑇 (𝑉𝑔𝑡 −𝐼𝑎 ∙𝑅𝑆 )∙𝑅𝑇
∙ (1 +  ∙ 𝑉𝑑𝑠 ).
На основе этого уравнения можно реализовать итерационную процедуру:
𝐼𝑆𝐴𝑇 (𝑉𝑔𝑡 −𝐼𝑎,𝑗 ∙ 𝑅𝑆 )
𝐼𝑎,𝑗+1 = 1+∙𝐼
𝑆𝐴𝑇 (𝑉𝑔𝑡 −𝐼𝑎,𝑗
∙ 𝑅𝑆 )∙𝑅𝑇
· (1 +  ∙ 𝑉𝑑𝑠 ).
Для первой итерации в правую часть уравнения можно подставить:
𝐼𝑎,0 = 𝐼𝑠𝑎𝑡 (𝑉𝑔𝑡 ).
Такой пересчёт асимптоты для тока стока в режиме насыщения во «внешний» случай
может потребовать большого количества итераций, что нежелательно при компактном
моделировании. Соответственно, вместо вычисления тока стока методом итераций, можно
свести уравнение для Ia к квадратному уравнению, линеаризовав уравнение для ISAT. Решение
соответствующего квадратного уравнения и является основой обобщения модели MOSFET
Level 1 на «внешний» случай.
За приближённое значение для Ia возьмём значение Ia, j , полученное на j-ой итерации.
Соответственно Ia можно представить в виде:
𝐼𝑎 = 𝐼𝑎,𝑗 + 𝑑𝐼.
Заметим, что наши расчёты показывают, что хорошая точность получается даже при j = 0:
𝐼𝑎 = 𝐼𝑎,𝑗=0 + 𝑑𝐼 = 𝐼𝑠𝑎𝑡 (𝑉𝑔𝑡 ) + 𝑑𝐼.
Для центрированного напряжения на затворе получаем:
𝑉𝐺𝑇 = 𝑉𝑔𝑡 − 𝐼𝑎 ∙ 𝑅𝑆 = 𝑉𝑔𝑡 − 𝐼𝑎,𝑗 ∙ 𝑅𝑆 − 𝑑𝐼 ∙ 𝑅𝑆 = 𝑉𝐺𝑇0 + 𝑑𝑉𝐺𝑇 ,
где
𝑉𝐺𝑇0 = 𝑉𝑔𝑡 − 𝐼𝑎,𝑗 ∙ 𝑅𝑆 ,
𝑑𝑉𝐺𝑇 = −𝑑𝐼 ∙ 𝑅𝑆 = −(𝐼𝑎 − 𝐼𝑎,𝑗 ) ∙ 𝑅𝑆 .
Линеаризуем уравнение для 𝐼𝑆𝐴𝑇 (𝑉𝑔𝑡 − 𝐼𝑎 𝑅𝑆 ) :
𝜕𝐼𝑆𝐴𝑇
𝐼𝑆𝐴𝑇 (𝑉𝑔𝑡 − 𝐼𝑎 ∙ 𝑅𝑆 ) = 𝐼𝑆𝐴𝑇 (𝑉𝐺𝑇0 + 𝑑𝑉𝐺𝑇 ) ≈ 𝐼𝑆𝐴𝑇 (𝑉𝐺𝑇0 ) +
|
∙ 𝑑𝑉𝐺𝑇 =
𝜕𝑉𝐺𝑆 𝑉
𝐺𝑇0
= 𝐼𝑆𝐴𝑇 (𝑉𝐺𝑇0 ) + 𝑔𝑚 𝑆𝐴𝑇 (𝑉𝐺𝑇0 ) ∙ 𝑑𝑉𝐺𝑇 .
Соответственно, для Ia получаем приближенное уравнение:
𝐼𝑎 ≈ (𝐼𝑆𝐴𝑇 (𝑉𝐺𝑇0 ) + 𝑔𝑚𝑆𝐴𝑇 (𝑉𝐺𝑇0 ) ∙ 𝑑𝑉𝐺𝑇 ) ∙ (1 +  ∙ (𝑉𝑑𝑠 − 𝐼𝑎 · 𝑅𝑇 ))
или
𝐼𝑎 ≈ (𝐼𝑆𝐴𝑇 (𝑉𝐺𝑇0 ) − 𝑔𝑚𝑆𝐴𝑇 (𝑉𝐺𝑇0 ) ∙ (𝐼𝑎 − 𝐼𝑎,𝑗 ) ∙ 𝑅𝑆 ) ∙ (1 +  ∙ (𝑉𝑑𝑠 − 𝐼𝑎 ∙ 𝑅𝑇 )).
Это уравнение преобразуется кквадратному уравнению с коэффициентами
𝑎 = 𝑔𝑚𝑆𝐴𝑇 (𝑉𝐺𝑇0 ) ∙  ∙ 𝑅𝑆 ∙ 𝑅𝑇 ;
𝑏 = (−1) ∙ (1 + 𝑔𝑚𝑆𝐴𝑇 (𝑉𝐺𝑇0 ) ∙ 𝑅𝑆 ∙ (1 +  ∙ 𝑉𝑑𝑠 ) +
+  ∙ 𝑅𝑇 ∙ [𝐼𝑆𝐴𝑇 (𝑉𝐺𝑇0 ) + 𝑔𝑚 𝑆𝐴𝑇 (𝑉𝐺𝑇0 ) ∙ 𝑅𝑆 ∙ 𝐼𝑎,𝑗 ]) ;
𝑐 = [𝐼𝑆𝐴𝑇 (𝑉𝐺𝑇0 ) + 𝑔𝑚 𝑆𝐴𝑇 (𝑉𝐺𝑇0 ) ∙ 𝐼𝑎,𝑗 ∙ 𝑅𝑆 ] ∙ (1 +  ∙ 𝑉𝑑𝑠 ).
Итоговое уравнение для тока стока получается после подстановки Il, Ia и Isat в уравнение:
𝐼𝐼
𝐼 = 𝑚 𝑙𝑚𝑎 1⁄𝑚.
(𝐼𝑙 +𝐼𝑠𝑎𝑡 )
Работа выполнена при поддержке Госуниверситета-УНПК в рамках реализации
проектной части государственного задания в сфере научной деятельности 16.1117.2014/К,
гранта РФФИ и Администрации Орловской области № 12.02-97534, а также Программы
развития нанотехнологий университета [4].
Список литературы
1. Intrinsic compact MOSFET model with correct account of positive differential conductance after
saturation. / Turin V.O., Sedov A.V., Zebrev G.I [и др.]. Proc. SPIE 7521. 2009, 75211H: с. 1-9.
2. The correct account of nonzero differential conductance in the saturation regime in the MOSFET
compact model. / Turin V.O., Zebrev G.I., Makarov S.V. [и др.]. - International Journal of Numerical Modelling: Electronic Networks, Devices and Fields. 2014, 27: с. 863-874.
3. Shur, M.S. Physics of Semiconductor Devices [Текст] / M.S. Shur.-Prentice Hall, New. Jersey,
1990.
4. Степанов, Ю.С. Научно-образовательный центр нанотехнологий в структуре учебнонаучно-производственного университетского комплекса /Ю.С. Степанов, Г.В. Барсуков, Е.Ю.
Степанова //Наноинженерия. - № 5. – 2012. – С. 3-6.
Турин Валентин Олегович, канд. физ.-мат. наук, заведующий кафедрой «Физика»,
Госуниверситет-УНПК, Наугорское шоссе 29, г. Орёл, 302020, Россия. E-mail: voturin@ostu.ru
Зебрев Геннадий Иванович, д-р техн. наук, профессор кафедры микро- и
наноэлектроники, НИЯУ «МИФИ», Каширское шоссе 31, г. Москва, 115409, Россия. E-mail:
gizebrev@mephi.ru
Макаров Сергей Викторович, канд. техн. наук, генеральный директор, ООО
«Интегральные Решения», Георгиевский проспект (проезд 4806), дом 4, строение 1,
Зеленоград, г. Москва, Россия. E-mail: makarov@is-eda.ru
Инигез Бенжамин, профессор, Университет Ровира и Вирджинии, г. Тарагона,
Испания. E-mail:benjamin.iniguez@urv.cat
Шур Михаил Саулович, профессор, Ренсселаеровский политехнический институт, г.
Трой, Нью-Йорк, США. E-mail:shurm@rpi.edu