1. Независимые повторные испытания. Формула Бернулли

$$$UMKD_LANG$RU $$$UMKD_NAME$ Математика $$$UMKD_AVTORS$. Кожагелдиев Б.К. $$$UMKD_YEAR$2012 @@@ ###000-001# МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН СЕМИПАЛАТИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ ШАКАРИМА ЭЛЕКТРОННЫЙ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ «Математика в экономике» для специальностей: 5В050900 «Экономика», 5В050700 «Менеджмент», 5В050800 «Учет и аудит», 5В050900 «Финансы», 5В051000 «Государственный и местный управления» Составители: Кожагелдиев Бегман Кадырович к.т.н., доцент кафедры высшей математики Семей 2015 &&& ###000-002#Содержание 1. 2. 3. 4. 5. 6. Типовая программа Рабочая программа Глоссарий Конспект лекций Практические и семинарские занятия Блок контроля знаний &&& Кожагелдиев Бегман Кадырович Ученая степень: К.т.н. Ученое звание: доцент Должность: Доцент кафедры Высшей математики Специализация: Математика, технические науки Контактные данные: Рабочий телефон: +7 (7222)360205 Электронная почта: Общие сведения: Является автором более пятидесяти научных и научно-методических публикации, в том числе один монография и двух учебников. Имеет более десяти сертификатов курсов повышение квалификации, в том числе в 2010 году прошел курсы повышения квалификации в Восточно - Казахстанском государственном техническом университете «Дистанционные образовательные технологии» объемом 72 часа. Награжден нагрудным значком «Отличник образования РК» &&& ###001-000#1 Типовая программа Пояснительная записка Преподавание математики имеет целью: дать будущему бакалавру систематические знания, необходимые для изучения инженерных дисциплин, и специальных курсов; развивать математическую интуицию и умение использовать изученные математические методы в решение задач прикладного характера, связанных с будущей специальностью студента; воспитывать математическую культуру и умение работать с книгой. Изучение дисциплин «Математика в экономике» основывается на знаниях школьного курса математики, и начинается с изучения линейной алгебры и аналитической геометрии, всех разделов математического анализа для функций одной переменной и функций многих переменных, заканчивается теорией вероятностей и математической статистики. В результате изучения курса студент должен знать: - приобрести твердые навыки решения математических задач с доведением решения до практически приемлемого результата и развить на этой базе логическое мышление; выработать навыки математического исследования прикладных вопросов и умение самостоятельно разбираться в математическом аппарате, содержащемся в литературе, связанной со специальностью студента; - уметь при решении задач выбирать и использовать необходимые математические методы для решения прикладных задач. - внедрение кредитной технологии в процесс обучения предусматривает активизацию самостоятельной работы студентов. Перечень тем периодических занятий входит в содержательную часть данной типовой программы. Какие темы изучаются на лекциях, какие изучаются на практических занятиях или входят в задания СРС решается кафедрой, и учитывается при составлении силлабусов. Содержание дисциплины Введение Настоящая программа по дисциплине «Математика в экономике» предназначена для студентов экономических специальностей: «Финансы», «Менеджмент», «Учет и аудит», «Экономика», «Государственный и местный управления» ровной сумме аудиторных часов, часов самостоятельной работы студентов с преподавателями (СРСП) и самостоятельной работы студентов (СРС). Преподавание математики имеет целью выработки у студентов умения проводить математический анализ прикладных задач и овладение основными математическими методами исследования и решения таких задач. В современной науке и технике математические методы исследования играют все большую роль. Широко внедряется вычислительная техника, благодаря которой существенно расширяются возможности успешного применения математики при решении конкретных задач. &&& ###001-002#1.2 Текст типовой программы Математика Линейная алгебра и аналитическая геометрия Линейная алгебра. Определители, второго и третьего порядка, их свойства. Матрицы и операции над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы и методы его вычисления. Системы линейных алгебраических уравнений. Правило Крамера. Матричная форма записи системы линейных уравнений и ее решение матричным методом. Метод Гаусса. Однородная система линейных алгебраических уравнений. Векторная алгебра. Трехмерное пространство R3 Векторы, линейные операции над векторами. Линейная зависимость и независимость векторов. Базис. Скалярное и векторное произведения в R3 . Выражение скалярного и векторного произведение через координаты векторов. Угол между векторами. Смешанное произведение трех векторов. Свойства смешанного произведения. Объем призмы и пирамиды. Аналитическая геометрия. Различние уравнения прямой на плоскосте. Угол между прямымы. Приложений уравнение прямых на плоскосте. Различные уравнения плоскости и прямой в R3. Взаимное расположение прямой и плоскости в R3 Приложения уравнения прямой в пространстве и уравнения плоскости. Кривые второго порядка. Поверхности второго порядка. Канонические формы уравнений поверхностей второго порядка (сфера, эллипсоид, параболоид, гиперболоиды, конус, цилиндрические поверхности). Исследование поверхностей методом сечений Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Введение в анализ. Функция. Предел функции и его свойства Непрерывность функции в точке и в интервале. Сравнение функций. Бесконечные малые и большие величины. Предел последовательности чисел. Свойства. Замечательные пределы. Вычисление пределов. Производная и дифференциал функции в точке. Основные теоремы о дифференцируемые функции в интервале. Применение дифференциала и производной функций в точке. Производные и дифференциалы высших порядков. Раскрытие неопределенностей. Исследование поведения функций и их графиков. Приложения дифференциального исчисления к геометрии. Интегральное исчисление функции одной переменной Неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла. Таблица основных интегралов. Методы интегрирования неопределенных интегралов. Интегрирование классов дробнорациональных, и иррациональных функции. Интегрирование тригонометрических выражений. Определенный интеграл. Свойства. Формула Ньютона – Лейбница. Приложение определенного интеграла. Несобственные интегралы. Функции нескольких переменных Область определения функции нескольких переменных. Определение функции нескольких переменных. Предел и непрерывность функции нескольких переменных. Частные производные, полный дифференциал функции нескольких переменных. Теорема о смешанной производной. Экстремум функции нескольких переменных. Дифференциальные уравнения Основные понятия. Задача Коши. Теорема существования дифференциальных уравнений. Уравнения с разделенными переменными. Уравнения с разделяющими переменными. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения в полных дифференциалах. Задача Коши. Частное решение, общее решение, особое решение. Дифференциальный оператор. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Линейные не однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Система дифференциальных уравнений. Метод Эйлера. Ряды. Числовые ряды. Сходимость, сумма ряда. Необходимый признак сходимости. Положительные ряды. Признак сравнения. Признак Д*Аламбера. Радикальный признак Коши. Интегральный признак Коши. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды. Область сходимости. Радиус, интервал сходимости. Ряды Тейлора. Разложение элементарных функций в ряд Тейлора. Ряд Маклорена. Теория вероятностей. Случайные величины. Полная вероятность. Случайные события и их вероятности. Закон распределения и его характеристики. Вариационный ряд и его выборочное средняя и дисперсия. Элементы математической статистики Самостоятельная работа Самостоятельная работа с использование рекомендованной литературы необходима для полного усвоения лекционных и практических занятий и для успешного примененеия абстрактных понятий, положений в конкретных практических задачах, в построении вероятностных моделей. &&& ###001-003#1.3 Список рекомендуемой литературы. 1. Бугров Я.С Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - М.: Наука, 1988г. 2. Бугров Я.С, Никольский С.М. - Дифференциальное и интегральное исчисление. М.: Наука, 1985г. 3. Берман А.Ф., Араманович И.Г. - Краткий курс математического анализа для втузов. М.: Наука, 1971г. 4. Ильин В.А. Позняк Э.Г. - Линейная алгебра М.: Наука, 1983г 5. Бугров Я.С, Никольский СМ. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды.- М: Наука, 1985 6. Жевняк P.M., Карпук А.А. Высшая математика. Ч. 1-5. Минск: Вышейшая школа, 1998 7. Шипачев B.C. Высшая математика, ч. 1-2-М: Высшая математика. Т. 1,2 - М.: Высшая школа, 1981 8. Гусак А.А. Высшая математика.!. 1,2 -Минск: Тетро Системс, 2001 9. Агафонов С.А., Герман А.Д., Муратов Т.В. Дифференциальные уравнения Вып. V,VII,VIII.- M.: Изд. МГТУ имени Н.Э. Баумана, 2000 10. Сборник задач по математике для втузов: Линейная алгебра и основы математического анализа / Под редакцией Ефимова А.В. и Демидовича Б.П. М.: Наука, 1986г. 11. Сборник задач по математике для втузов: Специальные разделы математического анализа. / Под редакцией Ефимова А.В. Демидовича Б.П.М.: наука, 1986 12. Рябушко А.П., Баркатов В.В. и др. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике. ч.1-3-Минск.: Вышейшая школа 2001 13. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты). - М.: Высшая школа, 1983 14. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов. 1.1 - М.: Наука, 1985г. 15. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов. Г. 2 - М.: Наука, 1985г. 16. Данко П.К., Попов А.Г., Кожевников Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.1,2 - М.: Высшая школа, 1986г: ' 17. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитический геометрии - М.: Наука, 1986г. &&& ###002-000#2 Рабочая программа 1. Область применения 2. Нормативные ссылки 3. Общие положения 4. Литература и ресурсы 5. Содержание дисциплины, модульное разбиение дисциплины 6. Перечень тем и содержание СРС 7. Методические рекомендации по изучению дисциплины 8. Формат курса 9. Политика курса 10. Политика выставления оценок 11. Контроль знаний студентов 12. Календарный график учебного процесса и дистанционных консультаций &&& ###002-001#2.1 Область применения Электронный учебно-методический комплекс по дисциплине «Математика для экономистов» предназначен для студентов специальности «Финансы», «Учет и аудит», «Экономика», «Государственный и местный управления» обучающихся по дистанционным образовательным технологиям (ДОТ). Он знакомит студентов с содержанием курса, его актуальностью и необходимостью, политикой курса, с теми навыками и умениями, которые студенты приобретут в процессе обучения. ЭУМКД является основным руководством при изучении дисциплины по ДОТ. &&& ###002-002#2.2 Нормативные ссылки Настоящий электронный учебно-методический комплекс дисциплины (ЭУМКД) «Математика для экономистов» разработан и устанавливает порядок организации учебного процесса по данной дисциплине с использованием ДОТ в соответствии с требованиями и рекомендациями следующих документов: Государственный общеобязательный стандарт образования специальности «Финансы», «Учет и аудит», «Экономика», «Государственный и местный управления» &&& ###002-003#2.3 Общие положения В современной науке и технике математические методы исследования, моделирования и проектирования играют все большую роль. Это обусловлено быстрым темпом вычислительной техники, компьютеризации. Математические методы в экономике, технике, экологии, химии, строительстве являются органическим продолжением курса высшей математики, занимают важное место в технических исследованиях. Задача курса - ознакомить студентов с основными понятиями и методами высшей математики, необходимыми для изучения специальных дисциплин, использующих математические методы, а также подготовить студентов к самостоятельному изучению тех разделов математики, которые могут потребоваться дополнительно в практической и исследовательской работе. Целью данного курса являются: освоение математического аппарата, помогающего моделировать, анализировать и решать задачи с приложением. В случае необходимости компьютерной техники; Помочь студентам в усвоении математических методов, дающих возможность изучать и прогнозировать процессы и явления из области будущей профессиональной деятельности студентов; формирование умения и навыков самостоятельного анализа исследования и развитие стремления к научному поиску путей совершенствования своей работы; выработка у студентов основных практических умений проведения научно-исследовательской работы по уровню требований, предъявляемых в условиях социально-экономических преобразований. Основная задача изучения дисциплины:  развитие логического и алгоритмического мышления;  освоение приемов исследования и решения математически формализованных задач;  овладение простейшими численными методами и с их реализацией на ЭВМ;  выработку умения самостоятельно расширять математические знания и проводить математический анализ прикладных задач. Обязательным условием является выполнение всех практических и индивидуальных заданий, которые и составляют основной вид контроля. В результате изучения дисциплины студент должен:  приобрести прочные теоретические знания по высшей математике, уметь применять приобретенные знания к решению практических задач  знать основные определения, теоремы, правила, математические методы и их практические применения;  уметь решать математические задачи с доведением решения до практически приемлемого результата; Пререквизиты курса: Элементарная математика Постреквизиты курсы: Прикладные вопросы математики Выписка из рабочего учебного плана Таблица 1 Курс Семестр 1 1 Кредиты 3 Аудиторная работа АЗ (час) ДК (час) 4 5 СРС (час) Всего (час) 126 135 Форма итогового контроля экзамен &&& ###002-004#2.4 Литература и ресурсы 2.4.1 Основная литература и ресурсы 2.4.1.1 Кремер Н.Ш. «Высшая математика для экономистов», Москва, ЮНИТИ , 1997 г. 2.4.1.2 Красс М.С. «Математика для экономических специальностей», Москва, ИНФРА-М, 1998 г. 2.4.1.3 Шанкибаев Б.Н. «Высшая математика для экономистов», Алматы, ЭВЕРО, 2002 г. 2.4.1.4 Данко П. Е., Попов А.Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Часть 1и 2, Москва, ОНИКС 21 век Мир и Образование, 2002 г. 2.4.2 Дополнительная литература и ресурсы 2.4.2.1 Карасев А. И. Курс высшей математики.ч.1, М. «Высшая математика».1982 г. &&& ###002-005#2.5 Содержание дисциплины, модульное разбиение дисциплины Таблица 2 Наименование Наименование темы Содержание Литер модуля атура 1 2 3 8 Модуль 1 Матрицы и Понятие матрицы. [1],[2] Линейная и определители. Определитель, его основные векторная алгебра, свойства. Вычисление аналитическая определителей второго и геометрия. третьего порядков. Обратная Введение в матрица Вычисление математический обратной матрицы. анализ. Матричные уравнения. Система линейных уравнении. Элементы матричного анализа Аналитическая геометрия плоскосте. Аналитическая геометрия пространстве. Исследование систем [1],[2] линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Метод Гаусса. Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы. Формулы Крамера. Векторы. Операция над веторами. Сколярные ивекторные произведение векторов. Разложение векторов по координатам Прямая на плоскосте. [1],[2] на Уравнение прямых. Угол между прямымы. Растояние от точки до прямой. Линии в второго порядка: эллипс, гипербола, парабола. Прямая и плоскость в пространстве. Пересечение прямые и плоскости. Условия параллелности прямых и плоскостей Функция. Предел Последовательность. Понятие функции. Понятие предела последовательности. непрерывности Понятие функции. Предел фунцкии. функции. Первый и второй замечательный пределы. Непрерывность функции. Точки разрыва. Модуль 2 Дифференциально е исчисление. Интегральное исчисление. Функции несколких переменных. Понятие производной и дифференциала. Производной высшего порядка. Производная сложной функции. функций заданных параметрически и неявно. Правило Лопиталя. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значение функции Неопределенный интеграл. Таблица интегралов. Основные методы интегрирования. Определенный интеграл Формула Ньютона – Лейбница. Методы [1], [2] Понятие производной. Таблица производных, прави ла дифференцирование. Основные теоремы. Производные высшего порядка. Производная сложной функции. Производная параметрически и неявно заданной функции. [1], [2] Правило Лопиталя. Уравнение касательной. Исследование функции на возрастание, убывание, выпуклость, вогнутость и тоски экстремума, перегиба. Асимптоты. Понятие неопределенного интеграла. Таблица, правила и методы интегрирования. Простейшие рациональные дроби. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование тригонометрических и иррациональных функций Определенный интеграл Формула Ньютона – Лейбница. Методы интегрирования [1], [2] [1], [3] [1], [3] [1], [3] интегрирования Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных Модуль 3 Дифференциально е уравнение. Ряды. Теория вероятности и математические статистика Геометрические и механические приложения интеграла. Понятие функции нескольких [1], переменных. Частные [2] производные функции несколких переменных. Дифференцирование сложных и неявных функций. Производные по направление Градиент. Частные производные высших порядков. Экстремумы функции нескольких переменных. Дифференциальные уравнения первого порядка Основные понятия. [1], Дифференциальные [2] уравнения первого порядка. Задача Коши. Теорема существования и единственности. Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные и линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Методы решения дифференциальных уравнений и дифференциальные уравнения высших порядков Методы решения дифференциальных уравнений . Дифференциальные уравнения высших порядков. Дифференциальные уравнения с постояннымы коэффициентами, их решения. [1], [2] Ряды. Числовые Основние понятие. ряды. Призноки Ряды с положительными сходимости рядов членами . Знакопеременные ряды. Сходимости рядов. Призноки сходимости [1], [2] Стененные [1], ряды. 3.Функциональные ряды. Функционалные [2] ряды. Применение рядов в приближенных вычислениях Теория вероятности Классическое определение [1], вероятности. Применение [3] элементов комбинаторики при вычислении вероятности Вероятность суммы и произведения событий. Независимые события. Условная вероятность Задача на нахождение вероятности появления хотя бы одного события. Математическая статистика Независимые повторные [1], испытания. Формула [3] Бернулли. Наивероятнейшее число появления события Дискретная случайная величина. Закон распределения. Виды дискретной случайной величины. Числовые характеристики &&& ###002-007#2.7 Методические рекомендации по изучению дисциплины освоение теоретического материала. Приступая к изучению курса, необходимо обратить особое внимание на проработку основных положений темы (раздела), используя для этой цели предлагаемый учебно-методический комплекс, основное назначение которого – облегчить студенту работу с книгой. Краткий конспект лекций к каждой теме (разделу) заканчивается вопросами для самоконтроля. Существенное значение имеет правильный выбор учебника. Не следует одновременно пользоваться несколькими учебниками. Из предложенного списка рекомендуемой литературы один должен быть выбран в качестве основного. Другие учебники или учебные пособия используют в том случае, если прорабатываемый материал отсутствует или недостаточно подробно изложен в основном учебнике. Курс целесообразно изучать последовательно по темам, руководствуясь программой дисциплины. Работа над учебником обязательно должна сопровождаться самостоятельным решением и анализом примеров и задач, приведенных в учебнике и данном комплексе. После этого необходимо ответить на вопросы для самоконтроля. Учебный материал можно считать усвоенным только при условии, если вы умеете правильно применить теорию для решения практических задач. &&& ###002-008#2.8 Формат курса Формат курса – смешанный. Большую часть Вы работаете самостоятельно, используя предложенный конспект лекций. Лекции посвящаются наиболее сложным, проблемным вопросам. Такая структура проведения требует от студента систематической самостоятельной работы с рекомендуемой литературой и знания материала по новой теме лекции. Задания для практических занятий посвящены решению задач, способствующих более глубокой проработке теоретического материала. На 16-й неделе будут проведены аудиторные занятия согласно расписанию, во время которых Вы продемонстрируете степень усвоения данной дисциплины. &&& ###002-009#2.9 Политика курса Большую часть учебного времени, отведенного на изучение дисциплины, Вы работаете совершенно самостоятельно, без моей помощи выполняете подготовку к каждому аудиторному занятию, решаете задания (в том числе и СРС); самостоятельно изучаете некоторые теоретические вопросы дисциплины. Раз в неделю я буду проводить часовые консультации через интернет, но возникающие в процессе усвоения материала вопросы Вы можете направлять на мои e-mail. &&& ###002-010#2.10 Политика выставления оценок Я надеюсь, что мы найдем взаимопонимание по тем требованиям, которые я буду предъявлять к Вам в течение всего периода, отведенного на изучение дисциплины: 1. Обязательное посещение занятий (на 16-й неделе). Я прошу Вас не опаздывать на занятия и не разговаривать во время занятий. Пропуски занятий не допускаются. 2. Вы должны активно участвовать в учебном процессе на аудиторных занятиях, своевременно и старательно, в установленные сроки выполнять домашние задания, быть пунктуальным и обязательным. Все это позволит Вам достичь высоких рейтинговых показателей. 3. СРС оценивается отдельно и должна быть выполнена в установленные сроки. 4. Итоговый рубежный контроль будет складываться из текущего контроля (контрольные задания и СРС) и оценок, полученных Вами при тестировании (8 и 15 недели). &&& ###002-011#2.11 Контроль знаний студента Контроль знаний студента по дисциплине осуществляется в форме:  текущего контроля по модулям проводится на 4, 7, и 14 неделях  рубежного контроля (8 и 15 недели)  итогового контроля – проводится один раз в конце академического периода (экзамен), в соответствии с ГОСО специальности). Оценка по дисциплине выставляется в процентном содержании по 100 %-й шкале. Студент, полностью выполнивший задания одного рубежного контроля, может набрать 100%. При проведении промежуточной аттестации по дисциплине итоговый балл рассчитывается по результатам итогового рейтинга и экзамена. Удельный вес указанных форм контроля составляет 60% от результатов рейтинга студента и 40% от результатов экзамена по дисциплине. Студент, допускается к итоговому контролю по дисциплине, если за семестр его суммарный рейтинговый балл больше или равен 50%. Итоговая оценка по дисциплине определяется по шкале, приведенной в следующей таблице Шкала оценок в буквенном эквиваленте, в баллах и процентах Оценка Цифрой Процентное Оценка по по буквенной эквивалент содержание традиционной системе системе баллов А 4,0 95 – 100 Отлично А– 3,67 90 – 94 В+ 3,33 85 – 89 Хорошо В 3,0 80 – 84 В– 2,67 75 – 79 С+ 2,33 70 – 74 С 2,0 65 – 69 Удовлетворительно С– 1,67 60 – 64 D+ 1.33 55 – 59 D 1,0 50 – 54 F 0 0 – 49 Неудовлетворительно I NA Незаконченный P прошел Прошел дисциплину &&& ###002-012#2.12 Календарный график учебного процесса и дистанционных консультаций по дисциплине «Математика в экономике» № п/п Недели 1 Вид контроля 2 Баллы 3 Консультации № Недели п/п 1 2 3 4 5 6 7 ЗМ1 ЗМ2 100 100 OF OL OL OF OF OL OF 9 10 11 12 13 14 15 8 Таблица 5 Итого 1рейтинг 300 баллов РК1 100 OF Итого 2рейтинг 1 Вид контроля ЗМ3 РК2 300 2 Баллы 150 150 баллов 3 Консультации OL OL OF OF OL OF OF Обозначения: ЗМ-задание по модулю;; РК-рубежный контроль; OL- он-лайн консультация; OF- офф-лайн консультация &&& $$$001-000-000$3.1 Глоссарий № 1. Новые понятия Матрица размера m  n. 2. Квадратная матрица 3. Порядок матрицы 4. Определитель матрицы Содержание называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов. матрица у которой число строк равно числу столбцов равен числу строк (столбцов) квадратной матрицы -это число, которое по определённому правилу сопоставляется каждой квадратной матрице. Определитель обозначается вертикальными линиями: a 11 a 12 a a 22 A  21   a n1 a n2 5. Вычисление определителя 2-го порядка a 11 a 21     a 1n a 2n  a nn a 12  a 11a 22  a 12 a 21 a 22 6. Вычисление определителя 3-го порядка a 11 a 12 a 13 a 21 a 31 a 22 a 32 a 23  a11a22 a33  a12 a23 a31  a 33  a13 a21a32  a13 a22 a31  a11a23 a32  a12 a21a33 7. Транспонированная матрица 8. Минор элемента a ij 9. Алгебраическое дополнение элемента a ij для матрицы A называется матрица AT, столбцами которой являются соответствующие строки матрицы A. называется определитель, составленный из элементов, оставшихся после вычеркивания iой стоки и j-го столбца, на пересечении которых находится этот элемент и обозначается M ij называется соответствующий минор, i j i+j умноженный на  1 т.е Aij=(–1) Mij, где i -номер cтроки и j –номер столбца, на пересечении которых находится данный элемент. квадратная матрица, у которой вне главной диагонали стоят нулевые элементы. 11. это диагональная матрица, у которой на главной диагонали стоят только единичные элементы Единичная матрица 0 1    1  E     1  0 12. Произведение матрицы на называется матрица B=A размера mn, число  каждый элемент bij которой равен aij. 10. Диагональная матрица Сумма матриц A и B одинакового размера 14. Произведение матрицы A размера mn на матрицу B размера nk 13. называется матрица C=A+B того же размера каждый элемент cij которой равен aij+bij. называется матрица C размера mk, каждый элемент cij которой равен произведению i –ой строки матрицы A на i–ый столбец матрицы B, т.е. n c ij  a il b lj  a i 2 b 2 j    a in b nj   a il b lj l 1 15. Обратная матрица для квадратной матрицы A называется такая матрица A-1, что выполняется равенство AA-1=A-1A=E. Вырожденная и невырожденная матрицы квадратная матрица A, определитель которой равен нулю, называется вырожденной, матрица, определитель которой не равен нулю, называется невырожденной. 17. Присоединённая матрица для квадратной матрицы A называется ~ матрица A , элементами которой являются алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы A, т.е. 16.  A 11  ~  A 21 A    A n1 18. Минор k-го порядка матрицы A 19. Ранг матрицы A 20. Базисный минор 21. Линейная комбинация строк e1 , e2 , , es матрицы A 12 A 22  A n2  A 1n    A 2n      A nn  называется определитель составленный из элементов произвольно выбранных k столбцов и k строк этой матрицы. называется наибольший из порядков ее миноров, не равных нулю..Он обозначается символом r(A) или rangA. называется любой из отличных от нуля миноров матрицы А, порядок которого равен r (A). называется строка е , если она равна сумме произведений этих строк на произвольные действительные числа: e  1e1  2 e2     s es , где 1 , 2 ,,  s - любые числа. 22. Линейная зависимость строк строки e1 , e2 , , em матрицы называются линейно зависимыми, если существуют такие числа 1 , 2 ,, m , не равные одновременно нулю, что линейная комбинация строк матрицы равна нулевой строке: 1e1  2 e2    m em  0 23. Линейная независимость строк где 0=(0 0 …0). если линейная комбинация 1e1  2 e2    m em  0 равна нулю тогда и только тогда, когда все коэффициенты i равны нулю, т.е. 1   2 ,  ,   m  0 , то строки e1 , e2 , , em называются линейно независимыми. 24. Система алгебраических уравнений из m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными a 11x 1  a 12 x 2    a 1n x n  b1 a x  a x    a x  b  21 1 22 2 2n n 2    a m1 x 1  a m2 x 2    a mn x n  b m 25. Матричная форма записи системы.  a 11   a 21    a m1 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. a 12 a 22  a m2  a 1n  x 1   b1       a 2n  x 2   b 2                a mn  x n   b m  i , i  1, n . A=0 и i –  определитель матрицы системы, в которой вместо i-го столбца подставлен столбец свободных членов. Исследовать систему это значит определить совместна ли она и, в случае совместности, определить, сколько решений она имеет. Расширенная матрица называется матрица, полученная из матрицы системы приписыванием справа столбца свободных членов системы. Однородная система cистема, в которой все свободные члены линейных алгебраических нулевые. уравнений Неоднородная система система, в которой столбец свободных членов линейных алгебраических ненулевой. уравнений Тривиальное решение. называются нулевые решения однородной системы Фундаментальная система Система линейно независимых решений решений e1  k1 , k 2 , k n  называется фундаментальной, если каждое решение данной системы является линейной комбинацией решений e1  k1 , k 2 , k n  . Координатная ось Ox прямая с выбранным началом координат – точкой O направлением и масштабным единичным отрезком [01]. пара взаимно перпендикулярных Формулы Крамера. xi  Декартовая системой координат (Д.С.К.) на плоскости Oxy 35. Д.С.К. в пространстве Oxyz координатных осей на этой плоскости, пересекающиеся и общем начале координат точке O и имеющие равные масштабные отрезки. Первая из этих осей называется осью абсцисс (Ox) а вторая – осью ординат (Oy). тройка взаимно перпендикулярных осей координат, пересекающихся в общем начале координат точке O и имеющих равные масштабные отрезки. Третья ось при этом называется осью аппликат (Oz). Расстояние между точками A(xA,yA) и AB= ( x B  x A ) 2  ( y B  y A ) 2 . B(xB,yB) на плоскости 37. Расстояние между AB  ( x B  x A ) 2  ( y B  y A ) 2  ( z B  z A ) 2 точками A(xA,yA,zA) и B(xB,yB,zB) в пространстве 38. Деление отрезка в данном  x A  x B xM  1   отношении  y A  y B  yM  1   z A  z B  z M  1    39. Вектор отрезок с выбранным направлением, или направленный отрезок. 40. Коллинеарные вектора вектора, лежащие на параллельных прямых (или на одной и той же прямой) 41. Компланарные вектора Вектора, лежащие в одной плоскости или в параллельных плоскостях. 42. Линейные операции над это умножение вектора на число и сложение векторами векторов. 43. Линейная комбинация вектор C1 a 1 +C2 a 2 +...+Cn a n . векторов 44. Линейно зависимые если существуют такие числа C1,C2,...,Cn , не    равные одновременно нулю, что векторы a 1 , a 2 ,..., a n C1 a 1 +C2 a 2 +...+Cn a n =0 45. Линейно независимыми если существуют такие числа векторы C1,C2,...,Cn , равные одновременно нулю, что    a 1 , a 2 ,..., a n C1 a 1 +C2 a 2 +...+Cn a n =0 46. Базисные вектора совокупность n линейно независимых векторов 47. Скалярное произведение число, равное произведению модулей этих 36.   векторов a и b Формула вычисления скалярного произведения  векторов a = ( x1 , y1 , z1 ) и  b = (x 2 , y 2 , z 2 ) . 49. Формула вычисления угла между векторами  a  (x 1 , y1 , z1 ) и  b  (x 2 , y 2 , z 2 ) 50. Условие перпендикулярности (ортогональности) двух векторов. 51. Направляющие косинусы  вектора a 48. векторов на косинус угла между ними, т. е.       a  b  a  b  cos(a ,  b) .   a  b  x 1 x 2  y1 y 2  z1 z 2 . cos   cos   Орт вектора a . x 12  y12  z 12 x 22  y 22  z 22 x 1 x 2  y1 y 2  z1 z 2  0 . cos   52. x 1 x 2  y1 y 2  z 1 z 2 cos   x x y z y 2 2 x 2  y2  z2 z 2 ; ; . x 2  y2  z2 вектор координаты которого ( x , y, z) совпадают с направляющими косинусами 0 53. Векторное произведение векторов a и b вектора a т.е. a =( cos , cos , cos  ).    вектор c  a  b , удовлетворяющий трём условиям:  а) Модуль вектора c равен произведению модулей векторов a и b на синус угла между ними:     a  a b sin (a ,  b )  в) c перпендикулярен векторам a и b  т.е. он перпендикулярен плоскости, проходящей через вектора a и b .    с) Тройка векторов a , b, c  правая 54. Формула вычисления векторного произведения векторов  a ( x1 , y1 , z1 ) и  b (x 2 , y 2 , z 2 ) .    i j k   a  b  x 1 y1 z 1 x 2 y2 z2 55. Площадь параллелограмма построенного  S пар    a b  на векторах a  ( x 1 , y 1 , z 1 )  и b  (x 2 , y 2 , z 2 ) , 56. Площадь треугольника, построенного на этих векторах, равна:  ( y1z 2  z1 y 2 ) 2  ( x1z 2  z1x2 ) 2 ( x1 y 2  y1x2 ) 2 57. Смешанное произведение    трех векторов a , b и с число, равное скалярному произведению   векторного произведения векторов a и b с  вектором с .      a b с  (a  b ) c . 58. Формула вычисления векторного произведения векторов  a ( x1 , y1 , z1 ) и  b (x 2 , y 2 , z 2 ) . S mp  1   a b  2 1  ( y1 z 2  z1 y2 ) 2  ( x1 z 2  z1 x2 ) 2  ( x1 y2  y1 x2 ) 2 2 x 1 y1 z 1   abc  x 2 y 2 z 2 . x 3 y3 z3 c (x 3 , y 3 , z 3 ) 59. Объем параллелепипеда построенного на векторах  a  ( x 1 , y 1 , z 1 , ), Vпар x 1 y1 z 1    abc | x 2 y 2 z 2 | . x 3 y3 z3  b  ( x 2 , y 2 , z 2 , ),  c  (x 3 , y 3 , z 3 , ) 60. 61. Объем тетраэдра (треугольной пирамиды), Условие компланарности трех векторов. Уравнение прямой с угловым коэффициентом к 63. Уравнение прямой, проходящей через данную точку с угловым 62. Vтетр x 1 y1 z 1 1  | x 2 y2 z2 |. 6 x 3 y3 z3 x 1 y1 z1 x 2 y2 z2  0 x 3 y3 z3 y  kx  b y  y 0  k(x  x 0 ) . коэффициентом к 64. Тангенс угла  между прямыми L1 : y  k 1 x  b1 и L2 : y  k 2x  b2 tg  k1  k 2 1  k 1k 2 65. Условие параллельности k 1  k 2 двух прямых k 1 k 2  1 66. Условие перпендикулярности двух прямых  67. Направляющий вектор. любой ненулевой вектор a на прямой L 68. Параметрические уравнения прямых 69. Уравнение прямой с направляющим вектором. 70. Уравнение прямой, x  x0 y  y0  проходящей через две x1  x 0 y 1  y 0 заданные точки Общее уравнение Ax  By  C  0 прямой Нормальный вектор Вектор перпендикулярный прямой прямой L   Формула вычисления угла n 1n 2 A 1 A 2  B1 B 2 . cos      между прямыми 2 2 2 2 n1 n 2 A 1  B1 A 2  B 2 L1 : A 1 x  B1 y C1  0 L 2 : A 2 x  B 2 y C 2  0 Условие   n 1 n 2  A 1 A 2  B1 B 2  0 перпендикулярности прямых L1 : A 1 x  B1 y C1  0 L 2 : A 2 x  B 2 y C 2  0 Условие параллельности прямых A1 B1 .  L1 : A 1 x  B1 y C1  0 A 2 B2 L 2 : A 2 x  B 2 y C 2  0 Уравнение прямой с A( x  x 0 )  B( y  y 0 )  0 . нормальным вектором. x y Уравнением прямой в  1 отрезках a b x cos   y cos   p  0 Нормальное уравнение 71. 72. 73. 74. 75. 76. 77. 78. x  x 0  tl   y  y 0  tm x  x0 y  y 0  l m 79. прямой Расстояние от точки M 0 ( x 0 , y 0 ) до прямой L : Ax  By  C  0 80. Уравнением плоскости, проходящей через три заданные точки. Общее уравнение плоскости 82. Уравнение плоскости с нормальным вектором. 83. Формула косинус угла  между плоскостями 81. P1 : A 1 x  B1 y  C1 z  D1  0 и P2 : A 2 x  B 2 y  C 2 z  D 2  0 d Ax0  By0  C x  x0 A2  B 2 y  y0 . z  z0 x1  x0 y1  y 0 z1  z 0  0 . x 2  x0 y 2  y 0 z2  z0 Ax  By  Cz  D  0 . A( x  x 0 )  B( y  y 0 )  C(z  z 0 )  0  n1n 2 cos    n1 n 2  A 1 A 2  B1 B 2  C 1 C 2 A 12  B12  C 12 A 2  B 2  C 2 с нормальными векторами   n1 и n 2   84. Условие n1n 2  A1A 2  B1B2  C1C2  0 . перпендикулярности плоскостей 85. Условие параллельности A 1 B1 C 1 .   плоскостей A 2 B2 C2 x y z 86. Уравнение плоскости в    1. отрезках a b c 87. Нормальное уравнение x cos   y cos   x cos   p  0 . плоскости. 88. Формула расстояния от Ax 0  By 0  Cz 0  D . точки M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) до d  2 2 2 A B C плоскости P : Ax  By  Cz  D  0 89. Параметрическими x  x 0  tl  уравнениями прямой в  y  y 0  tm пространстве. z  z  tn 0  90. Канонические уравнения x  x 0 y  y 0 z  z 0 .   прямой в пространстве. l m n 91. Формула косинус угла  l1 l 2  m 1 m 2  n 1 n 2 между прямыми . cos   2 2 2 2 2 2 l1  m 1  n 1 l 2  m 2  n 2 2 2 2 x  x 1  l1 t  L1 : y  y1  m1 t и z  z  n t 1 1  x  x 2  l 2 t  L 2 : y  y 2  m 2 t z  z  n t 2 2  92. Условие перпендикулярности прямых 93. Условие параллельности Формула синус угла между плоскостью P : Ax  By  Cz  D  0 и прямой x  x 0  lt  L :  y  y 0  mt z  z  nt 0  95. Условие перпендикулярности прямая и плоскость 96. Условие параллельности прямой и плоскости 97. Общее уравнение прямой l1 l 2  m1 m 2  n 1 n 2  0 . l1 m 1 n 1 .   l2 m2 n 2 94. 98. Эллипс 99. Каноническое уравнение эллипса 100. Эксцентриситетом 101. 102. Фокальная ось Директрисы эллипса 103. Каноническое уравнение окружности sin   Al  Bm  Cn A 2  B2  C2 l2  m 2  n 2 A B C   . l m n Al  Bm  Cn  0 . A 1 x  B 1 y  C 1 z  D 1  0 .  A x  B y  C z  D  0  2 2 2 2 это геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний, от которых до двух выбранных фокусов, постоянна и равна 2a x 2 y2 .   1, a 2 b2 c число равное e  , с  а2  b2 a ось, проходящая через фокусы эллипса прямые, проходящие перпендикулярно a a2 фокальной оси на расстоянии d   от e c центра эллипса x 2  y2  a 2 . 104. Уравнение окружности радиуса а с центром в точке O ( x 0 , y 0 ) 105. Гипербола 106. 107. 108. 109. 110. 111. 112. 113. 114. : x  x 0   y  y 0   a 2 . 2 2 Это геометрическое место точек плоскости, разность расстояний от которых до двух выбранных фокусов постоянна. Каноническое уравнение x 2 y2 .   1, гиперболы a 2 b2 Асимптота кривой прямая, у которой расстояние от точки на кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки вдоль кривой в бесконечность. Парабола это геометрическое место точек плоскости, расстояние от которых до фокуса совпадает с расстоянием до директрисы Каноническое уравнение y 2  2px . параболы p  0 параметр параболы.. Общее уравнение кривой a 11 x 2  2a 12 xy a 22 y 2  b1 x  b 2 y  c  0 . второго порядка Эллиптический цилиндр x 2 y 2  1 a 2 b2 Гиперболический x 2 y2  1 цилиндр a 2 b2 Параболический цилиндр y 2  2px Каноническое уравнение x 2 y 2 z 2 конуса второго порядка. a 2  b 2  c 2  0 115. Эллипсоид 116. 117. Уравнение сферы Двуполостный гиперболоид 118. Однополостный гиперболоид. 119. Эллиптический параболоид 120. Гиперболический параболоид 121. Седловая поверхность x 2 y2 z2   1 a 2 b2 c2 числа a , b, c –полуоси x 2  y2  z2  a 2 . x 2 y2 z2    1 a 2 b2 c2 x 2 y2 z2 ,    1, a 2 b2 c2 x2 y2   z (p, q  0) , 2 p 2q x 2 y2  z 2 p 2q x 2  2pz (p, q  0) 122. Уравнение поверхности второго порядка 123. Действительные числа 124. Рациональные числа 125. Иррациональные числа 126. Множество 127. Элементы множества 128. Пустое множество 129. Запись x A x A, x A a11 x 2  a22 y 2  a33 z 2  2a12 xy  2a13 xz   2a23 yz  b1 x  b2 y  b3 z  c  0 положительные и отрицательные рациональные и иррациональные числа и число нуль отношения целых чисел представляются конечными или бесконечными, но периодическими десятичными дробями числа, которые представляются бесконечными непериодическими дробями совокупность, собрание каких-то предметов своих элементов предметы, составляющие множество «множество», не содержащее ни одного элемента x принадлежит множеству А , х - элемент А х не принадлежит множеству А 130. Логические символы (кванторы):   A B A B любой, всякий, для любого, для всех существует, найдется из утверждения А следует, вытекает утверждение В утверждения А и В равносильны 131. Переменная величина величина, принимающая различные значения 132. Область значений переменной величины множество всех значений, которые принимает (пробегает) данная переменная величина 133. Последовательность переменная величина, значения которой можно перенумеровать: x1 ,..., xn ,... 134. Функция Переменная величина у есть функция переменной величины x , если каждому значению x по некоторому правилу поставлено в соответствие определенное значение у; запись y  f  x  135. Независимая переменная, если задана функция y  f  x  , то аргумент x называется независимой переменной или аргументом 136. 137. Область определения функции Область значений функции 138. График функции y  f  x  139. Предел переменной величины множество (область) значений аргумента Множество значений, принимаемых функцией Множества точек на плоскости, абсциссами которых являются значения аргумента, а ординатами значения функции, соответствующие этим значениям аргумента; множество точек  x , f  x  Число  есть предел переменной величины x ,если для любого   0 , начиная с некоторого момента в изменении x , выполняется неравенство x  a   ; запись lim x  a 140. Предел последовательности lim x  a n n если для   0 найдется такой номер  , что при n   будет x n  a   141. Предел функции на бесконечности 142. Предел функции в точке x0 lim f x   a x  , если для   0 найдется такое  ,что f  x   a   при x   lim f x   a , если для   0 найдется такое   0 , что для x , лежащего в   окрестности x 0 и x  x 0 , выполняется x  неравенство f  x   a   143. Бесконечно малая (б.м.) 144. 145. 146. Связь предела и бесконечно малой Бесконечно большая (б. б.) Два замечательных предела Переменная величина  называется бесконечно малой, если lim   0 lim x  a  x  a   ,   б.м. Переменная величина x называется бесконечно большой, если обратная величина 1   x б.м lim x 0 sin x 1 x (первый замечательный предел) x 1  1 lim 1  x   e  lim 1     x    0  (второй замечательный предел) 147. Сравнение б. м. Сравнить две бесконечно малые  и  , значит найти предел их отношения:   lim  C  0,   ,  ; если  то  и   lim  1  одного порядка; в частности, если , lim то  и  -эквивалентные б.м.;   0,   если -высшего порядка малости по сравнению с  ; запись:   0 lim 148. Непрерывность функции в Функция y  f  x  непрерывна в точке x 0 , точке x 0 lim f x   f x 0  x  x0 если ; Другое определение: пусть x  x  x 0 (приращение аргумента) и y  f x 0  x   f x 0  (приращение функции). Функция непрерывна в точке x 0 , если б.м. приращению аргумента x соответствует б.м. приращение функции 149. Касательная прямая 150. Производная функции y  f  x  в точке x 0 151. Геометрический смысл производной 152. Механическая интерпретация производной 153. Дифференциал функции y  f x  y : lim y  0 x 0 Предельное положение секущей, когда две точки ее пересечения с линей стремятся слиться в одну f ' x0   y lim x  предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращения аргумента стремится к нулю x 0 f '  x 0  -тангенс угла наклона касательной к графику функции y  f  x  , проведенной в точке M 0  X 0 , f x 0  f '  x 0   скорость изменение функции y  f  x  в точке x 0 (относительно изменения аргумента x ); если S  f t   зависимость пути от времени, то S '  f ' t  (производная пути по времени)скорость движения в момент t Дифференциал dy есть главная часть приращения функции, пропорциональная ' приращению аргумента dy  y x ; y  dy  б.м. высшего порядка относительно x 154. Дифференциал независимой переменной 155. Геометрический смысл дифференциала функции y  f x  То же, что произвольное приращение независимой переменной dx  x ' Дифференциал dy  f  x 0 x -приращение ординаты касательной прямой, проведенной к графику функции y  f  x  в точке  x 0 , f  x 0  156. Дифференцируемая функция Функция y  f  x  дифференцируема в точке x 0 , если существует конечная производная f ' x 0   существует ' дифференциал f  x 0 x ; Дифференцируемая в x 0 функция непрерывна в x 0 , обратное неверно Сложная функция (функция от функции) и ее производная 158. Инвариантность формы дифференциала 157. y  f u  , где u   x  ,т.е. y  f  x   сложная функция, y x '  y u '  u x ' Для дифференциала форма записи дифференциала функции y  f u  : dy  f ' u du не зависит от того, будет ли u независимым переменным или промежуточным аргументом 159. Обратная функция и ее дифференцирование если y  f  x  разрешить относительно x : x   y  , то  y   обратная функция к f  x  . Производные обратных функций являются взаимно обратными величинами: 1 y 'x  ' xy 160. Параметрическое задание функции. Дифференцирование параметрически заданных уравнений Связь между аргументом x и функцией y выражена через посредство третьей переменной t -параметра: x и y заданы как функции параметра: x  t , y   t  ;  ' t  ' yx  '  t  , если t   0 производная: 161. Монотонные функции Функции возрастающие или убывающие. Функция возрастает (убывает), если большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции ' 162. Признак возрастание или y '  0 -функция возрастает, y  0  убывает убывания 163. Точки максимума, Точка x 0 - точка максимума (минимума) минимума, экстремума функции f  x  , если значение f  x 0  больше (меньше) всех значений f  x  , принимаемых в некоторой окрестности x 0 ; определение подчеркивает локальный характер понятие; точка экстремума - общее название точек максимума и минимума 164. Необходимо признак экстремума (признак Ферма) Если в точке экстремума производная существует, то она равна нулю 165. Достаточный признак экстремума Если производная при переходе через x 0 меняет знак c  на - , то x 0 - точка максимума, если с - на  , то x 0 - точка минимума 166. Асимптоты и их отыскание прямая L называется асимптотой кривой, если расстояние от точки на кривой до L стремится к нулю, когда точка неограниченно удаляется от начала координат; lim f x    если x x 0 , то прямая x  x0 вертикальная асимптота графика y  f ( x ) ; прямая y  kx  b - наклонная асимптота (в частности, при k  0 - горизонтальная) , f x  b  lim f x   x  x  x x  , k  lim 167. Выпуклость (вогнутость) кривой 168. Признак выпуклости (вогнутости) Кривая выпукла (вогнута), если лежит над (под) любой своей касательной y ''  0  выпукла, y ''  0 -вогнута 169. Точка перегиба 170. Признаки точки перегиба 171. Точка на кривой, которая отделяет участок выпуклости от участка вогнутости y "  0 или «не существует» - необходимый признак, y" меняет знак при переходе через точку x 0 , тогда в т.  x 0 , f  x 0  перегиб достаточный признак Правило Лопиталя Служит для нахождения lim f x   x  , когда  f x   0 0     x  0  (неопределенность 0 ), или  f x         x    (неопределенность  ); правило утверждает: если существует конечный или бесконечный предел f ' x  lim '   x  , то отношения производных f x  lim  x  и эти пределы равны существует и 172. Теорема о хорде и касательной Если у кривой линии в каждой ее точке существует касательная, то найдется точка, в которой касательная параллельна хорде 173. Теорема (формула) Лагранжа Специальный случай теоремы о хорде и касательной для графика функции y  f  x  на a , b и существует f x , x  a, b  то найдется точка c , a  c  b такая, что f b   f a   f ' c b  a  174. Теорема Ролля Специальный случай теоремы Лагранжа: если f a   f b  и существует f x , x  a , b  то c , a  c  b , f ' c   0; Теоремы Лагранжа и Ролля верны для функции f  x  , непрерывной на a , b и дифференцируемой по крайней мере на a , b  175. Теорема Коши Если  x  и   x  непрерывны на a , b и дифференцируемы на a , b  , причем b   a   ' c  c , a  c  b;  b   a  ' c  '  x   0 , то 176. Формула Тейлора Представление функции, имеющей в окрестности x 0 производные до n  1 порядка в виде суммы многочлена степени n , расположенного по степеням x  x 0 и некоторого остаточного члена, содержащего x  x 0 в n  1 степени &&& $$$002-001-000$3.2. Лекции Линейная и векторная алгебра, аналитическая геометрия 1. Матрицы и определители 2. Система линейных уравнений. Элементы матричного анализа 3. Аналитическая геометрия на плоскости, уравнение линии первого ивторого порядка. Аналитическая геометрия в пространстве Введение в математический анализ. 1. Понятие функции. Предел функции. Непрерывность функции. Дифференциальное исчисление. 1. Понятие производной и дифференциала функции. Производная сложной функции. Производные высших порядков. 2. Исследование функции и построение графика при помощи производной. Правило Лопиталя. Приложения производных в экономике Интегральное исчисление 1. Неопределенный интеграл. Методы интегрирования 2. Определенный интеграл. Несобственный интеграл. Формула Ньютона – Лейбница. Методы интегрирования. Приложение определенных интегралов. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных 1.Понятие функции нескольких переменных, частные производные. Дифференцирование сложных и неявных функций. Градиент. Дифференцирование высших порядков. Дифференциальные уравнени 1.Основные понятия. Дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения с разделяющимися переменными. Однородьные и линейные дифференциальное уравнение первого порядка 2. Дифференциальные уравнения высших порядков Методы решения дифференциальных уравнений высших порядков. Дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами Ряды. 1. Числовые ряды. Ряды с положительными членами, знакопеременные ряды. Признаки сходимости рядов 2. Степенные ряды. Функциональные ряды. Применение рядов в приближенных вычислениях Теория вероятности и математическая статистика 1.Теория вероятности. Определения. Матожидания. Дисперсия. 2. Математическая статистика. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число появления события. Дискретная случайная величина. &&& $$$002-001-000$3.2.1 Лекция №1. Матрицы и определители 1. Определители II и III порядка 2. Свойства определителей 3. Минор и алгебраическое дополнение. 4. Матрицы и действия над ними 5. Нахождение обратной матрицы. &&& $$$002-001-001$3.2.1.1 Определители II и III порядка Определение. Таблица состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей А размером m  n. Т. е.  а11 а12 ... а1n     a21 a22 .... a2 n  А=    ...................   a a ...a  mn   m1 m 2 Например: матрица 2 го порядка  а11 а12    a a  21 22  А=  Определение. Определителем матрицы второго порядка называется число получаемоле следующим образом и обозначается А = det A = Пример. Вычислить определитель а11 а12 а21 а22 2 3 4 5 =а11а22 – а21а12 2 3 = 2  5  (3)  4  22 4 5 Определение. Определителем матрицы 3 его порядка называется число, получаемое следующим образом а11 а12 а13 А = det A = а21 а22 а23 = а11 а22 а33 +а12 а11 а23 а31 +а13 а21 а32 -а13 а22 а31 -а12 а21 а33 а31 а32 а33 а11 а23 а32 Для удобства треугольника) можно воспользоваться «+» следующей схемой (правило «-» Рис. 1 Рис. 2 Пример. 2 3 4 Вычислить определитель 4 5  2 1 3 6 2 3 4 4 5 2 = 1 3 6 2  5  6  4  4  3  (3)(2)(1)  4  5(1)  (3)  4  6  2  3  (2)  60  48  6  20  72  12  206 1. 2. 3. 4. 5. 6. &&& $$$002-001-002$3.2.1.2 Свойства определителей. Если в определителе поменять местами строки со стобцами, то значение его не изменится. Если в определителе элементы некоторой строки или столбца нули, то определитель равен нулю Если в определителе поменять местами любые его две строки или столбца то знак определителя изменится. Если в определителе две его любые строки или столбца состоят из одинаковых элементов, то его значение равно нулю. Если элементы некоторой строки или столбца умножит на любое действительное число  , то и его значение изменится в  . Если к элементам некоторой строки или столбца прибавить соответственно элементы другой, то определитель от этого не изменится. а11 а12 а13 а11  а21 а12  а22 а13  а23 а21 а22 а23 = а21 а22 а23 а31 а32 а33 а31 а32 а33 &&& $$$002-001-003$3.2.1.3 Минор и алгебраическое дополнение. Определение. Минором Мij элемента аij определителя третьего порядка называется определитель 2 го порядка, получаемый вычеркиванием элементов i – ой строки j – го столбца. Например, минор М23= а11 а12 а31 а32 Определение. Алгебраическим дополнением Aij называется минор Mij, взятый со своим знаком (-1)i+j, т. е. Аij=(-1)i+j  Mij 2 3 4 Пример. Дан определитель 4 5  2 . Вычислить М12, М31, А22, А12. 1 3 6 М12= 4 2 =24-2=22, 1 6 A22=(-1)2+2 М31= 3 4 5 2 2 4 =+(12+4)=16, 1 6 =6-20=-14, A12=(-1)1+2 4 2 1 6 =-(24-2)=-22, &&& $$$002-001-004$3.2.1.4 Матрицы и действия над ними Умножение матрицы на число  . Для этого необходимо все элементы матрицы умножить на это число. 2. Сложение матриц А и В. Получим матрицу, элементы которой получаются сложением соответствующих элементов матриц слагаемых. 3. Произведением матрицы А, размером m  n и матрицы В, размером n  k называется матрица С, размером m  n, элементы которой сij получаются сложением произведений элементов i – ой строки матрицы А на соотвествующие элементы j – ого столбца матрицы В 1. 2  3 1   2 5 1  . 0  3  Пример. Даны матрицы А=   и В =  4  4  5 6 2А+3В   2 5 1   4  6 2    6 15 3  2  3 1   +   =   +3   = 8  10 12 4 0  3 4  5 6 12 0  9          4  6  6  15 2  3    2 9 5  =    =   8  12  10  0 12  9   20  10 3  2А+3В= 2  Найти матрицу 2 1     2 3 7 4  3 Пример. Даны матрицы А=  и В=   5 0 4  5  8   0  2     .  Вычислить матрицу АВ. 2 1    4  3  2 3 7 АВ=    5 0   4  5  8   0  2    8 11 22       20 27 52  = 10  15  35      8 10 16     2(2)  (1)4    4(2)  (3)  4  =    (5)(2)  0  4  0  (2)  (2)4  2  3  (1)  (5) 4  3  (3)(5) (5)  3  0  (5) 0  3  (2)(5) 2  7  (1)(8) 4  7  (3)(8) (5)  7  0  (8) 0  7  (2)  (8)    =    &&& $$$002-001-005$3.2.1.5 Нахождение обратной матрицы. Определение. Квадратная матрица, у которой элементы главной диагонали равны 1 называется единичной и обозначается 1 0 0    Е  0 1 0  0 0 1   Определение. Пусть дана квадратная матрица. Матрица, которая в произведение с данной дает единичную, т. е. А-1А=Е, называется обратной  А11 А21 А31   1 матрицей к данной. Она вычисляется по формуле А =  А12 А22 А32     А13 А23 А33  1  1 3    Пример. Найти обратную матрицу для матрицы А=  2 1 4    1  2 1   -1 1  1 3    Решение. Вычислим определитель   det  2 1 4  =6  0 . И вычислим все   1  2 1   алгебраические ее дополнения 1 1 4 1 3  9 , А21  (1) 2 1  5 , А31  (1)31 1 2 1 2 1 1 2 4 1 3  4 , А32  (1)13 2 А12  (1)1 2  6 , А22  (1) 2  2 2 1 1 1 1 1 1 2 1  3 , А33  (1)13  3 А13  (1)1 3  3 , А23  (1) 2  3 1  2 1 2 А11  (1)11 3  7 , 4 3  2, 4 1 1 3 2 1 3 5  6 2 6 2 Тогда обратная матрица А1   3  6  1 1  2  2 7   6  1  3 1  2 &&& $$$002-001-100$Лекция №1 Вопросы или тесты для самоконтроля 1. Как вычислить определители второго и третьего порядка? 2. Как вычислить миноры и алгебраическое дополнение ? 3. Как вычислить матрицы? 4. Как вычислить обратную матрицу? &&& $$$002-002-000$3.2.2 Лекция №2. Система линейных уравнений с двумя и тремя неизвестными. Правило Крамера. 1. Система линейных уравнений 2. Элементы матричного анализа &&& 1.$$$002-002-001$3.2.2.1 Система линейных уравнений Пусть дана система линейных уравнений с тремя неизвестными a11x1+ a12x2+a13x3=b1 a21x1+ a22x2+a23x3=b2 a31x1+ a32x2+a33x3=b3 Здесь числа аij называются коэффициентами, а числа bi свободными членами системы. Введем следующие определители b1 а12 а13 а11 а12 а13  = а21 а22 а23 а31 а32 а33 ,  1= b2 а22 а23 b3 а32 а33 а11 а12 b1 а11 b1 а13 ,  2= а21 b2 а23 а31 b3 а33 ,  3= а21 а22 b2 а31 а32 b3 Тогда по правилу Крамера, если основной определитель системы не равен 1   х1     нулю, т. е.   0 , тогда система имеет единственное решение, причем  х2  2   3   х3    Пример. Решить систему уравнений  2 х1  х2  7 х3  1  3х1  3 х2  8 х3  20 5 х  4 х  х  1 2 3  1 Решение. Вычислим определители третьего порядков по схеме, получим 2 1 7 1  3 8 =290, 5 4 1 = 3 2 1  1= 20  3 1 7 8 =580, 4 1 2 1 7  2= 3 20 8 =-580, 5 1 1 1  3 20 5 4 1  3= 3 1 =290 580   х1  290  2   580 Итак, получим  х2   2 290  290   х3  290  1  &&& $$$002-002-002$3.2.2.2 Элементы матричного анализа. Векторная алгебра Вектор. Разложение вектора по базисным векторам. Определение. Вектором называется направленный отрезок и обозначается символом АВ = а . АВ - длина вектора АВ . Определение. Линейной комбинацией векторов а1 , а2 ,…, аn называется выражение 1 а1 + 2 а2 +…+ n аn , здесь 1 , 2 ,..., n любые действительные числа. Если а  1 а1 + 2 а2 +…+ n аn , то говорят, что вектор а разложен по векторам а1 , а2 ,…, аn . Определение. Вектора, лежащие на параллельных прямых называются коллинеарными и обозначается через символ а // b . Два неколлинеарных вектора, лежащих в одной плоскости называются базисом. Теорема. Любой вектор а , лежащий в плоскости можно разложить по любым двум неколлинеарным векторам е1 и е2 , т. е. а  к е1  к2 е2 . Числа к1, к2 называются координатами вектора а в базисе е1 , е2 и записывается так а  (к1 , к2 ) . Определение. Если три вектора а1 , а2, а3 параллельны одной плоскости, то они называется компланарными. Если три вектора е1 , е2, е3 компланарны, то для любого вектора в этой плоскости верно разложение а  к е1  к2 е2  к3 е3 . Определение. Если три вектора е1 , е2, е3 взаимно перпендикулярны, то говорят, что они образуют в пространстве декартову систему координат. Декартову прямоугольную систему координат обозначают через базисные единичные вектора i, j,k . Тогда любой вектор в пространстве через базис i, j,k а  ОМ  xi  y j  z k . х,у, z называют координатами вектора а. Пусть даны вектора а  ( x1 , y1 , z1 ) , b  ( x2 , y2 , z2 ) . Для векторов выполняются действия: 1. 2. 3. a  b  ( x1  x2 , y1  y2 , z1  z2 ) (сложение) a  b  ( x1  x2 , y1  y2 , z1  z2 ) (разность) (умножение на число) Пример. Даны векторы а  (5,3,2) и b  (1,4,2) . Найти координаты вектора  a  (x1 , y1 , z1 ) 2a  3b  2(5,3,2)  3(1,4,2)  (10,6,4)  (3,12,6)  (10  3,6  12,4  6)  (13,18,10) Скалярным произведением векторов Определение. Скалярным произведением векторов a, b называют число ( a  b )= a  b  cos Если даны векторы а  ( x1 , y1 , z1 ) и b  ( x2 , y2 , z2 ) , то скалярное произведение вычисляют по формуле ( a  b )= х1 х2  у1 у2  z1 z2 Следствие. Если дан вектор а  ( x , y, z ) , то его длина вычисляется по формуле a  Следствие. Если даны векторы векторами вычисляется по формуле: x2  y2  z 2 и а  ( x1 , y1 , z1 ) b  ( x2 , y2 , z2 ) , x1 x2  y1 y2  z1 z2 cos   x12  y12  z12 x22  y22  z22 Следствие. Направляющие косинусы вектора по формулам cos   1. x1 x2  y 2  z 2 , cos   то угол между y x2  y 2  z 2 , cos   вычисляются а  ( x , y, z ) z x2  y 2  z 2 Векторным произведением векторов Определение. Векторным произведением векторов а  ( x1 , y1 , z1 ) и называется вектор с= a  b , удовлетворяющий условиям: с  a  b  sin  = Sпар. 2. сa и сb 3. с= a  b = ( 4. Площадь треугольника, построенного на векторах b  ( x2 , y2 , z2 ) y1 y2 z1 z2 , z1 x1 z2 x2 , x1 y1 x2 y2 b  ( x2 , y2 , z2 ) ) в координатной форме. вычисляется по формуле S= 1 2 y1 z1 y2 z 2 2  x1 z1 x2 z2 2  а  ( x1 , y1 , z1 ) x1 y1 и 2 x2 y2 Смешанное произведение трех векторов Смешанным произведение трех векторов a, b, c называется скалярное произведение векторного произведения векторов a  b и вектора с , и обозначают ( a  b  c )=( a  b ) c . 1. Если даны векторы а  ( x1 , y1 , z1 ) , b  ( x2 , y2 , z2 ) , с  ( x3 , y3 , z3 ) , то их смешанное произведение вычисляется по формуле x1 y1 z1 ( a  b  c )= x2 y2 z2 x3 y3 z3 2. Для того, чтобы три вектора a, b, c были компланарны необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение = 0, т. е. ( a  b  c )=0. 3. Смешанное произведение некомпланарных векторов a, b, c по модулю равен обхъме параллелепипеда, построенного на этих векторах, т. е. V= (a  b  c) . Условие коллинеарности и перпендикулярности векторов. 1. Если два вектора а  ( x1 , y1 , z1 ) и b  ( x2 , y2 , z2 ) коллинеарны, то их координаты пропорциональны, т. е. x1 y z  1  1 x2 y2 z 2 2. Если два вектора а  ( x1 , y1 , z1 ) және их скалярное произведение равно 0, т. е. b  ( x2 , y2 , z2 ) перпендикулярны, то x1 x2  y1 y2  z1 z2  0 &&& $$$002-002-100$Лекция №2 Вопросы или тесты для самоконтроля 1. Что такое коэффициент системы ? 2. Что такое решение системы ? 3. Формула Крамера? 4. Что такое Вектор? 5. Что такое базис? 6. Разложение вектора по базису? 7. Геометрический смысл векторного произведения? 8. Геометрический смысл смешанного произведения? &&& $$$002-003-000$3.2.3 Лекция №3. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве. Уравнение прямой на плоскосте и в пространстве. 1. Уравнение прямой на плоскосте 2. Уравнение кривых на плоскости 3. Уравнение плоскости в пространстве 4.Уравнение прямой в пространстве &&& $$$002-003-001$3.2.3.1 Уравнение прямой на плоскосте 1) Уравнение вида Ах+Ву+С=0 определяет общее уравнение прямой на плоскости. Здесь к=  А - угловой коэффициент прямой. В Уравнение прямой проходящей через точку М0(x0,y0) и параллельно 2) вектору а  (l , m), (направляющий вектор) имеет вид x  x0 y  y0 .  l m Уравнение прямой проходящей через точку М0(x0,y0) и перпендикулярно вектору n  ( A, B) (вектор нормаль) имеет вид A(x-x0)+B(y-y0)=0. 4) Уравнение прямой, проходящей через точку М0(x0,y0) имеюшей угловой коэффициент к имеет вид y-y0=k(x-x0). 5) Уравнение прямой, проходящей через две точки М1(x1,y1) и М2(x2,y2) имеет вид x  x1  y  y1 . 3) x2  x1 Уравнение прямой, пересекающей оси координат в точках А(a,0), B(0,b) 6) имеет вид 1. y2  y1 x y   1. a b Угол между прямыми на плоскости. Условие перпендикулярности и параллельности прямых. Расстояние от точки до прямой. Пусть даны уравнения прямых d1 и d2 А1х+В1у+С=0, А2х+В2у+С=0 Их угловые коэффициенты к1=  А1 , к2=  А2 В1 В2 Если d1  d2, то к1 = к2. Если d1  d2, то к1 =  1 . к2 Угол между прямыми tg   к2  к1 . 1  к1к2 Расстояние d= от точки M(x0,y0) до прямой выражается формулой Ах0  Ву0  С А2  В 2 &&& $$$002-003-002$3.2.3.2 Уравнение кривых на плоскости. Определение. Геометрическое место точки, расстояния которых от некоторой прямой d и до фиксированной точки (фокуса) F равны называется параболой. Каноническое уравнение прямой у2=2px или х2 =2ру Уравнение директрисы параболы х=  р 2 Координаты фокуса F( , о) или F(0, р р или у=  . 2 2 р ) 2 Определение. Геометрическое место точек, сумма расстояний каждой из которых до некоторых двух фиксированных точек (фокусы) постоянная и равны 2а называется эллипсом. Каноническое уравнение эллепса х2 у 2   1. а2 в2 Здесь 2а – большая ось, 2в – малая ось. Фокусы F1(-c,0), F2(c,0), где c2=a2-b2. с а Эксцентриситет эллипса e= . Если b=a, то уравнение эллипса примет вид х2+у2=a2 , т. е. получаем уравнение окружности. Определение. Геометрическое место точек, модуль разности расстояний каждой из которых до некоторых двух фиксированных точек (фокусы) постоянная и равны 2а называется гиперболу. Каноническое уравнение гиперболы х2 у 2   1. а2 в2 Здесь 2а – большая ось, 2в – малая ось. Фокусы F1(-c,0), F2(c,0), c2=a2+b2. Эксцентриситет гиперболы e= с а в а Асимптоты гиперболы у=  х &&& $$$002-003-003$3.2.3.3 Уравнение плоскости в пространстве. 1. Уравнение плоскости проходящей через точку М0(x0, y0, z0) и перпендикулярно вектору нормали n =(A,B,C) имеет вид A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 2. Уравнение Ax+By+Cz+D=0 называется общим уравнением плоскости, где n =(A,B,C) вектор нормаль плоскости. 3. Нормальное уравнение плоскости получается умножением общего уравнения плоскости на множитель    2 1 2 . Если D  0 , тогда 2 А  В С знак множителя выбирается противоположным множителю D. 4. Уравнение плоскости, проходящей через три точки М1(x1 ,y1 ,z1), М2(x2 ,y2 ,z2), М3(x3 ,y3 ,z3) выражается через определитель x  x1 y  y1 z  z1 x2  x1 y2  y1 z2  z1  0 x3  x1 y3  y1 z3  z1 &&& $$$002-003-004$3.2.3.4 Уравнение прямой в пространстве. 1. Уравнение прямой, проходящей через точку М0(x0, y0, z0) и параллельно вектору а  (l , m, n) x  x0 y  y0 z  z0   l m n 2. Параметрическое уравнение уравнения следующим образом прямой получается  x  x0  l t  x  x0  lt  x  x0 y  y0 z  z0   y  y0 =t ,     t или  y  y0  mt l m n  z  z  nt  m 0   z  z0  t  n  из канонического 3. Уравнение прямой, проходящей через две точки М1(x1 ,y1 ,z1), М2(x2 ,y2 ,z2) x  x1 y  y1 z  z1   x2  x1 y2  y1 z2  z1 A x  B y  C z  D  0 1 1 1 Уравнение прямой, как пересечение двух плоскостей  1 A x  B y  C z  D 2 2 2  0  2 Причем его направляющий вектор выражается через формулу  B C C A A1 B1   a 1 1 , 1 1 ,  B2 C2 C2 A2 A B  2 2   4. Угол между двумя прямыми d1 и d2, заданных уравнениями x  x2 y  y2 z  z 2 и определяется формулой   x  x1 y  y1 z  z1   l1 m1 n1 l2 m2 cos  5. n2 l1l2  m1m2  n1n2 l12  m12  n12  l22  m22  n22 Условие параллельности и перпендикулярности прямых. Если d1  d2, то l1  m1  n1 l2 m2 n2 Если d1  d2, то l1 l2+m1 m2+n1 n2=0 6. Уравнение Ax+By+Cz+D=0 называется общим уравнением плоскости, где n =(A,B,C) вектор нормаль плоскости. $$$002-003-100$ Лекция №3 Вопросы или тесты для самоконтроля 1. Как определяется уравнение прямой на плоскосте? 2. Напиши уравнение прямой, проходящей через две точки М1(x1,y1) и М2(x2,y2 3. Напиши общее уравнение прямой в плоскосте 4. Напиши уравнение прямой проходящей через точку М0(x0,y0) и параллельно вектору а  (l , m), 5. Уравнение прямой проходящей через точку М0(x0,y0) и перпендикулярно вектору n  ( A, B) (вектор нормаль). 6. Уравнение прямой, проходящей через точку М0(x0,y0) имеюшей угловой коэффициент к. 7. Напиши общее уравнение прямой в пространстве 8. Напиши уравнение плоскости проходящей через точку М0(x0, y0, z0) и перпендикулярно вектору нормали n =(A,B,C) &&& $$$002-004-000$3.2. 4 Лекция №4. Введение в математический анализ. Предел функции. Непрерывность функции. Действительные числа. Функция. Элементарные функции 1. Действительные числа 2. Основные элементарные функции 3. Ограниченные и неограниченные последователньости 4. Функция и ее предел 5. Непрерывные функци &&& $$$002-004-001$3.2.4.1 Действительные числа Числа 1,2,3… называются натуральными числами и обозначаются через N. Определение. Если каждому значению аргумента х поставить в соответствие единственную пару значений (x,y) по правилу Y=f(x), то ее называют функцией. Прием множество значений х называют областью определения, а множество значений у называют областью знаяений. Х называют аргументом. Определение. Если для любого значения х выполняется равенство f(-x)= f(x), то такую функцию называют четной функцией. Если выполняется равенство f(-x)= - f(x), то такую функцию называют нечетной. Например, f(x)= х 2  2 . х  R (для любого х) выполняется f(-x)= (х) 2  2 = х 2  2 = f(x) , поэтому функция F будет четной. х3 . х  R (для любого х) выпоняется х2  1 3 х3 f(-x)= ( х2) =  2 = -f(x, поэтому F функция будет нечетной. х 1 ( х)  1 f(x)= &&& $$$002-004-002$3.2.4.2 Основные элементарные функции Рассимотрим различные функции. 1. Если в выражении функции f (x) имеются действия сложения, умножения, деления, возведения в степень, извлечение корня относительно х, то такую функцию называют алгебраической. 3 Например, у= 2 х  3 32 х2 4 алгебраическая функция. 1  3х  х Алгебраическая функция, не имеющей действия извлечения корня называется рациональной функцией. Например, у= 1. 2. 3. 4. 5. 6. 2 х3  4 х  1 рациональная функция. 4 х 4  5х3  2 х  2 Постоянная функция. Эту функцию обозначают формулой f(x)=C. Область определения этой функция вся числовая ось, а область значений с. График. Степенная функция. Это функция вида f(x)=хn. Графики: Показательная функция. Это функция вида у=ax. Область определения вся числовая ось. А областью значений положительные числа. График: Логарифмическая функция. Называют функцию вида y=logax по основание а (a  0, а  1 ). Область определения все положительные числа, а область значений вся числовая ось У. График Тригонометрические функции: Y=cosx, y=sinx, y=tgx,y=ctgx. Графики Обратные тригонометрические функции: y=arccosx, y=arcsinx, y=arctgx, y=arcctgx. Графики Определение. Модулем числа х называют положительное число  х, егер х  0 болса  x  0, егер х  0 болса  х, егер х  0 болса  1-Определение. Последовательностью называется функция f определенная на множестве натуральных чисел. Значение функции, соответствующее положительному целому значению xn обозначается через f (n)  xn . 2-Определение. Пусть дана последовательность хn  . Если для любого положительного  существует некоторое число k  0 что для любых n  k выполняется неравенство xn  a   , то то говорят, что число а называется пределом последовптельности или хn  и обозначается: l im xn  a n  xn  an    В этом случае говорят, что последовательность хn  схлдится к числу а. Свойства последовательности. 1-Теорема. Для любой последовательность существует единственный предел, т. е. если xn  a1 , xn  a2 n    , то a1  a2 . 2-Теорема. Если xn  a n    , то для любого положительного числа m xn  m  a n    . 3-Теорема. Если xn  an    , то xn  a n    . 4-Теорема. Пусть даны последовательности xn  и yn . Если начиная с некоторого номера n выполняется неравенство xn  yn , то это неравенство выполняется и для их пределов nlim xn  l im yn  n  5-Теорема. Если для последовательностей xn , yn , zn  выполняются следующие условия; 1) для любых n выполняются xn  yn  zn ; 2) lim zn  a  R ; Тогда и для последовательности yn  существует предел и он n  равен а. &&& $$$002-004-003$3.2.4.3 Ограниченные и неограниченные последователньости Определение. Если для некоторого действительного числа С для любых номеров последовательности xn  выполняется неравенство xn  C то говорят, что последоваптельность ограничена сверху. Определение. Если для некоторого действительного числа С для любых номеров последовательности xn  выполняется xn  C то говорят, что последоваптельность ограничена снизу. Определение. Последовательность ограниченную сверху и снизу называеют огранияенной последовательность. Определение. Пусть дана последовательность xn  . Если для любого n (n=1,2,...) выполняется нераввенство xn  xn 1 , то она называется неубывающей, а если xn  xn 1 , то возрастающей. Определение. Пусть дана последовательность xn  . Если для любого n (n=1,2,...) выполняется нераввенство xn  xn 1 , то она называется невозрастающей, а если xn  xn 1 , то убывающей. Возрастающую и убывающую последовательности называют монотонными.. n 1 Число е. Для любого n выполняется xn  1   .  n Последовательность xn  ограничена сверху. Поэтому по теореме о пределе для монотонной последовательности у последовательности xn  существует предел. Его обозначают через е и называют натуральным числом. n 1 Итак, l im  1    e n   n &&& $$$002-004-004$3.2.4.4 Функция и ее предел. Пусть даны множества Е и Ғ. Правило по которому каждому значению множества Е сопоставляют одно единственное значение множества Ғ называют функцияей. Функцию обозначают символами f E  F ; x  f(x); f(x); y  f(x) . Множество Е называют облатсью опрделения функцияны, а Ғ – множеством значений функции. Предел функции при x   . Определение. Если для любого положительного числа  существет некоторое число N, так что для всех x>N выполняется неравенство f ( x)  A   , то говорят, что у функции f(x) существует предел при x   и обозначают через символ lim f ( x)  A . x   Определение. Если для любого положительного числа  существет некоторое числоМ, так что для всех x<M выполняется неравенство f ( x)  В   , говорят, что у функции f(x) существует предел при x   и обозначают через символ lim f ( x)  В . x   определение предела функции на языке "   " . Пусть на множестве Х дана функция f и действительное число x0 . Определение. Если для любого положительного числа  существует положительное число  ( ) так что для любого х в области определения выполняется неравенство f ( x)  b   как только выполняется неравенство 0  x  x0   ( ) , то говорят что функция f(x) при х стремящемся к x0 стремится к функциясыны к в и обозначают это символом lim f ( x)  b, f(x)  b(x  x 0 ) . x  x0 Определение. Пусть на полуинтервале a, x0  (или x0 , b  ) дана функция f(x). Если для некоторого известного числа В и дял любого положительного числа  для всех х из области определения, удовлетворяющих неравенству x0    x  x0 (или x0  x  x0  b ) существует такое положительное число  ( ) , так что выполняется неравенство f ( x)  B   , то говорят что у функции f(x) существует левосторонний предел (правосторонний предел )В при х стремящемся к x0 слева (справа) и обозначают его символом lim f ( x)  В x  х  x0 ( lim f ( x)  В ). x х x 0 Теорема. В точке х0 для функции f(x) существует предел тогда и только тогда, если в этой точке существуют левосторонний и правосторонний предлы и они равны. В этом случае их общее значение х0 является двусторонним пределом для функции f(x). Определение. Если для любого сколь угодно малого положительного числа  существует номер N, такой , что для любого n  N выполняется неравенство аn  a0   , то число а называют пределом последовательности аn при n стремящемся к бесконечности. Определение. Если для последовательности xn  стремящейся к числу а, последовательность значений  f ( xn ) стремиться к А , то число А называют пределом функции  f ( xn ) при х стремящемся к пределу а и записывают это в виде А= lim f ( x) xa Определение. Если при n стремящемся к бесконечности последовательность an  стремиться к 0, то такую величину называют бесконечно малой величиной. ( lim an  0 ) n Определение. Если при n стремящемся к бесконечности последовательность an  стремиться к  , то такую величину называют бесконечно большой величиной ( lim an   ) n Свойства. Если последовательность an  будет бесконечно большой, то   последовательность  1  будет бесконечно малой величиной.  an  1. Свойства пределов функции,бесконечно малая функция ,теоремы о пределах, непрерывные функции. Если существуют пределы функций lim f ( x) и lim g ( x) , то выполняется xa xa равенство lim( f ( x) g ( x)  lim f ( x)  lim g ( x) . xa 2. xa xa Если существуют пределы функций lim f ( x) и lim g ( x) , то выполняется xa равенство lim( f ( x) g ( x)  lim f ( x)  lim g ( x) . xa xa xa xa 3. Если существуют пределы функций lim f ( x) и lim g ( x) , то выполняется xa xa равенство lim f ( x)  lim f ( x) g ( x) 4. lim g ( x) Если существуют пределы функций lim f ( x) и lim g ( x) , то выполняется xa xa равенство для любого с lim cf ( x)  c lim f ( x) lim f ( x)  lim g ( x) . xa xa xa Бесконечно малая функция.. Определение. Если при х   предел функции равен 0 то функция y=f(x) называется бесконечно малой функцией. Определение. Если для любого числа L существует такое число N что для всех x>N выполняется неравенство f ( х)  L , то функция y=f(x) при х   называется бесконечно большой функцией. Теорема. Если при х   функция f(x)является бесконечно большой функцией, то функция 1 при х   является бесконечно малой. f ( x) Теорема. Если при х   функция f(x)является бесконечно малой функцией, то функция 1 является бесконечно большой функцией при f ( x) х . Теоремы о пределах. Теорема 1. Если при х   существует предел функции f(x) и он равен А, то ее можно записать в виде суммы этого числа А и бесконечно малой функции при х   . Теорема 2. Если f(x) функцияю можно записать в виде суммы числа А и бесконечно малой функции при х   , то число А является пределом функции f(x) при х   . Теорема 3. Если lim f ( x)  A и xlim  ( x)  B , то существуют пределы   x   функций и lim  f ( x)   ( x)  lim f ( x)  lim  ( x) . x   x   x   f ( x)   ( x) Теорема 4. Если lim f ( x)  B x  функции f ( x)   ( x) при х   f ( x)   ( x) и при х   , и lim  ( x)  C , то существует предел x  , и lim  f ( x)   ( x)  lim f ( x)  lim  ( x) . x   x  x  Следствие. Постоянное число можно выносить за знак предела, т. е. lim k   ( x)  k  lim  ( x) . Здесь к-постоянное число. x   x  Теорема 5. Если lim f ( x)  B и lim  ( x)  C и x  x  C0 , то существует предел f ( x)  f ( x)  lim x  фунгкции f ( x) при х   , и lim  .   x    ( x)  ( x)  ( x)   lim x  Теорема 6. Пусть для достаточно больших значений х существуют функции  x , f x  и g x  , удовлетворяющих неравенству  х   f x   g x  . Если при х   существуют одинаковые пределы функций  x  и g x  , то для функции f x  также существует предел и будет равен пределу этих функций. Следствие. lim x 0 Sinx 1 x &&& $$$002-004-005$3.2.4.5 Непрерывные функции. Определение. Функция y=f(x) называется непрерывной функцией в точке х0 если: 1) функция определна в окрестности этой точке х0 ; 2) существует предел функции при х  х0 ; 3) предел этой функции при х  х0 должен быть равен значению функции в этой точке, т. е. lim f ( x)  f ( x0 ) . x  х0 Если в точке х0 функция будет непрерывной, то эта точка х0 называется точкой непрерывности. Определение. Если точка х0 принадледит области определения функции или ее границе и не является точкой непрерывности, то эта точка называется точкой разрыва. Тогда в этой точке х  х0 функция называется разрывной. Точки разрыва делят на два типа: Если существуют односторонние пределы функции х0 f(x) функция терпит lim f ( x) и lim f ( x) и они конечны, то в точке x  x0  0 xx 0 0 разрыв первого рода. В остальных случаях разрыв второго рода. Теорема. Если в точке х0 функции f и g будут непрерывны, то функции fc (с-постоянное),f+g, fg, , и если g x   0 , тофункция f в точке х0 также g будут непрерывны. &&& $$$002-004-100$ Лекция №4 Вопросы или тесты для самоконтроля 1. Действительные числа. Функция. Элементарные функции. 2. Ограниченные и неограниченные последователньости 3. Функция и ее предел. 4. Свойства пределов функции, бесконечно малая функция, теоремы о пределах, непрерывные функции. &&& $$$002-005-000$3.2.5. лекция №5 Понятие производной и дфференциала функции. Производная сложной функции. Основные теоремы. Производные высших порядков и производная функции заданной параметрически. 1. Производная функции. 2. Правила дифференцирования 3. Производная сложной функции 4. Производная высшего порядка. 5. Дифференциал. &&& $$$002-005-001$3.2.5.1 Производная функции. Определение. Пусть функция f определена в интервале I. Если для x0  I существует предел lim f ( x)  f ( x0 ) , то его называют производной функции x x 0 x  x0 f(x) в точке и обозначают х0 y f ( x0  x)  f ( x0 ) . f x   lim  lim x  0 x x  0 x символом f / x  . Итак, Геометрический смысл производной. Касательной к графику функции у=f(x) в точке с абциссой х0 называют прямую проходящую через точку x0 , f x0  и имеющей угловой коэффициент равным производной f / x0  . Т. е. уравнение касательной y  f ( x0 )  f x0 x  x0  Операцию нахождения производной называт дифференцированием. Функция называется дифференцируемой в данной точке, если существует производная в этой точке, и дифференцируемой в интервале, если она дифференцируема в каждой токе этого интервала. Теорема. Если функция дифференцируема в точке, то в этой точке она будет непрерывна. &&& $$$002-005-002$3.2.5.2 Правила дифференцирования. 1-Теорема. Если функции u  u x , v  vx  будут дифференцируемы в точке х0 , то и функция u x   vx  будут дифференцируема в этой точке и ux   vx   ux   vx  . 2-Теорема. Если функции u  u x , v  vx  будут дифференцируемы в точке х0 , то и функция u x   vx  будет дифференцируемав этой точке и ux   vx   ux   vx   ux vx  . 1-Следствие. Постоянное число с можно выносить за зак произфодной. Cu   cu  3-Теорема. Если функции u  u x , v  vx  будут дифференцируемы в точке х0 , то и vx0   0 и функция   u  u  v  uv . v  v2   u x  будет дифференцируема в этой точке и v x  &&& $$$002-005-003$3.2.5.3 Производная сложной функции Теорема. Пусть функция У будет сложной функции от х, т. е. y=f(u), u=g(x) или y(x)=f[g(x)]. Если g(x) и f(x) соответственно в точках х и u=g(x) будут дифференцированны, то и сложная функция от в точке х будет дифференцированной и выполняется формула yx   f u   g x  . Таблица основных производных 1. С   0 2. х  1 3. u  v  w  u  v  w  4. u  v  u  v  uv   u  u  v  uv 5.    v2 v 6. Cu   Cu  v 1  7.     2 v v  8. u     u 1u 9. 10. a u   a u ln u  u 11. eu   eu  u 12. log a u   13. ln u    u 14. Sinu   Cosu  u 15. Cosu    Sinu  u 16. tgu   17. Ctgu    18. arcsin u   1 u 1  u Cos 2u 19. arccos u    1 2  u 1 u 20. 1  u Sin 2u arctgu   1 2  u 1 u  u   2uu 21. 1  u u ln a 1  u 1  u2 arcctgu    1 2  u 1 u &&& $$$002-005-004$3.2.5.4 Производные высших порядков и производная функции заданной параметрически. Производная высшего порядка. Пусть функция Y=f(x) будет дифференцируемой, а f / x  ее производная иявлятся функцияей от х. Если существует производная этой функции, то эта производная называется производной второго порядка. И обозначается через  f  x    f x  . Аналогично определяется производные третьего и т. д. порядка и они обозначаются: у, у,..., у n  ,... или d2y d3y d n  y , ,..., ,... dx 2 dx 3 dx n  &&& $$$002-005-005$3.2.5.5 Дифференциал. Определение. Дифференциалом функции Y=f(x) называется произведение производной этой функции на приращение независимой переменной. Если f(x)=x, то df x   x  x  x здесь df(x)=dx. Тогда dx  x . Онда dy  ydx или df x   f x dx Логарифмичесское дифференцирование Логарифмическая производная функции f ( x)  0 есть производная от логарифма данной функции ln f ( x) : ln f ( x)  f ( x) f x  Вычисление логарифмической производной называется логарифмическим дифференцированием. Логарифмическое дифференцирование применяется применяется при вычислении производной стененно-показательной функции, т.е. функции вида y  u ( x) v( x) А также при нахождении производной произведения нескольких функций или производной дроби. Производная неявной функции Если функция y  y (x) задана уравнением, не разрешенным относительно y, то для нахождения производной y  надо продифференцировать по х обе части этого уравнения, учитывая, что у есть функция от х, и затем разрешить полученное уравнение относительно y  . Чтобы найти y  , надо уравнение продифференцировать дважды по х и по у. Пример: найти производную от функции у заданной неявно x2  y2  2y  0 Решение Дифференцируя по х обе части и данного равенства и считая при этом у функцией от х, находим: 2 x  2 yy   2 y   0 или 2 x  2 y ( y  1)  0 Это есть 2 x  2 y ( y  1) Выразим отсюда y  y  x y 1 Производная функции заданной параметрически. x   t    Пусть  : тогда yx   t или yx  yt  y   t  t xt Пример -1 : Дана функция  x  3t  2  3 y  t  t Определить первую и вторую производную функций от у по х Решение: y t 3t 2  1  xt 3  y  t 6t y xx  x   2t xt 3 y x  &&& $$$002-005-100$Лекция №5 Вопросы или тесты для самоконтроля 1.Производные высших порядков 2.Логарифмичесское дифференцирование 3.Производная неявной функции 4.Производная функции заданной параметрически &&& $$$002-006-000$3.2.6 Лекция №6 Исследование функции с помощю производных. Приложение производной. Правило Лопиталя и исследование функции и построение графика при помощи производной. 1. Правило Лопиталя 2. Исследование функции и построение графика при помощи производной 3. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции. 4. Асимптоты графика функции &&& $$$002-006-001$3.2.6.1 Правило Лопиталя. Правило Лопиталя – это вычисление пределов при помощт производнойережелері. 1-Теорема. Если существуют пределы функций f и g в точке х0 нүктесінде туындысы бар болып, f x0   g x0   0 , g x0   0 шарттары  орындалса, онда lim f x   lim f ( x0 ) x x x x 0 g x  0 g ( x0 ) 1. Если lim f x   0, lim g x   0 , то неопределенность вида xa x a предела lim f x   g x  можно привести к неопределенности xa образом lim f x  , lim g x  . xa x a 1 g x  для 0  следующим , 0  1 f x  2. Если lim f x   lim g x    , то неопределенность вида x a x a предела 0 lim f x   gx  xa можно привести к неопределенности вида  следующим образом lim xa  для 0 0 1 1  f x  g x  . 1 f ( x)  g  x  Неопределенности вида 1 ,  0 ,00 для функций  f x g  x   e g  x ln f  x  f x   0 приводятся к неопределенности вида 0   методом логарифмирования. &&& $$$002-006-002$3.2.6.2 Исследование функции и построение графика при помощи производной. 1-Определение. Функция y=f(x), определенная на сегменте [a,b] (или на интервале (а,в)) называется возрастающей на том сегменте, если для любых х1 и х2 из этого сегмента при выполнении неравенства x2  x 1 выполняется неравенство f x2   f x1  . x1 , x2  a, b 2-Определение. Если для точек выполняется x2  x1  f x2   f x1  , то функция y=f(x) называется убывающей. 1-Теорема. (признак монотонности функции). Пусть функция f(x) будет дифференцируемой на интервале (а,в). Если на интервале (а,в) f x   0 , то на этом интервале функия монотонно возрастает, а если f x   0 , то функция монотонно убывает. Экстремумы функции. 1-Определение. Пусть функция f определена в некоторой окрстности точки х0 . Тогда точка х0 называется точкой максимума ( минимума) для функции f, если для любого х существует число   0 , что при выполнении неравенства х   выпоняется неравенство f x0  x   f x0  ( f x0  x   f x0  ). Точки максимума и минимума называются точками экстремума. Теорема. (Необходимое условие экстремума). Если точка х0 является точкой экстремума для функции f , определенной в окрестности этой точки. Тогда в этой точке производная либо не существует либо f x0   0 . Теорема.(Достаточное условие экстремума). Если функция f(x) является непрерывной и диффернцируемой в  окрестности точки х   и производная функции переходя через точку слева направо меняет свой знак с «+» на «-» (с «-» на «-»), то в этой точке функция достигает максимума ( минимума). &&& $$$002-006-003$3.2.6.3 Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции. Рассмотрим непрерывную на сегменте [a,b] функцию y=f(x). 1. На интервале а, в находим все критические точки и значение функции в этих точках . 1. Находим значение функции на концах сегмента х=а и х=в. 3. Из всех значений выбираем натбольшее и наименьшее. Интервалы выпулости и точки перегиба функции. 1-Определение. Если график дифференцируемой функции на интервале а, в лежит ниже любой касательной, то на этом интервале функция будет выпуклой. 2-Определение. Если график дифференцируемой функции на интервале а, в лежит выше любой касательной, то на этом интервале функция будет вогнутой. Теорема. (Достаточное условие вогнутости функции). Пусть для функции y=f(x) для всех точек из интервала а, в существует производная второго порядка f x  . Если для всех точек этого интервала f x   0 , то на этом интервале график функции будет выпуклым, а если f x   0 , то вогнутым. Определение. Дл непрерывной функции точка, разделяющая интервал выпуклости от вогнутости называется точкой перегиба. Теорема. (Достаточное условие существование точки перегиба). Если при переходе через точку х0 вторая производная непрерывной функции f x  меняет свой знак, то в этой точке будет точка перегиба. Теорема. (Необходимое условие существование точки перегиба). Пусть на интервале а, в существует вторая производная функции y=f(x). Тогда если точка с абциссой x0  a, b является точкой перегиба функции, тогда f  x0   0 . &&& $$$002-006-004$3.2.6.4 Асимптоты графика функции. Определение. Если при бесконечном движении точки по некторой кривой функции y=f(x) расстояние от этой точки до некоторой прямой стремится к нулю то эта прямая называется асимптотой для данной кривой. Если при x  x0  0 значение функции y=f(x) стремится к бесконечности, т. е. lim f x    , то x  x0 является вертикальной x  x0  0 асимптотой. Аналогично если lim f x    , то x  x0 вертикальная асимптота. x x 0 0 Если при х   значение функции стремится к числу в, т. е. lim f x   в , x  то у=в называется горизонтальной асимптотой. Если при х   для функции y=f(x) имеют место пределы k  lim x  b  lim f  x   kx , тогда прямая y=kx+b является наклонной асимптотой. f x  x x  Полная схема исследования функции. 1. Нахождение области определения функции. Нахождение точек разрыва функции. 2. Нахождение асимптот функции. 3. Нахождение точек пересечения графика функции с осями координат. 4. Исследование функции на интервалы монотонности и экстремумы. 5. Исследование функции на интервалы вогнутости и выпуклости и точки перегиба. 6. Построение графика функции. &&& $$$002-006-100$Лекция №6 Вопросы или тесты для самоконтроля 1.Правило Лопиталя. 2. Как определяется экстремум функции ? 3.Исследование функции и построение графика при помощи производной. 4. Что такое наибольшее и наименшее значение функции? &&& $$$002-007-000$3.2.7 Лекция №7 Неопределенный интеграл. Методы интегрирования. 1.Понятие неопределенного интеграла 2.Таблица интегралов 3. Интегрирование методом замены переменной 4. Интегрирование по частям. 5. Интегрирование тригонометрических функций. 6. Интегрирование простейших иррациональных дробей &&& $$$002-007-001$3.2.7.1 .Понятие неопределенного интеграла 1-Определение. Если на некотором отрезке [a,b] выполняется равенство  F x   f x  , тогда функция F(x) для функции f(x) называется первообразной. Пример: Для функции f x   x 2 первообразной будет функция F x   т. к.   x3  F  x      x 2  f  x  .  3 x3 , 3 Теорема-1. Если для функции f(x) на отрезке [a,b] существует две первообразные F1 x  и F2 x  , то их разница будет постоянной. 2-Определение. Если функция F x  является первообразной для функции f(x), тогда функция F x   C для функции f(x) называется неопределенным интегралом и обозначается символом  f x dx . Итак,  f x dx  F x   C Здесь f(x) подынтегральная функция, f(x)dx подынтегральной выражение, а символ  - знак неопределенного интеграла. Теорема-2. Для непрерывной на некотором интервале функции существует первообразная. Нахождение первообразной для функции называется интегрироавнием. 1. Производная неопределенного инетграла равна F x   f x  , подыинтегральной функции, т. е. если то  f x dx  F x   C   F x   C  f x  . 2. Дифференциал от неопределенного инетграла равен подыинтегральному выражению., т. е. d  f x   f x dx 3. Интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и постоянного числа.  dF x   F x   C &&& $$$002-007-002$3.2.7.2 Таблица интегралов. x n 1 1.  x dx   C n  1 n 1 3.  Sinxdx  Cosx  C n 5. 7. dx  Cos x  tgx  C  tgxdx   ln Cosx  C 2 9.  e x dx  e x  C 11. 2  arctgx  C dx 1 ax  ln C 2 x 2a a  x 13.  dx 2  arcsin x  C 1 x 14.  2dx 2  ln x  x 2  a 2  C x a x 2 a2 x a 2  x 2 dx  a  x 2  arcsin  C 2 2 a 12.  dx 1 x a 2 dx  x  ln x  C 4.  Cosxdx  Sinx  C dx 6.   Ctgx  C Sin x 8.  Ctgxdx  ln Sinx  C 2. 2 ax C ln a dx 1 x 11*.  2 2  arctg  C a x a a dx 1 xa 12*.  2 2  ln C x a 2a x  a 13*.  2dx 2  arcsin x  C a a x 10.  a x dx  15. 16.  x 2  Adx  x 2 A x  A  ln x  x 2  A  C 2 2 Свойства неопределенного интеграла. Теорема-1.   f1 x   f 2 x dx   f1 x dx   f 2 x dx . Теорема-2.  af x dx  a  f x dx болады. 1. Табличное интегрирование. x3  4 x 2  2 x  6 3 1 3 1 dx    x 2  2 x  1  dx   x 2 dx   2 xdx   dx   dx   2x x 2 x 2 1) 3 2 3 1 2 dx 1 x x x x dx  2 xdx   dx  3    2   x  3 ln x  C   x 2  x  3 ln x  C  2 x 2 3 2 6 2 2  Sin x  Cos x  1 1 1 dx   2)  dx    dx   dx  tgx  Ctgx  C 2 2 2 2 2 Cos xSin x Cos x Sin 2 x  Cos xSin x  3) x2 1  x2  1 1  dx  dx   1  x2  1  x2 dx  1  1  x2 dx   dx   1  x2  x  arctgx  C &&& $$$002-007-003$3.2.7.3 Интегрирование методом замены переменной Сделаем замену переменной х через выражение x   z  . Откуда dx   z dz . Тогда верноследующее равенство  f x dx   f  z  z dz ln x  t ln x 4  C dx t4 Пример:  ln x   dx   t 3dt   C  x 4 4  dt x 3 &&& $$$002-007-004$3.2.7.4 Интегрирование по частям. Пусть даны дифференциоруемые функции u и v. Тогда. d uv   udv  vdu Проинтегрироуем обе части  d uv    udv   vdu . Но т.к.  d uv   uv  C , то  udv  uv   vdu . Эта формула называется интегрирование по частям. Пример. u  x du  dx  xSinxdx  dv  Sinxdx v  -Cosx   xCosx   Cosxdx   xCosx  Sinx  C І. Интегралы вида  Px ekxdx,  Px Sinkxdx, по частям, если обозначить через u  Px  . ІІ. Интегралы  Pxln xdx,  Px Coskxdx интегрируют  Px arcsin xdx,  Px arccos xdx,  Pxarctgxdx,  Px arcctgxdx вида интегрируют по частям, если за функцию u взять функцию данную в произведении с многочленом P(x) ax ІІІ. Интегралы вида  eaxCosbxdx,  e Sinbxdx, также интегрируют по частям, причесм два раза, что приводит к уравнению относительно этого интеграла. Простейшие рациональные дроби A ; xa A ІІ. ; x  a n ІІІ. 2 Ax  B (дискриминант знаменателя отрицателен) x  px  q Ax  B І. ІV. x 2  px  q  n (дискриминант знаменателя отрицателен). Разложение рациональной дроби на простейшие Пусть дана рациональная дробь F x  . f x  Теорема 1. Пусть х=а является корнем знаменателя кратности к, т. е. яғни f x   x  a k fi x , fi a   0 . Тогда данную правильную рациональную F x  f x  F x  A Fi x    k f x  x  a  x  a k 1 f i x  можно разложить на сумму. (*). Здесь А  0 постоянное число, а Fi x  многочлен степень которого менбше степни знамнателя x  a k 1 fi x  . Следствие. Равенство (*) можно далее аналогично использовать для выражения Fi  x  . Поэтому если х=а является корнем знаменателя x  a k 1 fi x  кратности к, эту дробь F x  A A1 A    ...  k 1 k k 1 f x  x  a  xa x  a  можно F x  .  k разложить следующим образом. Fk  x  Здесь - несократимая f1  x  f1 x  правильная дробь. Теперь рассмотрим случай конда корни знаменателя комплексные числа. , т. е. в знаменателе выражения вида x 2  px  q и x 2  px  q  имеют дискриминант D  с. Теорема 2. Пусть f x   x 2  px  q  1 x  , здесь многочлен 1 x  не делится на x 2  px  q -ға, тогда правильная рациональная дробь F x  разложится следующим образом F x  Mx  N  2 f x  x  px  q    x  Фi  x  2 многочлена Ф1 x  меньше степени многочлена  px  q x 2  f x  1  x   1  px  q  . Здесь степень 1  x  .  1 Необходимо вычислить интеграл от рациональной дроби Qx  , т. е. f x  Qx   f x dx . Если эта дробь неправильная, тогда разделив числитель на знаменатель Qx   выделим F x  целую часть F x  М(х) F x  и получим  f x dx   M x   f x   dx   M x dx   f x  dx болады. Здесь f x  -правильная Разложение рациональной дроби в зависимости от корней знаменателя R( x ) = P( x ) , где P( x ), Q( x ) - многочлены. Q( x ) Если рациональная дробь неправильная, то с помощью деления P( x ) на Q( x ) можно выделить из нее целую часть и правильную рациональную дробь. Например; x 4  4x 3  2x 2  1 x  x 1 2  x 2  3x  2  x 1 x - x 1 2 Далее рассматриваем интегрирование только правильных рациональных дробей (т.е. дробей у которых степень многочлена в числителе ниже степени многочлена в знаменателе). Теорема. Каждая правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы конечного числа следующих четырех типов: A A 10. 20. (k  2,3,4,...); ; xa ( x  a) k Ax + B Ax + B 30. 2 40. 2 ; ( k = 2 ,3,4 ,...). ; ( x + px + q ) k x + px + q где А, В – числовые коэффициенты; трехчлен x 2 + px + q не имеет вещественных корней (т.е. P2 D  q  0 ). 4 &&& $$$002-007-005$3.2.7.5 Интегрирование тригонометрических функций. Рассмотрим рациональную дробь относительно тригонометрических функций  RSinx, Cosx dx . Здесь применив универсальную подстановку tg x 2t 1- t2 2dt  t , Sinx  , Cosx  , dx  2 2 2 1 t 1 t 1  t2 вышеназванной рациональной дроби. 1) Интеграл вида  RSinxСosxdx Sinx  t , Cosxdx  dt данный интеграл сведется к вычисляют заменой переменной , при помощи которой получим  Rt dt . 2) Аналогично интеграл вида  RCosxSinxdx при помощи замены Sinxdx  dt , Cosx  t сводят к интегрированию рациональной функции.. 3) Если дан интеграл вида RSinx, Cosx  , причем степени Sinx и Cosx четные, то применяют подстановку tgx=t. 4) Если подынтегральная функция зависит только от tgx, то приняя подстановку tgx  t , x  arctgt, dx   Rtgx dx  Rt dt 1  t dt 1 t2 сводят интеграл к виду dt 2 5) Если подынтегральная функция вида Sin m  Cos n x . Тогда: а) Если хотя бы одна из степеней интеграла  Sin m x  Cos n xdx m или n нечетная, то записав n=2p+1 преобразуем интеграл к виду .  Sin x  Cos  t 1  t  dt 2 p 1 m   xdx   Sinm x  Cos2 p xCosxdx   Sinm x 1  Sin2 x Cosxdx  Sinx  t , Cosxdx  dt  p 2 p m б) Пусть степени интеграла  Sin m  Cos n xdx , m и n оба четные, т. е. m=2p, n=2p. Тогда применяя тригонометрические формулы, получим  1  Cos2 x  2p 2p  Sin x  Cos xdx    2  p  1  Cos2 x    dx . Степень подынтегрального 2   p выражения понизится и получим интегралы с четными и нечеными степенями. Понижая степень дальше получаем интегралы вида  Сoskxdx . Интегрирование и иррациональных функций &&& $$$002-007-006$3.2.7.6 Интегрирование простейших иррациональных дробей 1. Интегралы вида  Rx, x  , x  ,..., x  dx где R- рациональных функия,   m1 , n1  m m2 ,……,   k n2 nk - дробные рациональные числа, сводятся к интегралам от рациональной функции с помощью подстановки x  t N , где N – общий знаменатель дробей  ,  .......... 2. Интегралы более общего вида    ax  b    ax  b    ax  b     R x,  cx  d  ,  cx  d  ,........,  cx  d  dx   ax  b Рационализируются подстановкой  tN , cx  d  ,  .......... 3. N-общий знаменатель дробей   Рассмотрим интеграл вида  R x, ax 2  bx  c dx 1. пусть a  0, c  b2  0 . Обозначим через 4a ax 2  bx  c  m2t 2  n 2 . Т. е. 2. Пусть a  0, c  b2  0. 4a ax 2  bx  c  m2t 2  n 2 . Т. е. 3. Пусть a  0, c   Rx,  Rx, b2  0. 4a ax 2  bx  c  n 2  m2t 2 . Т. е.  Rx,  a  m2 , c   ax 2  bx  c dx   R t , m 2t 2  n 2 Обозначим  a  m2 , c    b2  n 2 . 4a ax 2  bx  c dx   R t , m 2t 2  n 2 Обозначим  Тогда  a  m 2 , c   b2  n 2 . Тогда 4a ax 2  bx  c dx   R t , n 2  m 2t 2 b2  n2 . 4a Тогда  Пример  x( x 2 3 x  1) dx Решение. X входит подинтегральную функцию с дробным показателем ½ и 1/3. Поэтому применяем подстановку x  t 6 , из этого следует что dx  6t 5 dt , x  t3 , 3 x  t2 И данный интеграл примет вид    t3  2 t3  2  2 1  2t   5 2 6 t dt  6  t 6 (t 2  1)  t (t 2  1) dt  6t    t  t 2  1 dt   6 t  2 ln t  ln( t  1)  arctgt  c x 2 6 6 3 6  x(3 x  1)dx  6 x  2 ln x  ln( x  1)  arctg x  c   &&& $$$002-007-100$ Лекция №7 Вопросы или тесты для самоконтроля 1. Понятие неопределенного интеграла. 2.Табличное интегрирование 3. Интегрирование методом замены переменной. 4. Интегрирование по частям 5. Интегралы вида  Rx, x  , x  ,..., x  dx 6. Интегралы более общего вида    ax  b    ax  b    ax  b    x,  R , ,........,   dx    cx  d   cx  d  cx  d       7. Интеграл вида  R x, ax 2  bx  c dx 8. Простейшие рациональные дроби 9. Разложение рациональной дроби на простейшие &&& $$$002-008-000$3.2.8 Лекция №8. Определенный интеграл Формула Ньютона – Лейбница. Методы интегрирования. Приложение определенных интегралов 1. Формула Ньютона – Лейбница 2. Замена переменной в определенном интеграле 3. Нахождение определенного интеграла по частям 4. Приложение определенных интегралов &&& $$$002-008-001$3.2.8.1 Формула Ньютона – Лейбница Пусть функция f ( x ) интегрируема в отрезке [a , b] и a  x  b . Определим новую функцию y   ( x ) , для x  [a , b] с помощью соотношения x  ( x )   f ( t )dt . a Здесь ( x ) выражается с помощью интеграла с переменным верхним пределом x от функции y  f ( t ) . Заметим, что переменную функции в определенном интеграле можно обозначить любой буквой. Из определения определенного интеграла следует, что его величина от этого не изменится. Теорема 2. Если функция y  f ( x ) непрерывна в [a , b] , то функция y   ( x ) является первообразной для функции y  f ( x ) в (a , b) , т.е. в этом интервале  ( x )  f ( x ) . Следующая теорема является основной в интегральном исчислении, поскольку она дает способ нахождения определенных интегралов с помощью неопределенных. Теорема 3. (Ньютона - Лейбница) Пусть функция y  f ( x ) непрерывна в отрезке [a , b] и функция y  F( x ) есть ее первообразная на этом отрезке, тогда b  f (x)dx  F(b)  F(a ) . a Часто разность F(b)  F(a ) здесь записывают в сокращенном виде: b F ( x)  F (b)  F (a) . a Пример -1. 2  0 2 x3 23 0 8 x dx     . 30 3 3 3 2 &&& $$$002-008-002$3.2.8.2 Замена переменной в определенном интеграле Теорема 4. Пусть функция y  f ( x ) непрерывна на отрезке [a , b] , а функция x  ( t ) монотонна и непрерывно дифференцируема на отрезке [, ] , где ()  a , ()  b , тогда b  a   f (x )dx   f ((t ))(t )dt . 1 Пример-2. Вычислим интеграл  1  x 2 dx с помощью замены 0 переменной x  sin t : 1  1  x 2 dx  x  sin t , dx  cos tdt ; ( x  0)  (sin t  0)  ( t  0); ( x  1)  0    (sin t  1)   t    2   2  0  2 1  sin 2 t cos tdt   cos2 tdt  0  2 1  (1  cos2t )dt  20  sin 2 t  1   sin   1    t  2     0  . 2 2 2 2 2 4  0   Этот интеграл выражает площадь четверти круга радиуса 1 с центром в начале координат, лежащей в первом квадранте. &&& $$$002-008-003$3.2.8.3 Нахождение определенного интеграла по частям Теорема 5. Пусть функции y  u ( x ) и y  v( x ) непрерывны дифференцируемы на отрезке [a , b] , тогда верно равенство b b b  u (x )v(x )dx  u (x )v(x ) a   v(x )u (x )dx . a a Это равенство в сокращенном виде можно записать и так b b b u dv  uv  vdu .  a a a Пример-3. e e  x ln xdx   ln xd 1  1 e e x2 1 x2 1 x2 x2  u  ln x , du  dx , v   ln x    dx  1 1 2 x 2 x 2 2 e e x e 2 x 2 e e 2  e 2 1  e 2 1 ln e  0   dx        2 2 4 1 2  4 4  4 4 12 2 &&& $$$002-008-004$3.2.8.4 Приложение определенных интегралов Площадь в декартовых координатах С помощью определенных интегралов можно находить площади плоских фигур при различных способах задания границ области, длины дуг кривых, объемы тел и площади поверхностей вращения. Выше было показано, что в случае если функция y  f ( x )  0 на отрезке, [a,b] b то  f ( x )dx a выражает площадь соответствующей криволинейной трапеции S(G ) . Если же f ( x )  0 на [a,b], то криволинейная трапеция расположена ниже оси Ox и b  f (x)dx  0 . Несложно проверить, что этот a интеграл выражает площадь этой трапеции со знаком “минус”. В общем случае, если функция y  f ( x ) принимает значения разных знаков на [a,b], то b  f (x )dx равен сумме a площадей частей криволинейной трапеции, лежащих выше оси Ox , взятых со знаком “плюс” и частей, лежащих ниже оси со Ox , взятых знаком “минус”. Пример-1. Найти площадь области G , ограниченной параболами y  x , y  x2 . Решив систему уравнений   y  x,  2  y  x , найдем точки пересечения этих кривых: (0,0) и (1,1). Поскольку в отрезке [0,1] верно неравенство x  x , то 2 3 2 1 x3 1 2 1 1 S(G )   ( x  x )dx  x 2     . 0 3 0 3 3 3 3 0 1 2 Если график функции y  f ( x ) на отрезке [a , b] задан с помощью параметрических функций  x  x(t ),   y  y (t ),   t    где y( t )  0 непрерывна, а x ( t ) -монотонная, непрерывно дифференцируемая функция на [, ] , причем ()  a , ()  b , то площадь соответствующей криволинейной трапеции находится по формуле  S(G )   y( t ) x ( t )dt .  b В этом можно убедиться, сделав в интеграле  f ( x )dx замену переменной a x  x(t) . Площадь в полярных координатах Некоторые кривые линии на плоскости удобно описывать в системе координат, которая называется полярной. Пусть на плоскости выбрана декартова система координат. Положительную полуось Ox будем называть полярной осью, а точку O полюсом. Пусть M - некоторая точка на плоскости. Расстояние от точки M до O будем называть полярным радиусом  этой точки. Угол между полярной осью и вектором OM обозначим через  . Числа  и  называются полярными координатами точки M (см. рис 1). Y M y   O x X Рис 1. На числа  и  накладываются следующие естественные ограничения:   0  0    2 (или       ). Связь между декартовыми и полярными координатами точки M осуществляется с помощью соотношений x   cos ,   y   sin . Область G на плоскости, ограниченную лучами исходящими из начала координат,   1 и    2 , где 1  2 и графиком непрерывной в отрезке [1 ,  2 ] неотрицательной функции   f () , будем называть криволинейным треугольником (рис 2). Y M2    M1 2 1 O X Рис 2. Разбив отрезок [1 ,  2 ] на n частей и заменив на каждом участке i площадь криволинейного треугольника на площадь кругового сектора радиуса f (c i ) с углом i получим приближенную формулу n 1 S(G )   f 2 (ci )i . i 1 2 Здесь записанная сумма является интегральной суммой для функции  1 2 f () на 2 отрезке [1 ,  2 ] . Перейдя в последнем соотношении к пределу при максимальном i  0 , получим точное выражение для площади криволинейного треугольника: S(G )  1 2 2  f ()d . 2 1 Нахождение длины дуги кривой Пусть кривая L с концами A и B на плоскости задана с помощью графика непрерывно дифференцируемой функции y  f ( x ) , где x  [a , b] . Разобьем эту кривую на n частей точками M1 , M 2 ,, M n 1 , где M i имеет координаты ( x i , y i ) , x i  x i1  x i , y i  y i1  y i (рис 3). Y M1 M2 A O a M i 1 Mi y i x i x1 x 2 x i 1 xi y  f Lx  B b X Рис 3. Длину вписанной в L ломаной с вершинами в выбранных точках обозначим через I n : n I n   x i2  y i2 . i 1 Определение. Длиной кривой L называется предел суммы длин ломанных, вписанных в эту кривую, при максимальном x i , стремящемся к нулю Будем обозначать ее через I(L) . I(L)  lim I n . max x i 0 Кривая, имеющая длину (если указанный предел существует), называется спрямляемой. Теорема. График непрерывно дифференцируемой на [a , b] функции y  f ( x ) спрямляем, и его длина находится по формуле b I ( L)   1  ( f ( x)) 2 dx . a Следствие. Пусть кривая L на плоскости задана с помощью непрерывно дифференцируемых параметрических функций x  x ( t ),   y  y( t ), t  [, ].  Тогда эта кривая спрямляема, и ее длина находится по формуле  I(L)   ( x ( t )) 2  ( y( t )) 2 dt .  Замечание. Можно проверить, что полученная формула обобщается и на случай пространственной кривой L . Если кривая L в пространстве задается с помощью непрерывно дифференцируемых параметрических функций x  x ( t ),  y  y( t ),   z  z( t ), t  [, ], то длина ее находится по формуле  I(L)   ( x ( t )) 2  ( y( t )) 2  (z( t )) 2 dt .  Пример-2. Найдем длину кардиоиды, задаваемой уравнением   a (1  cos ) (a  0) (см. рис 4). Y   O X   a 1  cos  Рис 4 Поскольку a (1  cos )  0 для всех  , то 2 I( L)   0 2 2  a 2 (1  cos ) 2  a 2 sin 2 d  a  2  2 cos d  2a  cos d  2 0 0 2        2    4a (1  1)  8a .  2a   cos d   cos d   4a  sin  sin 2 2  20 2 0   0  Нахождение площади поверхности вращения Пусть график непрерывно дифференцируемой функции y  f ( x ) , где x  [a , b] и f ( x )  0 , вращается вокруг оси Ox . Можно доказать, что площадь получившейся поверхности вращения H находится по формуле b S(H)  2 f ( x ) 1  (f ( x )) 2 dx . a $$$002-008-100$Лекция №8 Вопросы или тесты для самоконтроля 1. Площадь в декартовых координатах 2. Площадь в полярных координатах 3.Нахождение длины дуги кривой 4. Нахождение площади поверхности вращения &&& $$$002-009-000$3.2.9. Лекция №9. Функция несколких переменных. 1. Понятие функции нескольких переменных. 2. Предел и непрерывность функции нескольких переменных 3. Частные приращения и частные производные 4. Полное приращение и полный дифференциал 5. Дифференцирование сложных и неявных функций. 6. Градиент. Дифференцирование высших порядков. Производная по направлению и градиент функции нескольких переменных &&& $$$002-009-001$3.2.9.1 Понятие функции нескольких переменных До сих пор в курсе высшей математики мы рассматривали в основном действительные функции одной действительной переменной вида y  f (x) , т.е. функции, области определения и области значений которых являлись некоторыми подмножествами на числовых осях. Однако на практике широко используются функции, имеющие более одного аргумента, исследование которых имеет свои особенности. Определение. Функцией двух (трех) переменных называется функция, область определения D которой есть некоторое подмножество на плоскости (в пространстве), а область значений E принадлежит действительной оси. Если D принадлежит плоскости Oxy , а E оси Oz , то такую функцию двух переменных записывают в виде z  f ( x, y) . Если D  Oxyz, а E  Ou , то эту функцию трех переменных можно записать в виде u  f ( x, y, z ) . Введем некоторые определения, относящиеся к областям на плоскости или в пространстве. Определение. Окрестностью точки M ( x0 , y0 ) на плоскости (или M 0 ( x0 , y0 , z 0 ) в пространстве) радиуса r называется круг без окружности (или шар без сферы) радиуса r с центром в точке M 0 . Такую окрестность будем обозначать через U r ( M 0 ) . На плоскости U r ( M 0 ) определяется неравенством ( x  x0 ) 2  ( y  y0 ) 2  r 2 , а в пространстве – ( x  x0 ) 2  ( y  y0 ) 2  ( z  z0 ) 2  r 2 . Определение. Точка M 0 называется граничной точкой для множества D , если окрестность любого радиуса r этой точки пересекается как с множеством D , так и с его дополнением. Множество всех граничных точек множества D называется границей этого множества и обозначается через (D) . Определение. Множество D , содержащее всю свою границу (D) , называется замкнутым. Множество D , не содержащее ни одной точки своей границы, называется открытым. Примеры. 1) Окрестность U r ( M 0 ) не содержит ни одной точки своей границы – окружности (или сферы), поэтому U r ( M 0 ) – открытое множество. 2) Круг на плоскости задаваемый неравенством ( x  x0 ) 2  ( y  y0 ) 2  r 2 , содержит свою границу – окружность ( x  x0 ) 2  ( y  y0 ) 2  r 2 , поэтому он – замкнутое множество. 3) Четверть плоскости определяется системой неравенств  x  0,  y  0 содержит часть своей границы, расположенной на оси Oy и не содержит часть границы на оси Ox. Это множество не является ни открытым, ни замкнутым. Пусть C – число. Линией уровня C функции z  f ( x, y) называется множество всех точек M ( x, y) из области определения D , координаты которых удовлетворяют уравнению f ( x, y)  C . Таким способом изображаются, например, линии равной высоты на географических картах. Они являются линиями уровня функции z  h( x, y) определяющей высоту точки местности с координатами ( x, y ) над уровнем моря. Например. Найдем линии различного уровня функции z  1  x2  y2 . Такие линии определяются уравнением 1  x2  y2  C . При C  0 получим 1  x 2  y 2  0 ; 1  x 2  y 2  0; x2  y2  1. Поэтому линия уровня 0 есть окружность радиуса 1 с центром в начале координат. При C  1 получим 2 1  x2  y2  1 ; 2 2 2 1 x  y  1 ; 4 2 2 x y 3 . 4 Линия уровня C  1 есть окружность радиуса R  3 с центром в 2 2 начале координат. При C  1 уравнение 1  x2  y2  1 определяет точку O(0,0) начало координат. (см. рис.3) Рис.3. При C  1 и C  0 уравнение 1  x 2  y 2  C решений не имеет, поэтому линий такого уровня у рассматриваемой функции нет. Линии на рис.3 позволяют приближенно определить график функции изображений на рис.2, если каждую линию уровня C начертить в плоскости z C. Такой способ получения приближенного вида поверхностей называется методами сечений. С его помощью мы исследовали ранее поверхности второго порядка. Вместо графика функции трех переменных можно использовать следующее понятие. Поверхностью уровня C функции u  f ( x, y, z ) называется множество всех точек M ( x, y, z ) из области определения D функции, координаты которых удовлетворяют уравнению f ( x, y, z )  C. Пример. Рассмотрим функцию u  x 2  y 2  z 2 . При C  0 ее поверхностями уровня являются сферы радиуса C с центрами в начале координат. При C  0 поверхность уровня 0 есть начало координат. Поверхности уровня C  0 у этой функции отсутствуют. &&& $$$002-009-002$3.2.9.2 Предел и непрерывность функции нескольких переменных. Рассмотренные выше понятия функций двух или трех переменных можно обобщать на случай n переменных. Функцией n переменных y  f ( x1 , x2 , xn ) называется функция, область определения D которой принадлежит R n , а область значений – действительной оси. Такая функция каждому набору переменных ( x1 , x2 , xn ) из D сопоставляет единственное число y . Наиболее удобный способ задания функций n переменных при больших n – это аналитический способ. В дальнейшем для определенности мы будем рассматривать функции n  2 переменных, но все утверждения сформулированные для таких функции остаются верными и для функций большего числа переменных. Определение. Число A называется пределом функции z  f ( x, y) в точке ( x0 , y 0 ) , если для каждого   0 найдется такое число   0, что при всех ( x, y ) из окрестности U  ( x0 , y 0 ) , кроме этой точки, выполняется неравенство f ( x, y)  A   . Если предел функции z  f ( x, y) в точке ( x0 , y 0 ) равен A , то это обозначается в виде lim f ( x, y)  A . ( x , y )( x0 , y0 ) Практически все свойства пределов рассмотренные нами ранее для функций одной переменной остаются справедливыми и для пределов функций нескольких переменных, однако практическим нахождением таких пределов мы заниматься не будем. Определение. Функция z  f ( x, y) называется непрерывной в точке ( x0 , y 0 ) если выполняется три условия: lim f ( x, y) 1) существует ( x , y )( x0 , y0 ) 2) существует значение функции в точке ( x0 , y 0 ) 3) эти два числа равны между собой, т.е. lim ( x , y )( x0 , y0 ) f ( x, y)  f ( x0 , y0 ) . Практически исследовать непрерывность функции можно с помощью следующей теоремы. Теорема. Любая элементарная функция z  f ( x, y) непрерывна во всех внутренних (т.е. не граничных) точках своей области определения. Пример. Найдем все точки, в которых непрерывна функция z  1  x2  y2 . Как было отмечено выше, эта функция определена в замкнутом круге x2  y2  1 . Внутренние точки этого круга является искомыми точками непрерывности функции, т.е. функция z  1  x 2  y 2 непрерывна в открытом круге x 2  y 2  1 . Определение понятия непрерывности в граничных точках области определения D функции возможно, но мы этот вопрос в курсе затрачивать не будем. &&& $$$002-009-003$3.2.9.3 Частные приращения и частные производные. В отличие от функций одной переменной, функций нескольких переменных имеют различные виды приращений. Это связано с тем, что перемещения в плоскости Oxy из точки ( x0 , y 0 ) можно осуществлять по различным направлениям. Определение. Частным приращением по x функции z  f ( x, y) в точке ( x0 , y 0 ) соответствующим приращению x называется разность  x f  f ( x0  x, y0 )  f ( x0 , y0 ) . Это приращение по существу является приращением функции одной переменной z  f ( x, y0 ) полученной из функции f ( x, y) при постоянном значении y  y 0 . Аналогично частным приращением по y в точке ( x0 , y 0 ) функции z  f ( x, y) соответствующим приращению y называется разность  y f  f ( x0 , y0  y)  f ( x0 , y0 ) . Это приращение вычисляется при фиксированном значении x  x0 . Пример. Пусть f ( x, y )  xy, x0  3 , y 0  4 , x  y  0,1 . Найдем частные приращения этой функции по x и по y  x f  ( x0  x) y0  x0 y0  x0 y0  x  y0  x0 y0  y0 x  4  0,1  0,4;  y f  x0 ( y0  y)  x0 y0  x0 y0  x0 y  x0 y0  y0 x  3  0,1  0,3 . В данном примере при равных значениях приращений аргументов x и y , частные приращения функции оказались различными. Это связано с тем, что площадь прямоугольника со сторонами x0  3 и y 0  4 при увеличении стороны x0 на x  0,1 увеличивается на величину  x f  0,4 , а при увеличении стороны y0 на y  0,1 увеличивается на  y f  0,3 (см. рис.4). Рис.4. Из того факта, что функция двух переменных имеет два вида приращений, следует, что для нее можно определить два вида производных. Определение. Частной производной по x функции z  f ( x, y) в точке ( x0 , y 0 ) называется предел отношения частного приращения по x этой функции в указанной точке к приращению x аргумента x т.е.  f f x( x0 , y0 )  lim x . x 0 x f z Такие частные производные обозначаются символами f x , z x , , . x x В последних случаях круглая буква “ d ” – “  ” означает слово “частная”. Аналогично, частная производная по y в точке ( x0 , y 0 ) определяется с помощью предела y f f y ( x0 , y0 )  lim . y 0 y f z Другие обозначения этой частной производной: z y , , . y y Частные производные функций находятся по известным правилам дифференцирования функции одной переменной, при этом все переменные, кроме той, по которой дифференцируется функция, считаются постоянными. Так при нахождении f x переменная y принимается за постоянную, а при нахождении f y - постоянная x . Пример. Найдем частные производные функции z  x y . f x  yx y 1 , f y  x y ln x . Пример. Найдем частные производные функции трех переменных u  xy 2 z 3 . ux  y 2 z 3 ; uy  2xyz 3 ; uz  3xy 2 z 2 . Частные производные функции z  f ( x, y) характеризуют скорости изменения этой функции в случае, когда одна из переменных фиксируется. Определение. Если у функции z  f ( x, y) имеются частные производные, то ее частными дифференциалами называются выражения d x f  f xdx и d y f  f ydy здесь dx  x и dy  y . Частные дифференциалы являются дифференциалами функций одной переменной полученных из функции двух переменных z  f ( x, y) при фиксированных y или x . &&& $$$002-009-004$3.2.9.4 Полное приращение и полный дифференциал. При полном приращении функции, в отличие от частных приращений могут изменяться все переменные функции нескольких переменных. Определение. Полным приращением функции z  f ( x, y) в точке ( x0 , y 0 ) , соответствующим приращениям x и y аргументов, называется разность f  f ( x0  x, y0  y )  f ( x0 , y0 ) . Пример. Пусть f ( x, y)  xy , x0  3 , y 0  4 , x  y  0,1 (см. пример из предыдущего пункта). Найдем полное приращение функции в точке ( x0 , y 0 ) : f  ( x0  x)( y0  y)  x0 y0  x0 y0  x0 y  y0 x  xy  x0 y0   x0 y  y0 x  xy  0,3  0,4  0,01  0,71. Это приращение равно приращению площади прямоугольника со сторонами 3 и 4 при их увеличении на величины, равные 0,1. На рис.4 полное приращение f состоит из площадей двух заштрихованных прямоугольников и площади квадрата со стороной 0,1. Заметим, что f   x f   y f , хотя значения левой и правой частей неравенства близка между собой. Определение. Если полное приращение функции z  f ( x, y) в точке ( x0 , y 0 ) можно записать в виде f  Ax  By   (x, y)x   (x, y)y , где A и B – постоянные, а  и  бесконечно малые при (x, y)  (0,0) , то выражение df  Ax  By называется полным дифференциалом функции в точке ( x0 , y 0 ) . Полный дифференциал называют также главной частью приращения функции. Функция, имеющая полный дифференциал в некоторой точке, называется дифференцируемой в этой точке. Теорема 1. Пусть функция z  f ( x, y) и ее частные производные f x и f y непрерывны в некоторой окрестности точки ( x0 , y 0 ) . Тогда функция z  f ( x, y) дифференцируема в т. ( x0 , y 0 ) и ее полный дифференциал равен сумме частных дифференциалов: df  f xdx  f ydy . (2) Доказательство. Преобразуем полное приращение f следующим образом: f  f ( x0  x, y0  y )  f ( x0 , y0 )  ( f ( x0  x, y0  y )  f ( x0 , y0  y )) + + ( f ( x0 , y0  y )  f ( x0 , y0 ))  (применим теорему Лагранжа к каждой разности) = f x( xc , y0  y)x  f y ( x0 , yc )y . Здесь xc  [ x0 , x0  x] , а yc  [ y0 , y0  y ] . Из непрерывности f x и f y следует, что lim f x( xc , y0  y )  f x( x0 , y0 ) и lim f y ( x0 , yc )  f y ( x0 , y0 ) , ( x , y )( 0 , 0 ) ( x ,y )( 0 , 0 ) поэтому эти частные производные можно записать в виде: f x( xc , y0  y )  f x( x0 , y0 ) +  (x, y) , f y ( x0 , yc )  f y ( x0 , y0 ) +  (x, y ) , где  и  – бесконечно малые при (x, y)  (0,0) . Поэтому f  ( f x( x0 , y0 )   )x + ( f y ( x0 , y0 )   )y  = f x( x0 , y0 )x  f y ( x0 , y0 )y  x + y и, согласно определению, df  f x( x0 , y0 )x  f y ( x0 , y0 )y . Теорема доказана. Пример. Найдем полный дифференциал функции z  ln( x 2  y 2 ) . Найдем вначале частные производные этой функции: 2x 2y  ; . f  y x2  y2 x2  y2 Подставив их в формулу (2), получим: f x  2x 2y + dx dy . x2  y2 x2  y2 Если в формуле (1) отбросить бесконечно малые  и  и заменить полное приращение приближенно полным дифференциалом, то получим следующую формулу для приближенного нахождения значений функции с помощью полного дифференциала. f ( x0  x, y0  y )  f ( x0 , y0 ) + f x( x0 , y0 )x + f y ( x0 , y0 )y . (3) Пример. Вычислим приближенно число (4,05) 2  (2,97) 2 Для этого мы вычислим приближенное значение функции f ( x, y )  x 2  y 2 в точке ( x0  x, y0  y ) , где x0  4 , x  0,05 , y0  3 , y  0,03 . f  f ( x0 , y0 ) = 4 2  32  25  5 : 2x x f x( x, y )  = , 2 2 2 2 x y x  y2 f x( x0 , y0 )  4 4 3 2 2  4 , 5 y 3 .  4 2  32 5 x2  y2 Подставив эти значения в (3), получим: 4 3 (4,05) 2  (2,97) 2  5  0,05  (0,03)  5  0,04  0,018  5,022 . 5 5 Замечание. Полный дифференциал функции большего числа переменных y  f ( x1 , x2 ,, xn ) находится по формуле dy  f x1 dx1 + f x2 dx 2 + … + f xn dx n . f y ( x, y)  ; f y ( x0 , y0 )  3 Пример. Найдем полный дифференциал функции трех переменных u  xyz . Поскольку u x  yz , u y  xz , u z  xy , то du  yzdx  xzdy  xydz . &&& $$$002-009-005$3.2.9.5 Дифференцирование сложных и неявных функций. Как и для случая функции одной переменной, под сложной функцией нескольких переменных мы будем понимать композицию из нескольких функций нескольких переменных. Число этих функций и их переменных может быть различным. Для определенности мы ограничимся случаем, когда все функций составляющие сложную функцию зависят от двух переменных. Определение. Сложной функцией (композицией) составленной из функции z  f (u, v) , u  u( x, y) , v  v( x, y) называется функция двух переменных ( x, y ) вида z  f (u ( x, y), ( x, y)) . Теорема 2. Пусть функции u  u( x, y) и v  v( x, y) имеют частные производные по x и y в точке ( x 0 , y0 ) , а функция z  f (u, ) и ее частные производные по u и  непрерывны в окрестности точки (u 0 , 0 ) , где u0  u ( x 0 , y0 ) ,  0   ( x 0 , y0 ) . Тогда сложная функция (4) z  f (u ( x, y), ( x, y)) имеет частные производные в точке ( x 0 , y0 ) и они равны соответственно z x  f uu x  f v x , (5) z y  f uu y  f v y . Доказательство. Пусть  x u и  x – частные приращения функции u и  в точке ( x 0 , y0 ) соответствующие приращению x аргумента x . Тогда согласно теореме 1, функция z  f (u, ) имеет полный дифференциал в точке (u 0 , 0 ) и ее приращение z записывается в виде z  f u   x u  f v   x   x u   x . Здесь  и  бесконечно малые при (u,  )  (0,0) . Разделим обе части последнего равенства на x получим xz u  u   f x x  f v x    x   x . x x x x x Перейдем в обеих частях этого соотношения к пределу при x  0 , учитывая, что  xu   u x , x   x ,   0 ,   0 , получим требуемое равенство x x z x  f uu x  f v x . Второе равенство доказывается аналогично. Пример. Пусть z  u , u  e x y ,   ln( xy ) .  Найдем частные производные сложной функции составленной из этих функций.    u y u    1 сюда  z x    e x  y  x  u ln  xy x  e x  y  2  (подставим      xy  u e x y e x y  значения u и  ) = . ln( xy ) x(ln( xy )) 2 e x y e x y  u   x y    1 x y u 1 u     zy    e y   v ln  xy y   e   2 y  ln( xy ) y (ln( xy )) 2 .  u Пусть имеется функция двух переменных z  f ( x, y) и функция одной переменной y  y (x) тогда производная по x сложной функции z  f ( x, y( x)) называется полной производной и обозначается через dz  f   f   y . x y x dx Пример. Пусть z  x 2  y 2 и y  sin x . Найдем частную и полную производные по x этой функции. z  2x . x dz  ( x 2  y 2 )x  ( x 2  y 2 )y (sin x)  2 x  2 y cos x  2 x  2 sin x cos x . dx Функцию одной переменной y  y (x) можно задавать с помощью уравнения, содержащего x и y вида F ( x, y)  0 . Функция y  y (x) , заданная с помощью такого уравнения называется неявной. Пример. График функции является верхней y  R2  x2 полуокружностью радиуса R . Эту же функцию можно задать и в неявном виде x2  y2  R2  0 , который, кроме указанной, определяет еще функцию y   R2  x2 . Иногда неявным образом заданную функцию в явном виде записать не   удается. Однако с помощью следующей теоремы производную такой функции можно найти. Теорема 3. Пусть функция z  F ( x, y) и ее частные производные Fx и Fy непрерывны в окрестности точки ( x0 , y 0 ) , где F ( x0 , y0 )  0 и Fy ( x0 , y0 )  0 . Тогда уравнение F ( x, y)  0 задает в некоторой окрестности точки x0 дифференцируемую функцию y  y (x) и в этой окрестности ее производная равна F ( x, y ) (6) y   x Fy ( x, y) Доказательство. Оставим без доказательства факты существования и дифференцируемости функции y  y (x) . Докажем формулу (6). Для этого найдем полную производную по x от обеих частей уравнения F ( x. y )  0 , получим Fx  Fy  yx  0 . Учитывая, что в некоторой окрестности ( x0 , y0 ) Fy  0 , решим относительно y x последнее уравнение: Fy  yx   Fx F y x   x  . Fy Пример. Найдем производную y  функции заданной с помощью уравнения x2  y2  R2  0 . ( x 2  y 2  R 2 )x 2x x y x   2   . 2 2 ( x  y  R )y 2y y Заметим, что в это соотношение можно подставить не любые x и y , а только x и y лежащие на окружности радиуса R с центром в начале координат (т.е. при x 2  y 2  R 2 ) и y  0 . 2 2 R и y R , то Например, если x  2 2 2 R  2  y x  R    2  1 . 2 R  2  2 Определение. Функция z  z ( x, y) , заданная с помощью уравнения F ( x, y, z )  0 называется неявной функцией двух переменных. Для таких функций возможно обобщение теоремы 3. Теорема 4. Пусть функция u  F ( x, y, z ) и ее частные производные Fx , Fy , Fz непрерывны в окрестности точки ( x0 , y0 , z0 ) , где F ( x0 , y0 , z 0 )  0 и Fz( x0 , y0 , z 0 )  0 , тогда уравнение F ( x, y, z )  0 . задает в некоторой окрестности точки ( x0 , y 0 ) дифференцируемую функцию z  z ( x, y) и в этой окрестности ее частные производные равны Fy ( x, y, z ) F ( x. y.z ) , . z x   x z y   Fz( x, y, z ) Fz( x. y, z ) Доказательство этого факта аналогично доказательству теоремы 3. Пример. Уравнение x 2  y 2  z 2  R 2  0 определяет функции z   R 2  x 2  y 2 , графиками которых являются полусферы. Найдем частные производные по x и y этой неявной функции: ( x 2  y 2  z 2  R 2 )x 2x x , z x   2     ( x  y 2  z 2  R 2 )z 2z z ( x 2  y 2  z 2  R 2 )y z y   2 y . 2 2 2 z ( x  y  z  R ) z В эти формулы можно подставить только ( x, y, z ) связанные соотношением x 2  y 2  z 2  R 2 при z  0 . Подобным образом можно определять и дифференцировать неявные функции любого числа переменных. &&& $$$002-009-006$3.2.9.6 Градиент. Дифференцирование высших порядков. Производная по направлению и градиент функции нескольких переменных Рассмотрим скорость изменения функции трех переменных при  перемещении из точки M 0 ( x0 , y0 , z 0 ) в направлении единичного вектора a0 , определяемого своими  координатами – направляющими косинусами:    a0  cos i  cos j  cos k . Для этого рассмотрим прямую l , проходящую  через точку M 0 с направляющим вектором a0 . Ее параметрические уравнения имеют вид  x  x0  t cos  (3.1) l :  y  y0  t cos   z  z  t cos 0   Заметим, что поскольку вектор a0 единичный, то измерение параметра t на величину t означает перемещение вдоль этой прямой на отрезок длины t и, что при t  0 точка на прямой соответствует M 0 . Определение. Производной функции u  u ( x, y, z ) в точке M 0 по  направлению вектора a0 называется производная ограничения этой функции на прямую l по t при t  0 (рис.5). Рис.5 Обозначается эта производная  через u  . В частности, если вектор a0 совпадает с одним из базисных a0    векторов i , j или k , это определение дает определение соответствующей частной производной, т.е. u u u u u u ,  ,  .  i x j y k z u  Если вектор a не единичный, то производная  определяется как a  u a    , где a0   - единичный вектор, коллинеарный вектору a . a0 a Получим формулу для вычисления производной u  u ( x, y, z ) по  направлению вектора a 0 . Для этого подставим x, y, z из (3.1) в u , получим u l  u ( x0  t cos , y0  t cos  , z0  t cos ) , поэтому  u  u u u   ( M 0 )  u l  t t 0   cos  cos   cos  M 0 . (3.2) a0 y z  x  Определение. Вектор с координатами – частными производными функции u  f ( x, y, z ) называется градиентом 2 функций, он обозначается так: u  u  u  grad (u )  i  j k. x y z u Из (3.2) получим другую формулу, выражающую  через градиент a0 u: u    gradu  a0 (3.3) a0   a  Для произвольного вектора a , учитывая, что a0   , a  u a   gradu   . a a (3.4) Если u  требуется вычислить в некоторой точке M 0 ( x0 , y0 , z 0 ) , то a0 gradu в (3.3) и (3.4) необходимо также вычислять в этой точке. Пример. Найти скорость изменения температуры тела, заданной функцией u ( x, y, z )  xy 2  3x 2 z  yz 2 в точке M 0 (1;2;1) в направлении     вектора a  12i  3 j  4k . Для этого найдем частные производные и градиент поля u : u u u  y 2  6 xz ;  3x 2  2 yz ;  2 xy  z 2 ; x z y    gradu  ( y 2  6 xz )i  (2 xy  z 2 ) j  (3x 2  2 yz )k ;    gradu(M 0 )  10i  5 j  7k .  Далее, a  12 2  (3) 2  4 2  13 , поэтому из (2.2.4) имеем u 12 (3) 4 77  (7)   .  ( M 0 )  10   5  a 13 13 13 13 Свойства градиента  1) Обозначим угол между градиентом поля u и вектором a 0 через  , тогда скалярное произведение в (3.3) можно записать в виде   gradu a0 cos  gradu cos , что есть проекция gradu на вектор a 0 .  Следовательно, u  совпадает с проекцией вектора gradu на a 0 : a0 u   npa0 gradu a0 (рис.6) (3.5) Рис.6.  2) Из (3.5) следует, что u  будет максимальная в направлении a , a0 совпадающем с gradu , т.к. только в этом направлении   0 и cos  1. Поэтому u u  gradu , max   a a  gradu т.е. градиент указывает направление наибольшего возрастания функции и его модуль равен производной по этому направлению. Для скалярного поля – высоты местности над уровнем моря градиент указывает направление наибольшей крутизны подъема местности, а его модуль, т.е. производная по этому направлению, равен наибольшему тангенсу угла наклона местности. Если рельеф какой - либо местности задается полем z  u( x, y) , то можно вычислить и крутизну подъема этой местности в любом направлении, исходящем из точки M 0 . Для этого достаточно найти gradu(M 0 ) и спроектировать его на направление. 3) В экстремальных точках функции u  u( x, y, z ) ее частные производные равны нулю (если они существуют), это следует из необходимого условия экстремума. Такие точки, в которых все координаты градиента равны нулю, называются сингулярными (или критическими) точками поля. Точки, в которых градиент отличен от нуля, называются регулярными. На географической карте вершины, впадины и перевалы являются сингулярными точками, остальные точки регулярные.  4) Выберем вектор a gradu . В этом случае из (3.5) следует, что u   0 . Это означает, что бесконечно малое перемещение в направлении, a перпендикулярном градиенту, оставляет значение постоянным, следовательно, в этом направлении и проходит поверхность уровня поля u . Имеет место следующая теорема. Теорема. Через любую регулярную точку M 0 ( x0 , y0 , z 0 ) функции u можно провести касательную плоскость к ее поверхности уровня, проходящей через M 0 , и эта плоскость перпендикулярна gradu(M 0 ) . Используя то, что градиент является нормальным вектором к этой плоскости, получим ее уравнение u u u ( M 0 )( x  x0 )  ( M 0 )( y  y0 )  ( M 0 )( z  z0 )  0 . (3.6) x y z Для функции двух переменных gradu(M 0 ) перпендикулярен касательной к линии уровня этого поля и уравнение этой касательной по аналогия с (3.6) можно записать в виде u u (3.7) ( M 0 )( x  x0 )  ( M 0 )( y  y0 )  0 . x y 5) Отметим следующие алгебраические свойства градиента. Если C – постоянная, то gradC  0 , gradCu  C gradu . Для двух функций u и  grad (u   )  gradu  grad , grad (u  )  u grad   gradu . Для дифференцируемой функции w  F (u ) gradF (u)  F (u) gradu . Справедливость этих свойств легко может быть доказана исходя из определения градиента, поля. Рассмотрим теперь некоторые примеры, связанные с применением градиента поля и производной по направлению. Производные и дифференциалы высших порядков. Определение. Частной производной k –го порядка функции z  f ( x, y) называется частная производная от одной из ее производных (k  1) порядка.. Это рекуррентное определение дает возможность получить k –ую частную производную функцию путем нахождения последовательно k частных производных от этой функция. Сама функция f ( x, y) считается производной нулевого порядка. Как мы установили ранее, производных первого порядка у функции f ( x, y) две f x и f y . Взяв от этих производных производные по x и y , получим четыре производных второго порядка: 2 f 2 f 2 f          f  ( f )  f yx  ( f y )x , , ,  f xx  ( f x ) x xy x y yx xy x 2 2 f  f yy  ( f y )y . y 2 Взяв от этих производных производные по x и y , получим восемь частных производных третьего порядка и так далее. Производных k –го порядка у функции двух переменных имеется 2k . Пример. Найдем все частные производные первого и второго порядков у функции z  x3  x 2 y  y3 . f x  3x 2  2 xy , f y  x 2  3y 2 , f xx  (3x 2  2 xy )x  6 x  2 y , f xy  (3x 2  2 xy)y  2 x , f yx  ( x 2  3 y 2 )x  2 x , f yy  ( x 2  3 y 2 )y  6 y . В этом примере f xy  f yx и это не случайно. Определение. Частная производная функции, в которой присутствуют дифференцирования по разным переменным, называется смешанной производной. Смешанными производными второго порядка у функции двух переменных являются f xy и f yx . Теорема о смешанных производных. Пусть функция z  f ( x, y) и ее производные f x , f y , f xy , f yx непрерывны в некоторой окрестности точки ( x0 , y 0 ) . Тогда в этой точке ее смешанные производные второго порядка равны между собой: f xy  f yx . Доказательство. Рассмотрим следующее выражение A  ( f ( x0  x, y0  y )  f ( x0  x, y0 ))  ( f ( x0 , y0  y )  f ( x0 , y0 )) . Если обозначить через  ( x)  f ( x, y0  y )  f ( x, y0 ) и применить к этой функции теорему Лагранжа, то A   ( x0  x)   ( x0 )  x ( xc )  x( f x( xc , y0  y )  f x( xc , y0 ))  (еще раз применим теорему Лагранжа для функции z  f x( xc , y ) )= xyf xy ( xc , yc ) . Здесь xc  [ x0 , x0  x] и yc  [ y0 , y0  y ] если x, y  0 . Запишем A в другом виде, и обозначив  ( y )  f ( x0  x, y )  f ( x0 , y ) , с помощью теоремы Лагранжа, получим A  ( f ( x0  x, y0  y )  f ( x0 , y0  y ))  ( f ( x0  y, y0 )  f ( x0 , y0 ))    ( y0  y )   ( y0 )  y ( y d )  y( f y ( x0  x, yd )  f y ( x0 , yd ))   yxf yx ( xd , yd ) . Здесь xd  [ x0 , x0  x] , y d  [ y0 , y0  y ] . Приравнивая эти два значения A , получим xyf xy ( xc , yc ) = xyf yx ( xd , yd ); f xy ( xc , yc )  f yx ( xd , yd ) . Перейдем в обеих частях последнего равенства к пределу при (x, y)  (0,0) , и, учитывая непрерывность функции f xy и f yx , получим, что f xy ( x0 , y0 )  f yx ( x0 , y0 ) . Теорема доказана. Следствие. Пусть все частные производные функции z  f ( x. y) до (k  1) –го порядка включительно и все ее смешанные производные k –го порядка непрерывны в некоторой окрестности т. M 0 ( x0 , y0 ) . Тогда в этой точке ее смешанные производные k –го порядка отличающиеся только очередностью дифференцирования совпадают. Без доказательства. Это следствие обосновывает следующее обозначение смешанной производной k –го порядка, в которой встречается m дифференцирований по x и (k  m) по y : k f . (x) m (y ) k m При выполнении условий следствия, порядок в котором производятся эти дифференцирования не влияет на результат. 4 f Пример. Пусть f ( x, y)  x y . Найдем . (x) 2 (y ) 2 f 2 f 3 f 4 f 2 3 3 2  6 xy ;  18 xy ;  36 xy .  3x y ; (x) 2 (x) 2 y (x) 2 (y ) 2 x При любом другом порядке дифференцирования в котором будут по два дифференцирования по x и по y результат получится тем же. Определение. Функция z  f ( x, y) , имеющая все непрерывные частные 3 3 производные до k –го порядка включительно в окрестности точки M 0 ( x0 , y0 ) , называется k раз дифференцируемой в этой точке. Определение. Пусть функция z  f ( x, y) k раз дифференцируема в x0 . Полным дифференциалом этой функции k –го порядка называется полный дифференциал от ее полного дифференциала (k  1) –го порядка, вычисленный в предположении, что dx и dy остаются постоянными. Он обозначается через d k f . Так, например d 2 f  d (df )  d ( f xdx  f ydy)  ( f xdx  f ydy)x dx   ( f xdx  f ydy)y dy  f xx (dx) 2  f yx dydx  f xy dxdy  f yy (dy) 2  2 f 2 f 2 f 2 (1) (dx)  2 dxdy  (dy) 2 . 2 2 (x) xy (y ) Подобным образом можно получить формулу для полного дифференциала третьего порядка: 3 f 3 f 2 f 3 f 3 3 2 2 d f  (dx)  3 (dx) dy  3 dx(dy)  (dy) 3 . (2) 3 2 2 3 (x) (x) y x(y ) (y ) Заметим, что коэффициенты при частных производных в формуле для этих полных дифференциалов совпадают с коэффициентами в формуле бинома Ньютона. Запишем формулу для нахождения d k f функции z  f ( x, y) : dk f  k f k f k! k f k k 1 ( dx )  k ( dx ) dy    (dx) k i (dy) i  k k 1 k i i (x) (x) y i!(k  i )! (x) (y ) k k f k f k! k f k 1 k  k dx(dy)  (dy)   (dx) k i (dy i ) (3) k 1 k k i i i 0 i!( k  i )! (x ) x(y ) (y ) (y ) Эти полные дифференциалы используются в частности для приближенных вычислений значений функции f ( x0  x, y0  y ) . Ранее нами была получена формула для приближенного нахождения этой величины с помощью первого дифференциала: f ( x0  x, y0  y )  f ( x0 , y0 )  df . Взяв достаточное число полных дифференциалов, можно найти указанное значения с любой наперед заданной точностью с помощью формулы Тейлора, которая в данном случае имеет вид: d2 f d3 f dk f . (4)   2! 3! k! Условия применимости этой формулы и оценка ее погрешности в рамки нашего курса не входят. f ( x0  x, y0  y)  f ( x0 , y0 )  df  Пример. Найдем d 2 f для функции z  x 3  y 3  x 2 y 2 . Найдем все частные производные второго порядка этой функции z 2z  (3 x 2  2 xy 2 ) 2 2   6x  2 y 2 ;  3x  2 xy ; 2 (x) x x z  2 z  (3x 2  2 xy 2 ) 2 2   4 xy ;  3 y  2x y ; xy y y 2z  (3 y 2  2 x 2 y )   6 y  2x2 . 2 (y ) y Подставив эти производные в формулу, (1) получим d 2 f  (6 x  2 y 2 )(dx) 2  8xydxdy  (6 y  2 x 2 )(dy) 2 . Если заданы x0  1 , y 0  1, dx  dy  0,1 , то d 2 f ( x0 , y0 )  8(0,1) 2  8(0,1) 2  8(0,1) 2  0,24 . Экстремумы функции нескольких переменных. 1. Определение. Точка M 0 ( x0 , y0 ) называется точкой максимума функции z  f ( x, y) , если у этой точки имеется окрестность U ( M 0 ) такая, что для всех ( x, y ) из этой окрестности выполняется неравенство f ( x. y )  f ( x0 , y0 ) . Если для всех ( x, y ) из окрестности U ( M 0 ) выполняется неравенство f ( x, y )  f ( x0 , y 0 ) , то точка M 0 называется точкой минимума. Значение функции в точке максимума f ( x0 , y0 ) , называется максимумом функции, а ее значение в точке минимума – минимумом. Точки максимума и минимума называются экстремальными точками функции, а максимумы и минимумы называются экстремумами функции. Пусть функция z  f ( x, y) определена в некоторой окрестности точки M 0 . Если в M 0 каждая частная производная f x и f y равна нулю или не существует, то M 0 называется критической точкой функции z  f ( x, y) . Следующая теорема является аналогом необходимого условия экстремума функции одной переменной. Теорема 1 (необходимое условие экстремума) Если M 0 ( x0 , y0 ) является экстремальной точкой функции z  f ( x, y) , то M 0 – критическая точка этой функции. Доказательство. Рассмотрим функцию одного переменного x z  f ( x, y0 )  g ( x) . Из определения экстремальной точки следует, что точка M 0 – экстремальная для функции g (x) . Согласно необходимому условию экстремума для функции одной переменной, M 0 критическая точка этой g (x) , т.е. 0 g ( x0 )  f x( x0 , y0 )   не существует. Рассмотрев функцию z  f ( x0 , y )  h( y ) , получим, что 0 h(0)  f y ( x0 , y0 )   не сущестует. Пример. Точка O(0,0) является точкой минимума функции z  x 2  y 2 т.к. z (0,0)  0 , а для всех остальных точек ( x, y ) z ( x, y)  0 . Поскольку z x  2 x и z y  2 y , то решение системы 2 x  0  2 y  0 определяет критическую точку O(0,0) . Пример. Точка O(0,0) не является экстремальной точкой функции z  x 2  y 2 , т.к. в любой ее окрестности функция принимает как значения больше z (0,0)  0 , при y  0 , так и значения меньше O при x  0 . Тем не менее, поскольку z x  2 x , z y  2 y , координаты (0,0) удовлетворяют систему 2 x  0 ,   2 y  0  то точка O критическая точка. Этот пример показывает, что критическая точка может не быть экстремальной. График функции z  x 2  y 2 является гиперболическим параболоидом, имеющим форму седла, точка O(0,0) называется его седловой точкой. Теорема 2. (Достаточные условия экстремума.) Пусть функция z  f ( x, y ) трижды дифференцируема в некоторой окрестности своей критической точки M 0 ( x0 , y0 ) . Обозначим f xx ( x0 , y0 )  A , f xy ( x0 , y0 )  B , f yy ( x0 , y0 )  C , D  AC  B . Тогда: 1) Если D  0 , то точка M 0 экстремальная для функции z  f ( x, y ) , причем если A  0 (C  0) , то это точка минимума, а если A  0 (C  0) , то точка M 0 , точка максимума. 2) Если D  0 , то в точке M 0 ( x0 , y0 ) экстремума нет. Заметим дополнительно, что при D  0 для определения экстремума требуется дополнительное исследование. Без доказательства. Пример. Найдем экстремальные точки и экстремумы функции z  x 3  y 3  3xy . Поскольку f x  3x 2  3 y и f y  3 y 2  3x существуют для всех ( x, y ) то, для определения критических точек необходимо решить систему уравнений 3x 2  3 y  0  y  x 2  y  x2  y  x2  y  x2 .    4  3  2 2 4 3 y  3x  0  x  y x  x  x  x  0  x( x  1)  0 Отсюда получаем два решения:  x1  0 x  1 и  2   y1  0  y2  1 и две критические точки M 1 (0,0) и M 2 (1,1) . Найдем вторые частные производные функции и исследуем каждую из этих точек помощью достаточного условия экстремума. f xx  (3 x 2  3 y )x  6 x , f xy  (3 x 2  3 y )y  3 , f yy  (3 y 2  3x)y  6 y . а) M 1 (0,0) . В этом случае A  f xx (0,0)  0 ; B  f xy (0,0)  3 ; C  f yy (0,0)  0 ; D  AC  B 2  9  0 . Поэтому в точке M 1 экстремума нет. б) M 2 (1,1) . В этом случае A  f xx (1,1)  6 ; B  f xy (1,1)  3 ; C  f yy (1,1)  6 ; D  AC  B 2  36  9  27  0 поэтому M 2 экстремальная точка. Поскольку A, C  0 , то это точка минимума. Значение функции в M 2 равно f (1,1)  13  13  3  1  1  1 , что составляет минимум функции. 2. Условные экстремумы. Пусть в области определения функции z  f ( x, y ) имеется кривая K , определяемая уравнением  ( x. y )  0 . Точка M 0 ( x0 , y0 )  K называется точкой условного максимума функции z  f ( x, y ) , если у этой точки существует такая окрестность U ( x0 , y0 ) , что для всех точек ( x, y ) из пересечения этой окрестности с K выполняется неравенство f ( x, y )  f ( x0 , y0 ) . В этой же ситуации точка условного минимума определяется неравенством f ( x, y )  f ( x0 , y0 ) . Точки условных максимумов и минимумов называются точками условных экстремумов, а значения функции z  f ( x, y ) в этих точках называются условными экстремумами (условными максимумами или минимумами). Так, если функция z  f ( x, y ) определяет высоту точек местности над уровнем моря, то максимумы этой функции соответствуют вершинам гор. Если на местности имеется тропинка K , то условным максимумам функции z  f ( x, y ) на K соответствуют точки на тропинке с наибольшей высотой над уровнем моря. Если кривая K задается с помощью графика явной функции y  g (x) , то задача нахождения условных экстремумов функции z  f ( x, y ) сводится в задаче нахождения экстремумов функции одной переменной z  f ( x, g ( x)) . Пример. Найдем экстремум функции z  x 2  y 2 при условии, что x  y  1  0 . Запишем уравнение прямой в явном виде: y  1  x и подставим это выражение в функцию, получим z  x 2  (1  x) 2 , z  x 2  1  2 x  x 2 , z  2 x 2  2 x  1 . Найдем экстремумы этой функции одной переменной. z   4 x  2 ; 4 x  2  0  x0  0,5, Поскольку z   3  0 , то это точка минимума. Итак, функция 2 z  x  y 2 достигает в точке с координатами x0  0,5, y0  1  x0  0,5 условного минимума и он равен z min  0,52  0,52  0,5 . Пример. Производственная функция Кобба–Дугласа Y  qK  L1 выражает выпуск продукции Y предприятиям в стоимостном выражении через производственные фонды K и затраты оплату труда L . Здесь q и  – некоторые постоянные. То есть, Y является функцией двух переменных Y  f ( K , L) . Пусть определена общая сумма затрат на развитие  производственных фондов и оплату труда: K  L  P. Задача нахождения значений K и L , при которых выпуск продукции Y будет максимальным, сводится к задаче нахождения максимума функции Y  f ( K , L) при условии L  P  K . Решим эту задачу, сведя ее к нахождению максимума функции одной переменной K : Y  qK  L1  qK  ( P  K )1 . Y   q(K  1 ( P  K )1  K  (1   )( P  K )  )   qK  ( P  K )  K 1 ( P  K )1  (1   ) ; Из уравнения Y   0 , получаем PK   (1   )  0;  ( P  K )  K (1   ) ; P  K  K  K  K  P , K L  (1   ) P . Несложно проверить, что полученные значения K и L на самом деле определяют условно &&& $$$002-009-100$Лекция №9.Вопросы или тесты для самоконтроля 1. Функция несколких переменных, основные понятие? 2.Как производится вычисления дифференцирование сложной функции? 3.Основные формулы? 4.Производная по направлению и градиент функции нескольких переменных. 5.Производные и дифференциалы высших порядков. 6.Как определить экстремум функции? 7.Как определить коэффициенты А, В,С? &&& $$$002-0010-000$3.2.10 Лекция №10. Дифференциальные уравнения первого порядка 1.Основные понятия 2.Дифференциальные уравнения первого порядка 3. Задача Коши. Теорема существования и единственности 4. Уравнения с разделяющимися переменными &&& $$$002-0010-001$3.2.10.1. 1.Основные понятия Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную x , искомую функцию y  y  x  и ее производные y , y ,..., y n  , т.е. уравнения вида   (2,1) F x , y , y , y ,..., y n   0 , где F  непрерывная функция n  2 переменных. Если искомая функция y  y  x  есть функция одной независимой переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным. Например, y   y   x  cos x. Если искомая функция зависит от нескольких независимых переменных, то дифференциальное уравнение называется уравнением в частных производных. 2z 2z Например,   0. x 2 y 2 В дальнейшем будем рассматривать лишь обыкновенные дифференциальные уравнения. Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, явно входящей в уравнение. Например: y   xy  e x - дифференциальное уравнение 1- го порядка; y    x  y  0 - дифференциальное уравнение 2- го порядка; y IX  xy   x 2 - уравнение 9- го порядка. Решением дифференциального уравнения (2.1) называется функция y   x , которая при подстановке в дифференциальное уравнение обращает его в тождество. Например, y  sin x  cos x является решением дифференциального уравнения y   y  0. В самом деле, y   cos x  sin x , y    sin x  cos x , y   y   sin x  cos x  sin x  cos x  0. Процесс отыскания решений дифференциального уравнения называется интегрированием уравнения. График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения. &&& $$$002-0010-002$3.2.10.2. Дифференциальные уравнения первого порядка Общий вид уравнения первого порядка следующий: (3.1). F  x , y , y   0 Если уравнение (3.1) удается разрешить относительно y  x  , то получим (3.2). y f  x , y  Это уравнение называется уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной. &&& $$$002-0010-003$3.2.10.3. Задача Коши. Теорема существования и единственности Для уравнения 1- го порядка справедлива следующая теорема: Теорема (о существовании и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка). Если в уравнении y   f ( x, y ) функция f ( x, y ) и ее частная производная f непрерывны в некоторой области D на плоскости xoy , содержащей точку y ( x0 , y0 ) , то в некоторой окрестности точки x0 существует единственное решение этого уравнения y   (x) , удовлетворяющее условию: при x  x0 ,  ( x0 )  y 0 . Геометрический смысл теоремы заключается в том, что существует и притом единственная функция y   (x) , график которой проходит через точку ( x0 , y0 ) . Условие, что при x  x0 функция y должна равняться заданному числу  y0 . x  x0 Задача отыскания решений уравнения, удовлетворяющего начальным условиям, носит название задачи Коши. Из сформулированной теоремы следует, что уравнение (3.2) имеет бесконечное число различных решений, ибо через каждую точку области проходит одно решение. y0 , называется начальным условием. Оно записывается в виде y &&& $$$002-0010-004$3.2.5.4. Уравнения с разделяющимися переменными Рассмотрим дифференциальное уравнение вида dy (6.1)  f1 ( x )  f 2 ( y ) dx где правая часть есть произведение функции, зависящей только от x , на функцию, зависящую только от y . Предполагая, что f 2 ( y )  0 , преобразуем его следующим образом: 1 (6.1 ) dy  f1 ( x)dx . f 2 ( y) Считая y известной функцией от x , равенство (6.1 ) можно рассматривать как равенство двух дифференциалов, а неопределенные интегралы от них будут отличаться постоянным слагаемым. Интегрируя левую часть по y , а правую по x , получим dy   f1 ( x)dx  C .  f 2 ( y) Мы получили соотношение, связывающее решение y , независимое переменное x и произвольную постоянную C , т.е. получили общий интеграл уравнения (6.1). Дифференциальное уравнение типа (6.1 ) или вида (6.2) M ( x)dx  N ( y )dy  0 называют уравнением с разделенными переменными. Общий интеграл его есть  M ( x)dx   N ( y ) dy  C . Пример. xdx  ydy  0 , x 2  y 2  C12 .  xdx   ydy  C , x2 y2  C, 2 2 x 2  y 2  2C  C12 , Это- семейство концентрических окружностей с центром в начале координат и радиусами C1 . Уравнение вида (6.3) M 1 ( x) N1 ( y)dx  M 2 ( x) N 2 ( y)dy  0 , в которых коэффициенты при дифференциалах распадаются на множители, зависящие только от x и только от y , называется уравнением с разделяющимися переменными. Путем деления обеих частей на произведение N1 ( y ) M 2 ( x) они приводятся к уравнениям с разделенными переменными: M 1 ( x ) N1 ( y ) M ( x) N 2 ( y ) dx  2 dy  0 N1 ( y ) M 2 ( x ) N1 ( y ) M 2 ( x ) или M 1 ( x) N ( y) dx  2 dy  0 , M 2 ( x) N1 ( y ) т.е. к уравнению вида (6.2). Общий интеграл этого уравнения имеет вид M 1 ( x) N ( y) dx   2 dy  C .  M 2 ( x) N1 ( y ) Примеры: dy dx dy y 1)  ;   . Разделяем переменные y x dx x dy dx C     ln C ; ln y  ln x  ln C ; xy  C ; y  - общее решение;  y x x 2 2 2) x(1  y )dx  y (1  x )dy  0 ; x(1  y 2 ) y (1  x 2 ) xdx ydy dx  dy  0 ;   0; 2 2 2 2 2 (1  y )(1  x ) (1  y )(1  x ) 1 x 1  y2 1 1 1 1  x2 xdx ydy 2 2 ; ; ln( 1  x )  ln( 1  y )  ln C C;   0   1  x2 1  y2 1  y2 2 2 2 1  x 2  C (1  y 2 ) . &&& $$$002-0010-100$Лекция №10 Вопросы или тесты для самоконтроля 1.Основные понятия 2.Дифференциальные уравнения первого порядка 3. Задача Коши. Теорема существования и единственности 4. Уравнения с разделяющимися переменными &&& $$$002-0011-000$3.2.11. Лекция №11. Методы решения дифференциальных уравнений и дифференциальные уравнения высших порядков 1. Методы решения дифференциальных уравнений 2. дифференциальные уравнения высших порядков &&& $$$002-0011-001$3.2.11.1. Методы решения дифференциальных уравнений Определение 1. Функция f ( x, y ) называется однородной функцией  го измерения относительно переменных x и y , если при любом   0 справедливо тождество ( x, y ) . f (x, y )    f ( x, y ) Примеры: 1) f ( x, y )  x 2  y 2 ; f (x, y )  (x) 2  (y ) 2   x 2  y 2 - однородная функция первого измерения. 2) f ( x, y )  x 2 y  xy 2 ; f (x, y )  3 ( x 2 y  xy 2 ) - однородная функция третьего измерения. x2  y2 2 ( x 2  y 2 ) x 2  y 2 3) f ( x, y )  ; f (x, y )   xy 2 xy xy - однородная функция нулевого измерения. Определение 2. Уравнение первого порядка dy (7.1)  f ( x, y ) dx называется однородным уравнением, если функция f ( x, y ) есть однородная функция нулевого измерения относительно x и y . Метод решения однородного уравнения следующий. По условию 1 f (x, y )  f ( x, y ) . Положим в этом тождестве   , получим x  y f ( x, y )  f 1,  , т.е. однородная функция нулевого измерения зависит  x только от отношения аргументов. Уравнение (7.1) в этом случае примет вид dy  y (7.2).  f 1,  dx  x Сделаем подстановку y т.е. y  u  x . u , x Тогда будем иметь dy du x  u. dx dx Подставляя это выражение производной в уравнение (7.2) получим du ux  f (1, u ) . dx Это уравнение с разделяющимися переменными: du dx du .  x  f (1, u )  u , f (1, u )  u x dx Интегрируя, найдем du  ln x  ln C .  f (1, u )  u y Подставляя после интегрирования вместо u отношение , получим x интеграл уравнения (7.2). dy xy .  2 dx x  y 2 Справа стоит однородная функция нулевого измерения, следовательно, это однородное уравнение. y Делаем замену  u . Тогда y  u  x ; x du ux 2 dy du du u du u ; ux  ; x  x  u; u  x u.  2 2 2 2 dx dx dx 1  u dx 1  u 2 dx x  u x Разделяя переменные, получим dx 1  u2 dx  1 1   du  ; . du    x u3 x  u3 u  Отсюда, интегрируя находим Пример. dx 1 1  1 1   3  du    ln C ;  2  ln u  ln x  ln C ;  2  ln(Cxu ) . u x 2u 2u u y Подставляя u  , получим общий интеграл исходного уравнения x x2  2  ln(Cy ) . 2y Замечание. Уравнение вида M ( x, y )dx  N ( x, y )dy  0 будет однородным в том и только в том случае, когда M ( x, y ) и N ( x, y ) являются однородными функциями одного и того же измерения. Это вытекает из того, что отношение двух однородных функций – функций одного и того же измерения является однородной функцией нулевого измерения. Пример. ( x 2  y 2 )dx  2 x 2 dy  0 . Переходить к виду, разрешенному относительно производной, не обязательно. y  u , y  u  x , dy  xdu  udx . x Подставляем эти значения в уравнение. ( x 2  u 2 x 2 )dx  2 x 2 ( xdu  udx)  0 , (1  u 2  2u )dx  2 xdu  0 . Разделяя переменные, получим dx du dx 2du 2   0,  ln C , ln x   ln C ,   2 2 2 x 1  2u  u x (1  u ) 1 u x 2 . ln  C 1 u y Подставляя вместо u  , получим x x 2x 2x x x , y ln  x ln  2 x , y  x  - общее решение. ln   x C yx C C ln C Линейные уравнения первого порядка. Определение. Линейным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной вида (9.1) y   b0 ( x) y  f ( x) , где b0 ( x) и f (x) - непрерывные функции от x . Будем искать решение уравнение (9.1) в виде произведения двух функций от x (9.2). y  u ( x)  v( x) . Дифференцируя обе части равенства (9.2), находим dv du . y  u v dx dx Подставляя полученное значение производной y  в уравнение (9.1.), имеем u dv du v  b0 ( x)uv  f ( x) , dx dx или du  dv  (9.3). u  b0 ( x)v   v  f ( x) . dx  dx  Выберем функцию v(x) такой, чтобы dv (9.4).  b0 ( x)v  0 dx Разделяя переменные в этом дифференциальном уравнении, находим dv dv  b0 ( x)v ,  b0 ( x)dx . dx v Интегрируя, получим ln v    b0 ( x)dx  ln C1 , или v  C1e   b0 ( x ) dx . Так как нам достаточно какого-нибудь отличного нуля решения уравнения (9.4), то за функцию v(x) возьмем (9.5). v( x)  e   b0 ( x ) dx . Очевидно, что v( x)  0 . Подставляя найденное значение v(x) в (9.3) и, учитывая (9.4), получим du e   b0 ( x ) dx  f ( x) dx или du  f ( x)e  b0 ( x ) dx dx ; du   f ( x)e  b0 ( x ) dx dx  C . Подставляя значения v и u в формулу (9.2), получаем (9.6). y  e   b0 ( x ) dx  C   f ( x)e  b0 ( x ) dx dx. Пример. Решить уравнение y   2 xy  2 xe  x 2 2 x y  u  v ; y   u v  uv ; u v  uv   2 xuv  2 xe ; u (v  2 xv)  u v  2 xe  x2 ; v  2 xv  0 ; 2 dv  2 xdx  0 ; ln v  x 2  ln C ; v  Ce  x ; v u  2 x ; 2 C  1; v  e  x ; 2 du  2 xdx ; u  x  C ; y  u  v  e  x2 2 2 u e  x  2 xe  x ; (x2  C) . Замечание: При нахождении решения линейного уравнения (9.1) можно пользоваться формулой (9.6). Уравнение вида dx  P (t ) x  Q(t ) x  ,   1 (1) dt называется уравнением Бернулли. Прежде всего отметим, что при   1 уравнение (1) принимает вид dx  ( P (t )  Q (t )) x  0 dt то есть является уравнением с разделяющимися переменными, общее решение которого x  Ce   ( P (t )  Q (t )) dt Разумеется, считаем, что P(t ) и Q(t ) непрерывны на некотором интервале (a; b) . Область изменения величины x в (1) определяется значением  , то есть областью существования функции x  . Для решения д.у. (1) делаем замену (2) x  x(t )  u (t )  v(t )  u  v , то есть вместо одной неизвестной функции вводим две! Но появляется возможность при этом выбрать одну функций u (t ) или v(t ) , как будет удобнее. Постановка (2) в (1) дает du dv v u  P(t )u  v  Q(t )(u  v)  . (3) dt dt Найдем v из уравнения dv  P(t )v  0 (4) dt то есть положим v  e   P (t ) dt  0 . (5) При этом среди первообразных для P(t ) выберем наиболее удобную. С учетом (4) уравнение (3) принимает вид du v  q(t )u   v   0. dt Это уравнение с разделяющимися переменными (t , u ) и общее решение U (1 ) (t )  (C  (1  )  Q(t )e (1 )  P (t ) dt dt ). (6) его с учетом (5) имеет вид  (1  )  P (t ) dt  1 1  x  C  (1  )  Q(t )e dt  e   P (t ) dt (7) По (2) окончательно Разумеется, не следует запоминать формулу (7). Надо использовать алгоритм, описанный в (2) – (5). Пример 1. Иллюстрируем сказанное примером: dx x t 3   . dt t 3x 2 Очевидно, что это д.у. имеет вид (1), если положить 1 t3 P(t )   , Q(t )  ,   2. t 3 Решать данное уравнение Бернулли можно лишь при условии t  0, x  0. Замена x  u  v приводит его к виду (3) du dv 1 t3 v  u  uv  2 2 dt dt t 3u v Если положить, как в (4) dv 1  v  0, dt t то есть считать v каким-то ненулевым решением уравнения с разделяющимися переменными, например v  t (любое решение последнего д.у. очевидно есть v  C  t ), то для u получаем дифференциальное уравнение du t3 t  2 2 dt 3u t или 3u 2 du  dt , откуда u 3  t  C и u  3 t  C. Окончательно x  u  v  t  3 t  C. Как было отмечено, t  0, x  0, что влечет ограничение t  C  0. Пример 2. Решим следующее уравнение Бернулли, требующее дополнительных исследований: dx 4 (8)  x  t  x. dt t 1 Это уравнение Бернулли с   . Очевидно, что x  0 , t  0 и x  0 2 решение данного уравнения. Отметим, что x  0 - решение любого уравнения Бернулли с   0 . Таким образом, достаточно рассматривать решения (8) в первом (t  0, x  0) и во втором (t  0, x  0) квадратах. Так как (8) можно записать в виде dx 4 (9)  xt x dt t и функции 4 4 t f (t , x)  x  t  x ; f x (t , x)   t t 2 x непрерывные в указанных квадрантах, то в них имеет место существование и единственность решения задачи Коши для д.у. (8), (9). Так как правая часть (9) нечетная по t функция, то если x(t )  x(t ), а dx dx (t )   (t ) , очевидно, глобальная картина интегральных линий dt dt симметрична относительно оси Ox (вертикальной). Поэтому достаточно решать уравнение (8) или (9) в первом квадранте (t  0, x  0) . Произведя в (8) замену (2), получаем du dv 4 v   u  v  t  u  v . (10) dt dt t dv 4 Положим [как в (4)]  v  0 . Для v  0 (так как x  u  v  0 ) это dt t уравнение равносильно 4dt dv   0 t v - уравнение с разделенными переменными, откуда v  Ct 4 . Проще всего считать C  1 и выбрать v  t 4 . Тогда для u  0 получаем из (10) уравнение du t4  t  u t4 , t  0 dt или du t  u . (11) dt Здесь следует сделать важное замечание: u  0 . Уравнение (11) – с разделяющимися переменными и 1 u  ln Ct . 2 В силу сделанного замечания ln Ct  0 и t C Для t  0 t  C 1  1 . (12) 1 1 . Имеем u  ln 2 Ct 4 C и t4 2 1 . x  ln Ct , t  4 C Решение x  0 является особым. (13) t4 2 1 , то функция ln Ct 4 C оказывается определенной на всей прямой (;) . Очевидно, что нарушена единственность решения задачи Коши в первом и втором квадрантах. Следует из того, что по (9) при (t  0, x  0) dx производная  0 и x(t ) возрастает на интервале определения для dt положительных значений t . Уравнения в полных дифференциалах Если не отмечать в (13) условие t  Рассмотрим дифференциальное уравнение M ( x, y )dx  N ( x, y )dy  0 . (11.1) Предположим, что M ( x, y ), N ( x, y ) M N , дифференцируемые в некоторой , y x области D . Определение. Если левая часть уравнения (11.1) представляет собой полный дифференциал некоторой функции u ( x, y ) , то (11.1) называется уравнением в полных дифференциалах. Другими словами, уравнение (11.1) представляется в виде (11.2) du ( x, y )  0 ; откуда, интегрируя, найдем общий интеграл u ( x, y )  C . При каких условиях относительно функцией M ( x, y ) , N ( x, y ) уравнение (1) будет в полных дифференциалах? Если оно в полных дифференциалах, то как его решить, т.е., как найти функцию u ( x, y ) ? Ответы на эти вопросы дает следующая теорема. Теорема. Для того чтобы уравнение (11.1) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы в области D выполнялось условие M N (11.3)  y x Примеры: 1. Решить уравнение (3x 2  6 xy 2 )dx  (6 x 2 y  4 y 3 )dy  0 . Сначала определяем, что это за уравнение. M M ( x, y )  3 x 2  6 xy 2 ;  12 xy ; y N N ( x, y )  6 x 2 y  4 y 3 ;  12 xy . x Из этого соотношения следует, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Найдем его общий интеграл. 1-ый шаг. Используем соотношение (11.5): u u  N ( x, y )  6 x 2 y  4 y 3 .  M ( x, y )  3x 2  6 xy 2 ; y x Из первого соотношения находим: u   (3x 2  6 xy 2 )dx   ( y ) , (11.11) u  x 3  3x 2 y 2   ( y ) . 2-ой шаг. Найдем u  6 x 2 y   ( y ) . y 3-й шаг. Используем второе соотношение (11.5) u N ( x, y )   6 x 2 y   ( y )  6 x 2 y  4 y 3 . y Отсюда  ( y )  4 y 3 ,  ( y )  y 4  C1 . 4-ый шаг. Подставляем  ( y ) в (11.11). 5-ый шаг. Окончательно получим общий интеграл x 3  3x 2 y 2  y 4  C , &&& $$$002-0011-002$3.2.11.2. Дифференциальные уравнения высших порядков Определение. Уравнение вида y ( n )  bn1 ( x) y ( n1)    b1 ( x) y  b0 ( x) y  f ( x) , (3.1) где называется линейным i  1,2,, n , bi1 ( x) , f ( x)  C (a, b) ; дифференциальным уравнением n -го порядка. Функция f (x) называется правой частью уравнения (3.1), функции bi 1 ( x), i  1,2,, n - коэффициентами ЛДУ (3.1). Если f ( x)  0 , то уравнение (3.2) y ( n )  bn1 ( x) y ( n1)    b1 ( x) y   b0 ( x) y  0 называется однородным ЛДУ n -го порядка. Уравнение (3.1) с ненулевой правой частью называют неоднородным ЛДУ. Дифференциальные уравнения (3.1) разделяют на два вида: 1) ЛДУ с переменными коэффициентами bi 1 ( x), i  1,2,, n . 2) Если все эти функции являются постоянными величинами, то такое ЛДУ называется уравнением с постоянными коэффициентами. Оно имеет вид y ( n )  an1 y ( n1)    a1 y  a0 y  f ( x) . Рассмотрим задачу Коши. Пусть требуется найти решение ЛДУ (3.1), удовлетворяющее начальным условиям (НУ)  y ( x0 )  y 0  y ( x )  y   0 0 (3.3)           y ( n1) ( x0 )  y0( n1) При каких условиях относительно правой части, ЛДУ (3.1) имеет единственное решение задачи Коши? Теорема Пикара – Пеано – Коши (существования и единственности решения). Если y дифференциального уравнения (3.1) bi 1 ( x), i  1,2,, n , f ( x)  C (a, b) и x0  (a, b) , то линейное дифференциальное уравнение (3.1) имеет единственное решение на (a, b) удовлетворяющее начальным условиям (3.3) (без доказательства) Линейный дифференциальный оператор и его свойства Определение. Линейным дифференциальным оператором n -го порядка назовем выражение n Ln [ y ( x)]  y ( n )  bn1 ( x) y ( n1)    b1 ( x) y   b0 ( x) y   bi ( x) y ( i ) ( x) (3.4) i 0 Тогда линейные дифференциальные уравнения (3.1), (3.2) с учетом линейного дифференциального оператора можно переписать в сокращенном виде Ln [ y ( x)]  f ( x) , Ln [ y ( x)]  0 . Перечислим свойства этого оператора 2. Постоянный множитель можно вносить за знак линейного дифференциального оператора Ln [Cy ( x)]  CLn [ y ( x)] . Доказательство. Подставляя вместо y (x) функцию Cy (x) в линейный дифференциальный оператор и используя свойства дифференцирования, получим n n i 0 i 0 Ln [Cy ( x)]   bi ( x)[Cy ( x)]( i )  C  bi ( x) y (i )  CLn [ y ( x)] , причем bn ( x)  1 , и т.д. 2) Линейный дифференциальный оператор от сумм конечного числа функций равен сумме линейных дифференциальных операторов слагаемых k k Ln  yl ( x)   Ln [ yl ( x)] . l 1  l 1 Доказательство. Рассмотрим левую часть и, используя свойства суммирования и дифференцирования, получим k n k k n k Ln  yl ( x)   bi ( x)  yl(i ) ( x)    bi ( x)yl( i ) ( x)   Ln [ yl ( x)] . l 1  l 0 l 1  l 1 i 0 l 1 Однородные линейные дифференциальные уравнения Рассмотрим однородное ЛДУ  n Ln ( y )   bi ( x) y ( i )  0 , bn ( x)  1 , i 0  (3.4) причем Однородное ЛДУ обладает bi 1 ( x)  C (a, b), i  0,1,, n  1. следующими свойствами. 2. Если y1 ( x) является решением ОЛДУ (3.4), то функция Cy1 ( x) также является решением этого уравнения. Доказательство. По условию Ln [ y1 ( x)]  0 , т.к. y1 ( x) - решение однородного ЛДУ. Докажем, что Cy1 ( x) также удовлетворяет уравнению. Подставим y1 в его левую часть уравнения (3.4) и, использовав первое свойство, получим Ln [Cy1 ( x)]  CLn [ y1 ( x)]  C  0  0 . 2) Если y1 ( x) и y 2 ( x) являются решениями однородного ЛДУ (3.4), то их сумма также является решением уравнения (3.4). Доказательство. По условию Ln [ y1 ( x)]  0 и Ln [ y 2 ( x)]  0 рассмотрим Ln [ y1 ( x)  y 2 ( x)]  по свойству оператору = Ln [ y1 ( x)]  Ln [ y 2 ( x)]  0 . 3) Если функций y1 , y 2 ,, y n являются частными решениями однородного ЛДУ (3.4), то их линейная комбинация C1 y1 ( x)  C2 y 2 ( x)    Cn y n ( x) (*) также является решением уравнения (3.4). Доказательство. По условию Ln [ yi ( x)]  0, i  1,2,, n . Подставим в левую часть уравнения (1.1) линейную комбинацию (*): n n Ln ( y )  Ln  Cl yl ( x) = по свойству оператору =  Ln [Cl yl ( x)]  l 1  l 1 n n l 1 l 1   Cl Ln [ yl ( x)]   Cl  0  0 . Линейная независимость функций Определение. Функции y1 ( x), y2 ( x),, yn ( x) называются линейно независимыми на (a, b) , если соотношение (3.5) 1 y1 ( x)   2 y2 ( x)     n yn ( x)  0 x  (a, b) выполняется только при всех  i  0, i  1,2,, n (т.е. если это соотношение не выполняется для отличных от нуля чисел  i ). Определение. Система n функций yi ( x)1n называется линейно зависимой на (a, b) , если существует числа  i , не все равные нулю, такие, что выполняется соотношение (3.5). Примеры: 1. Функции y1  6( x  1) , y 2  x  1 линейно зависимы, т.к. y1  6 y 2  0 x ,   1 ,  2  6 . 2. Функции y1  1 , y 2  x , y3  x 2 , y 4  x 3 линейно независимы. Допустим противное – пусть они линейно зависимы. Тогда для 1 , 2 , 3 , 4 не равных одновременно нулю, выполняется (3.6)  4 x 3   3 x 2   2 x  1  0 x . Но, как известно, кубическое уравнение имеет только три решения x1 , x2 , x3 . Поэтому соотношение (3.6) может выполняться только для трех точек, а не для x . Следовательно, 1, x, x 2 , x 3 линейно независимы. Пусть n 1 yi ( x)  C (a, b), i  1,2,, n . Определение. Функциональный определитель вида y1 ( x) y 2 ( x)  y n (x) y1 ( x) y 2 ( x)  yn (x) W ( x)     y1( n1) ( x) y 2( n1) ( x) y n( n1) ( x) называется определителем Вронского n -го порядка (вронскианом n -го порядка). Теорема (необходимое условие линейной зависимости). Если система n n функций yi ( x)1 линейно зависима на (a, b) , то вронскиан, составленный их этих функций, равен нулю. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Рассмотрим однородное ЛДУ n -го порядка y ( n )  an1 y ( n1)    a1 y   a0 y  0 , (3.16) где ai 1  const , i  1,2,, n . Будем искать его решение в виде (3.17) y ( x)  e x , где  - пока неизвестное постоянное число. Такая замена называется подстановкой Эйлера и используется потому, что при дифференцировании сохраняется ее форма. Для того, чтобы найти неизвестное число  , продифференцируем y n раз: y   e x y   2 e x ------y ( n )  n e x и подставим в уравнение (5.16) n e x  an1n1e x    a1e x  a0 e x  0 . Внесем e x за скобку и сократим на него, так как e x  0 (3.18) n  an1n1    a1  a0  0 . Относительно неизвестной  получили алгебраическое уравнение n -ой степени. Уравнение (3.18) называется характеристическим уравнением для ЛДУ (3.16). В силу основной теоремы алгебры характеристическое уравнение (3.18) имеет ровно n корней (различных, кратных, комплексных). Поэтому рассмотрим отдельно каждый случай. а) Корни характеристического уравнения действительные, различные 1 , 2 ,, n . Тогда общим решением однородного уравнения (3.16) является (3.19) y  C1e 1x  C2 e 2 x    Cn e n x Пример: Найти общее решение уравнения y   6 y   11y   6 y  0 . Ему соответствует характеристическое уравнение 3  62  11  6  0 , имеющее корни 1  1 , 2  2 , 3  3 . Общим решением является y ( x)  C1e x  C 2 e 2 x  C3 e 3 x . б) Пусть у характеристического уравнения (3.18) корни действительные, среди них есть кратные. Пусть   1 есть корень кратности - k . Тогда этому корню соответствует k решений из ФСР вида y1  e x , y2  xe x , y3  x 2 e x ,, yk  x k 1e x . Пример. Найти общее решение y   18 y   81y  0 ; 2  18  81  0 ; 1  2  9 ; y1  e 9 x ; y 2  xe 9 x . Тогда y  e 9 x (C1  C2 x) . в) Пусть некоторые корни являются комплексными. Предположим, что один некратный корень равняется 1    i . Тогда, как известно, вторым корнем будет сопряженное число 2    i . Тогда ему соответствует пара решений ФСР y1  ex cos x , y2  ex sin x . Пример. Найти общее решение однородного ЛДУ y   5 y   17 y   13 y  0 . Его характеристическое уравнение 3  52  17  13  0 . Нетрудно заметить, что один корень 1  1 тогда, разделив уравнение на (  1) , получим квадратное уравнение 2  4  13  0 . Его корни 2,3  2  4  13  2   9  2  3i , т.е.   2 ,   3 . Значит, общим решением исходного уравнения является функция y ( x)  C1e x  C 2 x (C 2 cos 3 x  C3 sin 3x) . д) Пусть корни характеристического уравнения (3.18) комплексные кратные. Предположим, что корень есть 1    i кратности k . Тогда 2    i также является корнем кратности k . В этом соответствующая часть общего решения однородного ЛДУ (3.16) имеет вид y ( x)  ex [( C1  C2 x    Ck x k 1 ) cos x  (Ck 1  Ck  2 x    C2 k x k 1 ) sin x] . Пример. Решить уравнение y IV  8 y   16 y  0 . Характеристическое уравнение 4  82  16  0 или (2  4) 2  0 . Корнями будут комплексные числа кратности 2: 1  2  2i ; 3  4  2i . И общим решением является функция y( x)  (C1  C2 x) cos 2 x  (C3  C4 x) sin 2 x . Сформулируем теорему, описывающую общее решение однородного ЛДУ в наиболее часто встречающемся в приложениях случае n  2 . Теорема. Пусть 1 и 2 - корни характеристического уравнения для ЛДУ с постоянными коэффициентами y   a1 y   a0 y  0 . Тогда возможны три случая. 1) Если 1 и 2 -действительные и различные 1  2 - то общее решение ЛДУ есть y ( x)  C1e 1x  C2 e 2 x . 2) Если 1  2 , то y ( x)  C1e 1x  C2 xe 1x . 3) Если 1, 2    i , то y ( x)  C1e x cos x  C2 e x sin x . Рассмотрим теперь методы нахождения частного решения неоднородного ЛДУ. Метод Лагранжа (метод вариации произвольных постоянных) Пусть дано неоднородное ЛДУ n -го порядка y ( n )  bn1 ( x) y ( n1)    b1 ( x) y  b0 ( x) y  f ( x) , f ( x), bi 1 ( x)  C (a, b), i  1,2,, n . (3.20) Предположим, что найдена или известна фундаментальная система решений однородного уравнения (3.21) y1 ( x), y 2 ( y ),, y n ( x) . Решением уравнения (3.20) будем искать в виде (3.22) yчн ( x)  c1 ( x) y1  c2 ( x) y2    cn ( x) yn , т.е. предполагая Ci ( x), i  1,2,, n не постоянными, а переменными и дифференцируемыми на (a, b) величинами. Эти функции пока неизвестные произвольные, для нахождения их нужно иметь условий. n Продифференцируем yчн еще раз   C1 ( x) y1  C2 ( x) y2    Cn ( x) yn  [C1( x) y1  C2 ( x) y2    Cn ( x) yn ] . yчн Предполагая каждый раз, что сумма в квадратных скобках также равна нулю, найдем (n  1) производную ( n1) yчн  C1 ( x) y1( n1)  C2 ( x) y2( n1)    Cn ( x) yn( n1)   [C1( x) y1( n2)  C2 ( x) y2( n2)    Cn ( x) yn( n2) ] . Полагая выражение в квадратных скобах равным нулю, продифференцируем (n) yчн  C1 ( x) y1( n )  C2 ( x) y2( n )    Cn yn( n )   [C1( x) y1( n1)  C 2 ( x) y 2( n1)    C n ( x) y n( n1) ] . Подберем Ci (x) так, чтобы функция (3.22) являясь решением уравнения (3.20). Подставляя функцию (3.22) и ее производные левую часть линейного дифференциального уравнения (3.20), получим n Ln ( yчн )   Ci ( x) Ln [ yi ( x)]  C1( x) y1( n1)  C2 ( x) y2( n1)    Cn ( x) yn( n1)  f ( x) . i 1 Так как { yi ( x)}1n - частные решения однородного ЛДУ, то получим последнее n условие относительно {Ci( x)}1n . Таким образом, для нахождения неизвестных функций C1( x), C2 ( x),, Cn ( x) получили систему линейных алгебраических уравнений C1( x) y1  C 2 ( x) y 2    C n ( x) y n  0  C1( x) y1  C 2 ( x) y 2    C n ( x) y n  0  (3.23)                      C ( x) y ( n2 )  C  ( x) y ( n2 )    C  ( x) y ( n2 )  0 1 2 2 n n  1 C1( x) y1( n1)  C 2 ( x) y 2( n1)    C n ( x) y n( n1)  f ( x) Решая ее методом Крамера (что можно сделать, т.к. главный определитель системы равен вронскиану W ( x)  0 , ибо { yi ( x)}1n - ФСР), имеем W ( x) , i  1,2,, n , Ci( x)  i W ( x) где определители Wi (x) получаются из главного W (x) заменой элементов i го столбца свободными членами системы. Пример. Найдем общее решение неоднородного ЛДУ второго порядка y   y  1 . Найдем вначале ФСР однородного уравнения y   y  0 . Из характеристического уравнения 2  1  0 получим 1, 2  i , т.е.   0 ,   1 , поэтому y1  cos x , y 2  sin x . Подставив эти функции в (3.23) получим C1( x) cos x  C2 ( x) sin x  0  C1( x)( sin x)  C 2 ( x) cos x  1 0 sin x cos x sin x   sin x , Отсюда W ( x)   1 , W1 ( x)  1 cos x  sin x cos x cosx 0 W2 ( x)   cos x .  sin x 1 Следовательно C1( x)   sin x , C1 ( x)  cos x , C2 ( x)  cos x , C2 ( x)  sin x , yчн  C1 ( x) y1  C2 ( x) y2  cos 2 x  sin 2 x  1 . Окончательно получим общее решение исходного уравнения (см.3.13) y  С1 y1  С2 y 2  yчн  С1 cos x  С2 sin x  1. &&& $$$002-0011-100$Лекция №11 Вопросы или тесты для самоконтроля 1.Линейные дифференциальные уравнения n -го порядка 2.Линейная независимость функций 3.Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами &&& $$$002-012-000$3.2.12. Лекция №12. Ряды. 1.Ряды с положительными членами 2. Приводим признаки сходимости положительных рядов 3.Знакопеременные ряды. &&& $$$002-012-001$3.2.12.1. Ряды с положительными членами. Рассмотрим числовую последовательность a n   a1 , a 2 ,..., a n ,...,  составим из неё сумму  a n  a1  a 2 ...  a n  ... n 1 1. Определение. Выражение вида   a n =, a 1  a 2  ... (1) n 1 называется числовым рядом, a числа an называются его членами. Для определенности будем считать a1 первым членом ряда, хотя ряд может начинаться с любого другого члена. Сумма первых n слагаемых ряда (1) называется его частичной суммой, она обозначается через S n . При этом n S1  a1 , S2  a 1  a 2 , S3  a 1  a 2  a 3 , …, Sn  a 1  a 2  ...  a n   a k k 1 Определение. Если существует конечный предел частичных сумм ряда (1) при n   , то это число называется суммой ряда S , а ряд в этом случае называется сходящимся: S  lim Sn . n  Если предел частичных сумм не существует (например, равен  ),то ряд называется расходящимся. У расходящегося ряда сумма не определена. Пример 1. Рассмотрим ряд, изучаемый в школьной программе – геометрическую прогрессию.  Это ряд вида b1  b1q  b1q 2  ...   b k q k 1 . k 1 Здесь b1 - первый член геометрической прогрессии, а q называется ее знаменателем. Частичная сумма геометрической прогрессии определяется формулой Sn  b1 1  qn 1 q (q  1) . Если q 1и b1  0 , то lim Sn  lim b1 n  n  1  qn  1 q и геометрическая прогрессия расходится. n Если q  1 и b1  0 , то Sn   b1  nb1 , lim nb1   и геометрическая n  k 1 прогрессия расходится. Если q  1 и b1  0 , то Sn   b1 , при n - нечетном 0, при n - четном , lim Sn не существует и прогрессия расходится. Итак, при b1  0 n  геометрическая прогрессия сходится только при q  1 . При b1  0 геометрическая прогрессия всегда сходится. 2. Рассмотрим теперь простейшие свойства рядов. 3 Пусть числовые ряды  ak (1) k 1   bk (2) k 1 сходятся, и имеют суммы соответственно S(1) и S( 2 ) , тогда ряд   (a k  b k ) k 1 (3) также сходится и его сумма равна S (1)  S ( 2 ) . 2)Если ряд (1) сходится, число c  0 , то ряд   ca k k 1 (4) также сходится и его сумма равна S( 4 )  cS(1) Если же ряд (1) расходится и c  0 , то ряд (4) расходится. 3) Если в ряде (1) изменить, добавить или отбросить конечное число членов, то сходимость этого ряда не изменится, т.е. если ряд (1) сходился, то новый ряд также сходится, а если ряд (1) расходился, то новый ряд расходится. Изменив конечное число членов сходящегося ряда, можно изменить его сумму, но сходимость ряда при этом не нарушится. 1 2 1 4 1 8  Пример 2. Так как ряд 1     ...   k 1 2 1 k 1 сходится (это геометрическая прогрессия с q  1 ), то ряд 2 1 1 1 1000     ... 2 4 8 также сходится.  Теорема 1. (Необходимый признак сходимости). Если ряд  a k k 1 сходится, то lim a k  0 . k  Поскольку последовательность частичных сумм ряда сходится, то lim S n  S и lim S n 1  S . n  n  Вычитая из первого соотношения lim (S n  S n 1 )  S  S  0 , т.е. lim ak  0 . второе получим k  k  Условие lim a k  0 является только необходимым, оно не является k  достаточным для сходимости ряда. Об этом свидетельствует пример  гармонического ряда 1  1  1  1  ...   1 . 2 3 4 k 1 k Как будет проверено в дальнейшем, этот ряд является расходящимся, хотя у него 1  0. k  k  k Поэтому с помощью необходимого признака невозможно установить сходимость ряда. Чаще применяется обратное утверждение, равносильное доказанной теореме. Следствие. Если lim ak не равен нулю, то ряд (1) расходится. lim a k  lim k  Докажите это следствие, используя метод “от противного”. Ряды с положительными членами Пусть дан ряд  a k с неотрицательными членами a n  0 .Исследуем  k 1 вопрос о его сходимости или расходимости. Так как частичные суммы ряда с неотрицательными членами образуют неубывающую последовательность, то это ряд сходится тогда и только тогда, когда последовательность S n  его частичных сумм ограничена. &&& $$$002-012-002$3.2.12.2 Приводим признаки сходимости положительных рядов. Теорема 2. ( признак сравнения). Пусть имеется два ряда  (1 )  ak k 1  ( 2 )  bk k 1 с положительными членами (a k , b k  0) , удовлетворяющими неравенству (5) a k  bk для всех, за исключением, быть может, конечного числа членов рядов. Тогда если ряд (2) сходится, то ряд (1) также сходится, если же ряд (1) расходится, то ряд (2) также расходится. Доказательство. Пусть ряд ( 2 ) сходится, тогда последовательность частичных сумм второго ряда S(n2 ) возрастает S(n2)1  S(n2)  a n 1  S2n  и имеет своим пределом сумму этого ряда S( 2 ) . S( 2 )  lim S(n2 ) . n  Из условия (5) следует, что S  S  S( 2 ) . Последовательность S(n1) возрастает и ограничена сверху числом S( 2 ) , следовательно, согласно свойствам пределов она имеет конечный предел, т.е. ряд (1 ) сходится. Пусть теперь ряд (1 ) расходится, тогда последовательность S(n1) возрастает и не ограничена сверху, т.е. lim S(n1)   . (1) n ( 2) n n  А, поскольку S(n2 )  S(n1) , то lim S n  ( 2) n   и ряд ( 2 ) расходится. Пример 4. Исследуем сходимость ряда  ln n . n 1 n   1 . n 1 n Для сравнения используем расходящийся гармонический ряд  ln n 1  , n n поэтому, согласно первому признаку сравнения, исследуемый ряд расходится. При n  2 ln n  1 и Для сравнения обычно используют такие известные ряды как геометрическая прогрессия или ряд Дирихле. Рядом Дирихле называется числовой ряд вида  1 1 1 1  p  p  ...   p . k 1 k 2 3 Немного позже мы докажем, что ряд Дирихле при p  1 сходится, а при p  1 расходится. При p  1 он превращается в гармонический ряд.  1 . k 1 k  1 Пример 5. Исследуем сходимость ряда  2  1 2 . k 1 k Для сравнения возьмем сходящийся ряд Дирихле  (Здесь p  2 ). Поскольку k 2  1  k 2 , то И исследуемый ряд сходится. 1 1  2 k 1 k 2 для всех k . Теорема 3. (Предельный признак сравнения).  Пусть ряды ak (1)  bk (2) k 1  k 1 с положительными членами такова, что существует конечный ненулевой предел ak (q  0) . k  b k q  lim Тогда ряды (1) и (2) сходятся или расходятся одновременно. Из существования указанных пределов следует, что для положительных чисел q 1  q   и q 2  q   , где 0  q 1  q  q 2 найдется a такой номер N , что для k  N выполняется неравенство q 1  k  q 2 ; т.е. bk q1b k  a k  q 2 b k . Если ряд (1) сходится, то из неравенства q 1 b k  a k , первого признака сравнения и свойства 2) рядов следует, что ряд (2) сходится. Если ряд (1) расходится, то из неравенства a k  q 2 b k первого признака сравнения и свойства 2) следует, что ряд (2) расходится. Пример. Исследуем сходимость ряда k 1 . 2 k 1 k  1   Для сравнения подберем ряд Дирихле следующим образом. Оставив в числителе и знаменателе слагаемые с наибольшей степенью, получим ряд с членами bk  k k2  1 , k 1.5 которые составляют сходящийся ряд Дирихле с параметром p  1.5  1 . Найдем число q . k 1 1 k 2  k 1..5 q  lim 2 :  lim 2  k  k  1 k 1.5 k  k  1 1  разделим числитель и знаменател ь на k 2  lim k  1 k 0.5  1 1 1 2 k Итак, согласно предельному признаку, исследуемый ряд сходится. Теорема 4. (Признак Даламбера)  Пусть у ряда  a k k 1 где a k  0 существует предел отношений a k 1 , k  a k q  lim (6) тогда: а) если q  1 , то этот ряд сходится, в) если q  1 или q   этот ряд расходится. При q  1 данный признак не применим. Пусть q  1 . Из существования предела (6) следует, что найдется такой номер N , что при k  N выполняется неравенство a k 1  q    q1 , где  ak взято столь малым, что q1  1 . Из последнего равенства следует, что a k 1  q1a k при k  N , т.е. a N 1  q1a N , a N  2  q1a N 1  q12 a N , …, a N  j  q1j a N . (7)   j0 kN Ряд  q1ja N   q1 kN a N является сходящейся геометрической прогрессией. Из (7) и первого признака сравнения следует, что исследуемый ряд сходится. В случае q  1 , начиная с некоторого номера N , выполняется a неравенство k 1  q    q 2 где q 2  1. Этот случай разберите ak самостоятельно. Признак Даламбера удобно применять в тех случаях, когда выражения для членов a k содержат факториалы и показательные, относительно k , функции. 2k Пример7. Исследуем сходимость ряда  . k 1 k!  Для этого ряда a k  2k 2 k 1 , поэтому , a k 1  k! (k  1)! 2 k 1 2 k 2 k 1 k! 2 q  lim :  lim  lim  0, k k  ( k  1)! k! k  k!( k  1) 2 k  k  1 т.к. q  1 , то исследуемый ряд сходится.  Теорема 5. (Радикальный признак Коши). Пусть в ряде  a k , где k 1 a k  0 , существует предел q  lim k a k . (8) k  Тогда: а) если q  1 , то этот ряд сходится, в) если q  1 или q   ,то этот ряд расходится. При q  1 , как и в предыдущем случае, признак Коши не применим. Пусть q  1 . Из существования предела (8) следует, что найдется такой номер N , что при k  N выполняется неравенство k a k  q    q1 , где  взять столь малым, что q1  1 . Последнее неравенство перепишем в виде a k  q1k . Используя первый признак сравнения для исходного рода и сходящейся геометрической прогрессии   q1 , получим, что исследуемый k k N ряд сходится. Случай q  1 рассмотрите самостоятельно. Этот признак Коши удобно применять в тех случаях, когда k a k извлекается.  1 Пример 8. Исследуем сходимость ряда  1   k 1 k  k 2 . Вычислим требуемый предел. 1  q  lim k 1   k  k  k 2 1   lim1   k  k  k 1 k  1     lim 1    e 1 . (Второй замечательный  k  k   предел). Поскольку q  1 , то исходный ряд сходится. Теорема 6. (Интегральный признак Коши).   ak Пусть имеется ряд k 1 и пусть a n  f n  , f  x  - неотрицательная монотонно убывающая функция на промежутке 1,  .  Тогда ряд  a k сходится (расходится) тогда и только тогда, когда сходится k 1 (расходится) несобственный интеграл   f  x dx (9) 1 Пусть ряд (1) сходится и имеет сумму S . Тогда его частичная сумма S k геометрически представляет собой площадь ступенчатой фигуры, составленной из прямоугольников с основаниями 1 и высотами a k (см. рис.1). Y a1 O a2 y  f x  a3 an n 1 2 3 Рис. 1 a n 1 n 1 X k 1 Интеграл  f (x )dx есть площадь криволинейной трапеции, с 1 основанием [1, k  1] , которая меньше S , т.е. k 1  f (x)dx  S  S. k 1 Поэтому интеграл с переменным верхним пределом k 1  f (x)dx не 1 k 1 убывает и ограничен сверху числом S , следовательно lim  f ( x )dx k  1  существует и f ( x )dx сходится.  1 Пусть теперь ряд (1) расходится. Тогда его частичная сумма без первого члена a 2  a 3  ...  a k  a k 1  S k 1  a 1 равна площади ступенчатой фигуры меньшей площади, чем криволинейная трапеция с основанием [1, k  1] (см. рис.2), т.е. S k 1  a 1  k 1  f (x)dx 1 Y y  f x  a1 O a2 a3 an n 1 2 3 a n 1 n 1 X Рис.2 k 1 Поскольку ряд расходится, то lim S n 1   , lim  f ( x )dx   и интеграл n  n  1   f (x )dx расходится. 1 Пример 9. Исследуем сходимость ряда Дирихле для различных p :  1  p . k k 1 1 получается путем замены индекса xp суммирования k на x . При p  0 она удовлетворяет всем условиям теоремы. Она непрерывна, в промежутке 1,  , т.к. имеет разрыв только в точке x  0; f ( x )  0 в этом промежутке и убывает в нем, т.к. ее знаменатель возрастает с ростом x . Функция y  f ( x )  Пусть p  1 , тогда    x  p 1 x  p 1 1 1 ,   1 f (x)dx  1 x dx   p  1 0  xlim    p  1  p 1 p 1 p т.е. при p  1 этот интеграл и ряд Дирихле сходятся. При p  1 этот интеграл и ряд Дирихле расходятся. При p  1   1 1  f (x)dx   dx   ln x 0  lim ln x  ln 1   . x   x Заметим, что при p  0 члены ряда Дирихле не стремятся к нулю, поэтому он расходится согласно следствию из необходимого признака. Следствие. Интегральный признак можно применять и к рядам вида  a k . k k 0 В этом случае условия, накладываемые на функцию y  f ( x ) должны выполняться на промежутке k 0 ,   . Доказательство этого факта проведите самостоятельно по образцу доказательства теоремы. Интегральный признак следует применять в тех случаях, когда возможно интегрирование функции y  f ( x ) .  1 . k 2 k ln k Пример10. Исследуем сходимость ряда  Понятно, что член a 1 этого ряда по написанной формуле определить не- возможно. 1 определена в промежутке x ln x [2,) , поэтому она непрерывна в промежутке 2,  , положительна в нем и убывает, т.к. ее знаменатель возрастает с ростом x . Элементарная функция y  f ( x )  Найдем несобственный интеграл   2 dx  x ln x   2 d ln x  ln ln x ln x  2  lim ln ln x  ln ln 2   . x   Т.е. исследуемый ряд расходится. &&& $$$002-012-003$3.2.12.3. Знакопеременные ряды. Рассмотрим теперь числовые ряды, имеющие члены любого знака. Определение. Знакочередующимся рядом называется числовой ряд вида  a 1  a 2  a 3  ...   (1) k 1 a k (10) k 1 где a k  0 для k  1,2,... . Для исследования сходимости таких рядов используется следующий признак. Теорема 7 (Признак Лейбница). Пусть знакочередующийся ряд (10) удовлетворяет двум условиям: а) lim a k  0 , k  в) члены ряда по модулю убывают, т.е. a k 1  a k , для k  N . Тогда этот ряд сходится и его сумма S удовлетворяет неравенству 0  S  a1. Рассмотрим случай, когда ряд начинается с  a 1 ; запишем частичную сумму для четного числа слагаемых S 2 n  (a 1  a 2 )  (a 3  a 4 )  ...  (a 2 n 1  a 2 n ) . Из условия в) теоремы следует, что S 2 n  0 и эта последовательность возрастает с ростом n (все скобки положительны). Запишем S2 n другим способом. S 2 n  a 1  (a 2  a 3 )  ...(a 2 n  2  a 2 n 1 )  a 2 n . Поскольку в скобках стоят положительные величины, то S 2 n  a 1 . Возрастающая последовательность S2 n ограничена сверху числом a 1 , следовательно, согласно свойству пределов существует предел lim S 2 n  S и 2 n  0  S  a1. Для нечетного числа слагаемых, учитывая условие а) получим lim S 2 n 1  limS 2 n  a 2 n 1   S  0  S , n  n  Случай, когда первый член ряда отрицателен, рассматривается аналогично. Пример11. Исследуем сходимость знакочередующегося ряда  1 1 1 1    ...   (1) k 1 . 2 3 k k 1 1 1 1 0 и  , для всех k  N , то этот ряд сходится, и k  k k 1 k его сумма S удовлетворяет неравенству 0  S  1 . Поскольку lim На самом деле, можно проверить, что S  ln 2 . Введем еще одно важное понятие для сходящегося ряда. Определение. n-ым остатком сходящего ряда (1) называется разность между его суммой S и частичной суммой Sn : R n  S  Sn . (*) Этот остаток есть сумма членов ряда, начиная с (n  1)  го R n   ak . k  n 1 Из (*) следует, что остаток можно определить только для сходящегося ряда, и что lim R n  0 , т.к. lim Sn  S. n  n  Следствие. Остаток знакочередующегося ряда, удовлетворяющего условиям признака Лейбница, по модулю не превосходит модуля своего первого члена, т.е. R n  a n 1 . Доказательство этого факта следует из того, что остаток является суммой знакочередующегося ряда, удовлетворяющего условиям признака Лейбница Rn    (1)k 1a k или R n  k  n 1   (1)ka k . k  n 1 Этот факт позволяет наиболее просто определять количество слагаемых ряда для приближенного вычисления его суммы. В случае, если ряд не удовлетворяет условиям теоремы Лейбница, эта оценка обычно более трудоемка. Пример12. Вычислить с погрешностью, не превосходящей   0,01 сумму ряда (1k 1 ) 1 1 1 1 1  k!  1  2  6  24  120  720  ... k 1  Очевидно, что ряд удовлетворяет условиям теоремы Лейбница. Поскольку у этого ряда a 5  1  0.01 , то R 4  0.01 . Отбросив этот 120 остаток из суммы ряда получим что с требуемой точностью S  S4  1  1 1 1 5.    2 6 24 8 Абсолютная и условная сходимость рядов. Пусть имеется произвольный числовой ряд:   ak (11) k 1 и ряд, составленный из абсолютных величин его членов,   ak . (12) k 1 Определение. Ряд (10 ) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд (12). Если ряд (11) сходится а (12) расходится, то ряд (10) называется условно сходящимся.  1 Пример13. Ряд  (1)k 1 k 2 сходится абсолютно так как сходится k 1 ряд из абсолютных величин членов этого ряда (это ряд Дирихле с p  2 ). Пример14. Выше было проверено что ряд  (1) k (13) k k 1 сходится согласно принципу Лейбница. Ряд из абсолютных величин его  1 членов есть расходящийся гармонический ряд  . k 1 k Поэтому ряд (13) сходится условно. Теорема 8. Если ряд (10) сходится абсолютно то он сходится. Доказательство. Пусть S n частичная сумма ряда (10) S n сумма  положительных слагаемых из S n  а S n сумма модулей отрицательных слагаемых из S n . Тогда S n  S n  S n Пусть Sn  частичная сумма ряда из абсолютных величин (12) и S его сумма тогда Sn  S n  S n  S .Поскольку положительные последовательности S n и S n возрастают, и ограничены сверху то имеются пределы lim S n  S  n  lim S n  lim n  n  (S n  S n ) и  lim S n  S  , следовательно, существует предел n    S  S , что означает что ряд (10) сходится. Если все члены ряда положительны или ряд имеет только конечное число отрицательных членов, то сходимость такого ряда может быть только абсолютной. Условие «исследовать сходимость ряда» для ряда общего вида означает установление факта сходимости этого ряда и  в случае сходимости проверку того, как сходится этот ряд  абсолютно или условно. Необходимость этого объясняется существенно различными свойствами абсолютно и условно сходящихся рядов. Теорема 9. При любой перестановке членов абсолютно сходящегося ряда эта сходимость не нарушается и сумма ряда не изменяется. Казалось что свойство «от перемены мест слагаемых сумма не меняется» должно выполняться всегда. Однако, для бесконечных сумм это не всегда так. Пример 15. Рассмотрим условно сходящийся ряд  1 1 1 1 1        (1) k 1 . 2 3 4 k k 1 Согласно признака Лейбница его сумма S  0 Переставим слагаемые в этом ряду следующим образом 1 1 1 1 1 1 1  1 1  1   1     1               2  4  3 6  8  5 10  12   2k  1 4 k  2  4 k Подсчитав значения стоящие в скобках, получим ряд  1 1 1 1 1 1 1 ,          (1) k 1 2 4 6 8 2(k  1) 2k 2 k k 1 члены которого в два раза меньше членов исходного ряда. Значит, после S указанной перестановки сумма ряда изменилась и стала равна . 2 Теорема 10. Если числовой ряд сходится условно то для любого числа А можно так переставить члены этого ряда что сумма полученного ряда станет равной А, кроме того можно так переставить члены условно сходящегося ряда что он станет расходиться. &&& $$$002-0011-100$Лекция №1 Вопросы или тесты для самоконтроля 1. Что такое числовой ряд? 2. Ряды с положительными членами, какие? 3. Перечисляйте признаки сходимости? 4. Когда сходится знакопеременные ряды? &&& $$$002-013-000$3.2.13. Функциональные ряды. 1. Основные понятие функционального ряда 2. Степенные ряды. 3. Ряды Тейлора &&& $$$002-013-001$3.2.13.1 Основные понятие функционального ряда Рассмотрим теперь ряды, членами которого являются не числа, а функции. Определение. Функциональным рядом называется выражение вида  a 0 (x)  a 1 (x)     a k (x) , k 0 (14) где a k ( x ) есть некоторые функции действительного переменного, имеющие общую область определения. При подстановке вместо x конкретных значений функциональный ряд (14) превращается в числовой ряд. Определение. Областью сходимости функционального ряда (14) называется множество всех значений x , при которых ряд (14) сходится. Эту область будем обозначать через D . Пример16. Для каждого значения x функциональный ряд   k x  1  2 x  3x   1 1 1 k 1 является рядом Дирихле. Поэтому этот ряд сходится только при x  1, т.е. его область сходимости есть интервал D  (1,) . Пример17. Ряд   x k  1 x  x 2  k 1 является геометрической прогрессией со знаменателем q  x . Поэтому его областью сходимости является интервал D  (1,1) . Для функционального ряда (10.14) его частичная сумма Sn ( x )  сумма S( x ) и остаток R n ( x ) есть функции, определенные в области D . В последнем примере в интервале (11) S n ( x )  1  x    x n 1  1  x ; n 1 x 1 ; S( x )  lim S n ( x )  n  1 x xn . R n ( x )  S( x )  S n ( x )  1 x Пусть   D некоторый промежуток, принадлежащий D . Определение. Функциональный ряд (10.14) называется равномерно сходящимся в  , если наибольшее значение модуля его остатка в  стремится к нулю при n   , т.е. lim max R n ( x )  0 . n   x Заметим что хотя остаток R n ( x ) в  всегда стремится к нулю, но равномерно в  он может к нулю не стремится.  Пример18. Рассмотрим ряд  x k в промежутке k 0   D  (1,1) . x n не существует поскольку xn lim  . x 1 1  x x( 1, 1) 1  x max R n ( x )  max x( 1, 1) Следовательно, в   (1,1) ряд сходится неравномерно. 1 1 1 xn 1 Если рассмотреть   [ , ]  то max  R    т.к. при x  1 1 2 2 2 2 x[  , ] 1  x 2 2 числитель дроби принимает свое наибольшее значение, а знаменатель наименьшее. Поэтому n 1   1 2 lim max R x   lim    lim n 1  0 1 1 n  n  n   1 2 x[  , ] 1 2 2 2 1 1 и в промежутке [ , ] 2 2 этот ряд сходится. В этом промежутке исследуемый ряд сходится равномерно. Проверка равномерной сходимости ряда исходя из определения часто есть трудоемкая работа поэтому практически используют признаки равномерной сходимости функциональных рядов. Определение. Числовой ряд   вk (2) k 0 называется мажорирующим для функционального ряда   a k (x) (14) k 0 на промежутке  , если для всех x   и любого k верно неравенство (15) a k (x)  в k . Если промежуток  не указывается то это неравенство должно выполнятся для всех действительных x . Теорема 1. ( Признак равномерной сходимости Вейерштрасса). Пусть для ряда (14) в промежутке  имеется сходящийся мажорирующий ряд (2). Тогда (14) равномерно сходится в  . Из неравенства (15) и первого признака сравнения следует что (14) сходится в  . Пусть R n ( x ) остаток ряда (14) а R n остаток ряда (2), тогда из неравенства (15) получим a n 1 (x)  a n  2 (x)    a n  N (x)  b n 1  b n  2    b n  N . Следовательно, a n 1 ( x )  a n  2 ( x )    a n  N ( x )  b n 1  b n  2    b n  N . Перейдя в обеих частях этого неравенства к пределу при N   , получим ,что R n ( x )  R n для всех x   т.е. max R n ( x )  R n . x Поскольку ряд (10.2) сходится то lim R n  0 n  , следовательно lim max R n ( x )  0 . n  x  Пример 19. Проверим, что ряд sin kx равномерно сходится на всей  k2 k 1 числовой оси.  sin kx 1 1 . Поэтому ряд мажорирует   2 k k2 k2 k 1 данный ряд для всех x  R . Поскольку чисьловой ряд Дирихле сходится при (p  2)  то и функциональный ряд сходится равномерно на интервале (,) . Необходимость выделения равномерную сходимость связана с тем, что равномерно сходящиеся ряды обладают рядом естественных свойств, которых лишены неравномерно сходящиеся ряды. Свойства равномерно сходящихся рядов. Поскольку sin kx  1 то   Пусть ряд a k ( x ) равномерно сходится в промежутке  и все его k D члены a k ( x ) непрерывны в  , тогда сумма этого ряда S( x ) также непрерывна в . Доказательство. Пусть x 0 внутренняя точка в  . Из того, что max R n ( x ) n  0 и S n ( x ) непрерывны в  следует что для каждого   0  x найдется такой номер n , что выполняется неравенство x. Кроме того, найдется число   0, такое R n (x)  что  x  ( x 0  , x 0  ) выполняется неравенство S n ( x )  S n ( x 0 )  . 3 Используя эти два x  ( x 0  , x 0  ) верно неравенства, получаем, что  для всех 3 для всех для всех S( x )  S( x 0 )  R n ( x )  S n ( x )  R n ( x 0 )  S n ( x 0 )  R n ( x )  R n ( x 0 )   S n (x)  S n (x 0 )        , 3 3 3 что означает верность равенства lim S( x )  S( x 0 ) и непрерывность S( x ) в x 0 . x x 0 Случай граничной точки x 0 рассмотрите сами. В следующей лекции будет приведен пример неравномерно сходящегося ряда с непрерывными слагаемыми сумма которого разрывна. 2) Пусть ряд   a k (x) k 0 равномерно сходится в отрезке [, ] и имеет сумму S( x ) . Пусть все члены ряда a k ( x ) непрерывны в отрезке [, ] тогда интеграл по [, ] от суммы ряда равен сумме интегралов от его слагаемых т.е.     S(x)dx    a k ( x )dx. k 0   Из свойства 1) следует что S( x ) и R n ( x )  S( x )  S n ( x ) непрерывны на [, ] . Проинтегрировав соотношение S( x )  S n ( x )  R n ( x ) , получим  n 1   S(x)dx    a k 0           k ( x )dx   R n ( x )dx . (16)   Поскольку   R n ( x )dx    R n ( x ) dx  (  ) max R n ( x ) и max R n ( x ) n  0    то  lim  R n ( x )dx  0 .Перейдя n  x[  , ] x[  , ] в равенстве (10.16) к пределу при n   , получим  требуемое утверждение. Пример 20. Выше было проверено, что геометрическая прогрессия  x k k 0 1 1 равномерно сходится в промежутке [0, ] и имеет сумму S( x )  . Применив 2 1 x 1 1 2  2 1 свойство 2) к отрезку [0, ] , получим, что dx   x k dx .Вычислим записанные 0 1  x k 0 0 2 1  интегралы  ln(1  x ) 02   x k 0 k 1 k 1 1 2 0  ln  1 1  ln 1   k 1 . 2 k 0 2  1 1 1 1  2  3     k .Этот пример 2 2 2 2 3 2  k k 0 показывает, что с помощью почленного интегрирования можно находить суммы числовых рядов. ln 2  Следовательно 177. Пусть члены сходящегося в [, ] ряда  a k (x) k D непрерывно дифференцируемы в промежутке [, ] и S( x ) -сумма этого ряда.  Пусть ряд, составленный из производных ряда  a  (x) ,равномерно сходится в k k 0 [, ] , тогда сумма ряда из производных равна производной S( x ) , т.е.  S( x )   a k ( x ) . k 0  Обозначим сумму ряда  a  (x) через F(x) . Согласно предыдущему свойству k k 0 проинтегрируем F( t ) на отрезке [, x ] , где x  [, ] , получим x  x  '  F(t)dt    a k (t)dt   (a k (x)  a k ()) S(x)  S() .Продифференцируем по x левую  k 0  k 0  x  и правую части этого равенства получим   F( t )dt   (S( x )  S())   F( x )  S( x ) .      Пример21. Рассмотрим сходящуюся геометрическую прогрессию x k k 0 1 1 на промежутке [0, ] . Сумма этого ряда S( x )  .Ряд из производных 2 1 x   k записывается в виде  kx k 1 и мажорируется сходящимся рядом  k 1 . k 0 2 k 0 (Проверьте сходимость этого ряда с помощью признака Даламбера). Поэтому ряд 1 из производных равномерно сходится в отрезке [0, ] . Согласно свойству 3) 2   1  1  получим  kx k 1   .С помощью дифференцирования также   2 1  x ( 1  x )   k 0 можно находить суммы числовых рядов. Например подставив в последнее  1 k 1 соотношение x   получим  k 1   4. 1 2 2 2 k 0 (1  ) 2 &&& $$$002-013-002$3.2.13.2. Степенные ряды. Степенные ряды т.е. ряды, члены которых есть степенные функции, являются одним из основных примеров функциональных рядов. Определение. Функциональный ряд вида  C k xk (17) k 0 называется степенным рядом а числа C k называются его коэффициентами. Степенной ряд всегда сходится при x  0 . Следующая теорема описывает его область сходимости. Теорема 1. (Теорема Абеля) а) Если степенной ряд (17) сходится в точке x 0 ( x 0  0 ) то он сходится для всех x из интервала x  x 0 (см. рис. 3,а)). б) Если степенной ряд расходится в точке x1 , то он расходится для всех x , удовлетворяющих неравенству x  x 1 (см. рис.3,б)).  x0 x0 0 X Рис. 3, а).  x1 а) Так как ряд 0 X x1 Рис. 3, б). сходится то согласно необходимому признаку   C k x 0k k 0 lim C k x 0k  0  k  откуда следует, что последовательность {C k x 0k } ограничена, т.е. существует число M , такое что абсолютную сходимость ряда  C k xk C k x 0k  M . Пусть x  x 0 . Рассмотрим . Получим k 0  k  x . Ck x   Ck x  x0 k 0 k 0 k Обозначим x x 0 (18) k 0 через q , где q  1 и C k x x x0 k 0 k  Mq k . Сравнивая с помощью первого признака сравнения ряд (18) и сходящуюся геометрическую прогрессию   Mq k , получаем что (18) сходится. Допустим что найдется x 2 такое, что k 0 x 2  x 1 для которого ряд (10.17) сходится. Тогда согласно пункту а) поскольку x 1  x 2 он должен сходится в точке x1 . Противоречие. Определение. Наибольшее значение x 0 такое, что в интервале ( x 0 , x 0 ) степенной ряд (10.17) сходится, называется радиусом сходимости этого ряда (обозначается через R ) а интервал  R , R  называется его интервалом сходимости. Из теоремы Абеля следует что в интервале  R , R  ряд (10.17) сходится а в интервалах  ,R  и R ,  он расходится (см. рис. 4). сходится расходится расходится ? ? R 0 X R Рис. 4. Сходимость ряда в точке x   R исследуется дополнительно. Если ряд сходится только в точке 0  то R считается равным 0  а если он сходится для всех x , то R считается равным  . Для определения радиуса сходимости R имеются следующие формулы получаемые из признаков Даламбера и Коши. C (19) R  lim k  k  C k 1 1 (20) R  lim k  k Ck Однако проще находить интервал сходимости путем непосредственного применения признаков Даламбера или Коши к абсолютным величинам членов ряда (17). Пример22. Найдем область сходимости ряда  xk .  k 1 k Исследуем абсолютную сходимость этого ряда с помощью признака Даламбера получим x k 1 x k x k 1 k k q  lim :  lim  x lim  x .Отсюда получаем что при x  1 , k k  k  1 k   k   k k 1 (k  1) x т.е. в интервале (11) этот ряд сходится а при x  1 , т.е. в интервалах (,1) и (1,) он расходится. Поэтому радиус сходимости ряда R  1 и интервал сходимости есть (11). Исследуем концы этого интервала. Подставив x  1 в ряд, получим числовой  1 ряд  , который является гармонический расходящимся рядом. Подставив k 1 k  (1) k .Выше с помощью признака x  1 , получим знакочередующийся ряд  k k 1 Лейбница было проверено что он сходится. Окончательно получаем, что область сходимости исследуемого ряда есть D  [1,1). Теорема 2. Пусть отрезок [, ]  лежит в интервале сходимости (R , R ) степенного ряда C k 0 ряд сходится абсолютно и равномерно. k x k ,тогда в [, ] этот Пусть для определенности    . Для x 0   этот ряд сходится. Далее x  [, ] . Перенесем теперь повторяем доказательства а) теоремы Абеля для рассмотренные выше свойства равномерно сходящихся рядов на случай степенных рядов. Свойства степенных рядов. Сумма степенного ряда (17) S( x ) непрерывна в интервале сходимости (R , R ) . Это следует из того что любое x  (R , R ) можно заключить в отрезок [, ]  ( R , R ) , в котором ряд (17) сходится равномерно. 1. Пусть S( x ) сумма степенного ряда (17) и отрезок [, ] лежит в    k 0 интервале сходимости (R , R ) , тогда  S( x )dx   C k  k 1   K 1 . k 1 Здесь в правой части равенства стоит сумма интегралов членов ряда (17)   C k x k dx . k 0  3) Производная суммы S( x ) степенного ряда (17) в интервале сходимости (R , R ) равна сумме степенного ряда, составленного из производных членов ряда  (17), т.е. S( x )   kC k x k 1 . k 0 Здесь мы оставили без доказательства тот факт что ряд из производных ряда (17) имеет тот же интервал сходимости (R , R ) . 4) Сумма степенного ряда (17) в интервале (R , R ) бесконечно дифференцируема. Это следует из того что согласно свойству 3) S( x ) является суммой степенного ряда поэтому операцию дифференцирования можно провести еще один раз S( x ) снова является суммой степенного ряда в (R , R ) и т.д. Определение. Функциональный ряд  C k (x  x 0 ) k (21) k 0 называется смещенным степенным рядом с центром в x 0 . Если обозначить ( x  x 0 ) через y , то смещенный степенной ряд превращается в степенной ряд вида (10.17). Поэтому ряд (10.21) имеет интервал сходимости вида ( x 0  R , x 0  R ) и в этом интервале обладает всеми свойствами степенных рядов. &&& $$$002-013-003$3.2.13.3 Ряды Тейлора Выше было показано что сумма степенного ряда S( x ) является бесконечно дифференцируемой функцией. Рассмотрим теперь обратную задачу о том, как заданную функцию y  f ( x ) записать в виде суммы некоторого степенного ряда. Такая запись позволит приближенно находить значения этой функции приближенно интегрировать ее численно решать дифференциальные уравнения и т.д. Пусть функция y  f ( x ) имеет производные до n го порядка включительно в окрестности точки x 0 . Определение. Многочленом Тейлора n го порядка функции y  f ( x ) в точке x 0 называется многочлен f ( x0 )( x  x0 ) f ( x0 )( x  x0 ) 2 f ( n ) ( x0 )( x  x0 ) n Tn ( x)  f ( x0 )     1! 2! n! n ( x  x0 ) k (k )   f ( x0 ) . (22) k! k 0 Здесь f ( 0 ) ( x ) считается равным f ( x ) и 0! 1 . Основное свойство этого многочлена состоит в следующем. Значения многочлена и всех его производных до n го порядка включительно в точке x 0 совпадают с соответствующими значениями функции и ее производных т.е. Tn ( x 0 )  f ( x 0 ) ; Tn ( x 0 )  f ( x 0 ) ; … … … ; Tn( n ) ( x 0 )  f ( n ) ( x 0 ) . При k  n Tn( k ) ( x )  0 . В самом деле из (22), подставив вместо x значение x 0 , получим Tn ( x 0 )  f ( x 0 )  0    0  f ( x 0 ) ; ( x  x 0 ) n 1 (n) Tn ( x)  f ( x 0 )  f ( x 0 )( x  x 0 )    f ( x 0 ) ; (n  1)! Подставив сюда x  x 0 , получим Tn ( x 0 )  f ( x 0 )  0    0 и т.д. Tn( n ) ( x 0 )  f ( n ) ( x 0 ) . При k  n Tn( k ) ( x 0 )  0 . Определение. Разность между f ( x ) и Tn ( x ) называется остаточным членом Тейлора с центром в x 0 : Обозначим его через R n ( x )  f ( x )  Tn ( x ) Из (22) следует что (23) R n ( x 0 )  R n ( x 0 )    R (nn ) ( x 0 )  0 Теорема 1. Пусть функция f ( x ) имеет в окрестности x 0 непрерывную (n  1) ую производную f ( n 1) ( x ) . Тогда для любого x из этой окрестности найдется такая точка c  ( x 0 , x ) или c  ( x , x 0 ) , что f ( n 1) (c) R n (x)  ( x  x 0 ) n 1 (n  1)! (24) При доказательстве воспользуемся теоремой Коши четвертого модуля «Дифференциальное исчисление функций одной переменной». Пусть g( x )  ( x  x 0 ) n 1 . Несложно проверить что g ( x 0 )  g ( x 0 )    g ( n ) ( x 0 )  0 g ( n 1) ( x 0 )  (n  1)! . Пусть для определенности R n (x) R n (x)  R n (x 0 ) .  g( x ) g( x )  g( x 0 ) x  x0 . Рассмотрим (25) (26) отношение Здесь в числителе и знаменателе добавлены нулевые величины R n ( x 0 ) и g( x 0 ) . Согласно теореме Коши найдется точка c1  ( x, x 0 ) такая что R n ( x )  R n ( x 0 ) R n (c1 ) ,т.е. учитывая (23) и (25)  g( x )  g( x 0 ) g (c1 ) R n ( x ) R n (c1 )  R n ( x 0 ) .  g(x ) g (c1 )  g ( x 0 ) Согласно теореме Коши в промежутке ( x 0 , c1 ) найдется точка c 2 такая, что R n (c1 )  R n ( x 0 ) R 'n' (c 2 ) R n ( x ) R n (c 2 )  R n ( x 0 )   .  g (c1 )  g ( x 0 ) g (c 2 ) g( x ) g (c 2 )  g ( x 0 ) Продолжая этот процесс (n  1) раз получим что R n ( x ) R (nn 1) (c n 1 )  ( n 1) g( x ) g (c n 1 ) (27). Обозначим c n 1 через c  g ( n 1) ( x ) заменим согласно (26) на (n  1)! а R n ( n 1) (c)  f ( n 1) (c)  Tn( n 1) (c)  f ( n 1) (c)  0 . В результате из (27) получаем R n (x) ( x  x 0 ) n 1 f ( n 1) (c) ,что и доказывает  (n  1)! требуемое утверждение. Определение. Остаточный член R n ( x ), записанный в виде (24) называется остаточным членом в форме Лагранжа а запись функции в виде n ( x  x 0 ) k f ( n 1) (c) (k ) (28) f ( x )  Tn ( x )  R n ( x )   f ( x 0 )  ( x  x 0 ) n 1 k ! ( n  1 )! k 0 называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Остаточный член здесь имеет тот же самый вид что и слагаемые многочлена Тейлора только в (n  1) ой производной вместо x 0 стоит близкая к ней точка c . Многочлен Тейлора используется для приближенного нахождения значения функции в точке x  R n ( x ) при этом является погрешностью этого вычисления. Однако часто вместо многочленов удобно использовать ряды. Определение. Пусть функция y  f ( x ) бесконечно дифференцируема в окрестности точки x 0 . Рядом Тейлора для функции y  f ( x ) с центром в точке x 0 называется смещенный степенной ряд  f (k ) k 0 (x  x 0 ) k f ( x 0 ) f ( x 0 ) (x 0 )  f (x 0 )  (x  x 0 )  (x  x 0 ) 2   k! 1! 2! (29) Частичная сумма Sn ( x ) этого ряда является многочленом Тейлора Tn ( x ) . (здесь и далее Sn ( x ) состоит из (n  1) слагаемых). Не следует думать что сумма ряда Тейлора S( x ) всегда совпадает с функцией y  f ( x )  по которой он был построен, во-первых потому, что область определения функции может не совпадать с областью сходимости ряда а вовторых даже в случае существования f ( x ) и S( x ) , эти значения могут отличаться друг от друга. Теорема 2. Пусть функция y  f ( x ) бесконечно дифференцируема в окрестности U точки x 0  и пусть для всех x из этой окрестности остаточный член Тейлора R n ( x ) стремится к нулю при n   , тогда ряд Тейлора функции y  f ( x ) с центром в x 0 сходится в U , и его сумма Sn ( x ) совпадает в U со значениями функции f ( x ) . В этом случае говорят что функция y  f ( x ) разлагается в ряд Тейлора в окрестности U . Учитывая что Tn ( x )  Sn ( x ) запишем формулу Тейлора (28) для x  U f ( x )  Sn ( x )  R n ( x )  или f ( x )  R n ( x )  Sn ( x ) . Перейдем в этом соотношении к пределу при lim f ( x )  lim R n ( x )  lim Sn ( x ) . n  n  n получим n  Поскольку предел левой части существует и равен f ( x )  lim R n ( x )  0  n  то существует предел частичных сумм ряда (29), стоящий в правой части т.е. f ( x )  S( x ) что и требовалось доказать. Определение. Ряд Тейлора с центром в точке x 0  0 называется рядом Маклорена этой функций. Ряд Маклорена имеет вид  f (0) 2 xk (k) (30) f (0)  f (0)  f (0) x  x  k ! 2 ! k 0  а остаточный член Тейлора в форме Лагранжа f ( n 1) (c) n 1 (31) R n (x)  x (n  1)! где c  (0, x ) или c  ( x ,0) . Разложение в ряд Маклорена основных элементарных функций 4.Показательная функция y  e x . Поскольку f ( k ) ( x )  e x для любого k  то f ( k ) (0)  e 0  1 . Подставив эти значения в (10.30), получим ряд Маклорена для этой функции. Проверим условия теоремы 2. Для любого фиксированного x из (31) получим n 1 x e x ex n 1 . (32) R n (x)  x  (n  1)! (n  1)! x k 1 Согласно признака Даламбера ряд  сходится для всех x . k 1 ( k  1)! x k 1  0 и из (32) Поэтому согласно необходимого признака (k  1)! k  получаем что lim R n ( x )  0 .  n  Окончательно имеем разложение функции y  e x в ряд Маклорена для x  (,)  x2 xk x e 1 x   ...  . (33) 2! k ! k 0 Пример 23. Вычислим число e с точностью до   0,01  для чего 1 1 воспользуемся рядом (33) при x  1 получим e  1  1     . 2! 3! Оценим остаточный член R n (1) с помощью (32) получим что e1 3 R 5 (1)    0.01 . 6! 720 Поэтому с требуемой точностью 1 1 1 1 1 1 1 1 326 43 e  S (1)  1  1      2      2 . 2! 3! 4! 5! 2 6 24 120 120 60 5.Функция y  sin x . Поскольку f ( x )  sin x  f ( x )  cos x  f ( x )   sin x  f    cos x  f ( IV )  sin x и т.д., то f (0)  0  f (0)  1  f (0)  0  f (0)  1  f ( IV ) (0)  0 и т.д. Из (30) получим что  x3 x5 x 2 k 1 k 1 . (34) sin x  x    (1) 3! 5! ( 2 k  1 )! k 1   Поскольку f ( k ) (c)  1  то для любого x x 2n и, как было показано выше lim R 2 n 1 ( x )  0 для всех n  (2n )! x . Поэтому разложение (34) справедливо для x  (,) . R 2 n 1 ( x )  1 Пример 24. Вычислим sin x dx x 0  с точностью до   0.01 . Для нахождения интеграла воспользуемся разложением в степенной ряд подинтегральной функции и свойством 2) об интегрировании равномерно сходящихся степенных рядов. Из (34) получаем sin x x2 x4 x6 что 1     и этот ряд равномерно сходится на любом x 3! 5! 7! отрезке поэтому 1  sin x x2 x4  x3 1 x5 1 1 1 0 x dx  0 1  3!  5! ... dx x 0  3  3! 0  5  5! 0   1  3  3!  5  5!   1 1 В результате получился знакочередующийся ряд, удовлетворяющий признаку Лейбница. Поскольку, согласно следствию из признака Лейбница 1 sin x 1 17 1 dx 1   R2   0.01 то с требуемой точностью  5 120 3  6 18 x 0 3) Функция y  cos x . Разложение в ряд Маклорена этой функции проведите самостоятельно по аналогии с предыдущим.  x2 x4 x 2k      (1) k Для любого x  (,) cos x  1  2! 4! (2k )! k 0 6.Степенная функция y  (1  x )  . Вычислим значения f ( k ) (0) . f ( x )  (1  x )   f (0)  1 f ( x )  (1  x )  1  f (0)    f ( x )  (  x )(1  x )   2  f (0)  (  1)  и т.д. С помощью индукции доказывается что f ( k ) (0)  (  1)(1  2)  (  k  1) . Подставив эти значения в (10.30) , получим что  (  1) 2 (  1)  (  k  1) k (1  x)   1  x  x 1 x . 2! k ! k 0 Можно доказать что этот ряд сходится и равенство выполняется для любых действительных  и x  (1,1) . Данный ряд называется биномиальным поскольку для целых  положительных  коэффициенты ряда совпадают с коэффициентами бинома Ньютона. Пример 25. Вычислим с точностью до   0.01 число 17 . Заметим что нельзя применять последнее разложение для функции 1 2 (1  x )  при x  16  поэтому поступим следующим образом 1 1 1  16 17  16  1  4 1   41     1 16  16   2 1 1 1  1  3              1 1 2 2 1 2  2  2  1   4 1      2 3   2 16 2! 16 3! 16     1 2 x Получился знакочередующийся ряд, удовлетворяющий условиям признака Лейбница (проверьте!). Поскольку 1 1   2 2 1 4  2  0,01  2! 16 то с требуемой точностью 17  4  4  1  4 1 . 32 8 y  ln(1  x ) .Воспользуемся формулой 1 суммы геометрической прогрессии для x  1 : 1  t  t2  t3   1 t Поскольку ряд равномерно сходится на промежутке [o, x ] (или [ x, o] ) при x  1  то проинтегрировав его по этому промежутку, получим 7.Логарифмическая функция x x x 1 x x t2 dt 2  1  t   1dt   tdt   t dt  ; ln(1  t ) 0  t 0  2 0 0 0 0 t3  0 3 x x  ; 0  x2 x3 xk .      (1) k 1 2 3 k k 1 На самом деле данное разложение справедливо для x  (1,1] . 6) y  arctgx Интегрируя геометрическую прогрессию и ее сумму 1  1  t 2  t 4   по промежутку [0, x ] , получим что 2 1 t 2 k 1  x3 x5 k x . arctgx  x       (1) 3 5 2 k  1 k 0 Данное разложение верно для x  (1,1] . 1 7) y  arcsin x . Запишем биномиальный ряд для    и x   t 2 . 2 ln(1  x )  x  1 1 t2  (1  t ) 2  1 2 1 1 2 1 3 4 1 3  5 6 t  t  t  . 2 2 4 246 Проинтегрировав ряд по промежутку [0, x] , получим требуемое разложение  (2k  1)!! x 2 k 1 1 x3 1 3 x5 1 3  5 x 7 arcsin x  x     x   . 2 3 24 5 246 7 (2k )!! (2k  1) k 1 Здесь (2k  1)!! 1  3  5(2k  1) ; (2k )!!  2  4  2k ; Данное разложение справедливо для x  (1,1] &&& $$$002-013-100$Лекция №13 Вопросы или тесты для самоконтроля 1.Степенные ряды 2.Ряды Тейлора 3.Разложение в ряд Маклорена основных элементарных функций &&& $$$002-014-000$3.2.14. Лекция №14. Теория вероятностей 1.Классическое определение вероятности. Применение элементов комбинаторики при вычислении вероятности 2.Вероятность суммы и произведения событий. Независимые события. Условная вероятность 3.Задача на нахождение вероятности появления хотя бы одного события. &&& $$$002-014-001$3.2.14.1. Классическое определение вероятности. Применение элементов комбинаторики при вычислении вероятности Пример 1. (на размещения) Урна содержит 5 шаров с номерами 1,2,3,4,5. Из урны извлекается один шар, записывается его номер, а затем шар возвращается в урну и после перемешивания из урны извлекается 2 ой шар, записывается его номер и снова шар возвращается в урну. После перемешивания из урны извлекается 3-ий шар. Требуется найти вероятность того, что все извлеченные шары имеют разные номера. Решение. Так как шары возвращаются назад в урну, то номера извлеченных шаров могут повторяться. То есть число всевозможных исходов испытания «взяли три шара с возвращением» будет равно, по формуле размещений с повторениями n= A35 =53=125. Число исходов, благоприятствующих событию А - “3 шара с различными номерами из пяти” вычисляется по формуле размещений без повторений, т. е. m 60 m= А35  5!  3  4  5  60 . Следовательно, Р (А) =   0.48 2! n 125 Пример 2. (на перестановки) В урне содержится 4 шара, помеченных номерами 1,2,3,4. После тщательного перемешивания из урны извлекаются все 4 шара по одному один за другим. Какова вероятность того, что шары будут извлечены в порядке возрастания номеров? Решение. Число всевозможных исходов испытания «шары извлекаются по одному» будет равно числу перестановок из 4 элементов, т. е. n= P(4)=4!= =1  2  3  4=24 и лишь одно событие, а именно четверка чисел (1, 2, 3, 4) благоприятствует событию А - «шары вышли в возрастающем порядке», т. е. m=1. Поэтому Р (А) = 1 . 24 Пример 3. (на сочетания). Партия товара состоит из =10 изделий, среди которых n=3 бракованных. Определить вероятность того, что среди m=6 наугад отобранных для проверки изделий (без возвращения) ровно к=2 окажутся бракованными. Решение. Число всевозможных исходов испытания «взять т изделий из » равно C mN . Найдем число исходов, благоприятствующих событию А – “к бракованных среди m отобранных”. к бракованных изделия из n бракованных в партии можно выбрать C nk способами. Остальные m-k годных изделия взяты из N-n годных в партии. Это можно сделать C mN kn способами. Поэтому, по правилу умножения, число благоприятствующих исходов событию А равно C nk  C mN kn . Итак, искомая вероятность будет равна  P ( A)  C C C k n mk N n (2) m N 2 Воспользуемся этой формулой для наших данных Р (А)= C 3 С 2 3 7! 5 6 7   35 , 4! 3! 1  2  3 3  35 1 =  210 2  3, Р (А) С 4 7  С 6 10  10! 7  8  9  10   210 . 6! 4! 1  2  3  4 C7 C 4 6 . Здесь 10 Получим &&& $$$002-014-002$3.2.14.2. Вероятность суммы и произведения событий. Независимые события. Условная вероятность Пример 1. Определить вероятность того, что партия из 50 изделий, среди которых 5 бракованных, будет принята при испытании наудачу выбранной половины всей партии, если условиями приема допускается бракованных изделий не более одного из 25. Решение. Пусть событие А – “среди 25 отобранных изделий ни одного бракованного”, В – “среди 25 отобранных изделий только одно бракованное”. Очевидно, что эти события несовместные. Тогда событие А+B – “в партии не более одного бракованного изделия”. И по формуле (3), получим P(A+B)= P(A)+P(B), так как A и B – несовместны. Р (А) С С 25 45 25 , 50 1 24 5 45 P (B)  C C C 25 , 50 P ( A  B)  C 25 45  5C 45 C 24 25 50  11  73 803   0,174 . 47  98 4606 Пример 2. Рабочий обслуживает два автоматических станка, к каждому из которых нужно подойти для устранения неисправности, если станок остановится в течение часа. Вероятность того, что первый станок не остановится в течение часа, равна 0,9, для второго 0,7. Определить вероятность того, что в течение часа а) рабочему не потребуется подойти ни к одному из станков; б) рабочий подойдет только к одному станку для устранения неисправности. Решение. а) Пусть событие А – “первый станок не остановится”, В – “второй станок не остановится”. Если считать станки работающими независимо друг от друга, то события А и В будут независимыми. Тогда по правилу умножения вероятность события АВ - «оба станка не остановятся» Р (АВ) = Р (А)Р (В)  0,9  0,70,63 б) Для того, чтобы определить вероятность того, что в течение часа рабочий подойдет только к одному станку, используем теорему сложения для несовместных, и теорему умножения независимых событий. Рассмотрим события, противоположные событиям А и В: А – «первый станок остановится» В – «второй станок остановится». Пусть событие D – «потребует ремонт только один станок». Оно состоит в появлении одного из событий А или . Здесь А «первый не остановится, а второй потребует ремонта», причем А иВ – независимы. Аналогично. По теореме сложения и умножения имеем Р (D)  Р (А АВ)  Р (АВ)  Р (АВ)  Р (А)Р (. По условию Р (А) р1= 0,9 , Р (В)  р2 0,7. Тогда Р( q1, Р( q2  1-0,7 0,3 Р (D)  р1 q2  р2 q1  0,9      . Пример 3. В первом ящике 20 деталей, из них 15 стандартных, во втором ящике 15 деталей, из них 10 стандартных. Из каждого ящика взяли по одной детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из них стандартная. Решение. Пусть событие А – «из первого ящика деталь стандартна» и В – «из второго ящика деталь стандартна». Тогда, очевидно, что событие С=А+В – хотя бы одна из отобранных стандартна, где события А и В совместны. Следовательно, по формуле (9) Р (С)=Р (А)+Р (В) - Р (АВ), Но события А и В также и независимы, поэтому по теореме умножения Р (С)=Р (А)+Р (В) - Р (А) Р (В) Имеем Р (А) = 15 3  , Р(В) 20 4 10 2  (классическое определение). Итак, 15 3 3 2 3 2 17 1 11 Р (С) =    =   . 4 3 4 3 12 2 12 = &&& $$$002-014-003$3.2.14.3. Задача на нахождение вероятности появления хотя бы одного события. Пример 6. В партии из 20 деталей имеется 5 бракованных. Наугад отбираются три детали. Найти вероятность того, что среди них имеется хотя бы одна бракованная. Решение. 1-ый способ. Используем теорему сложения несовместных событий. Обозначим через D – событие «среди трех деталей хотя бы одна бракованная. Это событие будет осуществлено, если произойдет одно из трех несовместных событий: А – «среди отобранных деталей только одна бракованная»; В – «среди отобранных деталей две бракованные»; С – «среди отобранных деталей все три бракованные». Тогда D=A+B+C, и вероятность события D будет равна P(D)=P(A)+P(B)+P(C). Здесь P ( A)  С С C 1 2 5 15 3 20 P ( D)  525  ; P (B)  1140 2 1 5 15 CC C 3 20 , 3 0 5 15 P (C )  C C C 3 20  10 , 1140 525  150  10 685  . 1140 1140 2-ой способ. События D – «среди отобранных деталей хотя бы одна бракованная» и D – «среди отобранных деталей ни одной бракованной» являются противоположным, тогда P(D)+P(D)=1. Отсюда P(D)=1- P(D). P(D)= С С С 0 3 5 15 3 20  455 1140 P ( D)  1  455 685  . 1140 1140 Пример 7. В электрическую цепь включены последовательно два предохранителя. Вероятность выхода из строя первого предохранителя равна 0,6, а второго 0,2. Определить вероятность прекращения питания в результате выхода из строя хотя бы одного из этих предохранителей. Решение. 1-способ. Пусть событие А – вышел из строя первый предохранитель, В – вышел из строя 2-ой предохранитель. Тогда событие D – «вышел из строя хотя бы один предохранитель» произойдет, если произойдет одно из следующих несовместных событий  или , или АВ. Здесь Р (А)= p1 = 0,6, P( q1    6=0.4 P(B) = p2 0,2, P( q2 P(D) = P( В  А  pq2 p2q1 p1p2 = 0,608 +0402+0602 =048+ +0,08 + 0,12 = 0,68. 2-cпособ. Событию D противоположным будет событиеD – ни один предохранитель не выйдет из строя. Тогда P(D)+P(D)=1 . Отсюда P(D)=1- Р(D)=1-P( 1- P(P()=1-q1q2 (11) Р(D)=1-0,40,8=1-0,32=0,68 . Пример 8. В первом ящике 20 деталей, из них 15 стандартных, во втором ящике 15 деталей, из них 10 стандартных. Из каждого ящика взяли по одной детали. Найти вероятность того, что хотя бы одни из них стандартная. Решение. Решение этого примера было показано через теорему сложения совместных событий в примере 2 § 3. Теперь, покажем решение этой задачи, используя формулу (11). Пусть событие А - «деталь из первого ящика стандартна”, В - “деталь из второго ящика стандартна”. Эти события независимы. Здесь событие А+В - “хотя бы одна из двух отобранных стандартна”. Найдем Р ( А )=q1= 5 1 5 1  , Р ( В )=q2=  . Итак, Р 15 3 20 4 1 1 4 3 (А+В)=1-   11 . 12 &&& $$$002-014-100$Лекция №14 Вопросы или тесты для самоконтроля 1.Классическое определение вероятности. Применение элементов комбинаторики при вычислении вероятности 2.Вероятность суммы и произведения событий. Независимые события. Условная вероятность 3.Задача на нахождение вероятности появления хотя бы одного события. &&& $$$002-015-000$3.2.15 Математическая статистика 1. Независимые повторные испытания. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число появления события 2. Дискретная случайная величина. Закон распределения. Виды дискретной случайной величины. Числовые характеристики &&& $$$002-015-001$3.2.15.1. Независимые повторные испытания. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число появления события Пример 1. Найти вероятность того, что среди взятых наудачу 4 деталей к=0, 1,2,3,4 стандартных, если вероятность того, что каждая деталь окажется стандартной, равна 0, 9. Решение. Используем формулу Бернулли. Здесь п. =4, р=0.9, q= 0.1 к=0, P4(0) = C400,90 =1    к=1, P4(1) = C410,913 =40,9  36  k=2, P4(2) = C420,922 = 60,81  486; k=3, P4(3) = C430,93  = 40,729  2916; k=4, P4(4) = C440,940 = 10,81  6561; Контроль: P4(0)+ P4(1) +P4(2)+ P4(3) +P4(4) = +36+ 486+ +2916+6561 1. Следовательно, вычисления проведены верно. Пример 2. В партии очень большого объема имеется 80% не бракованных изделий. Найти вероятность того, что среди взятых наудачу 5 изделий бракованных окажется: а) более трех; б) не более трех; в) по крайней мере, одна. Решение. Вероятность события А - «наудачу взятое изделие бракованное» равна р = 20%  0,2 , а вероятность события А - «наудачу 100% взятое изделие не бракованное» равна q = 80%  0,8 . Здесь n . 100% Тогда получим: а) вероятность того, что среди 5 отобранных окажется более трех бракованных изделий, равна Р5(4)+Р5(5) = С54  0,24  0,81 + С55  0,25  0,80 =0, 0, 00672. б) Вероятность того, что среди 5 отобранных не более трех бракованных изделий можно найти двумя способами Р5 (0) + Р5 (1) + Р5 (2) + Р5 (3)  С50  0,20  0,85 + С51  0,21  0,84 + С52  0,22  0,83 + С53  0,23  0,82 =0,32768+0,4096+0,2048+0,05 12=0,99328 или, так как события “более трех” и “ не более трех” являются противоположными, то по теореме о противоположных событиях, получим 1 – (Р5 (4) + Р5 (5)) 1 - 0, 00672  0, 99328 . в) По крайней мере, одно изделие окажется бракованным 1 - Р5 (0) 1 - 0,85 0, 67232. Пример 4. Для примера 1 найти наивероятнейшее число стандартных деталей среди 4-ех отобранных. Решение. Здесь n  4, р  0, 9; q  0, 1. Подставим в формулу (16), получим 40,9 - 0, 1  0 4  0, 9 + 0, 9; 3, 5  0 4, 5 . Отсюда к0  4 . Это случай а). Пример 5. Для примера 2, найти наивероятнейшее число бракованных изделий из 5 отобранных изделий. Решение. n  5; р  0,2; q  0, 8. Тогда n р  5  0, 2  1 – целое. Тогда наивероятнейшее число к0  n р  1 . Это случай б). Пример 6.Для примера 3 найти наивероятнейшее число появления события в 15 испытаниях. Решение. Здесь n=15, p=0.5, q=0.5. Тогда, подставляя в формулу (16), получим 7  к0  8. Это случай в), тогда 15  0,5  0,5  к0  15  0,5  0,5 или наивероятнейших чисел будет два 7 и 8. &&& $$$002-015-100$Лекция №15 Вопросы или тесты для самоконтроля 1.Независимые повторные испытания. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число появления события 2.Дискретная случайная величина. Закон распределения. Виды дискретной случайной величины. Числовые характеристики &&& $$$003-000-000$3.3 Практические занятия Линейная и векторная алгебра 1.Линейная алгебра 2.Векторная алгебра Аналитическая геометрия 1.Аналитическая геометрия на плоскости 2.Аналитическая геометрия в пространстве Введение в математический анализ. Предел функции. Непрерывность функции. Действительные числа. Функция. Элементарные функции. Производная функции. 1.Производная сложной функции. Основные теоремы. 2.Производные высших порядков и производная функции заданной параметрически. Правило Лопиталя и исследование функции и построение графика при помощи производной. 1. Правило Лопиталя. 2. Исследование функции и построение графика при помощи производной. 3. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции. Неопределенный интеграл. Методы интегрирования 1. Понятие неопределенного интеграла. 2.Табличное интегрирование 3. Интегрирование методом замены переменной. 4. Интегрирование по частям Методы интегрирования 1.Простейшие рациональные дроби 2.Интегрирование тригонометрических функций. 3.Интегрирование и иррациональных функций Определенный интеграл 1. Определенный интеграл Формула Ньютона – Лейбница. Методы интегрирования. 2. Приложение определенных интегралов Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных 1.Функции нескольких переменных 2.Дифференцирование сложных и неявных функций. 3.Градиент. Дифференцирование высших порядков. 4.Экстремумы функции нескольких переменных. Дифференциальные уравнения первого порядка 1.Основные понятия 2.Дифференциальные уравнения первого порядка 3. Задача Коши. Теорема существования и единственности 4. Уравнения с разделяющимися переменными Методы решения дифференциальных уравнений и дифференциальные уравнения высших порядков 1.Методы решения дифференциальных уравнений 2.дифференциальные уравнения высших порядков Ряды. 1.Ряды с положительными членами 2.Знакопеременные ряды. 3.Функциональные ряды. Теория вероятностей 1.Классическое определение вероятности. Применение элементов комбинаторики при вычислении вероятности 2.Вероятность суммы и произведения событий. Независимые события. Условная вероятность 3.Задача на нахождение вероятности появления хотя бы одного события. 4.Независимые повторные испытания. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число появления события 5.Дискретная случайная величина. Закон распределения. Виды дискретной случайной величины. Числовые характеристики &&& $$$003-001-000$3.3.1 Модуль 1 Линейная и векторная алгебра. &&& $$$003-001-001$3.3.1.1 Методические указания к практическому занятию №1 Пример. Вычислить определитель Решение. По 1 3 . 5 4 a b  ad  bc , c d определению тогда 1 3  1   4  5  3  19 . 5 4 1 2 3 Пример. Вычислить определитель 4 5 6 . 7 8 9 Решение. Известно, что a11 a12 a13 a 21 a31 a 22 a32 a 23  a11a 22 a33  a 21a13 a32  a31a12 a 23  a31a 22 a13  a12 a 21a33  a11a32 a 23 , тогда a33 1 2 3 4 5 6  1  5  9  3  4  8  2  7  6  7  5  3  4  2  9  8  6  1  45  96  84  105  72  48  0 7 8 9 Пример. Решить систему уравнений по правилу Крамера , где   a11 a12 a 21 a 22 a11 x  a12 y  b1  a 21 x  a 22 y  b2 Решение. По правилу Крамера x  x  b1 a12 b2 a 22 , y  a11 b1 a 21 b2 . Если дана система уравнений 1 2 x  2 y  3 9, , то    1 7  x  7 y  6 x ,  y y  , 3 2 1 3  21  12  9 ,  y   9. 6 7 1 6 9 9 x   1, y   1 . 9 9 x  Пример. Решение однородной системы двух уравнений с тремя неизвестными. Рассмотрим систему уравнений a1 x  b1 y  c1 z  0 .  a 2 x  b2 y  c2 z  0 Предположим, что три определителя a1 b1 a2 b2 , a1 c1 a2 c2 , b1 c1 b2 c2 по крайней мере один, например, первый, отличен от нуля. Тогда, перенося члены с z в правую часть и решая уравнения относительно x и y , получим a1 x  b1 y  c1 z  a2 x  b2 y  c2 z  c1 z b1 a1  c1 z  c 2 z b2 a  c2 z , y 2 . x a1 b1 a1 b1 a 2 b2 a 2 b2 Решим таким способом систему  x  2 y  3z  0 .  2 x  3 y  z  0 Составляем таблицу из коэффициентов 1 2  1 , 2 3 1 3  7, 2 1 2 3 3 1 1, 2,  3 . Образуем определители 2, 3, 1  11 , все они не равны нулю, переписываем  x  2 y  3z . Решаем ее, x  11z, y  7 z . 2 x  3 y   z систему  Данная система имеет бесконечное количество решений x  11k , y  7k , z  k . Каждое решение можно получить из этих равенств, придавая k числовое значения. При k  1 , решение будет x  11, y  7, z  1 . При k  2 , решение будет x  22, y  14, z  2 . Пример. Применяя метод исключения неизвестных Гаусса, решить систему уравнений  x1  3x 2  5 x3  x 4  3  x  3x  2 x  10  2 3 4  13x3  10 x 4  2 4 x 2  11x3  6 x 4  26 Неизвестное x1 входит только в первое уравнения системы, кроме того, заметим, что неизвестное x 2 входит во второе уравнение с коэффициентом 1. Второе уравнение умножим на (-4) и сложим с четвертым; третье уравнение, чтобы при x3 получить 1, разделим на 13. Имеем:  x1  3 x 2  5 x3  x 4  3  x  3 x  2 x  10 2 3 4   10 2  x3  13 x 4   13   x3  2 x 4  14 Первый три уравнения не решаем, третье сложим с четвертым, чтобы исключить x3 из четвертого уравнения. Получим в итоге:  x1  3 x 2  5 x3  x 4  3  x  3 x  2 x  10 3 4  2  10 2  x3  13 x 4   13   x 4  5 Прямой ход метода Гаусса доказан. Обратным ходом получаем x4  5 , 2 10   5  4 , 3 13 x2  10  3   4  2  5  12 , x3   x1  3  3 12  5   4  5  14 . 2  3 1   и В = Пример. Даны матрицы А=   4  5 6 2А+3В.  2 5 1    . Найти матрицу  4 0  3 2  3 1    2 5 1   4  6 2    6 15 3   +3   +   =  =   4  5 6  4 0  3   8  10 12  12 0  9   4  6  6  15 2  3    2 9 5   =   =   8  12  10  0 12  9   20  10 3  2 1     2 3 7 4  3  Пример. Даны матрицы А=  и В=  5 0 4  5  8   0  2   2А+3В= 2    . Вычислить  матрицу  2(2)  (1)4    2 3 7   4(2)  (3)  4  =     4  5  8   (5)( 2)  0  4  0  (2)  (2)4    8 11 22      20 27 52  = 10  15  35      8 10 16    АВ= 2  3  (1)  (5) 2  7  (1)( 8) 4  3  (3)( 5) 4  7  (3)( 8) (5)  3  0  (5) (5)  7  0  (8) 0  3  (2)( 5) 0  7  (2)  (8)    =    1  1 3    Пример. Найти обратную матрицу для матрицы А=  2 1 4    1  2 1   1  1 3    Решение. Вычислим определитель   det  2 1 4  =6  0 . И вычислим   1  2 1   все алгебраические ее дополнения А11  (1)11 1 4 1 3 1 3  9 , А21  (1) 2 1  5 , А31  (1)31  7 , 2 1 2 1 1 4 А12  (1)1 2 2 4 1 3  6 , А22  (1) 2  2  4, 1 1 1 1 А13  (1)1 3 2 1  3 , 1 2 А23  (1) 2  3 А32  (1)13 2 1 1  3, 1  2 3 5  6 2 6 2 Тогда обратная матрица А1   3  6  1 1   2  2 1 3  2, 2 4 А33  (1)13 3 1 1 3 2 1 7   6  1  3 1  2  Пример Найти вектор AB , если А(2;-1;3) и В (4;-2;3) Решение  AB  4  2i   2  1 j  3  3k  2i  j Ответ {2;-1;0} Пример Даны точки А (4;2;1) и В (3;5;4), найти модуль вектора BА : Решение BА  3  42  5  22  4  12  1  9  9  19 Ответ 19 Пример Решение       a  b  4  3i  2  2 j  (7  7)k  7i  14k Найти a  b , если а  4; 2;  7 и b   3; 2; 7 : Ответ: {7;0;-14} Пример Найти скалярное произведение a , b , если угол между векторами равен     4   , а a  3, b  4 Решение a, b   a * b cos   4 * 3 cos 4  6  2 Ответ: 6 2 Пример. Решение     Даны векторы a  2; 0; 3 , b   1; 3; 4, найти a , b : a, b   2 *  1  0 * 3  3 * 4  2  12  10 Ответ: 10       Пример. Найти угол между векторами a и b , если a  i  2 j  3k ,     b  6i  4 j  2k .   Т.е. a = (1, 2, 3), b = (6, 4, -2)  a  b = 6 + 8 – 6 = 8:   a  1  4  9  14; b  36  16  4  56 . 8 cos = 14 56  8 2 14 14  4 2  ; 14 7 2 7   arccos .   Пример.   Найти скалярное произведение (3 a - 2 b )(5 a - 6 b ), если    b  6, а ^ b   / 3. 2   2          1 15 a  a - 18 a  b - 10 a  b + 12 b  b = 15 a  28 a b cos  12 b  15  16  28  4  6   3 2  a  4, + 1236 = 240 – 336 + 432 = 672 – 336 = 336. Пример 16. Даны векторы a  {2, 2,1} и b  {6, 3,  2} . Найти npa b и npb a . Решение. a  Если базис не указан, то он подразумевается декартовым. Найдем 4  4  1  3 , b  36  9  4  7 , (a , b )   12  6  2  16 . Тогда npa b  (a , b ) 16 (a , b ) 16  , npb a   . a 3 b 7 Пример 17. Найти c  [ a , b ] , если a  2i  2 j  k , b  2i  3 j  6k . В ответе укажите координаты c . Решение. В декартовом базисе векторное произведение ищется по формуле i j [a , b ]  2  2 2 3 k 1 i 6 2 1 3 6 j 2 1 2 6 k 2 2 2 3   15i  10 j  10k , то есть c  {15,  10, 10}. Пример18. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах         a  3b ; 3a  b , если a  b  1; a ^ b  30 0.                   (a  3b )  (3a  b )  3a  a  a  b  9b  a  3b  b  b  a  9b  a  8b  a  S  8 b a sin 30 0  4 (ед2). &&& $$$003-001-002$3.3.1.2 Задания или тестовые вопросы для самоконтроля к занятию 1 Задания для самостоятельного решения. 1 2  3 5   X    . 3 4 5 9     1. Решить матричное уравнение  2. Вычислить определитель 3 2 0 4 1  1 3    3. Найти обратную матрицу для матрицы А=  3  1 0   1  2 2   4. . Решить систему уравнений 2 õ1  õ2  1  3õ1  õ2   2  2  1  2 3 7   и В=   . Вычислить матрицу АВ  4 4  0 1  2  6. Даны векторы à  (1,3,6) и b  (1,0,3) . Найти координаты вектора 23a  3b 5. Даны матрицы А=  7. Вычислить ( a , b , c ) , если a  2i  3 j  4k , b  i  j  3k , c  i  k . 8. Найти c  [ a , b ] , если a  i  3 j  k , b  2i  j  k . В ответе укажите координаты c . 9. Найти объем пирамиды с вершинами A(2, 3, 4) , B (1,2,1) , C (1,2,0) . 10. Найти площадь параллелограмма , построенного на векторах à  (1,3,6) и b  (1,0,3) &&& $$$003-002-000$3.3.2 Модуль 1.Аналитическая геометрия &&& $$$003-002-001$3.3.2.1 Методические указания к практическому занятию №2 Пример. В пространстве R 2 , т.е. на плоскости, даны три точки A5,2 , B3,4 , C  1,0 . Требуется 1) найти длину отрезка AB ; 2) найти косинус угла ABC ; 3) составить уравнение высоты CD , проведенной из вершины C на AB ; 4) найти расстояние от точки C до отрезка AB (двумя способами). Решение. 1) Если на плоскости даны точки Ax1 , y1  , Bx2 , y2  , C x3 , y3  , то вектор ____ ____ AB  x2  x1 i   y 2  y1  j , CB   x 2  x3 i   y 2  y 3  j . ____ ____ Рассматриваемой примере AB  2i  6 j , CB  4i  4 j . Расстояние между ____ точками A и B есть длина вектора AB . ____ AB  x2  x1 2   y 2  y1 2 3  52  4   22   4  36  40  2 10 . 2) Из определения скалярного произведения векторов  __ __   ____ _____  a , b    AB, CB   __  __    , тогда cos ABC   ____ ____ . cos a b   a  b   AB  CB ____ ____ Выше мы нашли AB  2 10 . Найдем CB   1  32  0  42  16  16  4 2 . ____ ____ Скалярное произведения  AB, CB    2  4  6  4  16 ,  cos ABC  16 8 20  2 2 5  1 5  . 3) Чтобы составить уравнение высоты, проведенной из вершины C на AB , составим уравнение AB как уравнение прямой, проходящей через две точки Ax1 , y1  , Bx2 , y 2  , по формуле: K AB x  x1 y  y1 .  x2  x1 y 2  y1 x5 y 2 x5 y 2 x5 y 2    ; ; . 35 4 2 2 6 1 3 3x  15   y  2 , y  3 x  13 , y  3x  13 . Угловой коэффициент прямой AB  3 . Поскольку уравнение прямой, проходящей через точку x0 , y 0  с данным угловым коэффициентом K имеет формулу: y  y0  K x  x0  . Чтобы определить угловой коэффициент CD , воспользуемся условием, что если две прямые взаимно перпендикулярны, произведение их угловых коэффициентов равно  1 , т.е. K AB  K CD  1 , K CD   1 1 , K CD  . 3 K AB Уравнение прямой, проходящей через точку C  1,0 с угловым 1 1 x 1 имеет вид: y  0  x   1 или y   . 3 3 3 3 4) Найти расстояние от точки C до прямой AB , значит вычислить длину перпендикуляра CD . Найдем координаты точки D , решив систему x 1  y   уравнений  3 3 .  y  3 x  13 коэффициентом K CD  x 1 x 1 3,8  1 4,8   3 x  13 ,  3 x  13  , 10x  38 , x  3,8 , y    1,6 . D3,8;1,6 . 3 3 3 3 3 3 ____ ____ Найдем вектор CD . CD  4,8i  1,6 j . ____ CD  4,8 2  1,6 2  23,04  2,56  25,6  1,6 10 . Второй способ нахождения расстояния от точки C до прямой AB , основан на том, что если уравнение прямой ax  by  c  0 привести к нормальному виду, умножив на нормирующий множитель    ax  bx  c  0 , то расстояние от точки d  ax0  by0  c . Знак перед корнем x0 , y0  до этой прямой 1 a  b2 2 равно a 2  b 2 берется противоположенным к знаку свободного члена. AB : y  3x  13 или 3 x  y  13  0 .  1 1 . x0  1, y0  0 . 9 1 10 ____ 3 1 13 16 CD    1  0    1,6 10 . 10 10 10 10  Пример 2. Составить уравнение линии, каждая точка каждой отстоит от точки A3,0 втрое дальше, чем от прямой x  1. Решение. y M D A3,0 -1 0 x На схеме видно, что если точка M x, y  лежит на искомой линии, то _____ 3 MD  MA . MA  3  x i   y  j , MA  _____ MD  1  x . 3  x2  y 2   31  x  ,  9  6x  x 2  y 2  9 1  2x  x 2 , 8x 2  24 x  y 2  0 . 3  x 2  y 2 . D 1, y ; _____ MD   1  x i  0 j , __ ___ __ __ Пример 3. Векторы a1 2,4,0 , a2 3,5,1 , a 3 2,5,1 , b 8,16,0 заданы своими __ __ __ координатами в некотором базисе. Показать, что векторы a1 , a 2 , a 3 образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе. __ __ __ Решение. Составим матрицу из координат векторов a1 , a 2 , a 3 , приняв их за столбцы матрицы:  2 3 2    4 5 5 . 0 1 1   Это матрица квадратная и ее 2 3 2 __ __ определитель 4 5 5  4  0 . Следовательно ее ранг равен 3, векторы a1 , a 2 , 0 1 1 __ a 3 линейно независимы и образуют базис. __ Найдем координаты, вектора b в этом базисе, т.е. коэффициенты x, y, z разложения __ b  xa1  ya 2  za 3 перепишем векторное уравнение в виде системы линейных уравнений 2 x  3 y  2 z  8  4 x  5 y  5 z  16 . y  z  1  x , y  8 3 2 2 8 2 2   4 ,  x  16 5 5  11 ,  y  4 16 5  2 ,  z  4 1 1 1 0 1 1 0 Решим эту систему по правилу Крамера x  y  3 , z z .  8 5 16  2 , 1 1 1 11 1 , y , z . 2 4 2 __ __ __ __ 11 1 1  11 1 1  b  a1  a 2  a3 , т.е. в базисе a1 , a 2 , a 3 имеем b  , ,  . 4 2 2  4 2 2 3x  5 Пример 4. Дано уравнение гиперболы y  , требуется путем 4x  7 параллельного переноса системы координат привести ее к виду xy  k , x построить обе системы координат и гиперболу. 5  7 7 5  3 x   x     3x  5 3 3 4 4 3 Преобразуем выражение    7 7 4 4x  7   x 4 x     4   4    7 1    3 3 1 1 3 1 ; y  3  4 21   1 ; асимптоты y  7 7 7 7 4 4 4 4    x 21 x   21 x    21 x    4 4 4 4     7 3 3 гиперболы – прямые x   , y  . Сделаем замену переменных y /  y  , 4 4 4 7 1 1 x/  x  ; y/   , получаем x / y /   . Асимптоты гиперболы – прямые / 4 21 21x 3 7 y , x . 4 4 y y/ x x x / Пример . Написать уравнение плоскости, проходящей через точку M1(0,  1, 3) параллельно векторам l1  {1, 4, 2} и l2  {2,  2, 1}. Решение. Возьмем на плоскости текущую точку M ( x, y, z ) и соединим ее с точкой M 1 . Получим вектор M1M  {x, y  1, z  3}. Векторы M1M , l1 и l 2 компланарны, следовательно (M1M , l1, l2 )  0 . Это и будет уравнение искомой плоскости в векторной форме, так как ему удовлетворяет любая точка этой плоскости и не удовлетворяет никакая другая точка (если взять точку M , лежащую выше или ниже плоскости, то M1M не будет лежать в плоскости и M1M , l1 , l 2 не будут компланарными, а значит их смешанное произведение не равно нулю). В координатной форме уравнение плоскости будет иметь вид x y 1 z  3 1 4 2  0 , или, раскрывая определитель, 8 x  3 y  10 z  33  0 . 2 2 1 Пример . Написать канонические и параметрические уравнения 2 x  y  4 z  2  0,  4 x  y  5 z  4  0. прямой  2 x  y  2, откуда находим 4 x  y   4 ,  x  1, y  0 . Фиксированная точка M 0 (1, 0, 0) . N1  {2, 1,  4}, i j k N 2  {4,  1,  5}, l  [ N1 , N 2 ]  2 1  4  9i  6 j  6k , l || l1  {3, 2, 2} . Решение. Положим z  0 , тогда получим  4 1  5 x 1 y z x 1 y z   . Обозначая   t, Канонические уравнения: 3 2 2 3 2 2 получим параметрические уравнения: x  1 3t , y  2t , z  2t . x y 1 z  3   Пример . Проверить, лежат ли прямые и 1 2 1 x  2 y 1 z 1   в одной плоскости. 2 3 5 Решение. Из уравнения прямых находим l1  {1, 2,  1} , l2  {2, 3,  5} , M1(0, 1,  3) , M 2 (2,  1, 1) , тогда M1M 2  {2,  2, 4}. Если прямые лежат в одной плоскости, то векторы l1, l2 , M1M 2 компланарны, значит (l1, l2 , M1M 2 )  0 . Для проверки этого условия запишем его в координатной форме: 1 2 1 2 3  5  1  (12  10)  2  (8  10)  1  (4  6)  28  0 , 2 2 4 следовательно прямые не лежат в одной плоскости, т.е. скрещиваются. Пример. Даны координаты вершины пирамиды A1 3,1,4 , A2  1,6,1 , A3  1,1,6 , A4 0,4,1. Найти 1) длину ребра A1 A2 ; 2) угол между ребрами A1 A2 и A1 A4 ; 3) уравнение плоскости A1 A2 A3 ; 4) угол между ребром A1 A4 и гранью A1 A2 A3 ; 5) площадь треугольника A1 A2 A3 ; 6) объем пирамиды A1 A2 A3 A4 ; 7) уравнение прямой A1 A2 ; 8) уравнение высоты, опущенный из вершины A4 на грань A1 A2 A3 . Решение. _____ 1) Длина ребра A1 A2 может быть найдена как длина вектора A1 A2 . _____ Найдем вектор A1 A2 . _____ A1 A2   1  3i  6  1 j  1  4k  4i  5 j  3k , _____ A1 A2   42  5 2   32  16  25  9  50  5 2 . 2) Угол между ребрами A1 A2 и A1 A4 ищем с помощью скалярного произведения. Обозначим искомый угол  .  _____ _____   A1 A2 , A1 A4  _____ cos    _____ ______ ; A1 A4  0  3i  4  1 j   1  4k  3i  3 j  5k ; A1 A2  A1 A4  ______ ______   A1 A2 , A1 A4    4  3  5  3   3   5  12  15  15  42 ;   _____ A1 A4  cos    32  32   52 42 5 2  43  9  9  25  43 ;  0,91 ;   24  . 3) Составим уравнение плоскости A1 A2 A3 , где A1 3,1,4 , A2  1,6,1 , A3  1,1,6 , в виде уравнения x  3 y 1 z  4 1 3 6 1 1 4  0; 1 3 11 6  4 x  3 y 1 z  4 4 4 5 0 3  0. 2 Как в примере 2, раскроем выражение, записанное в виде определителя 3-го порядка: x  3  5  2   y  1 3 4   4  0  z  4   4  5  z  4   4  2   y  1  0   3  x  3  0 10x  3  12 y  1  20z  4  8 y  1  0 ; 10 x  30  12 y  12  20 z  80  8 y  8  0 ; 10 x  20 y  20 z  130  0 или x  2 y  2 z  13  0 . Вектор n  i  2 j  2k перпендикулярен плоскости A1 A2 A3 . 4) Угол между прямой и плоскостью находим как угол между векторами, один из которых параллелен прямой, другой перпендикулярен _____ плоскости. Вектор A1 A4  0  3i  4  1 j   1  4k  3i  3 j  5k . Найдем угол  __ между векторами n и A1 A4 .  __ _____   n , A1 A4  cos   __ ______ . n  A1 A4 Скалярное произведение векторов __ n и A1 A4 :  __ _____   n , A1 A4   5   3  2  3  10   5  15  6  50  59 .   __ ______ n  25  4  100  129 , A1 A4  43 . cos    59 129 43   59  0,79 ;   37  или   180   37   143 . 11,36  6,56 5) Площадь грани A1 A2 A3 это есть площадь треугольника A1 A2 A3 . Формулу для площади треугольника с вершинами A1 x1 , y1 , z1  , A2 x2 , y2 , z 2  , _____ _____ A3 x3 , y3 , z 3  , найдем с помощью векторного произведения векторов A1 A2 , A1 A3 по определению модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на векторах как на сторонах, а площадь треугольника равна половине площади параллелограмма. Итак, векторы, образующие A1 A2 A3 есть _____ A1 A2   1  3i  6  1 j  1  4k  4i  5 j  3k , _____ A1 A3   1  3i  1  1 j  6  4k  4i  0 j  2k . i j k 5 3 4 3 4 5 A1 A2  A1 A3   4 5  3  i j k  10i  20 j  20k ; 0 2 4 2 4 0 4 0 2 _____ _____ S A1 A2 A3  1 1 100  400  400  900  15 . 2 2 6) Объем пирамиды A1 A2 A3 A4 вычисляем как _____ _____ _____ _____ 1 модуля смешанного 6 _____ произведения векторов A1 A2 , A1 A3 , A1 A4 . A1 A2  4i  5 j  3k ; A1 A3  4i  0 j  2k ; _____ A1 A4  3i  3 j  5k . 4 5 3 1 1 70 35 2 V A1 A2 A3 A4   4 0 2  36  30  100  24    11 . 6 6 6 3 3 3 3 5 _____ 7) Составим уравнение прямой A1 A2 . Известен вектор A1 A2  4i  5 j  3k и точка A1 3,1,4 , через которую проходит прямая. Ее канонические уравнения имеют вид: x  3 y 1 z  4   . 4 5 3 8) Высота, опущенная из вершины A4 на плоскость A1 A2 A3 , проходит через точку A4 0,4,1, параллельно вектору n  i  2 j  2k , поэтому ее уравнения будут: x y  4 z 1   . 1 2 2 &&& $$$003-003-002$3.3.2.2 Задания или тестовые вопросы для самоконтроля к занятию 2 1. Треугольник задан координатами своих вершин A(4, 4) , B(6,  1) , C(2,  4) .Найти площадь 2. Составить уравнение прямой проходящей через точки A(3, 0) , B(2,  1) , 3. Найти расстояние от точки A(3, 0) до прямой 4 x  3 y  20  0 4. Найти расстояние между точками B(3,  1) , C (2,  1) . 5. Найти середину отрезка B(3,  1) , C (2,  1) . &&& $$$003-003-000$3.3.3 Модуль 1 Введение в математический анализ. Предел функции. Непрерывность функции. &&& $$$003-003-001$3.3.3.1 Методические указания к практическому занятию №3 Пример: Найти пределы: 5 x  3 5  2  3 13 5x  3 5 x  3   , lim 4 x  1   , то   , б) lim . т.к. lim x  x  x  4 x  1 4x  1 4  2  1 7 5x  3  5x  3 lim  , это есть неопределенность, преобразуем , выносим в x  4 x  1  4x  1 c 3  0 , т.е. lim  0 , числителе и знаменателе x за скобку, отметим, что lim x  x x  x 3 5 1 5x  3 x  5. lim  0 , lim  lim x  x x  4 x  1 x  1 4 4 x x 2  16 Пример 2. а) Найти lim . Числитель и знаменатель дроби при x4 x 2  4 x 0 x  4 стремятся к нулю; пример представляет неопределенность вида , т.е. 0 2 x  16 0 lim 2  . Для вычисления предела упростим дробь, разложив числитель x4 x  4 x 0 и знаменатель на множители и сократив множитель x  4 . а) lim x2 lim x 4 x  4x  4  8  2 . x 2  16  lim 2 4 x  4 x x 4 x x  4  2 0 3x  2 x  5 б) Найти lim 2 . Здесь имеет место неопределенность вида . x 1 4 x  5 x  1 0 Числитель и знаменатель есть квадратные функции, разложим их на 5 линейные множители: 3x 2  2 x  5  3x  1 x    x  13x  5 ,  3 1  4 x 2  5 x  1  4 x  1 x    x  14 x  1 . 4  2 x  13x  5  8 . 3x  2 x  5 lim  lim 2 x 1 4 x  5 x  1 x 1  x  14 x  1 3 x  6  2x  3 . При x3 Пример 3. а) Найти lim x 3 x  3, числитель и знаменатель дроби равны 0. Имеем неопределенность вида 0 , чтобы ее 0 раскрыть, умножаем числитель и знаменатель дроби на величину, иррационально сопряженную числителю lim z 3  x  6  2x  3 x  3   x  6  2x  3 x  6  2x  3    lim z 3  x  6  2x  3 x  3 1  . 6 x  6  2x  3  б) Найти lim 1  3x  x 2  1  x  x 2 . Это неопределенность    , чтобы ее x  раскрыть, умножим и разделим данное выражение на  1  3x  x 2  1 x  x2  1  3x  x 2  1 x  x2   lim  1  3x  x 2   1 x  x2 . 1  3x  x 2  1  x  x 2  x  1  3x  x 2  1  x  x 2 1  3x  x 2  1  x  x 2 2x  lim  ( в знаменателе вынесем за скобки x ) 2 x  1  3x  x  1  x  x 2 2x 2  lim   1. x  1  2 3 1 1 x  1    1  2 x x2 x  x  sin 7 x Пример 4. а) Найти lim . Используем первый замечательный x 0 x 7 sin 7 x 7. предел, тогда lim x 0 7x  1  cos 2 x 0  б) lim по формуле тригонометрии 1  cos   2 sin 2 , тогда x  0 1  cos x 2 0 lim x  1  cos 2 x 2 sin 2 x sin x sin x x x  lim  lim     4. имеем lim x 0 1  cos x x 0 x  0 x x x x x 2 sin 2 sin sin 2 2 2 x  4  Пример 5. а) Найти lim 1   . Это неопределенность 1 . Используя x   x 4 x    4  4  второй замечательный предел, находим lim  1     e 4 . x   x     lim xln  x  2   ln  x  1 Используем свойства б) x  логарифмов и x2 x2  x  2 x ln  lim  преобразуем данное выражение lim  в выражении x  x   x 1 x 1  x 1  x  2 x 1 3 3   1 выделим целую часть. Имеем . x 1 x 1 x 1 x 11 x 1 x 1   3  3   3  3  3     ln lim 1   ln lim 1  1  ln lim 1  lim 1         x  x  x  x 1 x 1  x 1 x  1  x  x  1      x  ln e 3  3 . sin x . Первый замечательный предел применить x 1 sin 3x нельзя, так как аргументы x и 3x у синусов не стремятся к нулю при x  1 . Поэтому положим x 1  y , тогда при x  1 будет y  0 . Тогда lim sin x  lim sin  ( y  1)  lim sin y  lim y  sin y  3y  1 x 1 sin 3x y  0 sin 3 ( y  1) y  0 sin 3y y  0 y sin 3y  3y 3 x 5  1  x  1 5   1  Пример 7. lim1    (1 )  lim 1   1     e 1  e . x x   x   x  x     Пример 6. Пример 8. lim lim x 3 2x ( x  2) x 3 1      x  (1 )  lim[1  ( x  3)] 3  x 3     2x  e6 . Пример 9.  3x 2  8 x  1   lim 2 x  3x  4 x  2  2x  3x 2  8 x  1     (1 )   1  1  3x 2  4 x  2    2x  2 x ( 12 x 1) 3x  4 x  2  3x 2  4 x  2    24 x 2  2 x 12 x 1  lim 2    12 x  1  1 x  lim 1  2  e   3 x  4 x  2  e 8  8   x    3x  4 x  2  e      2 .&&& $$$003-003-002$3.3.3.2 Задания или тестовые вопросы для самоконтроля . x 2  3x  2 x 2  5x  4 2 x2  x  2 2. Вычислить предел lim 2 x  3x  x  4 2 x 2 3. Вычислить предел lim x2 x2  4 4. Вычислить предел lim n  1  n  1 1. Вычислить предел lim x 1 n   5. Вычислить предел lim x   3x  2 3x 2  x  4 &&& $$$003-004-000$3.3.4 Модуль 1. Производная функции. Производная сложной функции. Основные теоремы. &&& $$$003-004-001$3.3.4.1 Методические указания к практическому занятию №4 Пример Найти производную функции y=5lgx-cos  3 Решение    5  y    5lgx - cos   3  x ln 10  5 Ответ: y   x ln 10 Пример 2 Найти производную функции f(x)=ln tg x  , в точке x= . 2 2 Решение f ( x)   f ( )  2 1 x x 2tg cos 2 2 2 1 2tg  4 cos 2  1 4 Ответ: 1 Пример 3 Найти производную функции у=arcsin е х Решение ex у = (arcsin(e x ))  Ответ: у  1  е2x ex 1  е2x Пример 4. Найти производные dy dx 2 1 x ; б) y  3arctg 4 x1 ; в) e  x 2 ln cos 4 x ; г) y  1  tg 2 3x e  x ; 1 x arcsin 2 x д) y  x 1 а) y  x  3 Решение. 1 x 1 x , есть произведение функций ux  x , vx   3 . 1 x 1 x а) Функция x  3 По формуле производной произведения / 1 1 1 /   3  3 1 x  dy 1  x 1  x 1  x 1 1  x      /3 x  x    x    3    . dx 1 x 1 x 3 1 x  1 x  1 x     1 x Функцию рассматриваем как отношение функций u  1  x , v  1  x , 1 x / / 1  x 1  x  1  x   1  x  1  x  2   . 2 1 x 1  x  1  x 2 б) y  3arctg 4 x1 . При нахождении производной нам понадобится следующие формулы 2 a  u /    a u ln a  u / , u 2 Итак, 3  3 /  2u  u / , arctgu /   u/ 1 u  2 , ax  b /  a . ln 3  arctg 2 4 x  1  3 arctg 4 x 1 ln 3  2arctg 4 x  1  arctg 4 x  1  2 2 1 arg tg 4 x  1 /  3 arctg 4 x 1 ln 3  2arctg 4 x  1   4 x  1  8 ln 3  3 arctg 4 x 1 . 2 2 1  4 x  1 1  4 x  1 в) e  x 2 ln cos 4 x . Данная функция есть произведение двух функций u  x 2 , v  ln cos 4x . / / / ln u /  u , y /  x 2 ln cos 4 x  ln cos 4 x   x 2 , тогда u x2 x2 / / y  2 x  ln cos 4 x   cos 4 x   2 x  ln cos 4 x    sin 4 x   4  cos 4 x cos 4 x  2 x  ln cos 4 x  4 x 2 tg 4 x . arctg2  4 x 1 / arctg2  4 x 1 / 2 /   г) y  1  tg 2 3x e  x . Эта функция тоже есть произведение двух функции u  1  tg 2 3x , v  e  x .   /   /  y /  1  tg 2 3x e  x  e  x 1  tg 2 3x  2tg3x    1  3  e  x  e  x 1  tg 2 3 x  cos 3x  6tgx   ex   1  tg 2 3 x  .  cos 3 x  arcsin 2 x д) y  . x 1 Данная функция является отношением двух функций u  arcsin 2x , v  x  1. По формуле производной частного имеем 2( x  1) y/ arcsin 2 x / x  1  x  1/ arcsin 2 x   x  12 1  4x 2  arcsin 2 x x  12 . Пример 5. Найти дифференциал функции y  ( x 2  2)e 2 x Решение .. По формуле дифференциала dy  (( x 2  2)e 2 x )dx  (( x 2  2) / e 2 x  ( x 2  2)(e 2 x ) / )dx  (2 xe2 x  ( x 2  2)2e 2 x )dx  (2 x 2  2 x  4)e 2 x dx Пример 6 Составить уравнение касательной к кривой y  ( x 2  2)e 2 x Решение Уравнение ккасатальной y  f ( x0 )  f ( x0 )( x  x0 ) . Найдем производную f / ( x)  2 xe2 x  ( x 2  2)2e 2 x  (2 x 2  2 x  4)e 2 x Тогда f / (0)  4 . Также f (0)  2 Тогда уравнение касательной y  2  4( x  0) или y  4 x  2 Пример 7. Найти производную второго порядка y  1 õ 2 1 2 , y //  , 2 ( õ  2) ( õ  2) 3 2  3  4  ...  n  (1) n ( õ  2) n 1 Решение Найдем первую производную y /   y ///   23 23 4 , y ( 4)  ,..., y ( n ) 4 5 ( õ  2) ( õ  2) Пример:  x  cos t  sin 2t .   y  t cos 2t Решение Эта функция задана в параметрической форме. В этом случае y x/  xt/  cos t  sin 2t   cos t   sin 2t    sin t  2 cos 2t / / / yt/  t / cos 2t  cos 2t  t  cos 2t  2t sin 2t / Ответ: y x/  y t/ cos 2t  2t sin 2t  / sin t  2 cos 2t xt y  sin 3x  x Решение Найдем логарифм данной функции: ln y  ln sin 3x  x  x ln(sin 3x) . Пример: yt/ . xt/ Дифференцируя обе части этого равенства, получим y 1 3 cos3x  ln(sin 3x)  x y 2 x sin 3x Откуда y  y( ln sin 3 x  3 xctg 3 x) 2 x или y  y( ln sin 3 x  3 xctg 3 x) 2 x ln sin 3x  3 xctg 3 x) 2 x ln sin 3x  3 xctg 3 x) Ответ: y   (sin 3x) x ( 2 x &&& $$$003-005-000$3.3.5 Модуль 1. Правило Лопиталя и исследование функции и построение графика при помощи производной. &&& $$$003-005-001$3.3.5.1 Методические указания к практическому занятию №5 Пример Применяя правило Лопиталя, найти предел функции 3x 2  2 x  1 y   (sin 3x) x ( lim x  1  x2  x  2 Решение 3x 2  2 x  1 6x  2 4 lim  x 2  x  2  lim  2 x  1   3 x  1 x  1 4 3 Пример-2 Применяя правило Лопиталя, найти предел функции ln x lim x  0 ctgx Решение: ln x 1/ x sin 2 x  lim   lim lim x  0  1 / sin 2 x x  0 x x  0 ctgx Ответ:  С последнего предела выйдет неопределенность 0/0, обратно применим правило Лопиталя ln x sin 2 x sin 2 x  l im 0 lim ctgx   xlim  0 x  0 1 x x  0 Ответ: 0 Пример-3. Найти точку M x0 , y0  линии y  f x , в которой касательная перпендикулярен прямой Ax  By  C  0 . Составить уравнения этой касательной y  4 x 2  5x  1 ; x  3y  6  0 . Решение. Если кривая задана уравнением y  f x , то f / x0   tg , где  - угол, образованный с положительным направлением оси ox касательной к кривой в точке с абсциссой x 0 . Уравнения касательной в точке x0 , y0  имеет вид y  y 0  f / x0 x  x0  . Данная функция f x   4 x 2  5x  1 , имеет производного f / x   8x  5 . Угловой коэффициент прямой x  3 y  6  0 равен 1 . Найдем, в какой точке касательная перпендикулярна прямой. В этой точке 3 произведения угловых коэффициентов равно  1 . 1  8 x  5  1 . 3 Решая это уравнение, получим x0  1 , подставляя в уравнения функции, получим y0  4  5  1  2 . M 1,2 , касательной y  2  3( x  1) , y  3x  5  0 . Пример . Построить график функции y  f / x0   3 уравнение этой x . x4 1. Область определения функции x  4  0; x  4 . D y   4,. 2. Функция не является ни четный, ни нечетный, её график несимметричен. 3. найдем точки пересечения с осями координат. Таких точек нет, поскольку y  0 при x  0 , но x  0 не входит в ОДЗ. 4. Функция имеет разрыв при x  4 . Найдем xlim 4  0 x x4 вертикальной асимптотой. Наклонных асимптот нет, так как K  lim x    , x  4 является y x  x  lim  0 , но x  x x x4  x  b  lim   0   . x   x4  5. Определим экстремумы функции и интервалы возрастания и убывания функции x4  x y/  1 2( x  4)  x x 8 2 x4 ,   3 x4 2 x  4 ( x  4) 2x  4 2 y /  0 при x  8  0 , x  8 ; при x  8 , y  4 . График проходит через точку 8,4 . Стационарная точка x  8 делит ОДЗ на интервалы 4,8 ; 8,  . при 4  x  8 , y /  0 , функция убывает; при 8  x   , y /  0 , функция возрастает; при x  8 , функция имеет минимум. 6. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости, а также точки перегиба кривой 1 2  x  4  2   x  4  2  x  8 1 3 y //  3 x  43 2 y //  0 при x  16 , y16  16 12  1 2x  4  3x  24 16  x .  5 5 4 x  4 2 4x  4 2  4,7 . Точка x  16 делит ОДЗ на интервалы 4,16 , 16,  ; при 4  x  16 , y //  0 функция выпукла, при 16  x   , y //  0 функция вогнута, при x  16 , у кривой – перегиб. Построим график y  x 4 8 Пример . Исследовать функцию y  16 x3 и построить ее график. x2 1 1) Находим область существования функции. Очевидно, что областью определения функции является область (-; -1)  (-1; 1)  (1; ). Областью значений данной функции является интервал (-; ). Точками разрыва функции являются точки х = 1, х = -1. 2) Функция нечетная, т. е. график симметричен относительно оси ОУ 3) Находим критические точки первой производной y  3x 2 ( x 2  1)  2 x  x 3 3x 4  3x 2  2 x 4 x 4  3x 2   2 Критические точки: x = 0; x = ( x 2  1) 2 ( x 2  1) 2 ( x  1) 2 3; x = 3 ; x = -1; x = 1. 4) Находим критические точки второй производной y   (4 x 3  6 x)( x 2  1) 2  ( x 4  3x 2 )4 x( x 2  1) 2 x( x 2  3)  . x = -1; x =1; х=0 ( x 2  1)3 ( x 2  1) 4 5) Таблица х 0 (0 ; 1) 1 (1 ; 3 ) у 0 -  - y/ 0 -  + y // убывает 0 выпуклая (1 ; ) 0 + + убывает  3 вогнутая 3 3 2 возрастает вогнутая Видно, что точка х = - 3 является точкой максимума, а точка х = 3 является точкой минимума. Значения функции в этих точках равны соответственно -3 3 /2 и 3 3 /2. 6) прямые х = 1, х = -1 являются вертикальными асимптотами кривой. Теперь найдем наклонные асимптоты. x2 k  lim 2  lim x  x  1 x  1 1 1 2 x  1; 1  x3   x3  x3  x   lim x  0 b  lim  2  x   lim  2 x  x  1 x     x  1  x  1  1 x2 Уравнение наклонной асимптоты – y = x. 7) Пересечение с осями координат только одна точка (0, 0) 4 3 2 1 -2 -1 1 -1 -2 -3 8) Построим график функции: -4 2 Пример. Найти наибольшее и наименьшее значение функции y  f x на отрезке a, b. f x   x ,  2,3 . 1 x2 Решение. Находим производную f / x      1  x  x/ 1 x2  x 1 x2 2 /  /  1  x 2  2x 2 1  x  2 2 f / x   0 в точках x1  1, x2  1 .  1 x2 1  x  2 2 . Определяем значения функции в этих точках: f /  1   , f / 1  . 1 2 1 2 Вычисляем значения данной функции на границах промежутка: 2 f  2    , 5 f 3  0,3 . Из полученных значений выбираем наибольшее и наименьшее. Итак, наибольшее значение на данном отрезке равно 1 2 наименьшее  . &&& $$$003-005-002$3.3.5.2 Задания для контроля по модулю 1 Задания Модуль 1 1. 2. 3 A   4 1 2 1 2 1 4 Вычислить определитель 2 1 3 Найти произведение матриц 1 3 5  1  и 2 3   B    1  2 3 1 . 2 2 1 3 4 4. 5.  . Найти обратную матрицу A1 . Дана матрица A    1 2     Найти косинус угла между векторами a  1; 2; 3 и b  6; 4;  2 Найти расстояние от точки M 1; 2;  3 до плоскости 5 x  3 y  z  4  0 6. Вычислить предел lim x4 3. 7. 8. 9. 10. x 2  16 x4 x  12  4  x Величина предела xlim равна  4 x2  2x  8 x  2x 1  Величина предела lim   равна x  2 x  1   Дана функция у  3tgx  15 cos x . Найти её производную y  x  Найдите f |   , если f x   ctg . 2 2 1 , 2 &&& $$$003-006-000$3.3.6 Модуль 2. Неопределенный интеграл. Методы интегрирования &&& $$$003-006-001$3.3.6.1 Методические указания к практическому занятию №6 Пример-1 3  x dx  x 31 x 4  C 3 1 4 Ответ: x4 4 Пример-2 1  (1  x 2 Ответ 1 1 x )dx  arctgx  arctg  C 2 2 2 4 x 1 x arctgx  arctg  c 2 2  Пример-3  x x 16  x 2  8 arcsin  C 2 4 x x 16  x 2  8 arcsin  c 2 4 16  x 2 dx  Ответ: Пример-4 3x  5  t  cos(3x  5)dx  3dx  dt 1 dx  dt 3  1 1 1 cos tdt  sin t  sin( 3x  5)  C  3 3 3 Пример-5 4x  7  t 1 3 1 t 4 ( 4 x  7) 4 ( 4 x  7 ) dx  4 dx  dt  t dt    C  4 4 4 16 1 dx  dt 4 3 Пример-6  xe u  x du  dx 3x4 dx  dv  e 3x4 x 3x4 1 3x4 x 1   e dx  e 3 x  4  e 3 x  4  C 1 3x  4  e 3 3 3 9 dx v  e 3 Пример -7. Найти  e 2 x cos 3xdx . Такой интеграл вычисляется методом, который получил название «интегрирования по частям». Интегрированием по частям называется нахождение интеграла по формуле  udv  uv   vdu , где u  ux , v  vx  непрерывно-дифференцируемые функции от x . С помощью этой формулы нахождения интеграла  udv сводится к отысканию другого интеграла  vdu , обозначим искомый интеграл  3 sin 3xdx  du 1 3 1 I   e cos 3xdx  2 x  e 2 x cos 3x   e 2 x sin 3xdx  e dx  dv v   dv  e 2 x 2 2 2 2x cos 3x  u полученный интеграл вычисляем тем же способом: sin 3x  u 3 cos 3xdx  du 1 31 3  1  e 2 x cos 3x   e 2 x sin 3x   e 2 x cos 3xdx   e dx  dv v  e2x 2 22 2  2 1 3 9  e 2 x cos 3 x  e 2 x sin 3 x  I . Получили равенство: 2 4 4 1 3 9 I  e 2 x cos 3 x  e 2 x sin 3 x  I , 2 4 4 13 1 3 I  e 2 x cos 3x  e 2 x sin 3x , 4 2 4 2 3   I  e 2 x  cos 3x  sin 3x   c . 13  2  2x &&& $$$003-007-000$3.3.7 Модуль 2. Методы интегрирования &&& $$$003-007-001$3.3.7.1 Методические указания к практическому занятию №7 Пример Найти x 3  17  x 2  4 x  3 dx . Под интегралом функция, в числителе которой многочлен третьей степени, а в знаменателе – второй. Согласно теории интегрирования нужно выделить целую часть и разложить знаменатель на множители, тогда получим, что, x 3  17 13x  29 .  x4 2 ( x  1)( x  3) x  4x  3 Методом неопределенных коэффициентом представим дробь виде суммы простейших дробей: 13x  29 ( x  1)( x  3) 13x  29 8 5 .   ( x  1)( x  3) x  1 x  3 x 3  17 dx dx x2 dx  xdx  4 dx  8  5   x 2  4x  3    x  1  x  3 2  4 x  8 ln x  1  5 ln x  3  c . в Пример. Найти  3x  2dx . 2 x  2 x  10 Согласно теории, учитывая, что в знаменателе подинтегральной функции находится квадратный трехчлен, а в числителе – многочлен первой степени, делаем замену: x 2  2 x  10  z , тогда 2x  2dx  dz . В числителе подинтегральной функции сделаем преобразования, которых требует замена: 3x  2dx  3  2 x  4 dx  3  2 x  2  2  4 dx  3 2 x  2dx  3  10 dx  3 2 x  2dx  5dx .  2 3x  2dx x 2  2 x  10 3  2 2 x  2dx 3 2 2 3 2 3 dx .  5  2 x 2  2 x  10 x 2  2 x  10 В первом слагаемом осуществляем замену, обозначенную выше, во втором – преобразуем квадратный трехчлен, выделив полный квадрат: 2 x 2  2 x  10  x 2  2 x  1  11  x  1  11 . Получим 3 dz  5 2 z 1 3    z 2 dz  5 x  12  11 2 dx d x  1 1 3   2  z 2  5 ln x  1  2 x  1  11 2 x  12  11   3 x 2  2 x  10  5 ln x  1  x 2  2 x  11  c . Пример x 3  6 x 2  13x  9 dx . Найти интеграл  ( x  1)( x  2) 3 x 3  6 x 2  13 x  9 Шешуі: разложим на простые дроби, и получим ( x  1)( x  2) 3 x 3  6 x 2  13x  9 A B C D      3 2 x ` x  2 ( x  2) ( x  1)( x  2) ( x  2) 3  A( x  2) 3  B( x  1)( x  2) 2  C ( x  1)( x  2)  D( x  1) . ( x  1) A( x  3)( x  2)  B( x  4)( x  2)  C ( x  4)( x  3)  6 x 2  26 x  12. Если x  1, то A  1; если x  2 , то  D  1  D  1; Приравняем коэффициенты x 3 и найдем A  B  1  B  0; Припавнивая коэффициенты x 0 , определим 8 A  4 B  2C  D  9  C  0; Отсюда  1 1  1     x  1 ( x  2) 3 dx  ln x  1  2( x  2) 2  C. Пример. Проинтегрировать x 2dt 2dt  t dx  2 dx dt 2 1 t 1 t2    2 2  2  sin x  cos x  2 2t 1 t t  2t  1  1  1 2t 1 t  sin x  cosx  1 t2 1 t2 1 t2 1 t2 x tg  1  2 d t  1 2 t 1 2 1  2  ln C   ln 2 C 2 2 2 2 t 1 2 2 tg x  1  2 t  1  2 2 tg   Пример. Для заменой x  32 sin t . вычисления Тогда интеграла  (2  x 3 )dx 9  4x 2 воспользуемся sin 3 t 9  4 x 2  9  9 sin 2 t  3 cos t , 2  x 3  2  27 8 dx  32 cos tdt, 27 sin 3 t) dt . Далее, и исходный интеграл равен интегралу  (1  16 27 sin  (1  16 3 27 (1  cos 2 t ) d cos t   t  27 cos t  27 cos 3 t  C  t )dt  t  16  16 48 27 cos(arcsin 2 x )  27 cos 3 (arcsin 2 x )  C .  arcsin 23x  16 3 48 3 Пример. Определить интеграл c  0, x 2  x  1  xt  1, x 2  x  1  x 2t 2  2 xt  1, x  1  xt 2  2t 2t  1 2t 2  t t2  t 1 2  x  , x  x  1   1  ,  x  x2  x  1 t2 1 t2 1 t2 1 2 t 2  1  2t 2t  1  2t 2  2t  2 dx  dt  dt 2 2 t2 1 t2 1 dx        t2  t 1 dt 2 t2  t 1 1  2    2  t 2  t t 2  1 dt   Rt dt  F t   C 2t  1 t 2  t  1  2 t2 1 t 1 t 2     x2  x  1  1 x Подставим вместо t  &&& Задания $$$003-006-002$3.3.6.2 самоконтроля к занятию 6 1. Вычислить интеграл 2x  ( x  1)( x  2) dx 2. . Вычислить интеграл 2  (3x  1) 3 dx x3 dx  2x  3 x dx 4. . Вычислить интеграл  ( x  1)( x 2  1) 3. . Вычислить интеграл x 2 или тестовые вопросы для  5. . Вычислить интеграл x2  2 dx x2  3 &&& $$$002-008-000$3.2.8. Модуль 2. Определенный интеграл Формула Ньютона – Лейбница. Методы интегрирования. &&& $$$003-008-001$3.3.8.1 Методические указания к практическому занятию №8  3 Пример x sin x dx 2 x  cos -1 0 Применяя формулу Ньютона –Лейбница определите интеграл. Шешуі: sinxdx x sin x x cos 2 x dx   0 cos 2 x 1 cos x du  dx, v  cosx 2 5   ln tg . 3 12  u  x, dv  3 Пример-2 Вычислить  3 0  3 dx   cos x 0  x   ln tg      2 4 3 cos  3  3 0  1 x 2 1  x 2 dx . 0 Произведем замену переменной x  sin t , для переменной t определим интервалы интегрирования. Если x  0 , то sin t  0 , t  0 . Аналогично, когда x  1, то sin t  1 , t  dx  cos tdt ;  2 . Итак, переменная t определяется в интервале 0 и 1  x 2  cos t .  1 2 0 0 2 2 2 2  x 1  x dx   sin t cos tdt  По формуле 2 sin   cos  sin 2 находим sin 2 t  cos 2 t  1 2 sin 2t . 4  12   sin 2 2tdt  40 Применяя формулу sin 2     1  cos 2 определяем 2    1 1 12 1 1    1  cos 4t dt   dt   cos 4tdt  t |02  sin 4t |02  . 80 80 80 8 32 16 2 2 Пример-3 Найти определенный интеграл с помошью метода интегрирования по –частям.  . 2 dx e x7 x7 x7 x 6 e 1 7 dx e x ln xdx   ln x  x  ln x   1 1 1 7 7 1 x 7 72 x7 6 dv  x dx, v  7 7 7 7 e 1 e 1 6e 1   ln 1     7 7 49 49 7 49 u  ln x, du  e 1 Пример. Вычислить определенный интеграл  x 2 1  x 2 dx . 0 Выполним замену x  sin t , определим пределы интегрирования для переменной t , если x  0,1. При x  0 , sin t  0 , t  0 . При x  1, sin t  1 , t  Следовательно, t меняется от 0 до  . dx  cos tdt ; 1  x 2  cos t . 2  2 .  1 2 0 0 2 2 2 2  x 1  x dx   sin t cos tdt  Из тригонометрии известно, что 2 sin   cos  sin 2 , тогда sin 2 t  cos 2 t  1 2 sin 2t . 4  12 2   sin 2tdt  40 применяем формулу sin 2       1  cos 2 2   1 1 12 1 1    1  cos 4 t dt  dt  cos 4tdt  t |02  sin 4t |02  .    80 80 80 8 32 16 2 2 Пример. Вычислим площадь фигуры, ограниченной графиками функций y  4  x 2 , y  x 2  2 x . Найдем точки пересечения линий, для чего решении совместно уравнения кривых 4  x 2  x 2  2x , x 2  x  2  0 , x1  2 , x2  1 . Таким образом, заданные кривые пересекаются в точках 2,0 ,  1,3 . y 4 1 x 2 Площадь искомой фигуры определяем с помощью интеграла  4  x  x  2 S 2 2  2  2 x dx  1 1 2  2 16 2   4  2 x  2 x dx   4 x  x 3  x 2   8  4    4  1  1 3 3 3   1 2 Пример -3. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной кривой x  3t  sin t  , y  31  cos t  и осью ox . Решение. Искомая область ограничена аркой циклоиды. Эта дуга описывается фиксированной точкой на окружности радиуса 3 , которая катится без скольжения по прямой y  0 . В начале движения фиксированная точка совпадает с началом координат. За параметр t принимаем угол поворота радиуса окружности, проходящего через фиксированную точку. Точка окружности опишет арку циклоиды, когда t меняется от 0 до 2 . Если кривая задана параметрическими уравнениями x  xt  , y  yt , то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, прямыми x  a , x  b и выражается формулой t2 S   y t x / t dt , t1 где t1 и t 2 определяются из уравнений a  xt1  , b  xt 2  . ( yt   0 при t1  t  t 2 ). В рассматриваемом примере dx  31  cos t dt , а t меняется от t1  0 до t 2  2 . 2 2   2 1 1 Итак, S   3 1  cos t  dt  9  1  2 cos t  cos t dt  91  2 sin t  t  sin 2t   27 . 2 4  0 0 0 2 2 2 Пример . Найти длину дуги кривой   1  cos  . Решение.Если гладкая кривая задана в полярных координатах уравнением            , то длина дуги равна:  l    2   / d . 2  Найдем  и  , для этого положим. В силу четности функции график   1  cos  симметричен относительно полярной оси. Кривая   1  cos  называется кардиоидой (см. чертеж). 2 0 Вычислим половину дуги по формуле:  1 l 2 0 1  cos  2  sin 2  d , Считая, что  меняется от 0 до  , а  /  sin  .   0 0 l  2 1  2 cos   1d  2 2  1  cos  d  по формуле тригонометрии: 1  cos   2 sin 2     4 sin d  8 cos 2 2 0   2 , тогда  8cos   cos 0  8 1  1  16 . 0 Пример -8. Найти объем тела, ограниченного поверхностями 2 z  x  4y , z  2 . z  2, Решение. Тело ограничено плоскостью параллельной координатной плоскости xoy и эллиптическим параболоидом z  x 2  4y 2 , вершина которого находится в начале координат. В сечении тела плоскостью, перпендикулярной оси oz получится эллипс x 2  4 y 2  z , в 2 канонической форме x2  z 2  y2  z    2    2 1. z 2 y x b Объем искомого тела вычисляется по формуле: V   sz dz . В нашем примере 0 z меняется от 0 до 2 , площадь эллипса примере sz    z 2 V  0 z 2 dz  z 2 4 z z  , 2 2 2  . 0 2 2 x y  2  1 равна ab . В данном 2 a b &&& $$$003-009-000$3.3.9 Модуль 2. Функции нескольких переменных &&& $$$003-009-001$3.3.9.1 Методические указания к практическому занятию №9 Пример . Доказать, что функция u  ln x 2  y 2 удовлетворяют уравнению  2u  2u  0 x 2 y 2 Решение. Используем свойства логарифмов и приведем функцию к виду   1 ln x 2  y 2 2 u 1 1 x   2x  2 2 2 x 2 x  y x  y2 u  2u x 2  y 2  x  2x y2  x2   2 2 x 2 x2  y2 x2  y2 u 1 1 y   2y  2 2 2 y 2 x  y x  y2      2u x 2  y 2  y  2 y x2  y2   2 2 y 2 x2  y2 x2  y2    u  u y x  2  2 x y x2  y2 2 2 2   2  x y  x 2  2 2 2  y2 Пример 3. Найти приближенное значение  2 5 0 2,953  2,032  1 , исходя из значения функции 5 x 3  y 2  1 при x  3, y  2 заменяя ее приращение дифференциалом. Приращение функции z и ее полный дифференциал dz связаны равенством z  dz   , где  - бесконечно малая более высокого порядка малости по сравнению с   x 2  y 2 . При достаточно малых x и y можно величиной  пренебречь и считать z  dz , это приводит к приближенному равенству z  dz  z z dx  dy x y или f x  x, y  y   f x, y   df x, y   f x, y  f x, y  x  y . x y Решение. Рассмотрим функцию f x, y   5 x 3  y 2  1 . f 3,2  5 27  4  1  5 32  2 1 1 f 1 3 3 x2 2 2 5  x  y  1  3x  x 5 5 5 x 3  y 2  14 1 1 f 1 3 2 y  x  y2 1 5  2y  y 5 5 5 x3  y 2  1 4     x  3, y  2, x  x  2,95; y  y  2,03 x  2,95  3  0,05, y  2.03 - 2  0,03 f 3,2 3 4 12 3    ; x 5 5 27  4  14 55 32 4 20 f 2,95;2,03  f 3,2   2 f 3,2 2 3 3   y 5 16 40 f 3,2 f 3,2 3 3  x   y  2    0,05   0,03  x y 20 40 3 9   1,995 400 4000 Пример. Вычислить приближенно число a  1,04 2,03 . Решение. Рассмотрим функцию f x, y   x y . x  1, y  2; x  0,04, y  0,03 f f df  x  y  yx y 1 x  x y ln xy x y df 1,2  2  1  0,04  1  ln 0,03  0,08 a  f 1,04;2,03  f 1,2  df  1  0,08  1,08 Пример. Напишем уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности эллиптического параболоида z  x2  y2 в точке  0 (1,1,2) . Предварительно запишем это уравнение в виде z  x2  y2  0. который определяет поверхность уровня 0 функции 2 2 u( x, y, z )  z  x  y . Отсюда получим u x  2 x , u y  2 y , u z  1 . Следовательно u x ( M 0 )  2 , u y ( M 0 )  2 , u z ( M 0 )  1 . Подставляя эти значения в уравнения касательной плоскости, получим  2( x  1)  2( y  1)  ( z  2)  0 , т.е.  2 x  2 y  z  2  0 . Параметрические уравнения нормальной прямой имеют вид  x  1  2t   y  1  2t . z  2  t  Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z  x 2  2 xy  3 y 2  y в замкнутой области, заданной неравенствами 0  x  1; 0  y  1; 0  x  y 1. Решение. Область задания функции представляет собой треугольник, ограниченной координатными осями и прямой x  y  1 . Рис.1. 1) Находим стационарные точки внутри области задания функции z x  2 x  2 y  2x  y  z y  2 x  6 y  1 x  y  0  2 x  6 y  1  0 1 1 x , y 8 8 1 1 Получили точку   ;  , других стационарных точек у функции нет.  8 8 Эта точка   ;  не принадлежит рассматриваемой области, поэтому 1 1  8 8 значение функции в ней не учитываем. 2) Исследуем функцию на границе области. Граница состоит из трех участков, описанных тремя разными уравнениями, исследуем функцию на каждом участке отдельно. а)Исследуем функцию на участке OA, где А(1,0) О(0,0). Уравнением связи является у=0. С учетом его функция представится в виде z=x2. Из уравнения сразу видно, что функция возрастает на OA от 0 до 1. Следовательно, наименьшее значение функции будет при x  0 , а наибольшее x  1; т.e. z1 0,0  0; z 2 1;0  1. б) Исследуем функцию на участке ОВ, где В(0,1) уравнением связи является x  0 . С учетом его функция принимает вид: z  3 y 2  y . Тогда z   6 y  1; - 6y  1  0, y  1 ; 6 1 стационарная точка  0,  , значение функции в  6 1 1 ней z 3  0,    в) 6 12 Исследуем функцию вдоль участка прямой x  y  1 . Подставляя y  1 x в выражение для функции, получим z  x 2  2 x1  x   31  x 2  1  x  или z  4 x 2  7 x  2 . Тогда z   8 x  7, - 8x  7  0; x  7 1 точке  ;  8 8 z 5 0,1  3  1  1  2 . Сравнивая заключаем z наиб  1 7 1 z 4  z  ;   4 8 8 значения 1 , z наим  2 . 16 7 1 ; y  , значения функции в 8 8 2 7 1 7    7  2 1 . 8 16 8 z1  0; z 2  1; z 3  Вычислим 1 1 ; z 4  1 ; z 5  2 12 16 у В 1 А О 1 х рис.1. &&& $$$003-009-002$3.3.9.2 Задания для контроля по модулю 2 1. Вычислить интеграл  cos 2 хdx dx 2. Вычислить интеграл 4 x 3. Вычислить интеграл  4. Вычислить интеграл  2 2dx 1  x2 dx 2 x  16 1 5. Найдите значение интеграла  (1  2 x)dx 0 6.  ( x  3) 10 dx . вычислить интеграл 7. Найти f  1;  2 , если f x, y   x2  y2 . 2 xy 8. Вычислить f  1; 1 , если f x, y   xy  x . y 9. z  x 3  y 3 . Найдите частную производную 10. f x, y   x 2  y 2 . Вычислить z 2; 3 . x z . x &&& $$$003-010-000$3.3.10 Модуль 3. Дифференциальные уравнения первого порядка &&& $$$003-010-001$3.3.10.1 Методические указания к практическому занятию №10 Решая дифференциальное уравнение Px, y dx  Qx, y dy  0 нужно определить его тип. Если после преобразования его можно записать в виде f1 x f 2  y dx  1 x2  y dy  0, то оно называется уравнением с разделяющимися переменными. Исключим из рассмотрения точки, в которых 1x  0 и f 2  y   0 , тогда, разделив обе части уравнения на f 2  y   1 x , получим уравнение f1  x   y dx  2 dy  0 , 1  x  f2  y  в котором переменные разделены. Общим интегралом уравнения будет f1  x  2  y    x dx   f  y  dy  C . 1 2 y Если уравнение можно написать в виде y     , то оно называется x однородным. Подстановка u  приводит однородное переменными: если u  y , где u x  - новая неизвестная функция x уравнение к уравнению с разделяющимися y , то y  u  x, y  xu  u , подставляя это в уравнение x получим xu  u   u  du разделяем переменные, полагая u  dx du du dx x   u   u или  dx  u   u x du dx   u   u   x  ln x  C y du Вычислив  вместо u и получим общий интеграл , подставим x  u   u исходного уравнения. Если дифференциальное уравнение можно записать в виде y  Pxy  Qx , где Px и Qx  - непрерывные функции, то оно называется линейным. Для его решения ищем неизвестную функцию в виде произведения двух функций yx  ux  vx , тогда y   u   v  u  v  , подставив y и y  в уравнение получаем u  v  u  v  uvPx  Qx , после группировки имеем (*) vu  uPx  vu  Qx Подберем функцию u x  таким образом, чтобы u  u  Px  0 du  uP  x  ; dx du   P  x dx , u - P  x dx ln u   Px dx, u  e  v  u  Qx проинтегрировав его, найдем подставив полученное значение в (*) получим dv Q x  Q x   u  x   Q x , dv  dx  C . dx, v   dx U x  u x  Общее решение линейного уравнения есть произведение найденных функций y  ux  vx, c . Пример. Проинтегрировать уравнение xy 2     y 2 dx  x 2  x 2 y dy  0 Решение. Преобразуем уравнение: y 2 x  1dx  x 2 1  y dy  0 Разделим переменные, поделив уравнение на y 2 x 2 : х 1 1 y dx  2 dy  0 , интегрируя, получим общий интеграл уравнения: 2 х y x 1 1 y  x 2 dx   y 2 dy  C dx dx dy dy  x   x2   y2   y  C ln x  1 1 x x y   ln y  C ; ln  C x y y xy &&& $$$003-011-000$3.3.11 Модуль 3. Методы решения дифференциальных уравнений первого порядка &&& $$$003-011-001$3.3.11.1 Методические указания к практическому занятию №11 Пример. Проинтегрировать уравнение   2 x 2 dy  x 2  y 2 dx Решение. Разделив обе части равенства на x 2 dx , получим 2 2 dy  y  1    -это однородное уравнение. Положим в нем y  u ( x)  x , dx x du 2du dx y   u   x  u; 2 xu   2u  1  u 2 ; 2 x  u 2  2u  1;  ; 2 dx x (u  1) 2x  2 2   ln x  ln C;   ln C  x; Cx  e y  x y u 1 1 x Пример. Проинтегрировать уравнение y  2 xy  2 x 2 e  x 2 Решение. Это линейное уравнение, где P( x)  2 x, Q( x)  2 x 2 e  x dy dv du u  v , подставим в данное уравнение Положим y  u  v; dx dx dx 2 2 dv du v  2 xu  v  2 x 2 e  x dx dx 2 dv  du  v  2 xu   u  2 x 2 e  x (**) dx  dx  du du  2 xu  0 или  2 xdx проинтегрировав, получим частное Положим dx u 2 2 решение ln u   x 2 или u  e  x . При u  e  x равенство (**) обратится в 2 dv 2 2  2 xe x , dv  2 x 2 dx, откуда v  x 3  C. Общим решением уравнение e  x dx 3 2 2 данного уравнения будет y  u  v  e  x  x 3  C . 3  u Пример . Найти частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям (1  е x ) уу   е x , у(0)  1. Решение. Это уравнение с разделяющимися переменными ex dx. 1 ex y2 e x dx  C 2 1 ex e x dx 1  e x  z dz x  1  e x  e x dx  dz   z  ln z  ln( 1  e ) ydy  т.к y (0)  1, то y2  ln 1  e x  C , y  2 ln 1  e x  C1 2 C1  1 Частное решение имеет вид y  2 ln 1  e x  1 Чтобы решить линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами (1) a0 y   a1 y   a2 y  0 Надо составить характеристическое уравнение (2) a0 k 2  a1k  a 2  0 и найти все корни k1 , k 2 . Общее решение уравнения (1) в случае k1 , k 2 . - действительных y 0  C1e k x  C 2 e k x . Если k1  k 2  k , то y 0  (C1  C 2 x)e kx . Если у уравнения (2) дискриминант D<0 1 2 D D a1 a i , k2   1  i , 2 2 2 2 a D D   1 y 0  e 2  C1 cos x  C 2 sin x .  2 2    отрицательный, то, k1   Пример. Найти общее решение уравнений: а) y   5 y   6 y  0 б) y   6 y   9 y  0 в) y   y   y  0 Решение. а) Составляем характеристическое уравнение, заменяя y  на k 2 , y  на k, a y на 1, получаем k 2  5k  6  0 Решаем квадратное уравнение, находим Корни k1  6, k 2  1. характеристического уравнения - вещественные, не равные между собой. Этим корням соответствуют частные линейно-независимые решения y1  e 6 x , y 2  e x , они образуют фундаментальную систему решений, поэтому общее решение запишется так: y  C1e 6 x  C2 e x y   6 y   9 y  0 . Соответствующие б) характеристическое уравнение k  6k  9  0. Корни уравнения k1, 2  3 - числа вещественные равные между собой. Этим корням соответствуют частные решения, у1  е 3 х , у 2  хе3 х . Они образуют фундаментальную систему, поэтому общее решение записывается так: 2 y  C1e 3 x  C 2 xe3 x y   y   y  0 . Соответствующее в) характеристическое уравнение 1 3 1 3 i ; k2   i . Этим корням соответствуют 2 2 2 2 1 1 x x 3 3 2 y1  e cos x; y 2  e 2 sin x. Они образуют 2 2 k 2  k  1  0 его корни. k1  частные решения, фундаментальную систему решений. Поэтому общее решение запишется в виде x x  3 3 3 3 2 2 y  C1e cos х  C 2 e sin x  e  C1 cos x  C 2 sin 2 2 2 2  x 2  x   &&& $$$002-014-000$3.2.14. Модуль 3. Ряды. &&& $$$003-014-001$3.3.14.1 Методические указания к практическому занятию №14 Пример. Исследовать на сходимость ряд  3n n!  n n 1 n . Решение. Применим признак Даламбера un  3 n n! 3 n 1 n  1! , u  n 1 nn n  1n1 u n 1 3n1  n  1!n n 3n n 3 3  n     3    n 1 n n n n un n  1  3  n! n  1  n  1  n 1  1 1       n   n n lim n  u n1 3 3 3  lim  , 1 n n   un e e  1 1    n , так как e  2.71 ряд расходится. Пример. Найти область сходимости степенного ряда  32 x 2 u n x   3n x n 3x 2 22  ...  3n x n 2n  ... Решение. 2n ; u n 1  3 n 1 x n 1 2 n 1 u n 1 3 n 1  x n 1 3 n  x n 1  2 n 3 n 1  x n 1  2 n 3 x  :   un 2 2 n 1 2 n 1  3 n  x n 2 n 1  3 n  x n Ряд сходится абсолютно при тех значениях x , при которых 3x 2 2 2  1; x  ,  x 3 или 2 3 3 На концах интервала сходимости имеем расходящиеся ряды: при при x x  - 1  1 - 1  1 - ...   - 1 2 3 n n 1  2 3 1  1  ...  1n n 1   . 3n x n n  2 2    3 , 3   . сходится в промежутке Итак, степенной ряд n 1 2 Пример . Определить интервал сходимости ряда 1 2x 4x2 2n 1   ...   ... 32 52 2n  12 Решение. un  2n 1 x n 1 2n x n ; u  2n  12 n 1 2n  12 un 1 2n x n 2n 1 x n 1 2n x n 2n  1  2n  1   :   2 x  2 2 2 n 1 n 1 un 2n  1 2n  1 2n  1 2 x  2n  1  2 2 un 1  2n  1   lim 2 x   2x n u n 2 n  1   n 1 2 x  1, x  2. Ряд сходится, если 1 1  x 2 2. 2 lim Исследуем сходимость на концах интервала. Пусть x 1 2 , тогда n 1  1 2n 1     2 un  2n  12 1   1n 1 2n  12 ; получим знакочередующийся числовой ряд 1 1 1  2  2  ..., 2 3 5 7  этот ряд абсолютно сходится, т.к. 1  n n сходится при   0 , 1 2 имеем числовой ряд расходится при   0 . При 1 1 1 1  2  2  2  ..., 3 5 7 x сходящийся абсолютно. Итак, рассматриваемый ряд сходится при  1 1 x 2 2. Для разложения функции в степенной ряд часто используются готовые функции: ex  1  1. x x2 xn   ...   ... 1! 2 ! n!    x   x3 x5 x 2 n 1 sin x  x    ...  (1)  ... 3! 5! (2n  1)! 2. x2 x4 x2n cos x  1    ...  (1) n  ... 2! 4! (2n)! 3.    x      x   n x 2 x3 n x ln( 1  x)  x    ...  (1)  ...  1  x  1 2 3 n 4. m m(m  1) 2 m(m  1)( m  2)...( m  n  1) n (1  x) m  1  x  x  ...  x  ... 1! 2! n! 5. 6. arctgx  x x3 x5 x 2 n 1    ...  (1) 2 n 1  ... 1 3 5 2n  1 1  1  x  x 2  ...  x n  ... 7. 1  x  1  x  1  1  x  1  1  x  1 Пример 16. Разложить в степенной ряд по степеням x функцию   f x   x ln 1  x 2 n x 2 x3 n 1 x ln 1  x   x    ...   1  ... 2 3 n Решение. Так как 2 заменяя в этом равенстве x на x , будем иметь 2n x 4 x6 n 1 x ln 1  x 2  x 2    ...   1  ... 2 3 n ,  а потому   1  x  1 , то x ln x  x3  2 n 1 x5 x7 n 1 x   ...   1  ... 2 3 n  1  x  1 . Пример 17. Разложить в степенной ряд по степеням x функцию f x   1 1  x2   Решение. Пологая y   x и применяя ряд (6) при 2 f x    1  1   1       1...  n  1 2  2   2  yn   1   n! n 1   1  y  1 x2   n 1  3  ...  2n  1 n  1n 2n  1!!  x 2 1    1 y  1   n 2n !! 2  n! n 1 n 1  1  x  1. 1 1  2 1 2 , получаем   n 2n  1!! x 2 n , 2n !! n 1   1  Здесь используется принятое обозначение 2n  1!! 1 2  3  5  ...  2n  1, 2n!! 2  4  6  ...  2n &&& $$$003-013-002$3.3.13.2 Задания для контроля по модулю 3 2 x 1.Укажите общее решение уравнения у |  y  0 : 2. Общее решение дифференциального уравнения у |  2 xy : 3. Для дифференциального уравнения у | |  4 х 3  2 найдите общее решение: 4. Составьте характеристическое уравнение для линейного дифференциального уравнения y | |  5 y |  6 y  0 : 5. Найти корни характеристического уравнения для линейного дифференциального уравнения y | |  5 y |  6 y  0 n2   2n  4 6. Найдите для числового ряда u n1 и ответьте на n  u n величину p  lim n 1 вопрос о его сходимости: 7. Исследовать числовой ряд  2n  1     n 1  3n  1   n на сходимость, вычислив величину p  lim n u n : n   5 Найдите для числового ряда  n  8. n 1 u n1 и ответьте на n  u n величину p  lim 2n  1 вопрос о его сходимости: 9. Найти для числового ряда  n 1  2n  1 величину p  lim n  n 1 u n1 и ответить на un вопрос о его сходимости: 10.Вычислите для числового ряда   3n n 1 на вопрос о его сходимости: n 3 1 величину p  lim n  u n1 и ответьте un &&& $$$007-000-000$3.7 Блок контроля знаний &&& $$$007-001-000$3.7.1 Тесты для 1 рубежного контроля 1 $$$С Вычислить определитель 3 2 4 0 A) 0; B) -1; C) 8; D) 7; E) 1; 2 $$$А 0 5  2 0   и B    . Найти м атрицу 2А+3В.  4  1  1  2 Даны матрицы A    6 10   ; 11  8   6 10    ; B)   5 1 A)   3 5  ;  4 1 2 3   ; D)  1  2 C)   6 15   ;  4  2 E)  3 $$$А  3 5  2  3  и B    . Найти АВ.  4 0 1 2  Даны матрицы A   11 1   ; исправить  8  6  10  9   ; B)   36  12  A)  3 5  ; 4 2 2 3  ; D)   1 2 C)  11 1   ;  9 10  E)  4 $$$D  2 x1  x 2  3 x 3  9 Решить систему уравнений 3 x1  5 x2  x3  4  4x 7 x  x  5 2 3  1 А) (-1;0;2) В) (5;-6;7) С) (7;8;5) D) нет решений Е) (0;1;8) 5 $$$D 1 2 0 0 1 3 . 5 0 1 Вычислить определитель A) 5; B) 30; C) -1; D) 29; E) 25; 6 $$$C   3 2  . Найти обратную матрицу A 1 . Дана матрица A    4 3     3  2  ;   4  3   5 3  ; B)   4 4 A)    3 2  ;   4 3 5  3  ; D)  4  4 C)   10 1   ;  1  1 E)  7 $$$A Найти алгебраическое дополнение,  3 2 1    определителя A    1 4  5   3 0  2   А) -17; В) 16; С) -18; D) 13; соответствующее элементу а12 Е) -3. 8 $$$D 2 3 2    Дана матрица А   0 1  3  . Найти элемент а32 обратной матрицы А-1. 3 4 0    A) 1; 2 3 B)  ; C)-1; D)  1 9 1 9 9 $$$C E) . Даны точки А(2;1;3) и B(1;2;3) . Найти вектор AB . A) 3;1;0; B) 3;4;9; C)  1;3;6 ; D) 0;6;4; E) 2;1;0. 10 $$$A Даны векторы a  (1;2;1) и b(2;1;2) . Найти вектор 2а+3b. A)  4;1;4; B) 2;30;4; C)  1;2;0; D) 6 ;7;9 ; E) 5;6 ;7 . 11 $$$D Дан вектор a  (2;1;2) . Найти единичный вектор вектора a . A)  4;7;2; B) 2;30;4; 2 1 2 C)  ; ;  ; 3 3 3 2 1 2 D)  ; ;  ;  3 3 3 E) 5;6 ;7 . 12 $$$D Даны векторы a   3;4;2 ) и b  2;5;2 . Найти a, в  А) -20; В) 23; С) -25; D) -22; Е) 6. 13 $$$D Если a  3 , b  4 и угол между векторами   А) 40 В) 35 С) 45 D) 37 Е) 39. 14 $$$E Найти косинус угла между векторами a  1;2;3 А) 3 В)  3  b  6;4;  2.. 4 7 С) 0 D) 5 Е) 2 . 7 15 $$$C Даны векторы А) 5;5;  5 В) 5;5; 5 С) {-5;5;-5}; D) {0;0;1} Е) {2;-3;-3}7 16 $$$C a   3;1;2 и Вычислить предел lim x  3x  1 . 3  x  2x 2 А) 1.5 В) 3 С) 0 D)  Е) не существует 17 $$$C Вычислить предел lim x 3 А) 0 В) 4 1 30 1 D) 16 С) x6 3 x  х6 2 b  1;2;1 , то найти (a+b)2.  Найти [a,b] Е) 1 15 18 $$$A Найти интервалы выпуклости функции y  x 4  2 x 2  3  1 1  ;  3 3  1   B)   ;  3  А)    C)  0; 1   3   1  D)   ;0  3   E) интервалов выпуклости нет 19 $$$A Найти промежутки вогнутости функции f ( x)  9 x  1 . А) промежутков вогнутости нет B) (; 0) C) (0; ) D) (;2) E) (2; ) 20 $$$B найти наклонную асимптоту кривой y  А) x  0 B) y =2 C) x  1 D) у   х E) асимптоты нет 21 $$$A x3  x  1 dx вычислить интеграл: А) x  2 ln x  1  c B) x  ln x  1  c 1 2 2 D) x  3 ln 2 x  1  c C) x  ln x  1  c E) 3x  c 22 $$$C x A) x 2  C. 2 dx вычислить интеграл:  16 2x  1 . x2 x3  16 x  C. 3 1 x4 C) ln  C. 8 x4 D) e x  C. x3 E)  C. 3 23 $$$C B) 2  (x 2  2 x  3)dx . вычислить интеграл: 1 А) 0. 15 . 7 7 C) . 3 20 D) . 9 8 E) . 3 24 $$$E B)    cos(2 x  2 )dx вычислить интеграл: 0 3 . 4 1 B) . 2 3 C) . 2 2 D) . 6 E) 0 . 25 $$$B 2 xdx 1 x 2  5 . вычислить интеграл: А) А) ln 3 . B) ln 3 . 2 1 ln 6 . 2 1 D) ln 3 . 2 E) ln 15 . 26 $$$A C) Вычислить  sin 3x sin 5 xdx 1 1 sin 2 x  sin 8 x  C ; 4 16 B 4 sin 2 x  16 sin 8 x  C; 1 1 C  sin 2 x  sin 8 x  C ; 4 16 1 1 D sin 2 x  sin 8 x  C ; 2 8 1 1 E sin x  sin 4 x  C; 2 8 27 $$$A x x Вычислить  sin  cos dx 4 4 x A  cos  C; 2 1 x B  cos  C; 4 2 x C cos  C; 2 x D  4 cos  C ; 2 1 E  sin x  C; 2 28 $$$B x3  x  2 dx вычислить интеграл: А) x  ln x  2  c A B) x  5 ln x  2  c C) x  ln x  2  c D) 2x  2 ln x  2  c E) x  2  c 29 $$$A x  x  1 dx вычислить интеграл: А) x  ln x  1  c B) x  3 ln x  1  c C) x  2 ln x  1  c D) 3x  2 ln x  1  c E) 3x  c 30 $$$C 5  2  5 x dx вычислить интеграл: А) 2 ln 2  5x  c B) 5 ln 2  5x  c C)  ln 2  5x  c D)  ln 2  5x  c исправить на + E)  ln 2  5x  c &&& $$$007-002-000$3.7.2 Тесты для 2 рубежного контроля 1 $$$B z  x 3  y 3 . Найдите частную производную z . x A) 3х 2  3 у 2 B) 3х 2 х4 4 х4 у4  D) 4 4 2 E) 3у C) 2 $$$D f x, y   x 2  y 2 . Вычислить z 2; 3 . x A) 5 B) 3 C) 6 D) 4 E) 2 3 $$$A Задана функция z  x 3  y 3 . Найти z 2; 3 . y A) 27 B) 20 C) 12 D) 39 E) 0 4 $$$C Для функции z  x 3  y 3  3xy найдите A) 3х 2  3 у 2  3 B) 3 у 2  3х C) 3х 2  3 у D) 3х 2  3 у 2 E) 3 х  4 у 5 $$$E z . x Найти z , если z  x 3  y 3  3xy . y A) 3х 2  3 у 2  3 B) 3 х  4 у C) 3х 2  3 у D) 3х 2  3 у 2 E) 3 у 2  3х 6 $$$D Вычислить значение f    2 2 1;  , если f x, y   x sin y . y  2  A) -1 B) 1 C) 1,5 D) 0 E) 2 7 $$$B Найдите z , если z  x 4  y 3  3x 2 y 2 . x A) 4х 3 B) 4 х 3  6 xy 2 C) 4 х 3  3 y 2 D) 3 y 2  6 x 2 y E) 6 хy 2  6 x 2 y 8 $$$D Чему равна частная производная z функции z  x 4  y 3  3x 2 y 2 ? y A) 4х 3 B) 4 х 3  6 xy 2 C) 4 х 3  y 2 D) 3 y 2  6 x 2 y E) 6 хy 2  6 x 2 y 9 $$$A Задана функция z  x 2  y 2 . Найти A) B)  х х2  у2 у х2  у2 z . x C) 1 2 х2  у2 2х D) х2  у2 E) х х 2  у 2 10 $$$B Найдите производную х A) х2  у2 у B)  C) z функции z  x 2  y 2 . y х2  у2 1 2 х2  у2 2х D) х2  у2 E) у х 2  у 2 11 $$$B Найдите частную производную y z функции z  arctg . x x 1 A) х  у2 у B)  2 х  у2 2 C) х 2  у 2 D) х 2 у E) х х  у2 2 12 $$$D Вычислить 1 5 3 B) 4 3 C) 5 A) f 1; 2 , если функция f x, y   arctg xy. x 2 5 4 E) 3 D) 13 $$$A Найдите значение A) B) C) D) E) f 1; 2 , если функция f x, y   arctg xy. у 2 5 1 5 3 5 4 3 1 2 14 $$$E Определите значение A) 1 B)  C) D) E) f  1 1;   для функции f x, y   arcsinx  y  . x  2 3 2 3 3 2 5 3 2 3 15 $$$A Задана функция f x, y   xy  1 2 1 B) 3 1 C) 4 3 D) 4 A) x f . Найти 2; 1 . x y E) 2 3 16 $$$C Выберите среди приведенных ниже выражений общее решение дифференциального уравнения у |  2 xy : A. y  Cx B. y  Cx ln x C. y  Ce x D. y  Cx 2 E. y  Ce 2 x 17 $$$A 2 Решите дифференциальное уравнение у | |  1 x A. y  C1  C2 x  x ln x B. y   x  Cx C. y  x ln x D. y  C1 x  C2 E. y  C1  C 2 x 18 $$$C Записать общее решение дифференциального уравнения y | |  5 y |  6 y  0 A. y  C1e 2 x  C 2 e 2 x B. y  C1e 3 x  C 2 e 3 x C. y  C1e 3 x  C 2 e 2 x D. y  C1e3 x  C2e3 x E. y  C1e 2 x  C 2 e 2 x 19 $$$A Какое из этих уравнений является однородным уравнением первого порядка? A xydx  x 2  y 2 dy  0 B xydx  ydy  0 C 5 xdx  6 xydy  0   D x  y dx  y 2 dy  0 E xdx  y 3 dy  0 20 $$$A Найти общее решение уравнения у |  A y  Cx  x ln x B y  Cx C y  Cx 2  x 2 ln x D y  Cx ln x E y  x2 C 21 $$$B Найти общее решение уравнения у |  y 1 x 1 yx x A y  Cx B y  Cx  x 2 C y  Cx 2 D y  Cx  x 3 E y  Cx 3 22 $$$A Найти общее решение уравнения у |    1 y   xy 2 x A y x 2  Cx  1 1 B y x C C y 2 x C D y x 1 E y x  Cx 23 $$$D Найти характеристическое уравнение для дифференциального уравнения y | |  5 y |  6 y  0 A k 2  6k  0 B 5k 2  6k  1  0 C 6k  0 D k 2  5k  6  0 E 6k 2  5k  1  0 24 $$$E Найти корни характеристического уравнения для дифференциального уравнения y ||  5 y |  6 y  0 A k 1, 2  2 B k1, 2  3 C k1  k 2  3 D k 1, 2  2 E k1  3 , k 2  2 25 $$$D Найти частное решение для дифференциального уравнения y | |  5 y |  6 y  0 A y1  e 2 x , y 2  e 2 x B y1  e 3 x , y 2  e 3 x C y1  e 3 x , y 2  xe3 x D y1  e 3 x , y 2  e 2 x E y1  e 2 x , y 2  xe2 x $$$C 26 Найти общее решение дифференциального уравнения y | |  5 y |  6 y  0 A y  C1 e 2 x  C 2 e 2 x B y  C1 e 3 x  C 2 e 3 x C y  C1 e 3 x  C 2 e 2 x D y  C1e3 x  C2e3 x E y  C1 e 2 x  C 2 e 2 x 27 $$$B Найти частное решение дифференциального уравнения y | |  5 y |  6 y  x  1 , удовлетворяющее начальным условиям y0  3 , y | 0  4 A y  2e 3 x B y  2e 3 x  5e 2 x C y  5e 2 x D y  5e 2 x E y  e 3 x  e 2 x 28 $$$D Написать простейшую формулу n  го члена ряда по указанным членам: 1 1 1 1 1 1       ... 2 6 12 20 30 42 1 А. U n  n (n  1) 1 В. U n  2 n  n 1 1 С. U n  (n  1)( n  2) 1 D. U n  n (n  1) 1 Е. U n  2 n  2n 29 $$$Е Написать простейшую формулу n-го члена по первым членам ряда: 2 3 2 1 2 1 2        ... . 5 2 5  3 5  12 А. U n    n3 n  2  В. U n     3n  С. U n  2 2   5n  5  D. U n  12   n5 n 1 n 1 12 Е. U n    n5 30 $$$D n n Вычислите для числового ряда  2n u величину p  lim n1 и ответьте на  n  u n n 1 n вопрос о его сходимости: A. p  1 , ряд сходится B. p  1 , ничего определенного о ряде сказать нельзя 1 , ряд сходится 2 D. p  2 , ряд расходится C. p  E. p  1 , ряд расходится &&& $$$003-001-002$3.7.3 Примеры экзаменационных тестов 1 вариант  3 5 2 3   и B    Найти матрицу 2А+5В 1 Даны матрицы A    4 1 1  2 16 25   ; 13  8   6 15     ;  4  2 5 8   ; 5 1   A)  B)  3 5  3 5  ; 4 1   2 3   ; 1  2   C)  2 D)  E) 3   и B    . Найти матрицу АВ-. 2 Даны матрицы A   4 1  1  2  10  9   ;  36  12   6 15   ; 4 2  A)  3 A) 5; C)  2 3  ;  1 2 D)  3 x  6 y  3  2x  3 y  5 B) (1;1); C) (-1;1); D) (2;1); E) (0;0); 1 2 0 Вычислить определитель 0 1 3 5 0 1 B) 30; C) -1; D) 29; E) 25; 5 Даны векторы a  (10;10;12) и b  (5;2;7) . Найти a  b A) 5;12;19; B) 1;1;0; C) 2;1;2; D) 5;12;19; 6 Даны векторы a  3;5;8 А) 6; 11  1  ;  9 10  E)  Решить систему уравнений  A) (1;2); 4 3 5  ; 4 2 B)  В) 9; С)8;  и b   1;1;4  D) 10; E) 0;1;0. Найти a  b - Е) 5; 7 Найти угол между векторамии a  1;2;3 А) 3 В) 8 Вычислить lim x2 4 7 С) 0  и b  6;4;  2 D) 5 Е) 2 . 7 x2 2 x2  4 А 0 В 4 С x2  2x  3 x2  5x  4 4 3 A B 3 4 3 2x  7 x2  2 10 Вычислить lim 3 x  6 x  4 x  3 1 A 3 B 3 1  cos x 11 Вычислить lim x 0 5x2 1 4 D 1 16 Е болмайды. 9 Вычислить lim x  1 12 A) 0,1 B) 10 Вычислить lim x 0 8 6 x x 4 3 D 3 4 Е0 C 0 D  E –3 C) 0,2 D) 1 E) 0 D log 4 3 Е 0 D tgx E ctgx C x . 4 3 С log 3 4 В ln 3 4 f x   ln cos x . Вычислить f | | x  sin x 1 B A C 1 cos 2 x cos x  cos 2 x А ln 13 14 Найти кризисные точки y  x ln x А) x  0 В) x  1 С) x  0, x  e x2 x2 C) ymax  4 D) xe 1 Е) x  1, x  e 15 Найти максимум функции y  A) ymax  0 B) ymax  8 16 Вычислить 8  3 44 A 3 17 A sin 6 x  C ; xdx 1 х D) максимумы жоқ E) ymax  2 . 20 3 Вычислить  sin 5 xdx B B 1  cos 5 x  C ; 5 C 11 D 4 C 1 tg 5 x  C ; 5 D 2 sin 5 x  C; 2 E E 32 3 cos x  C ; dx 2 3x  sin 18 Вычислить A B tgx  C ; C ctgx  C ; D E 2tg 3 x  C ; 1  ctg 3 x  C ; 3 3ctg 3 x  C ; 2 19 Вычислить  ( x 2  2 x  3)dx 1 А 0 B А) (; ) B) жоқ 7 3 Найти интервал вогнутости f ( x)  9 x  1 20 15 7 C 20 9 D C) (0; ) E 8 3 E) (2; ) D) (;2) 2 вариант 1 2 3 6  и B    . Найти матрицу 3А-В 1 Даны матрицы A    1 3  5 10  16 25   ; 13 0  0  0  ;   8  1 A)  3 6   ;  5 10  C)  3 5 2  6 15   ;  4  2 D)  E)  3   и B    . Найти матрицу ВАДаны матрицы A   4 1  1  2 2  6 15   ; 4  2  18 13   ;  5 3  A)  3  3 5  ;  4 1 B)  0 1  ; 1 0 B)   11  1  ;  9 10  3 5  ; 4 1 C)  D)  E)   2 x1  3 x 2  1 3 x1  5 x2  4 Решить систему уравнений  А) (-7;5) 4 В) (5;7) С) (-5;-7) D) (4;-7) Е) (-6;7) 1 2 4 Вычислить 0 2 3 1 0 4 A) 20; B) 3; C) 8; D) -10; E) 10; 5 Даны векторы А(4;2;1) и B(3;5;4) . Найти BA A)5; B)7; C) 9 3 ; D) 19 ; E) 21 . 6 Даны векторы а (4;2;-7) и b(3;2;7) . Найти a  b A) 3;7;0; B) 7;0;14; C) 2;2;4; D)  7;1;4; 7 Даны векторы a  3;5;8 А) 5; В) 7;  С) 2 17 ; E) 1;1;1. и b   1;1;4  Найти a  b табыңдар. D) 3 19 ; Е) 19 . x 2  x  12 x2  4 x 8 Вычислить lim x 3 B) –7 A) 7 9 Вычислить lim x  1 B –0,5 10 Вычислить: lim x 0 B) 0,6 A) 0,5 2 3 C 3 2 D E 0 C) 1 D) 2 E) –1 C) 1 D)   E) C) 9 D) 1 E) 2 e 1 sin x x B)  12 Вычислить lim x 0 1 7 arcsin 3 x 5x A) 6 A) 0 E) x2  x  2 x2  4x  3 A –1,5 11 Вычислить lim x 0 D)  C) 0 1  cos 6 x 1  cos 2 x 1 B) 9 1 2 13 Найти область определения f ( x)  ln( 3  2 x) . 3 2 3 2 А) ( ,  ) ; 14 В) (; ) 3 3 D)   ;     ;   С) x  R ,  E) x  0 . f x   5 . Вычислить f | | x  5x 5x 5x B C  ln 2 5 ln 5 ln 5 1 f x   Найти интервалы убывания . x2 A  ;  2 16  2  x A 15 2 B C  ;  2   2;    ;   y  x(1  x ) Найти критические точки 4 А) x  0 В) С) x  4 9 x  0, x  9 x2 1  Найти максимум функции . 2 x A) B) C) ymax  0,5 y max  1 y max  1,5 D 5 x ln 5 E 5 x ln 2 5 D E 0; 2  ; 0 D) x Е) нет 2 3 17 y  18 Вычислить  2 sin 2 x dx 2 D) нет E) ymax  0 1 2 x 2 A 2( x  sin )  C ; B x  sin 2 x  C; C x  sin x  C; D x  sin x  C; E 2 3x sin  C; 3 2 19 Вычислить 8  3 xdx 1 х 44 20 C 11 B 3 3 f ( x)  9 x  1 Найти интервалы выпуклости . A 20 А) (; ) B) (; 0) C) (0; ) 32 3 D 4 E D) E) нет (;2)

1. Независимые повторные испытания. Формула Бернулли

Related documents

Products

Support

1. Независимые повторные испытания. Формула Бернулли

Related documents

Add this document to collection(s)

Add this document to saved

Suggest us how to improve StudyLib