Программа вступмтельного экзамена

Рекомендовано
УТВЕРЖДЕНО
на заседании кафедры правовой
информатики, информационного права Учебно-методическим советом
и естественнонаучных дисциплин
ЦФ ФГБОУ ВПО «РАП»
Протокол № 08 от « 25» марта 2014 г.
Протокол № 07 от «26» марта 2014 г.
Директор ____________ Е.А. Федосов
ПРОГРАММА
вступительного испытания
по общеобразовательному предмету «Математика»
(письменный экзамен)
направление подготовки 38.03.02 Менеджмент
(квалификация академический «бакалавр»)
Воронеж 2014
2
1. ТРЕБОВАНИЯ К ЗНАНИЯМ АБИТУРИЕНТОВ
Программа вступительного испытания по общеобразовательному предмету «Математика» составлена на основе федерального компонента государственного стандарта основного общего образования и предназначена для абитуриентов, поступающих в Центральный филиал ФГБОУВПО «Российская
академия правосудия» по направлению подготовки 080200.62 Менеджмент
(квалификация (степень) «бакалавр»).
Математика является не только мощным средством решения прикладных
задач и универсальным языком науки, но и элементом общей культуры, необходимым для усвоения значительной части учебных дисциплин по направлению Менеджмент. Поэтому вступительный экзамен по математике является
профилирующим экзаменом для абитуриентов по данному направлению.
Вступительный экзамен проводится в письменной форме по тестовым заданиям. Требования (умения), проверяемые заданиями, представлены ниже.
Номер
темы
1
2
3
Требования (умения), проверяемые заданиями
экзаменационной работы
Уметь выполнять вычисления и преобразования:
Выполнять арифметические действия, сочетая устные и письменные приемы; находить значения корня натуральной степени, степени с рациональным показателем, логарифма
Вычислять значения числовых и буквенных выражений, осуществляя необходимые подстановки и преобразования
Проводить по известным формулам и правилам преобразования
буквенных выражений, включающих степени, радикалы, логарифмы
и тригонометрические функции
Уметь решать уравнения и неравенства:
Решать рациональные, иррациональные, показательные, тригонометрические и логарифмические уравнения, их системы
Решать уравнения, простейшие системы уравнений, используя
свойства функций и их графиков; использовать для приближенного
решения уравнений и неравенств графический метод
Решать рациональные, показательные и логарифмические неравенства, их системы
Уметь выполнять действия с функциями:
Определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания функции; описывать по графику поведение
и свойства функции, находить по графику функции наибольшее и
наименьшее значения; строить графики изученных функций
Вычислять производные и первообразные элементарных функций
Исследовать в простейших случаях функции на монотонность,
находить наибольшее и наименьшее значения функции
3
Номер
темы
4
5
6
Требования (умения), проверяемые заданиями
экзаменационной работы
Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами,
координатами и векторами:
Решать планиметрические задачи на нахождение геометрических
величин (длин, углов, площадей)
Решать простейшие стереометрические задачи на нахождение
геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов); использовать при решении стереометрических задач планиметрические
факты и методы
Определять координаты точки; проводить операции над векторами, вычислять длину и координаты вектора, угол между векторами
Уметь строить и исследовать простейшие математические
модели:
Моделировать реальные ситуации на языке алгебры, составлять
уравнения и неравенства по условию задачи; исследовать построенные модели с использованием аппарата алгебры
Моделировать реальные ситуации на языке геометрии, исследовать построенные модели с использованием геометрических понятий
и теорем, аппарата алгебры; решать практические задачи, связанные
с нахождением геометрических величин
Проводить доказательные рассуждения при решении задач, оценивать логическую правильность рассуждений, распознавать логически некорректные рассуждения
Моделировать реальные ситуации на языке теории вероятностей
и статистики, вычислять в простейших случаях вероятности событий
Уметь использовать приобретенные знания и умения в
практической деятельности и повседневной жизни:
Анализировать реальные числовые данные, информацию статистического характера; осуществлять практические расчеты по формулам; пользоваться оценкой и прикидкой при практических расчетах
Описывать с помощью функций различные реальные зависимости между величинами и интерпретировать их графики; извлекать
информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках
Решать прикладные задачи, в том числе социально- экономического и физического характера, на наибольшие и наименьшие значения, на нахождение скорости и ускорения
4
2. СОДЕРЖАНИЕ ПРОГРАММЫ
Тема 1. Алгебра
Числа, корни и степени. Целые числа. Степень с натуральным показателем. Дроби, проценты, рациональные числа. Степень с целым показателем. Корень степени n  1 и его свойства. Степень с рациональным показателем и ее
свойства. Свойства степени с действительным показателем.
Основы тригонометрии. Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла. Радианная мера угла. Синус, косинус, тангенс и котангенс числа. Основные тригонометрические тождества. Формулы приведения. Синус, косинус
и тангенс суммы и разности двух углов. Синус и косинус двойного угла.
Логарифмы. Логарифм числа. Логарифм произведения, частного, степени. Десятичный и натуральный логарифмы, число е.
Преобразования выражений. Преобразования выражений, включающих
арифметические операции. Преобразования выражений, включающих операцию возведения в степень. Преобразования выражений, включающих корни
натуральной степени. Преобразования тригонометрических выражений. Преобразование выражений, включающих операцию логарифмирования. Модуль (абсолютная величина) числа.
Тема 2. Уравнения и неравенства
Уравнения. Квадратные уравнения. Рациональные уравнения. Иррациональные уравнения. Тригонометрические уравнения. Показательные уравнения.
Логарифмические уравнения. Равносильность уравнений, систем уравнений.
Простейшие системы уравнений с двумя неизвестными. Основные приемы решения систем уравнений: подстановка, алгебраическое сложение, введение новых переменных. Использование свойств и графиков функций при решении
уравнений. Изображение на координатной плоскости множества решений уравнений с двумя переменными и их систем. Применение математических методов
для решения содержательных задач из различных областей науки и практики.
Интерпретация результата, учет реальных ограничений.
Неравенства. Квадратные неравенства. Рациональные неравенства. Показательные неравенства. Логарифмические неравенства. Системы линейных неравенств. Системы неравенств с одной переменной. Равносильность неравенств, систем неравенств. Использование свойств и графиков функций при
решении неравенств. Метод интервалов. Изображение на координатной плоскости множества решений неравенств с двумя переменными и их систем.
Тема 3. Функции
Определение и график функции. Функция, область определения функции.
Множество значений функции. График функции. Примеры функциональных
зависимостей в реальных процессах и явлениях. Обратная функция. График об-
5
ратной функции. Преобразования графиков: параллельный перенос, симметрия
относительно осей координат.
Элементарное исследование функций. Монотонность функции. Промежутки возрастания и убывания. Четность и нечетность функции. Периодичность функции. Ограниченность функции. Точки экстремума (локального максимума и минимума) функции. Наибольшее и наименьшее значения функции.
Основные элементарные функции. Линейная функция, ее график. Функция, описывающая обратную пропорциональную зависимость, ее график. Квадратичная функция, ее график. Степенная функция с натуральным показателем,
ее график. Тригонометрические функции, их графики. Показательная функция,
ее график. Логарифмическая функция, ее график.
Тема 4. Начала математического анализа
Производная. Понятие о производной функции, геометрический смысл
производной. Физический смысл производной, нахождение скорости для процесса, заданного формулой или графиком. Уравнение касательной к графику
функции. Производные суммы, разности, произведения, частного. Производные
основных элементарных функций. Вторая производная и ее физический смысл.
Исследование функций. Применение производной к исследованию функций и построению графиков. Примеры использования производной для нахождения наилучшего решения в прикладных, в том числе социальноэкономических, задачах.
Первообразная и интеграл. Первообразные элементарных функций. Примеры применения интеграла в физике и геометрии.
Тема 5. Геометрия
Планиметрия. Треугольник. Параллелограмм, прямоугольник, ромб,
квадрат. Трапеция. Окружность и круг. Окружность, вписанная в треугольник,
и окружность, описанная около треугольника. Многоугольник. Сумма углов
выпуклого многоугольника. Правильные многоугольники. Вписанная окружность и описанная окружность правильного многоугольника.
Прямые и плоскости в пространстве. Пересекающиеся, параллельные и
скрещивающиеся прямые; перпендикулярность прямых. Параллельность прямой и плоскости, признаки и свойства. Параллельность плоскостей, признаки и
свойства. Перпендикулярность прямой и плоскости, признаки и свойства; перпендикуляр и наклонная; теорема о трех перпендикулярах. Перпендикулярность плоскостей, признаки и свойства. Параллельное проектирование. Изображение пространственных фигур.
Многогранники. Призма, ее основания, боковые ребра, высота, боковая
поверхность; прямая призма; правильная призма. Параллелепипед; куб; симметрии в кубе, в параллелепипеде. Пирамида, ее основание, боковые ребра, высота, боковая поверхность; треугольная пирамида; правильная пирамида. Сече-
6
ния куба, призмы, пирамиды. Представление о правильных многогранниках
(тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр).
Тела и поверхности вращения. Цилиндр. Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развертка. Конус. Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развертка. Шар и сфера, их сечения.
Измерение геометрических величин. Величина угла, градусная мера угла,
соответствие между величиной угла и длиной дуги окружности. Угол между
прямыми в пространстве; угол между прямой и плоскостью, угол между плоскостями. Длина отрезка, ломаной, окружности, периметр многоугольника. Расстояние от точки до прямой, от точки до плоскости; расстояние между параллельными и скрещивающимися прямыми, расстояние между параллельными
плоскостями. Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора. Площадь поверхности конуса, цилиндра, сферы. Объем куба, прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, призмы, цилиндра, конуса, шара.
Координаты и векторы. Декартовы координаты на плоскости и в пространстве. Формула расстояния между двумя точками; уравнение сферы. Вектор, модуль вектора, равенство векторов; сложение векторов и умножение вектора на число. Коллинеарные векторы. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам. Компланарные векторы. Разложение по трем некомпланарным
векторам. Координаты вектора; скалярное произведение векторов; угол между
векторами.
Тема 6. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей
Элементы комбинаторики. Поочередный и одновременный выбор. Формулы числа сочетаний и перестановок. Бином Ньютона.
Элементы статистики. Табличное и графическое представление данных. Числовые характеристики рядов данных.
Элементы теории вероятностей. Вероятности событий. Примеры использования вероятностей и статистики при решении прикладных задач.
7
3. МЕТОДИКА ПРОВЕДЕНИЯ ЭКЗАМЕНА И СТРУКТУРА
ТЕСТОВОГО ЗАДАНИЯ
Вступительный письменный экзамен по математике проводится по потокам в следующем порядке:
- абитуриенты к началу установленного расписанием времени занимают
места в аудитории, и до них доводится порядок проведения экзамена. Члены
экзаменационной подкомиссии собирают экзаменационные листы кандидатов
и взамен выдают экзаменационные листы и листы для ответа;
- каждый экзаменующийся заполняет титульный лист;
- вся письменная работа, как в чистовом, так и в черновом варианте, выполняется только на специальных бланках ответа установленной формы, выдаваемых каждому абитуриенту членами приёмной комиссии (подписывать
или делать на них какие-либо пометки, позволяющие установить её автора, не
разрешается);
- не разрешается на письменном экзамене пользоваться справочниками и
другими учебно-методическими материалами;
- не разрешается при выполнении письменной работы использовать
ручки с красными чернилами или красной пастой, а также делать записи и выполнять рисунки карандашом;
- для написания письменного экзамена отводится четыре астрономических часа (240 минут) с момента полной раздачи экзаменационных вариантов
всему потоку;
- после выполнения работы или по истечении времени, отведенного на
письменный экзамен, бланки ответа сдаются членам экзаменационной подкомиссии, которые возвращают экзаменационные листы, предварительно сверив
все данные, указанные в титульных листах;
- по окончании экзамена все письменные работы передаются ответственному секретарю для шифровки;
- зашифрованные титульные листы хранятся в сейфе у ответственного
секретаря, а листы-вкладыши возвращаются председателю подкомиссии;
- при обнаружении на листах-вкладышах подписи или других надписей,
не относящихся к работе, письменная работа проверяется двумя членами экзаменационной подкомиссии в присутствии председателя (заместителя председателя, ответственного секретаря) приёмной комиссии;
- проверка остальных письменных работ производится в специально выделенном для этой цели служебном помещении членами подкомиссии. Лица,
не имеющие отношения к экзамену, к проверке указанных работ не допускаются;
- оценка по письменной работе проставляется на последней странице чистового листа бланка ответа и заверяется подписью проверяющего (проверяющих), одновременно оценка проставляется в экзаменационную ведомость с занесением в неё девиза (шифра) кандидата;
- при проверке письменных работ разрешается использовать «олимпиадную» систему, при которой один член подкомиссии проверяет во всех работах
8
один и тот же номер задания с выставлением за него оценки под роспись. Всю
работу в этом случае оценивает председатель подкомиссии на основании выставленных членами комиссии баллов;
- по окончании проверки все письменные работы и экзаменационные ведомости передаются ответственному секретарю для расшифровки и выставления набранной суммы баллов в экзаменационные листы кандидатов.
Структура письменных экзаменационных работ по математике
аналогична структуре письменных тестов при сдаче единого государственного экзамена (ЕГЭ) по данному предмету и состоит из двух частей.
Часть 1 содержит 14 заданий (В1-В14) с кратким ответом (в виде целого
числа или конечной десятичной дроби) базового уровня по материалу курса математики.
Часть 2 содержит 6 более сложных заданий (С1-С6) по материалу курса
математики. При их выполнении надо записать полное решение и записать ответ.
Каждый вариант письменной экзаменационной работы содержит 20 заданий, из них: заданий по алгебре и началам анализа  14, по геометрии  6. Заданий базового уровня сложности 14, повышенного  4, высокого  2. Предполагается, что аналогичные задания в различных вариантах равноценны.
Общий план экзаменационной работы, максимальные баллы за выполнение конкретного задания, а также примерное время их выполнения представлены ниже.
Максимальный
Проверяемые элементы содержабалл за выния и виды деятельности
полнение
задания
Базовый уровень сложности задания
Примерное
время выполнения
задания
(мин.)
Задание В1. Дроби, проценты, рациональные
числа. Уметь использовать приобретенные знания
и умения в практической деятельности и в повседневной жизни
2
2
Задание В2. Графическое представление данных.
Анализ данных. Уметь использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и в повседневной жизни
2
2
Задание В3. Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора. Декартовы
координаты на плоскости. Уметь выполнять
действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами
2
3
9
Проверяемые элементы содержания и виды деятельности
Задание В4. Табличное представление данных.
Прикладные задачи на нахождение наибольшего
и наименьшего значения. Уметь использовать
приобретенные знания и умения в практической
деятельности и повседневной жизни
Задание В5. Уравнения. Уметь решать уравнения
и неравенства
Задание В6. Планиметрия. Треугольник, трапеция, параллелограмм, ромб, прямоугольник, квадрат. Окружность и круг. Угол. Нахождение элементов и величин в различных геометрических
фигурах. Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами
Задание В7. Числа, корни и степени. Основы
тригонометрии. Логарифмы. Преобразования
выражений. Уметь выполнять вычисления и преобразования
Задание В8. Графики функции, производных
функций. Исследование функций. Уметь выполнять действия с функциями
Задание В9. Многогранники. Измерение геометрических величин. Уметь выполнять действия с
геометрическими фигурами, координатами и векторами
Задание В10. Элементы теории вероятностей.
Уметь строить и исследовать простейшие математические модели
Задание В11. Многогранники. Тела вращения.
Прямые и плоскости в пространстве. Измерение
геометрических величин. Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами
Задание В12. Прикладные задачи. Осуществление практических расчетов по формулам. Уметь
использовать приобретенные знания и умения в
практической деятельности и повседневной жизни
Максимальный
балл за выполнение
задания
Примерное
время выполнения
задания
(мин.)
2
3
3
7
3
5
3
3
3
5
3
5
3
10
3
10
3
10
10
Проверяемые элементы содержания и виды деятельности
Максимальный
балл за выполнение
задания
Задание В13. Составление уравнений и неравенств по условию задач. Их решение. Уметь
3
строить и исследовать простейшие математические модели
Задание В14. Исследование функций. Применение
3
производной функции. Уметь выполнять действия
с функциями
Повышенный уровень сложности задания
Задание С1. Уметь решать уравнения и неравен8
ства
Задание С2. Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векто8
рами
Задание С3. Уметь решать уравнения и неравен9
ства
Задание С4. Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векто9
рами
Высокий уровень сложности задания
Задание С5. Уметь решать уравнения и неравен14
ства
Задание С6. Уметь строить и исследовать про14
стейшие математические модели
Примерное
время выполнения
задания
(мин.)
5
5
20
25
25
25
30
40
Общее количество баллов составляется начислением их в зависимости от
точности и полноты ответов, распределенных по частям В и С, и может достигнуть максимальных 100 баллов.
Выставление максимального количества баллов осуществляется только
после повторной проверки работы председателем предметной экзаменационной
комиссии, или, в спорных случаях, комиссией, назначаемой председателем
Приемной комиссии.
Аналогичным образом выставляется количество баллов, не превышающее низшего порогового значения.
Критерии проверки и оценки выполнения заданий. Задания части 1
считаются выполненными, если экзаменуемый дал верный ответ в виде целого
числа или конечной десятичной дроби.
Оценки заданий части 2 зависят от полноты решения и правильности ответа.
11
Общие требования к выполнению заданий с развёрнутым ответом: решение должно быть математически грамотным, полным, все возможные случаи
должны быть рассмотрены, из него должен быть понятен ход рассуждений абитуриента. Методы решения, формы его записи и формы записи ответа могут
быть разными. За решение, в котором обоснованно получен правильный ответ,
выставляется максимальный балл.
Члены комиссии проверяют математическое содержание представленного решения, а особенности записи не учитывают. В критериях оценивания конкретных заданий, приведенных ниже, содержатся общие требования к выставлению баллов.
Задание
С1
С2
С3
С4
Критерии оценивания выполнения заданий
Баллы
Обоснованно получен правильный ответ
8
Верно найдены нули числителя, но или не произведен от5
бор найденных решений, или допущены ошибки в отборе
Решение не соответствует ни одному из критериев, пере0
численных выше
Обоснованно получен правильный ответ
8
Способ нахождения искомого угла правильный, но полу5
чен неверный ответ или решение не закончено
Решение не соответствует ни одному из критериев, пере0
численных выше
Обоснованно получен правильный ответ
9
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного
6
только конечным числом значений x
Ответ неверен, но решение содержит переход от исходно3
го неравенства к верной системе рациональных неравенств
Решение не соответствует ни одному из критериев, пере0
численных выше
Рассмотрены все возможные геометрические конфигура9
ции и обоснованно получен правильный ответ
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая
6
конфигурация, в которой обоснованно получено правильное значение искомой величины
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая
3
конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неверное из-за арифметической ошибки
Решение не соответствует ни одному из критериев, пере0
численных выше
12
Задание
С5
С6
Критерии оценивания выполнения заданий
Обоснованно получен правильный ответ
Получен правильный ответ. Решение в целом верное, но
либо недостаточно обоснованное, либо содержит вычислительные погрешности
Верно получены необходимые условия на значения a, однако в проверке достаточных условий допущены ошибки
Получены только необходимые условия на значения a
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
Обоснованно получен правильный ответ
Получена система необходимых и достаточных условий
на пару искомых чисел и найдено её решение, но недостаточно обоснована его единственность
Составлено верное уравнение в натуральных числах, из
которого сделаны существенные выводы для нахождения
искомой пары чисел, уравнение до конца не решено, но
верный ответ приведен
Составлено, но не решено верное уравнение в натуральных числах, верный ответ приведен
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
Баллы
14
10
6
3
0
14
10
6
3
0
При выполнении задания экзаменуемый может использовать без доказательства и ссылок любые математические факты, содержащиеся в учебниках и
учебных пособиях, входящих в Федеральный перечень учебников, рекомендованных (допущенных) Министерством образования и науки Российской Федерации, а также пользоваться черновиком.
Обращаем Ваше внимание, что записи в черновике не будут учитываться
при оценивании работы.
Советуем выполнять задания в том порядке, в котором они даны. Для
экономии времени пропускайте задание, которое не удаётся выполнить сразу, и
переходите к следующему. Если после выполнения всей работы у Вас останется время, Вы сможете вернуться к пропущенным заданиям.
Баллы, полученные Вами за выполненные задания, суммируются. Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать наибольшее количество баллов.
Желаем успеха!
13
4. ПРИМЕР ТЕСТОВОГО ЗАДАНИЯ
Примерный вариант письменной экзаменационной работы взят из [1] и
приведен ниже.
Часть 1
Ответом на задания В1-В14 должно быть целое число или конечная десятичная дробь.
Ответ следует записать в бланк ответов № 1 справа от номера выполняемого задания,
начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак минус и запятую пишите в отдельной
клеточке в соответствии с приведёнными в бланке образцами. Единицы измерений
писать не нужно.
В1
Билет на автобус стоит 15 рублей. Какое максимальное число билетов можно будет
купить на 100 рублей после повышения цены билета на 20%?
В2
На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха (в градусах
Цельсия) в Ярославле по результатам
многолетних наблюдений. Найдите по
диаграмме количество месяцев, когда
средняя температура в Ярославле была
отрицательной.
В3
Найдите площадь четырёхугольника, изображённого на
клетчатой бумаге с размером клетки 1 см  1 см (см. рисунок). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
В4
Строительная фирма планирует купить 70 м3 пеноблоков у одного из трёх
поставщиков. Цены и условия доставки приведены в таблице. Сколько рублей нужно
заплатить за самую дешёвую покупку с доставкой?
Поставщик
А
Стоимость
пеноблоков
(руб./м3)
2 600
Стоимость
Дополнительные условия додоставки
ставки
(руб.)
10 000
Нет
Б
2 800
8 000
В
2 700
8 000
При заказе товара на сумму свыше
150 000 рублей доставка бесплатная
При заказе товара на сумму свыше
200 000 рублей доставка бесплатная
В5
Найдите корень уравнения log 3 ( x  3)  2 .
В6
Треугольник ABC вписан в окружность с центром О. Найдите угол ВОС, если угол
ВАС равен 32°.
В7
Найдите sin а , если cos a = 0,6 и  < а < 2  .
14
В8
На рисунке изображён график дифференцируемой функции y  f (x) . На оси абсцисс
отмечены девять точек: х1, х2, х 3 , . . . , х 9 .
Среди этих точек найдите все точки, в которых производная функции y  f (x) отрицательна.
В ответе укажите количество найденных точек.
В9
Диагональ АС основания правильной четырёхугольной пирамиды SАВСD равна 6. Высота пирамиды SО равна 4.
Найдите длину бокового ребра SВ.
В10 В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов, в двух из них встречается вопрос
о грибах. На экзамене школьнику достаётся один случайно выбранный билет из этого
сборника. Найдите вероятность того, что в этом билете не будет вопроса о грибах.
В11 Объём первого цилиндра равен 12 м3. У второго цилиндра высота в три раза больше,
а радиус основания в два раза меньше, чем у первого. Найдите объём второго цилиндра (в м3).
В12 Камень брошен вертикально вверх. Пока камень не упал, высота, на которой он
2
находится, описывается формулой h(t )  5t  18t , где h – высота в метрах, t –
время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд камень находился
на высоте не менее 9 метров.
В13
Весной катер идёт против течения реки в 1
2
раза медленнее, чем по течению. Летом
3
течение становится на 1 км/ч медленнее. Поэтому летом катер идёт против течения в
1
1 раза медленнее, чем по течению. Найдите скорость течения весной (в км/ч).
2
В14
Найдите наибольшее значение функции
y  2 cos x  3x 
3
3
на отрезке
x
[0; ] .
2
Часть 2
Для записи решений и ответов на задания С1-С6 используйте бланк ответов № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания (С1, С2 и т. д.), а затем полное обоснованное решение и ответ.
С1


 x;
2

а) Решите уравнение 2 cos x  1  cos 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [
5
; ).
2
15
С2
Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равна 2, а диагональ
боковой грани равна
вания призмы.
5 . Найдите угол между плоскостью A1BC и плоскостью осно-
С3

4 x  9  2 x  22,

Решите систему неравенств 
x 1
2
log
(
x

x

2
)

1

log
.
3
3

x2
С4
На стороне ВА угла ABC, равного 30°, взята такая точка D, что AD = 2 и BD = 1.
Найдите радиус окружности, проходящей через точки A, D и касающейся прямой ВС.
С5
Найдите все значения а, при каждом из которых наименьшее значение функции
С6
f ( x)  2ax  x 2  8 x  7 больше 1.
На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих
чисел равно 3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно 8.
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?
Ответы на задания примерного варианта письменной экзаменационной
работы и образец оформления ответов на задания части 2 приведены ниже.
Задание
В1
В2
В3
В4
В5
В6
В7
В8
В9
В10
В11
В12
В13
В14
С1
С2
С3
С4
С5
С6
Ответ
5
5
18
192000
12
64
-0,8
3
5
0,92
9
2,4
5
1
а) n , (1) k   k , n  Z , k  Z .
6
о
30
(2; log 2 11]
1 или 7
1

 ; 4  6
2

а) 44; б) отрицательных; в) 17
б)  2 ,  11x ,  7 x .
6
6
16


Задание С1. а) Решите уравнение 2 cos x  1  cos   x  ; б) Найдите все
2

5
корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [ ;   ) .
2
Решение.


а) Так как 2 cos x  1  2 sin 2 x , cos   x   sin x , то 1  2 sin 2 x  1  sin x ,
2

1
2 sin 2 x  sin x  0 , sin x(sin x  )  0 .
2
Корни уравнения:  n , (1) k

 k , n  Z , k  Z .
6
б) Корни уравнения sin x  0 изображаются точками
1
А и В, а корни уравнения sin x   точками С и D, про2
 5

;    изображается жирной дугой (см.
межуток 
 2

рис.). В указанном промежутке содержатся три корня

11x
x
7x
уравнения:  2 ,  2 x   
,x  .
6
6
6
6

11x 7 x
Ответ: а) n , (1) k  k , n  Z , k  Z . б)  2 , 
.
,
6
6
6
Другие решения пункта б).
 5

;    , отберем по графику
б) Корни, принадлежащие промежутку 
 2

y  sin x . Прямая у = 0 (ось Ох) пересекает график в единственной точке
 2 , 0 , абсцисса которой принадлежит промежутку  5 ;    .
 2

5 
4
7
Тогда 
  2 n    n    n  1.
2 6
3
12
11
 5

;   : x  
Корень, принадлежащий промежутку 
.
6
 2

5
 2  n , n Z .
Пусть x 
6
5 5 x
5
11

 2 n   x    n    n  1 .
Тогда 
2
6
3
12
7
 5

;  x : x  
Корень, принадлежащий промежутку 
.
6
 2

11x 7 x
 5

;  x  принадлежат корни  2 , 
Промежутку 
.
,
2
6
6


17
Задание С2. Сторона основания правильной треугольной призмы
ABCA1B1C1 равна 2, а диагональ боковой грани равна 5 . Найдите угол между
плоскостью A1BC и плоскостью основания призмы.
Решение.
Обозначим Н середину ребра ВС (см. рисунок). Так как треугольник АВС
равносторонний, треугольник А1ВС – равнобедренный, отрезки АН и А1Н перпендикулярны ВС. Следовательно,  А1НА – линейный угол
двугранного угла с гранями ВСА и ВСА1.
Из треугольника А1АВ найдём: АА1 = 1.
Из треугольника АНВ найдём: АН = 3 .
АА1
1

Из треугольника НАА1 найдём: tg  А1HА =
.
АН
3
Искомый угол равен 30о.
Ответ: 30о.
Возможны другие формы записи ответа. Например:
1


а) ; б)
рад; в) arctg
и т.п.
6
6
3
Возможны другие решения. Например, с использованием векторов или
метода координат.

4 x  9  2 x  22,

Задание С3. Решите систему неравенств 
x 1
2
log
(
x

x

2
)

1

log
.
3
3

x2
Решение.
1. Неравенство 4 x  9  2 x  22
2 x   9  2 x  22  0 .
Относительно t  2 x неравенство имеет вид: t 2  9  t  22  0 , откуда получаем: (t  2)(t  11)  0 ,  2  t  11 .
Значит,  2  2 x  11 , x  log 2 11 .
( x  1)( x  2)  0,
2. Второе неравенство системы определено при 
т.е. при
x 1

0
,

x2
x  1 и x  2 .
При допустимых значениях переменной получаем:
x 1
x 1
, log 3 (( x  1)( x  2))  log 3
log 3 ( x 2  x  2)  1  log 3
 1,
x2
x2
С учётом области допустимых значений переменной получаем решение
второго неравенства системы: 2  x  2  3 .
2
3.
Сравним
log 2 11
и
2  3.
Так
как
2  3  3,5  log 2 (8  2 )  log 2 (8  1,4)  log 2 (11,2)  log 2 11 ,
log 2 11  2  3 .
3  2,25  1,5 ,
то
следовательно,
18
Решение системы неравенств (2; log 2 11] .
Ответ: (2; log 2 11] .
Комментарий. Если обоснованно получены оба ответа: x  log 2 11 и
2  x  2  3 , после чего лишь сказано, но никак не обосновано, что
log 2 11  2  3 , то такое решение оценивается в 6 баллов.
Задание С4. На стороне ВА угла ABC, равного 30°, взята такая точка D,
что AD = 2 и BD = 1. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A, D
и касающейся прямой ВС.
Решение.
Центр O искомой окружности принадлежит серединному перпендикуляру
к отрезку AD. Обозначим P середину отрезка AD, Q – основание перпендикуляра, опущенного из точки O на прямую BC, E – точку пересечения серединного
перпендикуляра с прямой BC (см. рисунок а). Из условия касания окружности и
прямой BC следует, что отрезки OA, OD и OQ равны радиусу R окружности.
Заметим, что точка O не может лежать по ту же сторону от прямой AB,
что и точка E, так как в этом случае расстояние от точки O до прямой BC
меньше, чем расстояние от неё до точки A.
Из прямоугольного треугольника BPE с катетом BP = 2 и  В = 30о нахо2 3
дим, что PE 
.
3
Так как ОА = R и АР = 1, получаем: OP  R 2  1 , следовательно,
2 3
.
OE  R 2  1 
3
Из прямоугольного треугольника OQE, в котором  Е = 60о, находим:
3
3
R  OQ 
OE 
R2  1  1.
2
2
В результате получаем уравнение:
19
3
R2  1 .
2
Возведём в квадрат обе части этого уравнения и приведём подобные члены. Получим уравнение R 2  8R  7  0 , решая которое находим два корня:
R1  1 , R2  7 . Если радиус равен 1, то центром окружности является точка Р
(см. рисунок б).
Ответ: 1 или 7.
R 1
Другое решение. Пусть точка Q касания окружности с
прямой BC лежит на луче BC (см. рисунок а). По теореме о
касательной и секущей
BQ 2  BA  BD  ( BD  DA)  BD  (1  2)  1  3 ,
откуда BQ  3 .
Пусть O – точка пересечения луча BA и
перпендикуляра к BC, проведённого через точку Q. Из прямоугольного треугольника BQO
находим:
BQ
BO 
 2 , тогда AO  OD  1 и
cos30 0
1
OQ  BO  1 .
2
Таким образом, точка O удалена от точек
A, D и Q на одно и то же расстояние, равное 1.
Следовательно, О – центр искомой окружности, а её радиус равен 1.
Пусть теперь точка Q касания окружности с прямой BC лежит на продолжении BC за
точку B (см. рисунок б), а прямая, проходящая
через точку Q перпендикулярно BC, пересекает
прямую AB в точке H, а окружность вторично –
в точке T. Тогда
BQ  BA  BD  3 ,  HBQ =  ABC = 30о,
BQ
1
BH 
 2, HQ  BH  1.
0
cos30
2
Если R – радиус окружности, то QT = 2R. По теореме о двух секущих
HQHT=HAHD, то есть 1(1 + 2R
3, откуда находим, что R = 7.
Ответ: 1 или 7.
Возможны другие формы записи ответа. Например: А) 1, 7; Б) радиус
окружности равен 7 или 1.
Задание С5. Найдите все значения а, при каждом из которых наименьшее
значение функции f ( x)  2ax  x 2  8 x  7 больше 1.
20
Решение.
Функция f(x) имеет вид:
а) при x 2  8 x  7  0 : f ( x)  x 2  2(a  4) x  7 , а её график есть две части
параболы с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии x  4  a ;
б) при x 2  8 x  7  0 : f ( x)   x 2  2(a  4) x  7 , а её график есть часть
параболы с ветвями, направленными вниз.
Все возможные виды графика функции f(x) показаны на рисунках:
Рис. 1
Рис. 2
Рис. 3
Рис. 4
2) Наименьшее значение функция f(x) может принять только в точках
x  1 или x  7 , а если 4 – а  [1; 7], то в точке х = 4 – а.
3) Наименьшее значение функции f(x) больше 1 тогда и только тогда, когда
1

a

,


2
2a  1,
 f (1)  1,


1

a ,
14a  1,


 f (7)  1,  
14
2
 2
2 a ( 4  a )  a  9  1
 f (4  a)  1
2


 2 a  8a  1  a  9  0

a  3,
 
a  3,

 
 2
 4  6  a  4  6
3  a  4  6
a  8a  10  0
1


  1

 1

 a  3,


a3

a

3
,


2
 2
 2
 4  40
4

40
 3a 2  8a  8  0

a

3
 3
1
a4 6.
2
1

Ответ:  ; 4  6  .
2

Задание С6. На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно 3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, а среднее арифметическое всех отрицательных из
них равно 8.
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
21
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди
них?
Решение.
Пусть среди написанных чисел k положительных, l отрицательных и m
нулей. Сумма набора чисел равна количеству чисел в этом наборе, умноженному на его среднее арифметическое, поэтому 4k  8l  0  m  3(k  l  m)
а) Заметим, что в левой части приведённого выше равенства каждое слагаемое делится на 4. Поэтому k  l  m  количество целых чисел  делится на
4. По условию 40  k  l  m  48 , поэтому k  l  m  44 . Таким образом, написано 44 числа.
б) Приведём равенство 4k  8l  3(k  l  m) к виду 5l  7k  3m . Так как
m  0 , получаем, что 5l  7k , откуда l  k . Следовательно, отрицательных чисел больше, чем положительных.
k  l  m  44
воценка) Подставим
в правую часть равенства
4k  8l  3(k  l  m) : 4k  8l  132 , откуда k  2l  33 . Так как k  l  44 ,
получаем: 3l  33  44 , 3l  77 , l  25 , k  2l  33  17 ; то есть положительных
чисел не более 17.
впример) Приведём пример, когда положительных чисел ровно 17. Пусть на
доске 17 раз написано число 4, 25 раз написано число –8 и два раза написан 0.
4  17  8  25 68  200
Тогда

 3 , указанный набор удовлетворяет всем усло44
44
виям задачи.
Ответ: а) 44; б) отрицательных; в) 17.
Дополнительная рекомендация. Для проверки личной подготовленности к
решению заданий базовой части экзамена рекомендуем воспользоваться открытым банком экзаменационных заданий (http://mathege.ru), заданий повышенного
и высокого уровня сложности – порталом «РЕШУ ЕГЭ» или официальными
сборниками для подготовки к экзамену.
22
5. ЛИТЕРАТУРА
Нормативная литература
1. Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов
для проведения в 2013 году единого государственного экзамена по
МАТЕМАТИКЕ: Утв. директором ФГБНУ «ФИПИ» 31.10.2012. – Режим доступа: http://fipi.ru/view/sections/226/docs/627.html.
Учебная и научная литература
2. Александров А.Д. Геометрия: учеб. для учащихся 10 кл. с углубл. изуч.
математики / А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик. – М.: Просвещение,
1999. – 238 с.
3. Александров А.Д. Геометрия. 10-11 кл. (базовый и профильный уровни): учеб. / А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик. – М.: Просвещение,
2006. – 240 с.
4. Алимов Ш.А. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 кл. (базовый уровень): учеб. / Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачёва и др. – М.:
Просвещение, 2012. – 464 с.
5. Алимов Ш.А. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 кл. (базовый уровень): учеб. / Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. – М.:
Просвещение, 2007. – 385 с.
6. Атанасян Л.С. Геометрия (базовый и профильный уровни): учеб. для
10-11 кл. общеобразоват. учрежд. / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев
и др. – М.: Просвещение, 2009. – 255 с.
7. Башмаков М.И. Алгебра и начала анализа: учебник для 10-11 классов. –
М.: Просвещение, 1992. – 351 с.
8. Башмаков М.И. Математика. 10 класс (базовый уровень): учеб. / М.И.
Башмаков. – М.: Академия, 2012. – 304 с.
9. Башмаков М.И. Математика. 11 класс (базовый уровень): книга для
учителя : методическое пособие / М.И. Башмаков. – М.: Издательский центр
«Академия», 2010. – 128 с.
10. Башмаков М.И. Математика. 11 класс (базовый уровень): учеб. / М.И.
Башмаков. – М.: Академия, 2012. – 320 с.
11. Башмаков М.И. Математика (базовый уровень): учеб. для 10-11 кл.
общеобразоват. учрежд. / М.И. Башмаков. – М.: Просвещение,
12. Башмаков М.И. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс
(базовый уровень): учеб. / М.И. Башмаков. – М.: Дрофа, 2008. – 288 с.
13. Берендс Э. Математические пятиминутки / Э. Берендс. – М.: БИНОМ.
Лаборатория знаний, 2013. – 368 с.

При подготовке к экзамену можно пользоваться и другими учебниками и учебными пособиями, входящими в Федеральный перечень учебников, рекомендованных (допущенных)
Министерством образования и науки Российской Федерации.
23
14. Виленкин Н.Я. Алгебра и начала математического анализа. 10 кл.
(профильный уровень): учеб. / Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С.И.
Шварцбурд. – М.: Мнемозина, 2011. – 352 с.
15. Виленкин Н.Я. Алгебра и начала математического анализа. 10 кл.
(профильный уровень): учеб. / Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С.И.
Шварцбурд. – М.: Мнемозина, 2011. – 304 с.
16. Вольфсон Г.И. ЕГЭ 2013. Математика. Задача С6. Арифметика и алгебра. Рабочая тетрадь / Г.И. Вольфсон, М.Я. Пратусевич, С. Е. Рукшин и др. –
М.: МЦНМО, 2013. – 80 с.
17. Глейзер Г.Д. Геометрия (базовый уровень): учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учрежд. / Г.Д. Глейзер. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2012. –
224 с.
18. Гордин Р.К. ЕГЭ 2013. Математика. Задача С4. Геометрия. Планиметрия. Рабочая тетрадь / Р.К. Гордин, А.Л. Семенов, И.В. Ященко. – М.: МЦНМО,
2013. – 176 с.
19. Гусев В.А. Геометрия (профильный уровень): учеб. для 10 кл. общеобразоват. учрежд. / В.А. Гусев, Е.Д. Куланин, А.Г. Мякишев и др. – М.:
БИНОМ. Лаборатория знаний, 2010. – 311 с.
20. Дорофеев Г.В. ЕГЭ 2012. Математика. Сдаем без проблем! / Г.В. Дорофеев, Е.А. Седова, С.А. Шестаков, С.В. Пчелинцев. – Ростов н/Д: Легион-М,
2011. – 288 с.
21. Козко А.И. ЕГЭ 2013. Математика. Задача С5. Задачи с параметрами /
Козко А.И., В.С. Панферов, И.Н. Сергеев, В.Г. Чирский. – М.: МЦНМО, 2013. –
180 с.
22. Козлов В.В. Математика, Алгебра и геометрия (базовый и профильный уровни): учеб. для 10 кл. общеобразоват. учрежд. / В.В. Козлов В.В., A.A.
Никитин, B.C. Белоносов и др.; под ред. В.В. Козлова и A.A. Никитина.  М.:
Русское слово, 2011.
23. Калинин А.Д. Геометрия (профильный уровень): учеб. для 10-11 кл.
общеобразоват. учрежд. / А.Д. Калинин, Д.А. Терёшин.  М.: МЦНМО, 2011. –
640 с.
24. Колмогоров А.Н. Алгебра и начала математического анализа (базовый
уровень): учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учрежд. / А.Н. Колмогоров, A.M.
Абрамов, Ю.П. Дудницын и др.  М.: Просвещение, 2008. – 384 с.
25. Колягин Ю.М. Алгебра и начала математического анализа (базовый и
профильный уровни): учеб. для 10 кл. общеобразоват. учрежд. / Ю.М. Колягин,
Ю.В. Сидоров, М.В. Ткачёва, Н.Е. Федорова, М.И. Шабунин.  М.: Мнемозина,
2009. – 368 с.
26. Колягин Ю.М. Алгебра и начала математического анализа (базовый и
профильный уровни): учеб. для 11 кл. общеобразоват. учрежд. / Ю.М. Колягин,
М.В. Ткачёва, Н.Е. Фёдорова и др.; под ред. А.Б. Жижченко.  М.: Просвещение, 2010. – 336 с.
24
27. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа (профильный уровень): 10 кл. Часть 1: учебник / А.Г. Мордкович, П.В. Семёнов. 
М.: Мнемозина, 2009. – 160 с.
28. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа (профильный уровень): 10 кл. Часть 2: задачник / А.Г. Мордкович, П.В. Семёнов. 
М.: Мнемозина, 2009. – 348 с.
29. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа (профильный уровень): 11 кл. Часть 1: учебник / А.Г. Мордкович, П.В. Семёнов. 
М.: Мнемозина, 2009. – 160 с.
30. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа (базовый
уровень). Часть 1: учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учрежд. / А.Г. Мордкович.  М.: Мнемозина, 2009. – 399 с.
31. Муравин Г.К. Алгебра и начала математического анализа. 10 кл. (базовый уровень): учеб. / Г.К. Муравин.  М.: Дрофа, 2008. – 288 с.
32. Муравин Г.К. Алгебра и начала математического анализа. 11 кл. (базовый уровень): учеб. / Г.К. Муравин, О.В. Муравина.  М.: Дрофа, 2010. –
256 с.
33. Никольский С.М. Алгебра и начала математического анализа (базовый
и профильный уровни): учеб. для 10 кл. общеобразоват. учрежд. / С.М. Никольский, М.К. Потапов, H.H. Решетников и др.  М.: Просвещение, 2009.  430 с.
34. Никольский С.М. Алгебра и начала математического анализа (базовый
и профильный уровни): учеб. для 11 кл. общеобразоват. учрежд. / С.М. Никольский, М.К. Потапов, H.H. Решетников и др.  М.: Просвещение, 2009. – 464 с.
35. Нелин Е.П. Алгебра и начала математического анализа. 10 кл.: учеб. /
Е.П. Нелин, В.А. Лазарев.  М.: Илекса, 2011. – 480 с.
36. Погорелов A.B. Геометрия (базовый и профильный уровни): учеб. для
10-11 кл. общеобразоват. учрежд. / А.В. Погорелов.  М.: Просвещение, 2009. –
175 с.
37. Потоскуев Е.В. Геометрия. 10 кл. (углубленное и профильное обучение): учеб. / Е.В. Потоскуев, Л.И. Звавич.  М.: Дрофа, 2008. – 224 с.
38. Потоскуев Е.В. Геометрия. 11 кл. (углубленное и профильное обучение): учеб. / Е.В. Потоскуев, Л.И. Звавич.  М.: Дрофа, 2004. – 368 с.
39. Пратусевич М.Я. Алгебра и начала математического анализа (профильный уровень): учеб. для 10 кл. общеобразоват. учрежд. / М.Я. Пратусевич,
K.M. Столбов, А.Н. Головин.  М.: Просвещение, 2009. – 422 с.
40. Пратусевич М.Я. Алгебра и начала математического анализа (профильный уровень): учеб. для 11 кл. общеобразоват. учрежд. / М.Я. Пратусевич,
K.M. Столбов, А.Н. Головин.  М.: Просвещение, 2010. – 160 с.
41. Семенов А.Л. ЕГЭ 2013. Математика. Типовые тестовые задания /
А.Л. Семенов, И.В. Ященко. – М.: Экзамен, 2013. – 55 с.
42. Сергеев И.Н. ЕГЭ 2013. Математика. Задача С3. Уравнения и неравенства. Рабочая тетрадь / И.Н. Сергеев, В.С. Панфёров, А.Л. Семенов, И.В. Ященко. – М.: МЦНМО, 2013. – 72 с.
25
43. Смирнов В.А. ЕГЭ 2013. Математика. Задача С2. Геометрия. Стереометрия. Рабочая тетрадь / В.А. Смирнов, А.Л. Семенов, И.В. Ященко. – М.:
МЦНМО, 2013. – 128 с.
44. Смирнова И.М. Геометрия (базовый и профильный уровни). 10-11 кл.:
учеб. / И.М. Смирнова, В.А. Смирнов.  М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.
45. Шарыгин И.Ф. Геометрия. 10-11 кл. (базовый уровень): учеб. / И.Ф.
Шарыгин.  М.: Дрофа, 2012. – 208 с.
46. Шабунин М.И. Математика. Алгебра. Начала математического анализа (профильный уровень): учеб. для 10 кл. общеобразоват. учрежд. / М.И. Шабунин, A.A. Прокофьев.  М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. – 424 с.
47. Шабунин М.И. Математика. Алгебра. Начала математического анализа (профильный уровень): учеб. для 11 кл. общеобразоват. учрежд. / М.И. Шабунин, A.A. Прокофьев.  М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. – 384 с.
48. Шестаков С.А. ЕГЭ 2013. Математика. Задача С1. Уравнения и системы уравнений. Рабочая тетрадь / С.А. Шестаков, П.И. Захаров, А.Л. Семенов. –
М.: МЦНМО, 2013. – 176 с.