ГЛАВА 4. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ

ГЛАВА 4. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ
ЭНЕРГИИ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ
СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
Теорема в форме дифференциального уравнения:
T P
dT
 P,
dt
или
где в левой части уравнения представлена полная производная по времени от
кинетической энергии (КЭ) системы (или механизма) T , т.е. скорость ее
нарастания (убывания). Кинетическая энергия равна мощности приложенных
внешних и внутренних сил. Здесь
Здесь
Tсистемы  Tзвеньев , P   Pсил   Fi  vi   M j   j
(1)
Fi – приложенная сила,
vi – скорость точки приложения силы,
M j – момент пары сил, приложенной к звену,
 j – угловая скорость звена механизма.
Теорема (1) для механизма с одной степенью свободы, с голономными
связями, с выбранной обобщенной координатой q , приводится к виду:
aq  Q
a
при
2T
P
, Q
2
q
q
(2)
или
q  bQ  0
при
q2
P
ba 
, Q
2T
q
1
(3)
Из (3) следует, что обобщенное ускорение механизма q прямо
пропорционально обобщенной силе механизма
пропорциональности
b.
Коэффициент
Q
с коэффициентом
пропорциональности
b
равен
обратному коэффициенту инерции a , т.е. – отношению квадрата обобщенной
скорости q 2 к двойной кинетической энергии 2T механизма и с обобщенной
силой Q , равной мощности P системы приложенных внешних и внутренних
сил, деленной на обобщенную скорость механизма q .
Замечание. Если в качестве обобщенной координаты q принять
декартову координату x или y , то коэффициент a называется приведенной
массой механизма и обозначается a  mпр. , если q принять угол поворота, то
коэффициент a называется приведенной массой механизма и обозначается
a  J пр .
Теорема об изменении кинетической энергии на произвольном конечном
интервале времени в форме «первого интеграла энергии»:
T  T0  A
(5)
Уравнение (5) может быть прочитано как: приращение кинетической
энергии любой механической системы за конечный интервал времени [t0 , t ]
равно работе всех сил (внешних и внутренних), приложенных к системе за
этот промежуток времени.
Работа силы или пары сил в общем случае равна определенному
интегралу по времени от мощности силы или пары сил:
t
A   P(t )dt
(Нм≡Дж)
t0
Рассмотрим несколько случаев:
1)
мощность
и
работа
постоянной
силы
на
направленном
прямолинейном перемещении s равна
P  F  v  Fv cos   Fvv,
A  Fs cos   Fs s ,
где Fv , Fs - проекции силы на скорость v и направление перемещения
s
2) мощность и работа силы сухого трения при неизменном
направлении движения s
Pf   Fvv   fNv ,
Af   Fs s   fN s ,
где f – коэффициент трения, N – нормальное давление на негладкую
поверхность.
3) работа силы тяжести при перемещении «вверх» или «вниз»:
A  hG
где h - разность высот между начальным и конечным положениями
4) мощность и работа пары сил трения качения с моментом M к :
P   M к   N  0 , A   M к   N  0 ,
где M к   N -момент трения качения,  - коэффициент трения качения
5) мощность и работа постоянного момента M пары сил:
P  M    M  ,
A  M  ,
где M  – проекция M на направление  ,  – угол поворота пары сил.
Теорема об изменении кинетической энергии для одностепенного механизма
с постоянным коэффициентом инерции
1
a  q 2  q02   A , при
2
В
случае
постоянной
мощности
t
A   Pdt
сил
(6)
t0
P  const ,
(постоянной
обобщенной силы Q ) имеем динамическое уравнение энергии
q 2  q02  2bQq ,
при
b  a 1  const
Q
Пример выполнения задания
P
 const
q
(7)
Рис.1 Пример решения задачи
Одностепенной механизм (рис. 1) состоит из трех подвижных твердых
тел – звеньев, соединенных нерастяжимым тросом: ползуна 1 массой m1 ,
колеса 2 массой m2 , радиуса r2 , центрального радиуса инерции i2 и колеса 3
массой m3 , радиуса r3 , радиуса инерции i3 .
В начальное мгновение t0  0 механизм не имел скорости. Принимая за
обобщенную координату q направленное смещение s груза 1, т.е. полагая
q  s , найти скорость груза v  s , как функцию перемещения s . При этом
считать, что имеется сухое трение груза об опору с известным
коэффициентом трения f и момент трения качения с коэффициентом трения
δ; заданы углы α и β наклонной поверхности. Все величины заданы в СИ.
Решение: Пусть s – обобщенное перемещение механизма, s  v –
обобщенная скорость, s - обобщенное ускорение. Покажем механизм в
движении, в его произвольном «положительном состоянии», когда фазовые
координаты s  0 , s  0 .
Покажем веса G1 , G2 , G3 , а также - идеальные (не имеющие мощности)
реакции голономных связей: N1 , N 2 , N3 , где, очевидно, N1  G1 cos ,
N3  G3 cos  .
Имеем силы трения и моменты пар сил трения F1  fN1  fG1 cos ,
M 3  N3  G3 cos  .
Звено 1 - выполняет прямолинейное поступательное движение,
Звено 2 – вращательное движение с угловой скоростью 2 
v
,
r2
Звено 3 – плоское движение со скоростью центра масс v3  v , угловой
скоростью  
Найдем
v
.
r3
мощность
системы
сил,
приложенных
к
механизму
посредством скалярного умножения сил на скорости их точек приложения:
P  G1  v  F1  v  N1  v  G2  O  N 3  v3  G3  v3  M 3   ,
или
P  G1v sin   F1v  G3v sin   M 3
v
r3
Обобщенная сила механизма по обобщенной координате s (обобщенная
скорость v ) находится из мощности приложенных сил P по формуле
Q
P P

s v
Окончательное выражение для обобщенной силы
Q  G1 sin   F1  G3 sin  
M3
r3
или
Q  m1 g sin   fm1 g cos  m3 g sin  
 m3 g cos 
r3
(9)
Из выражения (9) видно, что обобщенная сила не зависит от времени
Q  const , поэтому работа системы сил на перемещении из начального
положения ( s  0 ) в произвольное конечное положение ( s  0 ) равна
s
A   Qds  Qs (Нм≡Дж),
(10)
0
где Q – получено ранее (9).
Теперь найдем к кинетической энергии механизма в произвольном его
состоянии, задаваемом векторной строкой [ s  v  0, s  0 ]
Она состоит из кинетической энергии трех подвижных звеньев.
mv2
1) кинетическая энергия поступательного движения звена равна
2
2) вращательного движения
 mv2
J z w2 miz2 w2

,
2
2
3) плоского движения:  l 
 2
milz2 w2 
 , где lz – ось, проведенная через
2 
центр масс перпендикулярной плоскости движения.
Находим двойную кинетическую энергию механической системы
2T   m1v 2    m2i22 w22    m3v 2  m3i32 w32 
или

m2i22
m3i32  2
2T   m1  2  m3  2  v
r2
r3 

Общий множитель при квадрате обобщенной скорости в двойной
кинетической энергии называется приведенным коэффициентом инерции
механизма, или, более точно для данного случая - приведенной массой
механизма (т.к. в качестве обобщенной была выбрана линейная координата):
m2i22
m3i32
a  m1  2  m3  2
r2
r3
(11)
Подставляя результаты (11) и (9) в (7) и учитывая условие задачи v0  0 .
получаем ответ
q 2  2bQq при q  s, q  v ,
или

 m3 g cos  
2  m1 g sin   fm1 g cos   m3 g sin  

r3
2

 s,
v 
2
2
mi
mi
m1  22 2  m3  323
r2
r3
(7)
Выражение (7) дает взаимосвязь между перемещением s груза (1) и его
скоростью v .
Варианты заданий:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22