ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ

ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
Исходная схема
Параметры
системы
Дано: m1, m2, m3;
R1, R2, r2, i2;
M = const;
Mc = const;
T0 = 0, s.
Найти: v3.
Механическая система, состоящая из дисков 1 и 2 и груза 3, начинает
движение в вертикальной плоскости из состояния покоя под действием
постоянного момента M или постоянной силы P. На диск 2 действует
постоянный момент сил сопротивления Mc.
Определить скорость v3 груза 3 после его перемещения на
расстояние s.
m1 – масса диска 1;
m2 – масса диска 2;
m3 – масса груза 3;
R1, r1 – радиусы большой и малой окружностей диска 1;
i1 – радиус инерции диска 1 (если i1 не задан, то диск 1 считается
однородным диском);
R2, r2 – радиусы большой и малой окружностей диска 2;
i2 – радиус инерции диска 2 (если i2 не задан, то диск 2 считается
однородным диском);
M – постоянный движущий момент;
P – постоянная движущая сила;
Mc – постоянный момент сил сопротивления;
T0 - начальная кинетическая энергия данной системы (T0 = 0);
s – расстояние, пройденное грузом 3;
v3 – искомая скорость груза 3 в конечном положении механической
системы.
Пример выполнения задания
Пример решения задачи
Одностепенной механизм (рис. 1) состоит из трех подвижных твердых
тел – звеньев, соединенных нерастяжимым тросом: ползуна 1 массой m1 ,
колеса 2 массой m2 , радиуса r2 , центрального радиуса инерции i2 и колеса 3
массой m3 , радиуса r3 , радиуса инерции i3 .
В начальное мгновение t0  0 механизм не имел скорости. Принимая за
обобщенную координату q направленное смещение s груза 1, т.е. полагая
q  s,
найти скорость груза v  s , как функцию перемещения s . При этом
считать, что имеется сухое трение груза об опору с известным
коэффициентом трения f и момент трения качения с коэффициентом трения
δ; заданы углы α и β наклонной поверхности. Все величины заданы в СИ.
Решение: Пусть s – обобщенное перемещение механизма, s  v –
обобщенная скорость, s - обобщенное ускорение. Покажем механизм в
движении, в его произвольном «положительном состоянии», когда фазовые
координаты s  0 , s  0 .
Покажем веса G1 , G2 , G3 , а также - идеальные (не имеющие мощности)
реакции голономных связей: N1 , N 2 , N3 , где, очевидно, N1  G1 cos ,
N3  G3 cos  .
Имеем силы трения и моменты пар сил трения F1  fN1  fG1 cos ,
M 3  N3  G3 cos  .
Звено 1 - выполняет прямолинейное поступательное движение,
Звено 2 – вращательное движение с угловой скоростью 2 
v
,
r2
Звено 3 – плоское движение со скоростью центра масс v3  v , угловой
скоростью  
Найдем
v
.
r3
мощность
системы
сил,
приложенных
к
механизму
посредством скалярного умножения сил на скорости их точек приложения:
P  G1  v  F1  v  N1  v  G2  O  N 3  v3  G3  v3  M 3   ,
или
P  G1v sin   F1v  G3v sin   M 3
v
r3
Обобщенная сила механизма по обобщенной координате s (обобщенная
скорость v ) находится из мощности приложенных сил P по формуле
Q
P P

s v
Окончательное выражение для обобщенной силы
Q  G1 sin   F1  G3 sin  
M3
r3
или
Q  m1 g sin   fm1 g cos  m3 g sin  
 m3 g cos 
r3
(9)
Из выражения (9) видно, что обобщенная сила не зависит от времени
Q  const , поэтому работа системы сил на перемещении из начального
положения ( s  0 ) в произвольное конечное положение ( s  0 ) равна
s
A   Qds  Qs (Нм≡Дж),
(10)
0
где Q – получено ранее (9).
Теперь найдем к кинетической энергии механизма в произвольном его
состоянии, задаваемом векторной строкой [ s  v  0, s  0 ]
Она состоит из кинетической энергии трех подвижных звеньев.
mv2
1) кинетическая энергия поступательного движения звена равна
2
2) вращательного движения
 mv2
J z w2 miz2 w2
,

2
2
3) плоского движения:  l 
 2
milz2 w2 
 , где lz – ось, проведенная через
2 
центр масс перпендикулярной плоскости движения.
Находим двойную кинетическую энергию механической системы
2T   m1v 2    m2i22 w22    m3v 2  m3i32 w32 
или

m2i22
m3i32  2
2T   m1  2  m3  2  v
r2
r3 

Общий множитель при квадрате обобщенной скорости в двойной
кинетической энергии называется приведенным коэффициентом инерции
механизма, или, более точно для данного случая - приведенной массой
механизма (т.к. в качестве обобщенной была выбрана линейная координата):
m2i22
m3i32
a  m1  2  m3  2
r2
r3
(11)
Подставляя результаты (11) и (9) в (7) и учитывая условие задачи v0  0 .
получаем ответ
q 2  2bQq при q  s, q  v ,
или

 m3 g cos  
2  m1 g sin   fm1 g cos   m3 g sin  

r3
2

 s,
v 
2
2
mi
mi
m1  22 2  m3  323
r2
r3
(7)
Выражение (7) дает взаимосвязь между перемещением s груза (1) и его
скоростью v .