Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение «Курганский технологический колледж

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение
«Курганский технологический колледж
имени Героя Советского Союза Н.Я.Анфиногенова»
ПРОИЗВОДНАЯ В ЗАДАЧАХ
Сборник заданий
Курган, 2014
Производная в задачах. Учеб.пособие для обучающихся по программам
подготовки квалифицированных рабочих, служащих 23.01.03 (190631.01),
23.01.08
(190629.08) и программам подготовки специалистов среднего звена 23.02.03 (190631),
13.02.11. (140448), 22.02.06 (150415), 13.02.02 (140102): Курган, 2014. – ГБПОУ «КТК».
– 44 с.
Учебное пособие по теме «Производная
в задачах» предназначено для
обучающихся по программам подготовки квалифицированных рабочих, служащих
23.01.03 (190631.01),
23.01.08 (190629.08) и программам подготовки специалистов
среднего звена 23.02.03 (190631), 13.02.11. (140448), 22.02.06 (150415), 13.02.02
(140102).
Автор – составитель:
Рецензенты:
Рогова Н.П.- преподаватель ГБПОУ «КТК»
Москвичева О.С .- преподаватель ГБПОУ «КТК»
Ионин Л.Д. – канд.ф.м.н., доцент ФГОУ ВПО «КГУ»
© ГБПОУ «КТК», 2014
2
ВВЕДЕНИЕ
Данное пособие предназначено для студентов Курганского технологического
колледжа, изучающих дисциплину «Математика» на базе основной средней школы.
Практические занятия являются наиболее эффективным видом учебной
деятельности и пособие поможет в их организации и проведении.
Большое количество вариантов позволяет выбирать задания в зависимости от
уровня подготовки как группы в целом, так и отдельного студента. Предлагаемые
образцы решений помогают справиться с конкретным заданием.
3
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
Формулы дифференцирования
I Основные элементарные функции
( x 2 )  2 x
( x)  1
( x n )  nx n1
(ln x) 
( x 3 )  3x 2
(C )  0 , где С - постоянная
( x ) 
(kx  b)  k
1
x
(log a x) 
(a x )  a x  ln a
1
2 x
1
x ln a
(e x )  e x
II Тригонометрические функции
(sin x)  cos x
(tgx) 
(cos x)   sin x
1
cos 2 x
(ctgx)  
1
sin 2 x
III Обратные тригонометрические функции
(arcsin x) 
(arctgx) 
1
1 x
2
1
1 x2
(arccos x)  
(arcctgx)  
1
1 x2
1
1 x2
Правила дифференцирования
I (u  v)  (u )  (v) (производные суммы и разности)
II (u  v)  u v  uv 
(производная произведения)
III (Cu)  C (u )
(постоянный множитель можно выносить за знак производной)

u
u v  uv 
IV   
2
V
(производная частного)
v
v
h( x)  g ( f ( x))  f ( x) (производная сложной функции)
4
Тема: Правила вычисления производных (производная суммы и разности)
Образец решения
Задание I-1
Найдите производные функций:
Вариант-41
1. f ( x)  10 x 5  4 x 3  9
x
3
2. f ( x)  
x3 3

3 x2
3. f ( x)  3 x  5 x 4 4. f ( x) 
x x2 3


3
6 x3
Решение:
1.
f ( x )  (10 x 5  4 x 3  9)   (10 x 5 )   ( 4 x 3 )   9  10( x 5 )   4( x 3 )   0 
 10  5 x 4  4  3 x 2  50 x 4  12 x 2 ;
2.



 x x3 3   x   x3   3
f ( x)   
 2          2
3 3 x  3  3   x


1 3
 1
 1
  ( x)  ( x )  3 2
3
 3
x


 

1
1
1
1
1
6
 1   3x 2  3( x  2 )   x 2  3  (2 x 3 )   x 2  6 x 3   x 2  3 ;
3
3
3
3
3
x
3.
f ( x)  (3 x  5 x 4 )  (3 x )  (5 x 4 )  3( x )  5( x 4 )  3 
1
2 x
 5  4x3 
3
2 x
 20 x 3 ;
4.




 x x 2 3   x   x 2   3  1
1 2
 1 







f ( x)  



       ( x )  ( x )  3 3  
6 x 3   3   6   x 3  3
6
x 
 3

1 1
1
1
x
1
x
1
x 9

  2 x  3( x 3 ) 
  3(3 x  4 ) 
  9 x 4 
  4;
3 2 x 6
6 x 3
6 x 3
6 x 3 x
5
6
7
8
9
Тема: Правила вычисления производных (производная произведения и частного)
Образец решения
Задание I-2
Найдите производные функций:
Вариант-41
2. f ( x) 
1. f ( x)  (3  2 x)  ( x 2  4 x)
10  5 x
x2 1
3. f ( x)  x  ( x 4  2)
Решение:
1.
f ( x)  ((3  2 x)  ( x 2  4 x))  (3  2 x)  ( x 2  4 x)  (3  2 x)  ( x 2  4 x) 
 2( x 2  4 x)  (3  2 x)  (2 x  4)  2 x 2  8 x  6 x  12  4 x 2  8 x  6 x 2  10 x  12;
2.

10  5 x 
(10  5 x)  ( x 2  1)  (10  5 x)  ( x 2  1)  5( x 2  1)  (10  5 x)  2 x

f ( x)   2


 
( x 2  1) 2
( x 2  1) 2
 x 1 
 5 x 2  5  20 x  10 x 2 5 x 2  20 x  5 5( x 2  4 x  1)



;
( x 2  1) 2
( x 2  1) 2
( x 2  1) 2
3.
f ( x)  ( x  ( x 4  2))  ( x )  ( x 4  2)  x  ( x 4  2) 

x4  2
2 x

2 x x 4x3
2 x

x 4  2  8x 4
2 x

9x 4  2
2 x
1
2 x
 ( x 4  2)  x  4 x 3 
;
10
Тема: Правила вычисления производных (производная произведения и частного)
Задание I -2
Найдите производные функций:
Вариант-1
2. f ( x) 
1. f ( x)  ( x  1)  3x
Вариант-2
1. f ( x)  ( x  5)  ( x  3)
2
x3
x 2  3x
x2 1
2. f ( x) 
x4
Вариант-3
1. f ( x)  (3  x)  ( x 2  4)
2. f ( x) 
10  5 x
x2
3. f ( x)  (4 x  1)  x
3. f ( x) 
x
x 3
2
3. f ( x)  x  ( x  2)
Вариант-4
1. f ( x)  ( x 2  5x)  ( x  3)
2. f ( x) 
5x  x 3
x4
x
x 3
3. f ( x) 
3
Вариант-5
1. f ( x)  5x  (4 x 2  3)
x  3x 2
x5
2. f ( x) 
3. f ( x)  x  ( x 3  3x 2 )
Вариант-6
1. f ( x)  4 x  (4  x )
2
2
x  x2
2. f ( x) 
3x 5
Вариант-7
1. f ( x)  ( x 2  1)  (3x  1)
2. f ( x) 
x4
x 3  3x
3. f ( x)  x  ( x 3  5 x)
3. f ( x)  (4 x  x 3 )  x
Вариант-8
1. f ( x)  ( x  5)  ( x 2  3)
2. f ( x) 
1  5x
x2
3. f ( x) 
x
x 6
3
Вариант-9
1. f ( x)  ( x 3  3x)  ( x  1)
2. f ( x) 
Вариант- 10
1. f ( x)  x 4  (3x  1)
2. f ( x) 
5x  x 2
x2
2x  4
x3  x
3. f ( x) 
x3 1
x
3. f ( x)  (4 x  2)  x
11
Тема: Правила вычисления производных (производная произведения и частного)
Задание I -2
Найдите производные функций:
Вариант-11
1. f ( x) 
x2
4x  5
2. f ( x)  4 x 2  ( x  1)
Вариант-12
2. f ( x) 
1. f ( x)  x 2  ( x 2  1)
3. f ( x) 
x
x3
2x  4
x3  x2
3. f ( x)  (4 x 2  2)  x
9  x2
3  x5
3. f ( x)  x  ( x 3  x)
Вариант-13
1. f ( x)  x 5  (4 x  x 2 )
2. f ( x) 
Вариант-14
1. f ( x)  ( x  5)  ( x 2  3)
1  5x
x2
2. f ( x) 
3. f ( x) 
x
x 6
3
Вариант-15
1. f ( x)  ( x  2 x)  ( x  1)
2
x3
2. f ( x)  2
x  3x
3. f ( x) 
x
x 4
2
Вариант- 16
1. f ( x)  6 x 2  (2  3x 2 )
2. f ( x) 
x4
1  3x 2
2. f ( x) 
x 1
5 x
3. f ( x)  x  ( x 3  2 x)
x4
1 x2
3. f ( x)  x  (6  4 x)
3. f ( x)  x  (3  x 2 )
Вариант-17
1. f ( x)  x 4  (5x  1)
Вариант-18
1. f ( x)  (4 x  3)  3x 2
2. f ( x) 
Вариант-19
1. f ( x)  (2 x  5)  6 x
Вариант-20
1. f ( x)  x 7 (2 x  5)
2
x4  7
2. f ( x) 
1 x2
2. f ( x) 
3  x2
x2
3. f ( x)  (4 x  6)  x
3. f ( x)  ( x  6 x 2 )  x
12
Тема: Правила вычисления производных (производная произведения и частного)
Задание I -2
Найдите производные функций:
Вариант-21
2. f ( x) 
1. f ( x)  (2 x  1)  4 x
x3
x 2  6x
3. f ( x)  (4 x 2  1)  x
Вариант-22
1. f ( x)  (2 x  5)  ( x  7)
2
x2 1
2. f ( x) 
5x  4
Вариант-23
1. f ( x)  (3  x)  ( x 2  6)
2. f ( x) 
10  5 x
x4
3. f ( x) 
x
x 3
2
3. f ( x)  3 x  ( x  2)
Вариант-24
1. f ( x)  ( x 2  x)  (5x  3)
2. f ( x) 
5x 2  x 3
x4
3. f ( x) 
2 x
x3  3
Вариант-25
1. f ( x)  5x 2  (4 x 2  3)
2. f ( x) 
x  x2
x5
3. f ( x)  x  ( x 3  x 2 )
Вариант-26
1. f ( x)  4 x  (4 x  x )
2
2
3x  x 2
2. f ( x) 
3x 5
3. f ( x)  x  ( x 3  10 x)
Вариант-27
1. f ( x)  ( x 2  2)  (3x  2)
2. f ( x) 
x2  4
x 3  3x
3. f ( x)  (4  x 3 )  x
Вариант-28
1. f ( x)  ( x  8)  ( x 2  1)
2. f ( x) 
1  5x
x6
3. f ( x) 
x
2x  6
3
Вариант-29
1. f ( x)  ( x  x)  ( x  1)
3
2
5x  x 2
2. f ( x) 
x4
Вариант-30
1. f ( x)  x 4  (3x 2  1)
2. f ( x) 
2  4x
x3  x
3. f ( x) 
5x 3  1
x
3. f ( x)  (4 x  2)  x
13
Тема: Правила вычисления производных (производная произведения и частного)
Задание I -2
Найдите производные функций:
Вариант-31
1. f ( x) 
2x 2
4x  5
2. f ( x)  4 x 2  (2 x  1)
Вариант-32
1. f ( x)  5x 2  ( x 2  12)
2. f ( x) 
2  4x
x3  2x 2
3. f ( x) 
x
2x  3
3. f ( x)  (4 x 2  2 x)  x
Вариант-33
1. f ( x)  x 5  (4  x 2 )
2. f ( x) 
10  x 2
2  x5
2. f ( x) 
1  5x
4x 2
3. f ( x)  x  ( x 3  4 x)
Вариант-34
1. f ( x)  ( x  5)  ( x 2  3)
3. f ( x) 
x
x  6x
3. f ( x) 
x
x 3
3
Вариант-35
1. f ( x)  ( x  x)  (4 x  1)
2
x3
2. f ( x)  2
3x  x
2
Вариант-36
1. f ( x)  5x 2  (2  x 2 )
2. f ( x) 
2x 4
1  2x 2
3. f ( x)  x  (6  x 2 )
Вариант-37
1. f ( x)  x 4  (5x 2  1)
2. f ( x) 
x2 1
5 x
3. f ( x)  x  ( x 3  x)
2. f ( x) 
3x 4
2  x2
3. f ( x)  x  (6  4 x 2 )
Вариант-38
1. f ( x)  (4 x  3)  5x 2
Вариант-39
1. f ( x)  (2 x  5)  3x
5
Вариант-40
1. f ( x)  x 5 (2 x  5)
2
x4  7
2. f ( x) 
4  x2
2. f ( x) 
3  x2
1 x2
3. f ( x)  (4 x  x 2 )  x
3. f ( x)  ( x  x 2 )  x
14
Тема: Производные тригонометрических функций
Образец решения
Задание I -3
Найдите производные функций:
Вариант-41
1
4
1. f ( x)  x 2  5 sin x 2. f ( x)  10 x  cos x
3. f ( x)  12 x  cos x
4. f ( x) 
5  10 x
sin x
Решение:
1.
f ( x)  ( x 2  5 sin x)  ( x 2 )  5(sin x)  2 x  5 cos x;
2.
1
1
1
f ( x)  (10 x  cos x)  (10 x)  (cos x)  10  sin x;
4
4
4
3.
f ( x)  (12 x  cos x)  (12 x)  cos x  12 x  (cos x)  12 cos x  12 x sin x;
4.

(5  10 x) sin x  (5  10 x) sin  x  10 sin x  (5  10 x) cos x
 5  10 x 

f ( x)  

;
 
sin 2 x
sin 2 x
 sin x 
15
Тема: Производные тригонометрических функций
Задание I -3
Найдите производные функций:
Вариант-1
1
4
1. f ( x)  5x 2  sin x 2. f ( x)  10  cos x
3. f ( x)  2 x  cos x
4. f ( x) 
Вариант-2
1
5
1. f ( x)  x 6  sin x 2. f ( x)  5  cos x
4. f ( x) 
3. f ( x)  6 x  cos x
5 x
sin x
3x  1
sin x
Вариант-3
x2
1. f ( x)   sin x
2
2. f ( x) 
cos x sin x

2
3
3. f ( x)  x 7  cos x
4. f ( x) 
Вариант-4
1. f ( x)  x 2  tgx 2. f ( x) 
tgx
3
3. f ( x)  2 x 3  cos x
4. f ( x) 
5x  2
sin x
2 x  10
cos x
Вариант-5
1. f ( x)  sin x  5 x
cos x
2. f ( x)  
2
3. f ( x)  cos x(3x  2)
x3
4. f ( x) 
sin x
Вариант-6
1. f ( x) 
x3
 sin x
3
2. f ( x) 
cos x
3
3. f ( x)  x 6  cos x
4. f ( x) 
5x  3
sin x
Вариант-7
1. f ( x)  x 4  tgx 2. f ( x) 
ctgx
4
3. f ( x)  (2 x  3) sin x
4. f ( x) 
2x  3
cos x
Вариант-8
1. f ( x)  4  x 3  sin x 2. f ( x) 
ctgx
3
3. f ( x)  ( x  3)tgx
4. f ( x) 
cos x
x3
Вариант-9
1. f ( x)  sin x 
x
5
2. f ( x) 
sin x
5
x
4
2. f ( x) 
2 sin x
5
3. f ( x)  cos x(5 x  3)
4. f ( x) 
x6
cos x
Вариант-10
1. f ( x)  cos x 
3. f ( x)  sin x(5 x  3)
4. f ( x) 
x5
cos x
16
Тема: Производные тригонометрических функций
Задание I -3
Найдите производные функций:
Вариант-11
tgx
6
1. f ( x)  3x 4  ctgx 2. f ( x) 
4. f ( x) 
3. f ( x)  (2 x  4) cos x
Вариант-12
1. f ( x)  x 3  ctgx 2. f ( x) 
tgx
4
3. f ( x)  ( x  4) cos x
4. f ( x) 
10 x  2
sin x
3. f ( x)  x10  sin x
4. f ( x) 
2x  5
cos x
Вариант-13
1. f ( x)  3x 3  cos x 2. f ( x) 
3x  2
sin x
sin x
4
Вариант-14
1
4
1. f ( x)  x 6  cos x 2. f ( x)  5  sin x
4. f ( x) 
3. f ( x)  5 x  sin x
3x  1
cos x
Вариант-15
1. f ( x) 
x3
 cos x
3
2. f ( x) 
sin x
3
3. f ( x)  x 6  sin x
4. f ( x) 
5x  3
cos x
Вариант-16
1
2
1. f ( x)  x 3  2 sin x 2. f ( x)  6  cos x
4. f ( x) 
3. f ( x)  5 x  tgx
Вариант-17
1. f ( x)  x 6  6 cos x 2. f ( x) 
tgx
5
3. f ( x)  5x 2  sin x
4. f ( x) 
3 x  10
cos x
x2
cos x
Вариант-18
1. f ( x)  x 2  2 x  6 cos x 2. f ( x) 
ctgx
6
3. f ( x)  ( x 2  1)  sin x
4. f ( x) 
3x 2  2
cos x
Вариант-19
1. f ( x)  x 2  3x  tgx 2. f ( x) 
ctgx
7
3. f ( x)  ( x 2  1)  cos x
4. f ( x) 
3x 2  2
sin x
Вариант-20
1. f ( x)  3x  ctgx 2. f ( x) 
tgx
7
3. f ( x)  ( x 2  x)  cos x
4. f ( x) 
4x 4
sin x
17
Тема: Производные тригонометрических функций
Задание I -3
Найдите производные функций:
Вариант-21
2
5
1. f ( x)  5x 2  tgx 2. f ( x)  10  cos x
Вариант-22
1
5
1. f ( x)  x 6  tgx 2. f ( x)  5  sin x
4x  1
sin x
4. f ( x) 
3. f ( x)  6 x  ctgx
5 x
tgx
4. f ( x) 
3. f ( x)  2 x  sin x
Вариант-23
1. f ( x) 
cos x sin x
x2

 3tgx 2. f ( x) 
3
4
2
4. f ( x) 
3. f ( x)  ( x 7  1)  cos x
Вариант-24
1. f ( x)  4 x 2  tgx 2. f ( x) 
tgx
8
3. f ( x)  (2 x 3  1)  cos x
4. f ( x) 
cos x
6
3. f ( x)  ctgx(3x  2)
4. f ( x) 
2. f ( x) 
sin x
3
3. f ( x)  x  tgx
1. f ( x)  x 4  ctgx 2. f ( x) 
cos x
4
3. f ( x)  (2 x  3)tgx
5x  4
sin x
2 x  10
sin x
Вариант-25
1. f ( x)  tgx  5 x 2. f ( x)  
3x 3
sin x
Вариант-26
x3
1. f ( x)   ctgx
3
6
5x 2  3
4. f ( x) 
coxx
Вариант-27
4. f ( x) 
x5  3
cos x
Вариант-28
1. f ( x)  4 cos x  sin x 2. f ( x) 
ctgx x 2

3
4
3. f ( x)  ( x 3  3)tgx
4. f ( x) 
cos x
x3  2
Вариант-29
1. f ( x)  ctgx 
x
5
2. f ( x) 
sin x x

5
3
3. f ( x)  tgx(5 x  3)
4. f ( x) 
2x 6
cos x
Вариант-30
x
1. f ( x)  ctgx 
4
sin x cos x

2. f ( x) 
5
6
3. f ( x)  sin x(5x  x )
2
x5 1
4. f ( x) 
cos x
18
Тема: Производные тригонометрических функций
Задание I -3
Найдите производные функций:
Вариант-31
1. f ( x)  3x 4  tgx 2. f ( x) 
sin x
6
4. f ( x) 
3. f ( x)  (2 x  4)ctgx
3x  2
cos x
Вариант-32
1. f ( x)  2 x  x 3  ctgx 2. f ( x) 
tgx
9
3. f ( x)  ( x  4) cos x
4. f ( x) 
10 x  2
sin x
Вариант-33
1. f ( x)  5x 3  cos x 2. f ( x) 
sin x
4
4. f ( x) 
3. f ( x)  x10  tgx
2x
cos x
Вариант-34
1
4
1. f ( x)  x 6  ctgx 2. f ( x)  5  tgx
3. f ( x)  5 x  sin x
4. f ( x) 
3x  1
cos x
Вариант-35
1. f ( x) 
x3
 ctgx
3
2. f ( x) 
sin x
3
3. f ( x)  x 6  tgx
4. f ( x) 
5x  3
cos x
Вариант-36
1
2
1. f ( x)  x 3  2tgx 2. f ( x)  6  cos x
3. f ( x)  5 x  ctgx
4. f ( x) 
3 x  10
sin x
Вариант-37
1. f ( x)  x 6  6ctgx 2. f ( x) 
tgx
5
3. f ( x)  5x 2  sin x
4. f ( x) 
x3  2
cos x
Вариант- 38
ctgx
1. f ( x)  x  3tgx 2. f ( x) 
6
2
3. f ( x)  ( x  6)  sin x
2
3x 2  2
4. f ( x) 
cos x
Вариант-39
1. f ( x)  x 2  tgx 2. f ( x) 
ctgx
7
3. f ( x)  ( x 2  1)  cos x
4. f ( x) 
3x 2  2
sin x
Вариант-40
1. f ( x)  7 x  ctgx 2. f ( x) 
tgx sin x

7
3
3. f ( x)  ( x 2  3)  cos x
4. f ( x) 
4x 4
sin x
19
Тема: Производная сложной функции
Образец решения
Задание I -4
Найдите производные функций:
Вариант-41
1. f ( x)  (2 x 5  5x)10
f ( x)  3 sin 5 x
2.
4. f ( x) 
3. f ( x)  (4 x  x 2 )  8 x  3
4 cos x 2
1 x2
Решение:
1.
f ( x)  ((2 x 5  5x)10 )  10(2 x 5  5x) 9  (2 x 5  5x)  10(2 x 5  5x) 9  (10 x 4  5);
2.
f ( x)  (3 sin 5 x)  3(sin 5 x)  3 sin  5 x  (5 x)  3 cos 5 x  5  15 cos 5 x;
3.
f ( x)  (( 4 x  x 2 )  8 x  3 )  (4 x  x 2 )  8 x  3  (4 x  x 2 )  ( 8 x  3 ) 
 (4  2 x)  8 x  3  (4 x  x ) 
1
2

(4  2 x)(8 x  3)
8x  3

16 x  4 x 2
8x  3
2 8x  3

 (8 x  3)  (4  2 x)  8 x  3 
32 x  12  16 x 2  6 x  16 x  4 x 2
8x  3

4(4 x  x 2 )
8x  3

12  42 x  20 x 2
8x  3
4.
 4 cos x 2
f ( x)  
2
 1 x



(4 cos x 2 )(1  x 2 )  4 cos x 2 (1  x 2 )  8 x sin x 2 (1  x 2 )  8 x cos x 2
 


(1  x 2 ) 2
(1  x 2 ) 2

8 x(cos x 2  sin x 2 (1  x 2 ))
;
(1  x 2 ) 2
20
Тема: Правила вычисления производных (производная сложной функции)
Задание I -4
Найдите производные функций:
Вариант-1
1. f ( x)  (2 x  1) 2
2. f ( x)  sin 2 x
3. f ( x)  (4 x  1)  4 x
2. f ( x)  tg 4 x
3. f ( x) 
2. f ( x)  tg5 x
3. f ( x)  6 x  ( x  2)
4. f ( x) 
cos 3 x
x 2  3x
Вариант-2
1. f ( x)  ( x 2  3) 3
3x
2
x 3
4. f ( x) 
x2 1
cos 2 x
4. f ( x) 
10  5 x
cos x 2
Вариант-3
1. f ( x)  ( x 2  4) 4
Вариант-4
1. f ( x)  ( x 2  5x) 3
2. f ( x)  cos 7 x
3. f ( x) 
2x
3
x 3
4. f ( x) 
5x  x 3
sin 3x
Вариант-5
1. f ( x)  (4 x  3)
2
3
2. f ( x)  ctg3x
3. f ( x)  8 x  ( x  3x )
x  3x 2
4. f ( x) 
sin x 5
2. f ( x)  tg3x
3. f ( x)  4 x  ( x 3  5 x)
4. f ( x) 
x  x2
sin x 5
2. f ( x)  sin 2 x
3. f ( x)  (4 x  x 3 )  9 x
4. f ( x) 
cos 5 x
x 3  3x
4. f ( x) 
1  5x
sin x 2
3
2
Вариант-6
1. f ( x)  (4  x 2 ) 5
Вариант-7
1. f ( x)  ( x 2  1) 6
Вариант-8
1. f ( x)  ( x 2  3) 7
2. f ( x)  cos 9 x
3. f ( x) 
5x
x 6
3
Вариант-9
1. f ( x)  ( x  3x)
3
4
x3 1
2. f ( x)  ctg 4 x
3. f ( x) 
2. f ( x)  tg5 x
3. f ( x)  (4 x  2)  3x
2x
5x  x 2
4. f ( x) 
cos x 2
Вариант- 10
1. f ( x)  (3x  1) 5
4. f ( x) 
sin 4 x
x3  x
21
Тема: Правила вычисления производных (производная сложной функции )
Задание I -4
Найдите производные функций:
Вариант-11
2. f ( x)  (5x  1) 3
1. f ( x)  sin x 2
3. f ( x) 
3x
x3
4. f ( x) 
cos x 2
4x  5
Вариант-12
1.
f ( x)  ( x  1) 3
2. f ( x)  cos x 3
3. f ( x)  (4 x 2  2)  3x
4. f ( x) 
sin 2 x
x3  x2
Вариант-13
1. f ( x)  (4 x  x 2 ) 3
2. f ( x)  ctg 7 x
3. f ( x)  5 x  ( x 3  x)
2. f ( x)  tg 7 x
3. f ( x) 
4. f ( x) 
cos x 2
3  x5
Вариант-14
1. f ( x)  (4 x  x 2 ) 3
4x
x 6
3
4. f ( x) 
1  5x
sin x 2
Вариант-15
1. f ( x)  ( x  2 x)
2
3
2. f ( x)  sin 6 x
3. f ( x) 
6x
2
x 4
cos x 3
4. f ( x)  2
x  3x
Вариант- 16
1. f ( x)  (2  3x 2 ) 7
2. f ( x)  cos 9 x
3. f ( x)  2 x  (3  x 2 )
4. f ( x) 
sin x 4
1  3x 2
Вариант-17
1. f ( x)  (5x  1) 3
4. f ( x) 
x 1
cos 5 x
3. f ( x)  4 x  (6  4 x)
4. f ( x) 
sin x 4
1 x2
2. f ( x)  sin 8 x
3. f ( x)  (4 x  6)  3x
4. f ( x) 
x4  7
cos x 2
2. f ( x)  cos 4 x
x
3. f ( x)  ( x  6 x ) 
2
3  x2
4. f ( x) 
sin x 2
2. f ( x)  ctg 6 x
3. f ( x) 
x
 ( x 3  2 x)
4
Вариант-18
1. f ( x)  (4 x  3) 4
2. f ( x)  tg5 x
Вариант-19
1. f ( x)  (2 x  5) 3
Вариант-20
1. f ( x)  (2 x  5)
3
2
22
Тема: Правила вычисления производных (производная сложной функции)
Задание I -4
Найдите производные функций:
Вариант-21
1. f ( x)  (2 x  1) 4
2. f ( x)  tgx 2
3. f ( x)  (4 x 2  1)  4 x
cos x 3
x 2  6x
4. f ( x) 
Вариант-22
1. f ( x)  (2 x  5)
5
2. f ( x)  cos x
2
sin x 2
4. f ( x) 
5x  4
2x
3. f ( x)  2
x 3
Вариант-23
1. f ( x)  (3  x) 3
2. f ( x)  sin 3x
3. f ( x) 
2. f ( x)  ctg 6 x
3. f ( x) 
2. f ( x)  tg 7 x
3. f ( x) 
x
 ( x  2)
3
4. f ( x) 
10  5 x
cos x 4
4. f ( x) 
sin( x 3  3)
x4
Вариант-24
1. f ( x)  (5x  3) 2
2 4x
x3  3
Вариант-25
1. f ( x)  (4 x 2  3) 3
4. f ( x) 
x  x2
cos x 5
3. f ( x)  6 x  ( x 3  10 x)
4. f ( x) 
3x  x 2
cos 3x 5
3. f ( x)  (4  x 3 )  2 x
4. f ( x) 
sin x 2
x 3  3x
4. f ( x) 
1  5x
cos x 6
4. f ( x) 
5x  x 2
sin x 4
4. f ( x) 
cos 4 x
x3  x
x
 (x3  x 2 )
4
Вариант-26
1. f ( x)  (4 x  x 2 ) 3
2. f ( x)  sin 5 x
Вариант-27
1. f ( x)  (3x  2) 2
2. f ( x)  tg8 x
Вариант-28
1. f ( x)  ( x  8) 2
2. f ( x)  4 sin 4 x
3. f ( x) 
2. f ( x)  ctg3x
3. f ( x) 
5x
2x  6
3
Вариант-29
1. f ( x)  ( x 2  1) 2
5x 3  1
4x
Вариант-30
1. f ( x)  (3x2  1)3
2. f ( x)  tg3x
3. f ( x)  (4 x  2) 
x
6
23
Тема: Правила вычисления производных (производная сложной функции)
Задание I -4
Найдите производные функций:
Вариант-31
1. f ( x)  sin 4 x
2. f ( x)  (2 x  1) 4
3. f ( x) 
8x
2x  3
4. f ( x) 
cos 2 x 2
4x  5
Вариант-32
1. f ( x)  ( x 2  12) 3
2. f ( x)  sin 6 x
3. f ( x)  (4 x 2  2 x) 
x
3
4. f ( x) 
sin 4 x
x3  2x 2
2. f ( x)  ctg 4 x
3. f ( x)  2 x  ( x 3  4 x)
4. f ( x) 
10  x 2
cos x 5
2. f ( x)  tg 4 x
3. f ( x)  4 x  2
4. f ( x) 
1  5x
cos x 2
Вариант-33
1. f ( x)  (4  x 2 ) 4
Вариант-34
1. f ( x)  (4 x  x 2 ) 4
Вариант-35
2. f ( x)  cos
1. f ( x)  (4 x  1) 5
x
3
3x
2
x 3
4. f ( x) 
sin x 3
3x 2  x
3. f ( x)  2 x  (6  x 2 )
4. f ( x) 
cos x 4
1  2x 2
4. f ( x) 
x2 1
sin 2 x
3. f ( x) 
Вариант-36
1. f ( x)  (2  x 2 ) 5
2. f ( x)  sin
x
2
Вариант-37
1. f ( x)  (5x 2  1) 6
2. f ( x)  ctg5 x
3. f ( x)  3x  ( x 3  x)
Вариант-38
1. f ( x)  (4 x  3)
12
2. f ( x)  tg 2 x
3. f ( x)  2 x  (6  4 x )
2
cos x 4
4. f ( x) 
2  x2
Вариант-39
1. f ( x)  (2 x 5  5) 6
2. f ( x)  cos 3x
3. f ( x)  (4 x  x 2 )  3x 4. f ( x) 
x4  7
sin x 2
4. f ( x) 
cos x 2
1 x2
Вариант-40
1. f ( x)  (2 x 5  5)10
2.
f ( x)  sin 5 x
3. f ( x)  ( x  x 2 )  8 x
24
ТАБЛИЦА № 1
I вариант
II вариант
1. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:
1). f ( x)  2 x  5
1). f ( x)  5  4 x
2
2). f ( x)  4 x  2 x
2). f ( x)  5x  10 x 2
3).
f ( x) 
2
3 x
3).
f ( x) 
3
2 x
25
ТАБЛИЦА № 2
I вариант
II вариант
1. Найдите точки экстремума функции:
1).
2).
f ( x)  2  x  x 2
f ( x)  x 4  4 x 2
1).
2).
f ( x)  3  2 x  x 2
f ( x)   x 4  2 x 2  3
2. Найдите точки экстремума и значения функции в этих точках:
f ( x)  6 x 2  x  2
f ( x)  x 2  8x  16
26
6*
27
Исследование функции с помощью производной
I вариант
II вариант
1. Исследовать функцию и построить график:
1)
f ( x)  3 x 2  x 3
1)
f ( x)  x 3  3 x 2
2)
f ( x)  x 3  3 x 2  4
2)
f ( x)   x 3  3 x 2  4
3)
f ( x)  x 3  3 x  2
3)
f ( x)  x 3  12 x  1
2.Исследовать функцию и построить график:
I
вариант
f ( x)  4 x  x 2
II
вариант
f ( x)  9 x  x 2
III
вариант
f ( x)  3x  x 2
IV
вариант
f ( x)  8 x  x 2
V
вариант
f ( x)  2 x 2  4 x
VI
вариант
f ( x)  x 2  4 x
VII вариант
f ( x)  x 3  2 x 2  x
VIII вариант
f ( x)  x 3  3 x 2  4
3*. Исследовать функцию и построить график:
1). f ( x)  x(1  x )
2). f ( x)  x  2 sin x
3).
f ( x)  x  cos x
4). f ( x)  2 x  sin x
5).
6).
7).
8).
sin x
x
x
e
f ( x) 
x
f ( x)  2 x 2  ln x
f ( x) 
f ( x)  xex
28
ТАБЛИЦА № 4
I вариант
II вариант
1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на указанном
промежутке:
1) f ( x)  1 x 3  x 2  3x
1) f ( x)  1 x 3  x 2  3x
3
3
[-3; 2]
2) f ( x)  x 3  3x 2  4
[-1; 3]
3)
f ( x)  18x 2  8 x 3  3x 4
[1; 3]
[-1; 2]
2)
f ( x)  x 3  3 x 2  4
[0; 2]
3)
f ( x)  18x 2  8 x 3  3x 4
[-2; 3]
29
ВАРИАНТ № 1
________________________________________________________________________
Задание № 1
Область определения функции f ( x)  x 2  3x равна …
варианты ответов:
 (0;3)
 (-  ;0)  (3;  )
 [0;3]
 (-  ;0]  [3;  )
________________________________________________________________________
Задание № 2.
Производная функции y  x 3  e x имеет вид…
варианты ответов:




y   3x 2 e x
y   3x 2  e x
y   3x 2 e x  x 3 e x
y   3x 2 e x  x 3 e x
________________________________________________________________________
Задание № 3
Производная функции y  sin 6 x равна…
варианты ответов:
 y '  cos 6 x
 y' 6 cos 6 x
 y '  6 sin 6 x
 y'  6 cos 6 x
_______________________________________________________________________
30
Задание № 4
Вторая производная y (x) функции y( x)  x 2  3x  4 имеет вид…
варианты ответов:
 y   3
 y   3
 y   2
 y   2
________________________________________________________________________
Задание № 5
Угловой коэффициент касательной к графику функции y( x)  x 2  2 x  4 в точке
x0  1 равен…
варианты ответов:




-3
0
-4
2
31
ВАРИАНТ № 2
_______________________________________________________________________
Задание № 1
Область определения функции f ( x)  3x  x 2 равна …
варианты ответов:
 (0;3)
 (-  ;0)  (3;  )
 [0;3]
 (-  ;0]  [3;  )
________________________________________________________________________
Задание № 2
Производная функции y  x 2  e x имеет вид…
варианты ответов:
 y  2x 2e x
 y  2x  e x
 y  2x e x  x 2 e x
 y  2x e x  x 2 e x
________________________________________________________________________
Задание № 3
Производная функции y  cos 6 x равна…
варианты ответов:
 y '  cos 6 x
 y' 6 cos 6 x
 y '  6 sin 6 x
 y'  6 cos 6 x
_______________________________________________________________________
32
Задание № 4
Вторая производная y (x) функции y( x)   x 2  3x  4 имеет вид…
варианты ответов:
 y   3
 y   3
 y   2
 y   2
Задание № 5
Угловой коэффициент касательной к графику функции y( x)  x 2  2 x  4 в точке x0  1
равен…
варианты ответов:
 -3
 0
 4
 2
________________________________________________________________________
33
ВАРИАНТ № 3
_______________________________________________________________________
Задание № 1
Область определения функции f ( x) 
x
x  3x
2
равна …
варианты ответов:
 (0;3)
 (-  ;0)  (3;  )
 [0;3]
 (-  ;0]  [3;  )
________________________________________________________________________
Задание № 2
Производная функции y  x cos x имеет вид…
варианты ответов:
 y   1  sin x
 y    sin x
 y   cos x  x sin x
 y   cos x  x sin x
________________________________________________________________________
Задание № 3
Производная функции y  2 x  3 равна…
варианты ответов:
2

y' 

y' 

y' 

y'  
2x  3
1
2 2x  3
1
2x  3
2
2x  3
34
_______________________________________________________________________
Задание № 4
Вторая производная y (x) функции y( x)  x 3  3x  4 имеет вид…
варианты ответов:
 y   3x
 y   3x
 y   6 x
 y   6 x
________________________________________________________________________
Задание № 5
Тело движется по прямой так, что расстояние s до него от некоторой точки А этой
прямой изменяется по закону s  0,5t 2  3t  2 (м), где t – время движения в секундах.
После начала движения скорость тела окажется равной 15м/с через …
варианты ответов:
 t=3с
 t=10с
 t=12c
 t=2c
________________________________________________________________________
35
ВАРИАНТ № 4
______________________________________________________________________
Задание № 1
Область определения функции f ( x) 
x
3x  x
2
равна …
варианты ответов:
 (0;3)
 (-  ;0)  (3;  )
 [0;3]
 (-  ;0]  [3;  )
________________________________________________________________________
Задание № 2
Производная функции y  x sin x имеет вид…
варианты ответов:
 y   1  sin x
 y    sin x
 y   sin x  x cos x
 y   sin x  x cos x
________________________________________________________________________
Задание № 3
Производная функции y  4 x  3 равна…
варианты ответов:
2

y' 

y' 

y' 

y'  
2x  3
1
2 2x  3
1
2x  3
2
2x  3
36
Задание № 4
Вторая производная y (x) функции y( x)   x 3  3x  4 имеет вид…
варианты ответов:
 y   3x
 y   3x
 y   6 x
 y   6 x
________________________________________________________________________
Задание № 5
Тело движется по прямой так, что расстояние s до него от некоторой точки А этой
прямой изменяется по закону s  4  3t  0,5t 2 (м), где t – время движения в секундах.
После начала движения тело остановится через …
варианты ответов:
 t=3с
 t=10с
 t=12c
 t=2c
________________________________________________________________________
37
ВАРИАНТ № 5
________________________________________________________________________
Задание № 1
Область определения функции f ( x)  x 2  3x равна …
варианты ответов:
 (0;3)
 (-  ;0)  (3;  )
 [0;3]
 (-  ;0]  [3;  )
________________________________________________________________________
Задание № 2
Производная функции y  x 2  e x имеет вид…
варианты ответов:
 y  2x 2e x
 y  2x  e x
 y  2x e x  x 2 e x
 y  2x e x  x 2 e x
________________________________________________________________________
Задание № 3
Производная функции y  2 x  3 равна…
варианты ответов:
2

y' 

y' 

y' 

y'  
2x  3
1
2 2x  3
1
2x  3
2
2x  3
_______________________________________________________________________
38
Задание № 4
Вторая производная y (x) функции y( x)   x 3  3x  4 имеет вид…
варианты ответов:
 y   3x
 y   3x
 y   6 x
 y   6 x
________________________________________________________________________
Задание № 5
Угловой коэффициент касательной к графику функции y( x)  x 2  2 x  4 в точке
x0  1 равен…
варианты ответов:
 -3
 0
 -4
 2
________________________________________________________________________
39
40
41
42
Список литературы
1.Колмогоров А.Н. и др. Алгебра и начала анализа.-М.: «Просвещение», 2012
2.Пехлецкий И.Д. Математика. – М: Академия, 2012
3. Соловейчик И.Л., Лисичкин В.Т. Сборник задач по математике для
техникумов .-М. ОНИКС 21 век, Мир и образование, 2003
43
СОДЕРЖАНИЕ
Введение……………………………………………………………………………….3
Справочный материал………………………………………………………………...4
Правила вычисления производных………………………………………………5-14
Производные тригонометрических функций…………………………………..15-19
Производная сложной функции…………………………………………………20-24
Признак возрастания (убывания) функции………………………………………..25
Критические точки функции, максимумы и минимумы…………………………26
Примеры применения производной к исследованию функций………………27-28
Наибольшее и наименьшее значения функции……………………………………29
Тесты …………………………………………………………………………….30-39
Контрольная работа……………………………………………………………..40-42
Литература ………………………………………………………………………….43
44