Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение «Курганский технологический колледж имени Героя Советского Союза Н.Я.Анфиногенова» ПРОИЗВОДНАЯ В ЗАДАЧАХ Сборник заданий Курган, 2014 Производная в задачах. Учеб.пособие для обучающихся по программам подготовки квалифицированных рабочих, служащих 23.01.03 (190631.01), 23.01.08 (190629.08) и программам подготовки специалистов среднего звена 23.02.03 (190631), 13.02.11. (140448), 22.02.06 (150415), 13.02.02 (140102): Курган, 2014. – ГБПОУ «КТК». – 44 с. Учебное пособие по теме «Производная в задачах» предназначено для обучающихся по программам подготовки квалифицированных рабочих, служащих 23.01.03 (190631.01), 23.01.08 (190629.08) и программам подготовки специалистов среднего звена 23.02.03 (190631), 13.02.11. (140448), 22.02.06 (150415), 13.02.02 (140102). Автор – составитель: Рецензенты: Рогова Н.П.- преподаватель ГБПОУ «КТК» Москвичева О.С .- преподаватель ГБПОУ «КТК» Ионин Л.Д. – канд.ф.м.н., доцент ФГОУ ВПО «КГУ» © ГБПОУ «КТК», 2014 2 ВВЕДЕНИЕ Данное пособие предназначено для студентов Курганского технологического колледжа, изучающих дисциплину «Математика» на базе основной средней школы. Практические занятия являются наиболее эффективным видом учебной деятельности и пособие поможет в их организации и проведении. Большое количество вариантов позволяет выбирать задания в зависимости от уровня подготовки как группы в целом, так и отдельного студента. Предлагаемые образцы решений помогают справиться с конкретным заданием. 3 СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ Формулы дифференцирования I Основные элементарные функции ( x 2 ) 2 x ( x) 1 ( x n ) nx n1 (ln x) ( x 3 ) 3x 2 (C ) 0 , где С - постоянная ( x ) (kx b) k 1 x (log a x) (a x ) a x ln a 1 2 x 1 x ln a (e x ) e x II Тригонометрические функции (sin x) cos x (tgx) (cos x) sin x 1 cos 2 x (ctgx) 1 sin 2 x III Обратные тригонометрические функции (arcsin x) (arctgx) 1 1 x 2 1 1 x2 (arccos x) (arcctgx) 1 1 x2 1 1 x2 Правила дифференцирования I (u v) (u ) (v) (производные суммы и разности) II (u v) u v uv (производная произведения) III (Cu) C (u ) (постоянный множитель можно выносить за знак производной) u u v uv IV 2 V (производная частного) v v h( x) g ( f ( x)) f ( x) (производная сложной функции) 4 Тема: Правила вычисления производных (производная суммы и разности) Образец решения Задание I-1 Найдите производные функций: Вариант-41 1. f ( x) 10 x 5 4 x 3 9 x 3 2. f ( x) x3 3 3 x2 3. f ( x) 3 x 5 x 4 4. f ( x) x x2 3 3 6 x3 Решение: 1. f ( x ) (10 x 5 4 x 3 9) (10 x 5 ) ( 4 x 3 ) 9 10( x 5 ) 4( x 3 ) 0 10 5 x 4 4 3 x 2 50 x 4 12 x 2 ; 2. x x3 3 x x3 3 f ( x) 2 2 3 3 x 3 3 x 1 3 1 1 ( x) ( x ) 3 2 3 3 x 1 1 1 1 1 6 1 3x 2 3( x 2 ) x 2 3 (2 x 3 ) x 2 6 x 3 x 2 3 ; 3 3 3 3 3 x 3. f ( x) (3 x 5 x 4 ) (3 x ) (5 x 4 ) 3( x ) 5( x 4 ) 3 1 2 x 5 4x3 3 2 x 20 x 3 ; 4. x x 2 3 x x 2 3 1 1 2 1 f ( x) ( x ) ( x ) 3 3 6 x 3 3 6 x 3 3 6 x 3 1 1 1 1 x 1 x 1 x 9 2 x 3( x 3 ) 3(3 x 4 ) 9 x 4 4; 3 2 x 6 6 x 3 6 x 3 6 x 3 x 5 6 7 8 9 Тема: Правила вычисления производных (производная произведения и частного) Образец решения Задание I-2 Найдите производные функций: Вариант-41 2. f ( x) 1. f ( x) (3 2 x) ( x 2 4 x) 10 5 x x2 1 3. f ( x) x ( x 4 2) Решение: 1. f ( x) ((3 2 x) ( x 2 4 x)) (3 2 x) ( x 2 4 x) (3 2 x) ( x 2 4 x) 2( x 2 4 x) (3 2 x) (2 x 4) 2 x 2 8 x 6 x 12 4 x 2 8 x 6 x 2 10 x 12; 2. 10 5 x (10 5 x) ( x 2 1) (10 5 x) ( x 2 1) 5( x 2 1) (10 5 x) 2 x f ( x) 2 ( x 2 1) 2 ( x 2 1) 2 x 1 5 x 2 5 20 x 10 x 2 5 x 2 20 x 5 5( x 2 4 x 1) ; ( x 2 1) 2 ( x 2 1) 2 ( x 2 1) 2 3. f ( x) ( x ( x 4 2)) ( x ) ( x 4 2) x ( x 4 2) x4 2 2 x 2 x x 4x3 2 x x 4 2 8x 4 2 x 9x 4 2 2 x 1 2 x ( x 4 2) x 4 x 3 ; 10 Тема: Правила вычисления производных (производная произведения и частного) Задание I -2 Найдите производные функций: Вариант-1 2. f ( x) 1. f ( x) ( x 1) 3x Вариант-2 1. f ( x) ( x 5) ( x 3) 2 x3 x 2 3x x2 1 2. f ( x) x4 Вариант-3 1. f ( x) (3 x) ( x 2 4) 2. f ( x) 10 5 x x2 3. f ( x) (4 x 1) x 3. f ( x) x x 3 2 3. f ( x) x ( x 2) Вариант-4 1. f ( x) ( x 2 5x) ( x 3) 2. f ( x) 5x x 3 x4 x x 3 3. f ( x) 3 Вариант-5 1. f ( x) 5x (4 x 2 3) x 3x 2 x5 2. f ( x) 3. f ( x) x ( x 3 3x 2 ) Вариант-6 1. f ( x) 4 x (4 x ) 2 2 x x2 2. f ( x) 3x 5 Вариант-7 1. f ( x) ( x 2 1) (3x 1) 2. f ( x) x4 x 3 3x 3. f ( x) x ( x 3 5 x) 3. f ( x) (4 x x 3 ) x Вариант-8 1. f ( x) ( x 5) ( x 2 3) 2. f ( x) 1 5x x2 3. f ( x) x x 6 3 Вариант-9 1. f ( x) ( x 3 3x) ( x 1) 2. f ( x) Вариант- 10 1. f ( x) x 4 (3x 1) 2. f ( x) 5x x 2 x2 2x 4 x3 x 3. f ( x) x3 1 x 3. f ( x) (4 x 2) x 11 Тема: Правила вычисления производных (производная произведения и частного) Задание I -2 Найдите производные функций: Вариант-11 1. f ( x) x2 4x 5 2. f ( x) 4 x 2 ( x 1) Вариант-12 2. f ( x) 1. f ( x) x 2 ( x 2 1) 3. f ( x) x x3 2x 4 x3 x2 3. f ( x) (4 x 2 2) x 9 x2 3 x5 3. f ( x) x ( x 3 x) Вариант-13 1. f ( x) x 5 (4 x x 2 ) 2. f ( x) Вариант-14 1. f ( x) ( x 5) ( x 2 3) 1 5x x2 2. f ( x) 3. f ( x) x x 6 3 Вариант-15 1. f ( x) ( x 2 x) ( x 1) 2 x3 2. f ( x) 2 x 3x 3. f ( x) x x 4 2 Вариант- 16 1. f ( x) 6 x 2 (2 3x 2 ) 2. f ( x) x4 1 3x 2 2. f ( x) x 1 5 x 3. f ( x) x ( x 3 2 x) x4 1 x2 3. f ( x) x (6 4 x) 3. f ( x) x (3 x 2 ) Вариант-17 1. f ( x) x 4 (5x 1) Вариант-18 1. f ( x) (4 x 3) 3x 2 2. f ( x) Вариант-19 1. f ( x) (2 x 5) 6 x Вариант-20 1. f ( x) x 7 (2 x 5) 2 x4 7 2. f ( x) 1 x2 2. f ( x) 3 x2 x2 3. f ( x) (4 x 6) x 3. f ( x) ( x 6 x 2 ) x 12 Тема: Правила вычисления производных (производная произведения и частного) Задание I -2 Найдите производные функций: Вариант-21 2. f ( x) 1. f ( x) (2 x 1) 4 x x3 x 2 6x 3. f ( x) (4 x 2 1) x Вариант-22 1. f ( x) (2 x 5) ( x 7) 2 x2 1 2. f ( x) 5x 4 Вариант-23 1. f ( x) (3 x) ( x 2 6) 2. f ( x) 10 5 x x4 3. f ( x) x x 3 2 3. f ( x) 3 x ( x 2) Вариант-24 1. f ( x) ( x 2 x) (5x 3) 2. f ( x) 5x 2 x 3 x4 3. f ( x) 2 x x3 3 Вариант-25 1. f ( x) 5x 2 (4 x 2 3) 2. f ( x) x x2 x5 3. f ( x) x ( x 3 x 2 ) Вариант-26 1. f ( x) 4 x (4 x x ) 2 2 3x x 2 2. f ( x) 3x 5 3. f ( x) x ( x 3 10 x) Вариант-27 1. f ( x) ( x 2 2) (3x 2) 2. f ( x) x2 4 x 3 3x 3. f ( x) (4 x 3 ) x Вариант-28 1. f ( x) ( x 8) ( x 2 1) 2. f ( x) 1 5x x6 3. f ( x) x 2x 6 3 Вариант-29 1. f ( x) ( x x) ( x 1) 3 2 5x x 2 2. f ( x) x4 Вариант-30 1. f ( x) x 4 (3x 2 1) 2. f ( x) 2 4x x3 x 3. f ( x) 5x 3 1 x 3. f ( x) (4 x 2) x 13 Тема: Правила вычисления производных (производная произведения и частного) Задание I -2 Найдите производные функций: Вариант-31 1. f ( x) 2x 2 4x 5 2. f ( x) 4 x 2 (2 x 1) Вариант-32 1. f ( x) 5x 2 ( x 2 12) 2. f ( x) 2 4x x3 2x 2 3. f ( x) x 2x 3 3. f ( x) (4 x 2 2 x) x Вариант-33 1. f ( x) x 5 (4 x 2 ) 2. f ( x) 10 x 2 2 x5 2. f ( x) 1 5x 4x 2 3. f ( x) x ( x 3 4 x) Вариант-34 1. f ( x) ( x 5) ( x 2 3) 3. f ( x) x x 6x 3. f ( x) x x 3 3 Вариант-35 1. f ( x) ( x x) (4 x 1) 2 x3 2. f ( x) 2 3x x 2 Вариант-36 1. f ( x) 5x 2 (2 x 2 ) 2. f ( x) 2x 4 1 2x 2 3. f ( x) x (6 x 2 ) Вариант-37 1. f ( x) x 4 (5x 2 1) 2. f ( x) x2 1 5 x 3. f ( x) x ( x 3 x) 2. f ( x) 3x 4 2 x2 3. f ( x) x (6 4 x 2 ) Вариант-38 1. f ( x) (4 x 3) 5x 2 Вариант-39 1. f ( x) (2 x 5) 3x 5 Вариант-40 1. f ( x) x 5 (2 x 5) 2 x4 7 2. f ( x) 4 x2 2. f ( x) 3 x2 1 x2 3. f ( x) (4 x x 2 ) x 3. f ( x) ( x x 2 ) x 14 Тема: Производные тригонометрических функций Образец решения Задание I -3 Найдите производные функций: Вариант-41 1 4 1. f ( x) x 2 5 sin x 2. f ( x) 10 x cos x 3. f ( x) 12 x cos x 4. f ( x) 5 10 x sin x Решение: 1. f ( x) ( x 2 5 sin x) ( x 2 ) 5(sin x) 2 x 5 cos x; 2. 1 1 1 f ( x) (10 x cos x) (10 x) (cos x) 10 sin x; 4 4 4 3. f ( x) (12 x cos x) (12 x) cos x 12 x (cos x) 12 cos x 12 x sin x; 4. (5 10 x) sin x (5 10 x) sin x 10 sin x (5 10 x) cos x 5 10 x f ( x) ; sin 2 x sin 2 x sin x 15 Тема: Производные тригонометрических функций Задание I -3 Найдите производные функций: Вариант-1 1 4 1. f ( x) 5x 2 sin x 2. f ( x) 10 cos x 3. f ( x) 2 x cos x 4. f ( x) Вариант-2 1 5 1. f ( x) x 6 sin x 2. f ( x) 5 cos x 4. f ( x) 3. f ( x) 6 x cos x 5 x sin x 3x 1 sin x Вариант-3 x2 1. f ( x) sin x 2 2. f ( x) cos x sin x 2 3 3. f ( x) x 7 cos x 4. f ( x) Вариант-4 1. f ( x) x 2 tgx 2. f ( x) tgx 3 3. f ( x) 2 x 3 cos x 4. f ( x) 5x 2 sin x 2 x 10 cos x Вариант-5 1. f ( x) sin x 5 x cos x 2. f ( x) 2 3. f ( x) cos x(3x 2) x3 4. f ( x) sin x Вариант-6 1. f ( x) x3 sin x 3 2. f ( x) cos x 3 3. f ( x) x 6 cos x 4. f ( x) 5x 3 sin x Вариант-7 1. f ( x) x 4 tgx 2. f ( x) ctgx 4 3. f ( x) (2 x 3) sin x 4. f ( x) 2x 3 cos x Вариант-8 1. f ( x) 4 x 3 sin x 2. f ( x) ctgx 3 3. f ( x) ( x 3)tgx 4. f ( x) cos x x3 Вариант-9 1. f ( x) sin x x 5 2. f ( x) sin x 5 x 4 2. f ( x) 2 sin x 5 3. f ( x) cos x(5 x 3) 4. f ( x) x6 cos x Вариант-10 1. f ( x) cos x 3. f ( x) sin x(5 x 3) 4. f ( x) x5 cos x 16 Тема: Производные тригонометрических функций Задание I -3 Найдите производные функций: Вариант-11 tgx 6 1. f ( x) 3x 4 ctgx 2. f ( x) 4. f ( x) 3. f ( x) (2 x 4) cos x Вариант-12 1. f ( x) x 3 ctgx 2. f ( x) tgx 4 3. f ( x) ( x 4) cos x 4. f ( x) 10 x 2 sin x 3. f ( x) x10 sin x 4. f ( x) 2x 5 cos x Вариант-13 1. f ( x) 3x 3 cos x 2. f ( x) 3x 2 sin x sin x 4 Вариант-14 1 4 1. f ( x) x 6 cos x 2. f ( x) 5 sin x 4. f ( x) 3. f ( x) 5 x sin x 3x 1 cos x Вариант-15 1. f ( x) x3 cos x 3 2. f ( x) sin x 3 3. f ( x) x 6 sin x 4. f ( x) 5x 3 cos x Вариант-16 1 2 1. f ( x) x 3 2 sin x 2. f ( x) 6 cos x 4. f ( x) 3. f ( x) 5 x tgx Вариант-17 1. f ( x) x 6 6 cos x 2. f ( x) tgx 5 3. f ( x) 5x 2 sin x 4. f ( x) 3 x 10 cos x x2 cos x Вариант-18 1. f ( x) x 2 2 x 6 cos x 2. f ( x) ctgx 6 3. f ( x) ( x 2 1) sin x 4. f ( x) 3x 2 2 cos x Вариант-19 1. f ( x) x 2 3x tgx 2. f ( x) ctgx 7 3. f ( x) ( x 2 1) cos x 4. f ( x) 3x 2 2 sin x Вариант-20 1. f ( x) 3x ctgx 2. f ( x) tgx 7 3. f ( x) ( x 2 x) cos x 4. f ( x) 4x 4 sin x 17 Тема: Производные тригонометрических функций Задание I -3 Найдите производные функций: Вариант-21 2 5 1. f ( x) 5x 2 tgx 2. f ( x) 10 cos x Вариант-22 1 5 1. f ( x) x 6 tgx 2. f ( x) 5 sin x 4x 1 sin x 4. f ( x) 3. f ( x) 6 x ctgx 5 x tgx 4. f ( x) 3. f ( x) 2 x sin x Вариант-23 1. f ( x) cos x sin x x2 3tgx 2. f ( x) 3 4 2 4. f ( x) 3. f ( x) ( x 7 1) cos x Вариант-24 1. f ( x) 4 x 2 tgx 2. f ( x) tgx 8 3. f ( x) (2 x 3 1) cos x 4. f ( x) cos x 6 3. f ( x) ctgx(3x 2) 4. f ( x) 2. f ( x) sin x 3 3. f ( x) x tgx 1. f ( x) x 4 ctgx 2. f ( x) cos x 4 3. f ( x) (2 x 3)tgx 5x 4 sin x 2 x 10 sin x Вариант-25 1. f ( x) tgx 5 x 2. f ( x) 3x 3 sin x Вариант-26 x3 1. f ( x) ctgx 3 6 5x 2 3 4. f ( x) coxx Вариант-27 4. f ( x) x5 3 cos x Вариант-28 1. f ( x) 4 cos x sin x 2. f ( x) ctgx x 2 3 4 3. f ( x) ( x 3 3)tgx 4. f ( x) cos x x3 2 Вариант-29 1. f ( x) ctgx x 5 2. f ( x) sin x x 5 3 3. f ( x) tgx(5 x 3) 4. f ( x) 2x 6 cos x Вариант-30 x 1. f ( x) ctgx 4 sin x cos x 2. f ( x) 5 6 3. f ( x) sin x(5x x ) 2 x5 1 4. f ( x) cos x 18 Тема: Производные тригонометрических функций Задание I -3 Найдите производные функций: Вариант-31 1. f ( x) 3x 4 tgx 2. f ( x) sin x 6 4. f ( x) 3. f ( x) (2 x 4)ctgx 3x 2 cos x Вариант-32 1. f ( x) 2 x x 3 ctgx 2. f ( x) tgx 9 3. f ( x) ( x 4) cos x 4. f ( x) 10 x 2 sin x Вариант-33 1. f ( x) 5x 3 cos x 2. f ( x) sin x 4 4. f ( x) 3. f ( x) x10 tgx 2x cos x Вариант-34 1 4 1. f ( x) x 6 ctgx 2. f ( x) 5 tgx 3. f ( x) 5 x sin x 4. f ( x) 3x 1 cos x Вариант-35 1. f ( x) x3 ctgx 3 2. f ( x) sin x 3 3. f ( x) x 6 tgx 4. f ( x) 5x 3 cos x Вариант-36 1 2 1. f ( x) x 3 2tgx 2. f ( x) 6 cos x 3. f ( x) 5 x ctgx 4. f ( x) 3 x 10 sin x Вариант-37 1. f ( x) x 6 6ctgx 2. f ( x) tgx 5 3. f ( x) 5x 2 sin x 4. f ( x) x3 2 cos x Вариант- 38 ctgx 1. f ( x) x 3tgx 2. f ( x) 6 2 3. f ( x) ( x 6) sin x 2 3x 2 2 4. f ( x) cos x Вариант-39 1. f ( x) x 2 tgx 2. f ( x) ctgx 7 3. f ( x) ( x 2 1) cos x 4. f ( x) 3x 2 2 sin x Вариант-40 1. f ( x) 7 x ctgx 2. f ( x) tgx sin x 7 3 3. f ( x) ( x 2 3) cos x 4. f ( x) 4x 4 sin x 19 Тема: Производная сложной функции Образец решения Задание I -4 Найдите производные функций: Вариант-41 1. f ( x) (2 x 5 5x)10 f ( x) 3 sin 5 x 2. 4. f ( x) 3. f ( x) (4 x x 2 ) 8 x 3 4 cos x 2 1 x2 Решение: 1. f ( x) ((2 x 5 5x)10 ) 10(2 x 5 5x) 9 (2 x 5 5x) 10(2 x 5 5x) 9 (10 x 4 5); 2. f ( x) (3 sin 5 x) 3(sin 5 x) 3 sin 5 x (5 x) 3 cos 5 x 5 15 cos 5 x; 3. f ( x) (( 4 x x 2 ) 8 x 3 ) (4 x x 2 ) 8 x 3 (4 x x 2 ) ( 8 x 3 ) (4 2 x) 8 x 3 (4 x x ) 1 2 (4 2 x)(8 x 3) 8x 3 16 x 4 x 2 8x 3 2 8x 3 (8 x 3) (4 2 x) 8 x 3 32 x 12 16 x 2 6 x 16 x 4 x 2 8x 3 4(4 x x 2 ) 8x 3 12 42 x 20 x 2 8x 3 4. 4 cos x 2 f ( x) 2 1 x (4 cos x 2 )(1 x 2 ) 4 cos x 2 (1 x 2 ) 8 x sin x 2 (1 x 2 ) 8 x cos x 2 (1 x 2 ) 2 (1 x 2 ) 2 8 x(cos x 2 sin x 2 (1 x 2 )) ; (1 x 2 ) 2 20 Тема: Правила вычисления производных (производная сложной функции) Задание I -4 Найдите производные функций: Вариант-1 1. f ( x) (2 x 1) 2 2. f ( x) sin 2 x 3. f ( x) (4 x 1) 4 x 2. f ( x) tg 4 x 3. f ( x) 2. f ( x) tg5 x 3. f ( x) 6 x ( x 2) 4. f ( x) cos 3 x x 2 3x Вариант-2 1. f ( x) ( x 2 3) 3 3x 2 x 3 4. f ( x) x2 1 cos 2 x 4. f ( x) 10 5 x cos x 2 Вариант-3 1. f ( x) ( x 2 4) 4 Вариант-4 1. f ( x) ( x 2 5x) 3 2. f ( x) cos 7 x 3. f ( x) 2x 3 x 3 4. f ( x) 5x x 3 sin 3x Вариант-5 1. f ( x) (4 x 3) 2 3 2. f ( x) ctg3x 3. f ( x) 8 x ( x 3x ) x 3x 2 4. f ( x) sin x 5 2. f ( x) tg3x 3. f ( x) 4 x ( x 3 5 x) 4. f ( x) x x2 sin x 5 2. f ( x) sin 2 x 3. f ( x) (4 x x 3 ) 9 x 4. f ( x) cos 5 x x 3 3x 4. f ( x) 1 5x sin x 2 3 2 Вариант-6 1. f ( x) (4 x 2 ) 5 Вариант-7 1. f ( x) ( x 2 1) 6 Вариант-8 1. f ( x) ( x 2 3) 7 2. f ( x) cos 9 x 3. f ( x) 5x x 6 3 Вариант-9 1. f ( x) ( x 3x) 3 4 x3 1 2. f ( x) ctg 4 x 3. f ( x) 2. f ( x) tg5 x 3. f ( x) (4 x 2) 3x 2x 5x x 2 4. f ( x) cos x 2 Вариант- 10 1. f ( x) (3x 1) 5 4. f ( x) sin 4 x x3 x 21 Тема: Правила вычисления производных (производная сложной функции ) Задание I -4 Найдите производные функций: Вариант-11 2. f ( x) (5x 1) 3 1. f ( x) sin x 2 3. f ( x) 3x x3 4. f ( x) cos x 2 4x 5 Вариант-12 1. f ( x) ( x 1) 3 2. f ( x) cos x 3 3. f ( x) (4 x 2 2) 3x 4. f ( x) sin 2 x x3 x2 Вариант-13 1. f ( x) (4 x x 2 ) 3 2. f ( x) ctg 7 x 3. f ( x) 5 x ( x 3 x) 2. f ( x) tg 7 x 3. f ( x) 4. f ( x) cos x 2 3 x5 Вариант-14 1. f ( x) (4 x x 2 ) 3 4x x 6 3 4. f ( x) 1 5x sin x 2 Вариант-15 1. f ( x) ( x 2 x) 2 3 2. f ( x) sin 6 x 3. f ( x) 6x 2 x 4 cos x 3 4. f ( x) 2 x 3x Вариант- 16 1. f ( x) (2 3x 2 ) 7 2. f ( x) cos 9 x 3. f ( x) 2 x (3 x 2 ) 4. f ( x) sin x 4 1 3x 2 Вариант-17 1. f ( x) (5x 1) 3 4. f ( x) x 1 cos 5 x 3. f ( x) 4 x (6 4 x) 4. f ( x) sin x 4 1 x2 2. f ( x) sin 8 x 3. f ( x) (4 x 6) 3x 4. f ( x) x4 7 cos x 2 2. f ( x) cos 4 x x 3. f ( x) ( x 6 x ) 2 3 x2 4. f ( x) sin x 2 2. f ( x) ctg 6 x 3. f ( x) x ( x 3 2 x) 4 Вариант-18 1. f ( x) (4 x 3) 4 2. f ( x) tg5 x Вариант-19 1. f ( x) (2 x 5) 3 Вариант-20 1. f ( x) (2 x 5) 3 2 22 Тема: Правила вычисления производных (производная сложной функции) Задание I -4 Найдите производные функций: Вариант-21 1. f ( x) (2 x 1) 4 2. f ( x) tgx 2 3. f ( x) (4 x 2 1) 4 x cos x 3 x 2 6x 4. f ( x) Вариант-22 1. f ( x) (2 x 5) 5 2. f ( x) cos x 2 sin x 2 4. f ( x) 5x 4 2x 3. f ( x) 2 x 3 Вариант-23 1. f ( x) (3 x) 3 2. f ( x) sin 3x 3. f ( x) 2. f ( x) ctg 6 x 3. f ( x) 2. f ( x) tg 7 x 3. f ( x) x ( x 2) 3 4. f ( x) 10 5 x cos x 4 4. f ( x) sin( x 3 3) x4 Вариант-24 1. f ( x) (5x 3) 2 2 4x x3 3 Вариант-25 1. f ( x) (4 x 2 3) 3 4. f ( x) x x2 cos x 5 3. f ( x) 6 x ( x 3 10 x) 4. f ( x) 3x x 2 cos 3x 5 3. f ( x) (4 x 3 ) 2 x 4. f ( x) sin x 2 x 3 3x 4. f ( x) 1 5x cos x 6 4. f ( x) 5x x 2 sin x 4 4. f ( x) cos 4 x x3 x x (x3 x 2 ) 4 Вариант-26 1. f ( x) (4 x x 2 ) 3 2. f ( x) sin 5 x Вариант-27 1. f ( x) (3x 2) 2 2. f ( x) tg8 x Вариант-28 1. f ( x) ( x 8) 2 2. f ( x) 4 sin 4 x 3. f ( x) 2. f ( x) ctg3x 3. f ( x) 5x 2x 6 3 Вариант-29 1. f ( x) ( x 2 1) 2 5x 3 1 4x Вариант-30 1. f ( x) (3x2 1)3 2. f ( x) tg3x 3. f ( x) (4 x 2) x 6 23 Тема: Правила вычисления производных (производная сложной функции) Задание I -4 Найдите производные функций: Вариант-31 1. f ( x) sin 4 x 2. f ( x) (2 x 1) 4 3. f ( x) 8x 2x 3 4. f ( x) cos 2 x 2 4x 5 Вариант-32 1. f ( x) ( x 2 12) 3 2. f ( x) sin 6 x 3. f ( x) (4 x 2 2 x) x 3 4. f ( x) sin 4 x x3 2x 2 2. f ( x) ctg 4 x 3. f ( x) 2 x ( x 3 4 x) 4. f ( x) 10 x 2 cos x 5 2. f ( x) tg 4 x 3. f ( x) 4 x 2 4. f ( x) 1 5x cos x 2 Вариант-33 1. f ( x) (4 x 2 ) 4 Вариант-34 1. f ( x) (4 x x 2 ) 4 Вариант-35 2. f ( x) cos 1. f ( x) (4 x 1) 5 x 3 3x 2 x 3 4. f ( x) sin x 3 3x 2 x 3. f ( x) 2 x (6 x 2 ) 4. f ( x) cos x 4 1 2x 2 4. f ( x) x2 1 sin 2 x 3. f ( x) Вариант-36 1. f ( x) (2 x 2 ) 5 2. f ( x) sin x 2 Вариант-37 1. f ( x) (5x 2 1) 6 2. f ( x) ctg5 x 3. f ( x) 3x ( x 3 x) Вариант-38 1. f ( x) (4 x 3) 12 2. f ( x) tg 2 x 3. f ( x) 2 x (6 4 x ) 2 cos x 4 4. f ( x) 2 x2 Вариант-39 1. f ( x) (2 x 5 5) 6 2. f ( x) cos 3x 3. f ( x) (4 x x 2 ) 3x 4. f ( x) x4 7 sin x 2 4. f ( x) cos x 2 1 x2 Вариант-40 1. f ( x) (2 x 5 5)10 2. f ( x) sin 5 x 3. f ( x) ( x x 2 ) 8 x 24 ТАБЛИЦА № 1 I вариант II вариант 1. Найдите промежутки возрастания и убывания функции: 1). f ( x) 2 x 5 1). f ( x) 5 4 x 2 2). f ( x) 4 x 2 x 2). f ( x) 5x 10 x 2 3). f ( x) 2 3 x 3). f ( x) 3 2 x 25 ТАБЛИЦА № 2 I вариант II вариант 1. Найдите точки экстремума функции: 1). 2). f ( x) 2 x x 2 f ( x) x 4 4 x 2 1). 2). f ( x) 3 2 x x 2 f ( x) x 4 2 x 2 3 2. Найдите точки экстремума и значения функции в этих точках: f ( x) 6 x 2 x 2 f ( x) x 2 8x 16 26 6* 27 Исследование функции с помощью производной I вариант II вариант 1. Исследовать функцию и построить график: 1) f ( x) 3 x 2 x 3 1) f ( x) x 3 3 x 2 2) f ( x) x 3 3 x 2 4 2) f ( x) x 3 3 x 2 4 3) f ( x) x 3 3 x 2 3) f ( x) x 3 12 x 1 2.Исследовать функцию и построить график: I вариант f ( x) 4 x x 2 II вариант f ( x) 9 x x 2 III вариант f ( x) 3x x 2 IV вариант f ( x) 8 x x 2 V вариант f ( x) 2 x 2 4 x VI вариант f ( x) x 2 4 x VII вариант f ( x) x 3 2 x 2 x VIII вариант f ( x) x 3 3 x 2 4 3*. Исследовать функцию и построить график: 1). f ( x) x(1 x ) 2). f ( x) x 2 sin x 3). f ( x) x cos x 4). f ( x) 2 x sin x 5). 6). 7). 8). sin x x x e f ( x) x f ( x) 2 x 2 ln x f ( x) f ( x) xex 28 ТАБЛИЦА № 4 I вариант II вариант 1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на указанном промежутке: 1) f ( x) 1 x 3 x 2 3x 1) f ( x) 1 x 3 x 2 3x 3 3 [-3; 2] 2) f ( x) x 3 3x 2 4 [-1; 3] 3) f ( x) 18x 2 8 x 3 3x 4 [1; 3] [-1; 2] 2) f ( x) x 3 3 x 2 4 [0; 2] 3) f ( x) 18x 2 8 x 3 3x 4 [-2; 3] 29 ВАРИАНТ № 1 ________________________________________________________________________ Задание № 1 Область определения функции f ( x) x 2 3x равна … варианты ответов: (0;3) (- ;0) (3; ) [0;3] (- ;0] [3; ) ________________________________________________________________________ Задание № 2. Производная функции y x 3 e x имеет вид… варианты ответов: y 3x 2 e x y 3x 2 e x y 3x 2 e x x 3 e x y 3x 2 e x x 3 e x ________________________________________________________________________ Задание № 3 Производная функции y sin 6 x равна… варианты ответов: y ' cos 6 x y' 6 cos 6 x y ' 6 sin 6 x y' 6 cos 6 x _______________________________________________________________________ 30 Задание № 4 Вторая производная y (x) функции y( x) x 2 3x 4 имеет вид… варианты ответов: y 3 y 3 y 2 y 2 ________________________________________________________________________ Задание № 5 Угловой коэффициент касательной к графику функции y( x) x 2 2 x 4 в точке x0 1 равен… варианты ответов: -3 0 -4 2 31 ВАРИАНТ № 2 _______________________________________________________________________ Задание № 1 Область определения функции f ( x) 3x x 2 равна … варианты ответов: (0;3) (- ;0) (3; ) [0;3] (- ;0] [3; ) ________________________________________________________________________ Задание № 2 Производная функции y x 2 e x имеет вид… варианты ответов: y 2x 2e x y 2x e x y 2x e x x 2 e x y 2x e x x 2 e x ________________________________________________________________________ Задание № 3 Производная функции y cos 6 x равна… варианты ответов: y ' cos 6 x y' 6 cos 6 x y ' 6 sin 6 x y' 6 cos 6 x _______________________________________________________________________ 32 Задание № 4 Вторая производная y (x) функции y( x) x 2 3x 4 имеет вид… варианты ответов: y 3 y 3 y 2 y 2 Задание № 5 Угловой коэффициент касательной к графику функции y( x) x 2 2 x 4 в точке x0 1 равен… варианты ответов: -3 0 4 2 ________________________________________________________________________ 33 ВАРИАНТ № 3 _______________________________________________________________________ Задание № 1 Область определения функции f ( x) x x 3x 2 равна … варианты ответов: (0;3) (- ;0) (3; ) [0;3] (- ;0] [3; ) ________________________________________________________________________ Задание № 2 Производная функции y x cos x имеет вид… варианты ответов: y 1 sin x y sin x y cos x x sin x y cos x x sin x ________________________________________________________________________ Задание № 3 Производная функции y 2 x 3 равна… варианты ответов: 2 y' y' y' y' 2x 3 1 2 2x 3 1 2x 3 2 2x 3 34 _______________________________________________________________________ Задание № 4 Вторая производная y (x) функции y( x) x 3 3x 4 имеет вид… варианты ответов: y 3x y 3x y 6 x y 6 x ________________________________________________________________________ Задание № 5 Тело движется по прямой так, что расстояние s до него от некоторой точки А этой прямой изменяется по закону s 0,5t 2 3t 2 (м), где t – время движения в секундах. После начала движения скорость тела окажется равной 15м/с через … варианты ответов: t=3с t=10с t=12c t=2c ________________________________________________________________________ 35 ВАРИАНТ № 4 ______________________________________________________________________ Задание № 1 Область определения функции f ( x) x 3x x 2 равна … варианты ответов: (0;3) (- ;0) (3; ) [0;3] (- ;0] [3; ) ________________________________________________________________________ Задание № 2 Производная функции y x sin x имеет вид… варианты ответов: y 1 sin x y sin x y sin x x cos x y sin x x cos x ________________________________________________________________________ Задание № 3 Производная функции y 4 x 3 равна… варианты ответов: 2 y' y' y' y' 2x 3 1 2 2x 3 1 2x 3 2 2x 3 36 Задание № 4 Вторая производная y (x) функции y( x) x 3 3x 4 имеет вид… варианты ответов: y 3x y 3x y 6 x y 6 x ________________________________________________________________________ Задание № 5 Тело движется по прямой так, что расстояние s до него от некоторой точки А этой прямой изменяется по закону s 4 3t 0,5t 2 (м), где t – время движения в секундах. После начала движения тело остановится через … варианты ответов: t=3с t=10с t=12c t=2c ________________________________________________________________________ 37 ВАРИАНТ № 5 ________________________________________________________________________ Задание № 1 Область определения функции f ( x) x 2 3x равна … варианты ответов: (0;3) (- ;0) (3; ) [0;3] (- ;0] [3; ) ________________________________________________________________________ Задание № 2 Производная функции y x 2 e x имеет вид… варианты ответов: y 2x 2e x y 2x e x y 2x e x x 2 e x y 2x e x x 2 e x ________________________________________________________________________ Задание № 3 Производная функции y 2 x 3 равна… варианты ответов: 2 y' y' y' y' 2x 3 1 2 2x 3 1 2x 3 2 2x 3 _______________________________________________________________________ 38 Задание № 4 Вторая производная y (x) функции y( x) x 3 3x 4 имеет вид… варианты ответов: y 3x y 3x y 6 x y 6 x ________________________________________________________________________ Задание № 5 Угловой коэффициент касательной к графику функции y( x) x 2 2 x 4 в точке x0 1 равен… варианты ответов: -3 0 -4 2 ________________________________________________________________________ 39 40 41 42 Список литературы 1.Колмогоров А.Н. и др. Алгебра и начала анализа.-М.: «Просвещение», 2012 2.Пехлецкий И.Д. Математика. – М: Академия, 2012 3. Соловейчик И.Л., Лисичкин В.Т. Сборник задач по математике для техникумов .-М. ОНИКС 21 век, Мир и образование, 2003 43 СОДЕРЖАНИЕ Введение……………………………………………………………………………….3 Справочный материал………………………………………………………………...4 Правила вычисления производных………………………………………………5-14 Производные тригонометрических функций…………………………………..15-19 Производная сложной функции…………………………………………………20-24 Признак возрастания (убывания) функции………………………………………..25 Критические точки функции, максимумы и минимумы…………………………26 Примеры применения производной к исследованию функций………………27-28 Наибольшее и наименьшее значения функции……………………………………29 Тесты …………………………………………………………………………….30-39 Контрольная работа……………………………………………………………..40-42 Литература ………………………………………………………………………….43 44