КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ Задача -1. Вариант 1 а

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ
Задача -1. Найти область определения функции
а) y =
x2
x 1
е) y =
б) y = 3x  x 3
в) у = (х-2)
ж) y =
1 x
1 x
1
x 1

1
5 x
1
cos( x )
з) y = 2  x  x 2
г) y = log2(x2-4)
и) y = lg( x)
д) y = log2(x+2) + log2(x-2)
к) y =
Вариант 1
а
Вариант 6
е
Вариант 2
б
Вариант 7
ж
Вариант 3
в
Вариант 8
з
Вариант 4
г
Вариант 9
и
Вариант 5
д
Вариант 10
к
sin x
lg( x 2  4)
Задача -2. Найти пределы функций, используя теоремы о пределах функции
(свойства) или правило Лопиталя.
В таблице представлены варианты и номера заданий, которые должен решить
студент.
Вариант 1
а
Вариант 6
е
Вариант 2
г
Вариант 7
ж
Вариант 3
в
Вариант 8
д
Вариант 4
е
Вариант 9
а
Вариант 5
д
Вариант 10
б
а)
б)
в)
г)
д)
е)
5x 4  7 x 2  5x  4
,
x 
x4  x2  x 1
2. lim
lim
( x  3)( x  4)( x  5)
x 
x 4  x  11
1.
1  x2
2. x 1 sin x .
3x 3  2 x 2  x
,
x  2 x 3  x  1
2. lim
1. lim
x 0
1 x 1
,
x
2. lim
x 0
1. lim
x 3
x6 3
,
x3
2. lim
1. lim
1. . lim
x 1
ж)
3x 2  5 x
.
x  0 sin 3 x
1. lim
1. lim
x 2
5  x2  2
,
1 x
x2  5  3
,
x2
lim
1  cos 2 x
.
x 0
4x2
1  cos 2 x
.
1  cos x
1  cos 2 x
.
x 0
4x2
2. lim
x 0
sin 6x
.
sin x
x2  1
.
x 1 ln x
2. lim
Задача 3. Формулируется одинаково во всех вариантах.
Изучите по учебнику Ю.В.Морозова [1] §§ 2.1 - 2.4.
1а). Сформулируйте определение производной функции, проиллюстрируйте
примерами ее физический и геометрический смысл.
х2
4 в
1б). Чему равен угол между касательной к графику функции у 
2
точке х = 1 и положительным направлением оси ОХ?
1в). Зависимость координаты движущегося тела от времени выражается
формулой:
времени.
Х (t )  5t 3  t 2  1. Найдите зависимость скорости тела от
Задача 4. Изучите по учебнику Ю.В.Морозова [1] §§ 2.5 - 2.7.
В таблице представлены варианты и номера заданий, которые должен решить
студент.
Вариант 1 б, в, а, л, х, к, н, ч
Вариант 6
в, с, е, р, э, з, т, я
Вариант 2 с, в, б, м, ц, г, о, ш
Вариант 7
б, в, ж, с, ю, и, у, а
Вариант 3 в, с, л, н, ч, д, п, щ
Вариант 8
с, в, з, т, я, к, ф, б
Вариант 4 б, в, г, о, ш, е, р, э
Вариант 9
в, с, и, у, а, л, х, к
Вариант 5 с, в, д, п, щ, ж, н, ю Вариант 10 б, в, к, ф, б, ш, ц, г
Вычислите производные следующих функций:
а) у  sin( 5 x  1)
к) y  n(sin x)
у) y  nx  соsx
б) y 
x
sin x
л) y  соsx
ф) y 
в) y 
cos x
м) y  3 tgx
х) y  3
н) y  sin x
ц)
о) y 
cos5 x
ч) y  tg (sin x)
n 3 x
ш) y  tg (cos x)
x
г) y  sin x
д) y 
е)
1
tgx
y  n(cos x)
5
п) y 
6
2
sin x
x
1
nx
y  sin(cos x)
ж) y  cos(nx)
р) y  соsx  3
щ) y 
2
3
з) y  x  1
x
y

с)
nx
э)
и) y 
т) y  х  sin x
3
ю) y  tg x
tg 5 x
n 5 x
y  sin( tgx)
7
я) y 
Задача 5. Формулируется одинаково во всех вариантах.
3
1
tgx
Изучите по учебнику Ю.В.Морозова [1] §§ 2.12 - 2.15.
5а). Найдите дифференциал функции у  х 2  2 х  1 в точке х = 0, если
приращение аргумента х  2 . Постройте график функции и изобразите
графически этот дифференциал.
5б). Найдите приближенно изменение объема шара при уменьшении его
радиуса от R  1 м на величину R  0.01 м. Использовать приближенную
формулу R  dR .
Задача 6. Формулируется одинаково во всех вариантах.
Изучите по учебнику Ю.В.Морозова [1] §§ 2.10 - 2.11. Решите задачу.
Точка совершает колебания, при которых смещение зависит от времени по
закону: S (t )  A cos t , где A и

- постоянные величины. Найти
зависимость ускорения точки от времени. В чем заключается физический
смысл второй производной?
Задача 7. Изучите по учебнику Ю.В.Морозова [1] §§ 3.1 - 3.3.
В таблице представлены варианты и номера заданий, которые должен решить
студент.
Вариант 1 а, в
Вариант 6
е, з
Вариант 2 б, г
Вариант 7
ж, и
Вариант 3 в, д
Вариант 8
з, к
Вариант 4 г, е
Вариант 9
и, а
Вариант 5 д, ж
Вариант 10
к, б
Найти интервалы возрастания и убывания функций:
х3
 х5;
а) у 
3
х3
 3х 2  9 х
е) у 
3
х5
 х 1;
б) у 
5
х 3 3х 2

 2х
ж) у 
3
2
х3
 4х  7
в) у 
3
х 3 3х 2

 2х
з) у 
3
2
х3 5х 2

 6х
г) у 
3
2
х 3 5х 2

 6х
и) у 
3
2
х3
 3х 2  9 х
д) у 
3
х5
 х 1
к) у 
5
Задача 8. Формулируется одинаково во всех вариантах.
Изучите по учебнику Ю.В.Морозова [1] §§ 3.2 - 3.3.
8а). Найти экстремумы функций:
а) у  х  х  1;
2
у  х 3  6 х 2  12 х ;
б)
8б). Исследовать функцию и построить ее график:
а) у  х  3х
3
х3
б) у  4 х 
3
Задача 9. Изучите по учебнику Ю.В.Морозова [1] §§ 5.1 - 5.3, 5.4.1.
В таблице представлены варианты и номера заданий, которые должен решить
студент.
Вариант 1 а, д
Вариант 6
е, к
Вариант 2 б, е
Вариант 7
ж, а
Вариант 3 в, ж
Вариант 8
з, б
Вариант 4 г, з
Вариант 9
и, в
Вариант 5 д, и
Вариант 10
к, г
Найдите первообразные следующих функций:
а) у 
б) у 
1
 х  sin x  5
х2
1
х
е) у 
 5 х  tgx
6
5
ж) у  x 
1
3
cos 2 x
в) у 
х  sin x 
г) у 
1
 cos х  3x
х
1
1

 cos x
7
x x
з) у 
1
7 х
и) у  
 cos х 
1
sin 2 x
1
 5x  3
3х 2
2
к) у  7 x 
3
2
5
д) у  x  sin x  3x
1
 sin x
x
6
1

3
x
cos 2 x
Задача 10. Изучите по учебнику Ю.В.Морозова [1] § 5.4.2.
В таблице представлены варианты и номера заданий, которые должен решить
студент.
Вариант 1 а, в, д, и, к, р
Вариант 6 в, д, ж, к, м, п
Вариант 2 б, г, ж, к, н, р Вариант 7
а, в е, л, п, с
Вариант 3 а, г, з, о, п, т
Вариант 8 б, д, ж, м, н, р
Вариант 4 д, л, и, н, с, а
Вариант 9
в, г, з, о, п, т
Вариант 5 б, г, е, л, н, т Вариант 10 а, г, и, л, н, с
Найдите неопределенные интегралы, в каждом случае осуществив проверку
правильности полученного решения.
а)
б)
5 х
е
 dx ;

e
dx
5x  3
к)

л)
 cos
x
x
dx ;
2
dx
;
(3x  1)
м)
sin xdx
 cos5 x ;
cos xdx
;
sin 5 x
н)
e
dx
 x  n 3 x ;
о)

в)
sin x
 e cos xdx ;
г)

д)
е)

dx
7x  8
 соs
и)

2
sin xdx ;
5 х  3dx ;
dx
п) 
;
х  nx
;
dx
ж) 
;
2
sin (4 x  2)
з)
cos x
x
р)  e  xdx ;
2
dx
;
(7 x  1)
с)
7 х  8  dx ;

cos xdx
;
sin x
т)

nx  dx
x
Задача 11. Формулируется одинаково во всех вариантах.
Изучите по учебнику Ю.В.Морозова [1] § 5.4.3.
Выполнить интегрирование по частям:
а)
 nx  dx ;
б)
x
e
  xdx ;
в)
 x  sin x  dx .
Задача 12. Изучите по учебнику Ю.В.Морозова [1] §§ 6.1 - 6.2, 6.5.
В таблице представлены варианты и номера заданий, которые должен решить
студент.
Вариант 1 а, д
Вариант 6
е, к
Вариант 2 б, е
Вариант 7
Ж, а
Вариант 3 в, ж
Вариант 8
з, б
Вариант 4 г, з
Вариант 9
И, в
Вариант 5 д, и
Вариант 10
К, г
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
а)
у  х , y  x2 ;
2
б) y  х  x , y  0 ;
в) y  4  x , y  0 ;
2
2
г) y  9  x , y  0 ;
д) y  sin x , y  0 ,
е) y  4 x ,
ж)
з)
x1  0 , x2   ;
y  x3 ;
у  9 х , y  x3 ;
y  е2 х , y  0 , x1  0 , x2  1 ;

x

x

0
y

соsx
y

0
2
и)
,
, 1
,
2;
1
y

y  0 , x1  1 , x2  2 ;
к)
х,
Задача 13. Изучите по учебнику Ю.В.Морозова [1] § 6.3.
В таблице представлены варианты и номера заданий, которые должен решить
студент.
Вариант 1 а, д
Вариант 6
е, з
Вариант 2 б, г
Вариант 7
ж, г
Вариант 3 в, ж
Вариант 8
з, б
Вариант 4 г, и
Вариант 9
и, в
Вариант 5 д, к
Вариант 10
к, г
Вычислить среднее значение функции на отрезке.
а) у  sin x на отрезке х  (0;  ) ;
  
б) у  cos x на отрезке х    ;  ;
 2 2
в) у 
1
на отрезке х  (1;5) ;
x
г) у 
1
на отрезке х  (1;3) ;
x2
2
д) у  4  x на отрезке х  (0;2) ;
е) у  sin x на отрезке х  ( 2 ;3 ) ;
 3 5
ж) у  cos x на отрезке х   ;
 2 2

;

2
з) у  9  x на отрезке х  (0;3) ;
и) у  sin x на отрезке х  ( 4 ;5 ) ;
 7 9 
к) у  cos x на отрезке х   ;  ;
 2 2 
Задача 14. Изучите по учебнику Ю.В.Морозова [1] §§ 6.4 - 6.5.
В таблице представлены варианты и номера заданий, которые должен решить
студент.
Вариант 1 а, е, и
Вариант 6
е, а, г
Вариант 2 б, ж, к
Вариант 7 ж, б, д
Вариант 3 в, з, а
Вариант 8 з, в, е
Вариант 4 г, и, б
Вариант 9 и, ж, г
Вариант 5 д, к, в Вариант 10 к, д, з
Вычислить определенные интегралы методом замены переменных:

4
4
а)
е
х2
 хdx ;
е)
tgx  dx
cos 2 x

0
1

12
dx
б)  cos 2 (3x) ;

4
ж)

е
х
1
 dx
;
х
18

3
sin xdx
в) 
cos 2 x ;
0

12
dx
г)  sin 2 ( 4 x) ;

4
з)

0

3
sin x  dx
и) 
сosx

16
4


4
2
dx
д)  cos 2 (4 x) ;
0
2 х  1  dx
к)
е
sin x
 cos х  dx
0
Задача 15. Формулируется одинаково во всех вариантах.
Изучите по учебнику Ю.В.Морозова [1] § 6.7.
Модуль силы упругости, действующей на тело, прикрепленное к пружине с
коэффициентом жесткости к  1
закону:
Н
, зависит от растяжения пружины
м
S по
Fупр.  kS . Найти работу, совершенную внешней силой при
перемещении этого тела из положения равновесия ( S  0 ) на S  5см .
Изобразить график зависимости F (S ) и представить на нем искомую работу
переменной силы.
Задача 16. Формулируется одинаково во всех вариантах.
Изучите по учебнику Ю.В.Морозова [1] §§ 4.1 - 4.2.
2
Задана функция двух переменных z ( x; y )  x  y . Записать выражение для
частного приращения этой функции по переменной х и ее частного
приращения по переменной у. Написать выражение для полного приращения
этой функции и выяснить, равно ли оно сумме частных приращений.
Задача 17. Изучите по учебнику Ю.В.Морозова §§ 4.3 - 4.4.
В таблице представлены варианты и номера заданий, которые должен решить
студент.
Вариант 1 а, л, и, м, д
Вариант 6
е, г, б, и, к
б, м, к, з, е
Вариант 7
ж, д, в, а, л
Вариант 3 в, а, л, и, ж
Вариант 8
з, е, г, б, м
Вариант 4
г, б, м, к, з
Вариант 9
и, ж, д, в, а
Вариант 5
д, в, а, л, и
Вариант 10
к, з, е, г, б
Вариант 2
Вычислить частные производные Z x и Z y , и полные дифференциалы для
следующих функций:
а)
 y
Z

соs
 
ж)
x
Z x y ;
3
2
б) Z  y  x  y x ;
х
 
Z

sin
з)
 у
2
2
в) Z  n( x  y ) ;
х
 
Z

соs
и)
 у
 x
  ;
Z

tg
г)
 y
к) Z  tg х  у
д) Z 
л) Z  tg 
3
2
x2  y2 ;
 y
Z

sin
 
е)
x

2
 у

х
 
Z  ех у
2
м)
2
2

Задача 18. Формулируется одинаково во всех вариантах.
Изучите по учебнику Ю.В.Морозова [1] § 7.1. Ответьте на вопросы.
18а). Что такое общее и частное решение дифференциального уравнения?
Является ли функция y 
x3
 sin x  C общим решением дифференциального
3
уравнения y   cos x ? Ответ обосновать.
Приведите
18б).
пример
какого-нибудь
частного
решения
дифференциального уравнения y    sin x . Обоснуйте свой ответ.
Задача 19. Изучите по учебнику Ю.В.Морозова § 7.2.1.
В таблице представлены варианты и номера заданий, которые должен решить
студент.
Вариант 1 а, л, и, м, д
Вариант 6
е, г, б, и, к
б, м, к, з, е
Вариант 7
ж, д, в, а, л
Вариант 3 в, а, л, и, ж
Вариант 8
з, е, г, б, м
Вариант 4
г, б, м, к, з
Вариант 9
и, ж, д, в, а
Вариант 5
д, в, а, л, и
Вариант 10
к, з, е, г, б
Вариант 2
Найти общие решения для следующих дифференциальных уравнений:
у  х  у ;
ж)
б) у  х  у ;
з)
а)
2
в)
у 1
 ;
х у
г) у 
д)
х  у;
у
 у;
х
у  х 3  у
у  sin 2 х  у
1

у

y

и)
x
к)
л)
у  y 2  sin x
у
1

y cos 2 x
е)
у  сos х  у ;
2
м)
у  х 3 
1
y
Задача 20. Изучите по учебнику Ю.В.Морозова [1] § 7.3.3.
В таблице представлены варианты и номера заданий, которые должен решить
студент.
Вариант 1
а, л, з, м, д
Вариант 6
е, г, б, и, к
Вариант 2
б, м, к, з, е
Вариант 7
ж, д, в, а, л
Вариант 3 в, а, л, и, ж
Вариант 8
з, е, г, б, м
Вариант 4
г, б, м, к, з
Вариант 9
и, ж, д, в, а
Вариант 5
д, в, а, л, и
Вариант 10
к, з, е, г, б
Найти общие решения для следующих дифференциальных уравнений:
а) у   6 у   25 у  0 ;
ж)
у  8 у  25 у  0 ;
у  5 у  6 у  0 ;
ж)
у  3 у  2 у  0 ;
в) у  4 у  4 у  0 ;
и)
у  6 у  9 у  0 ;
б)
у  5 у  6 у  0 ;
к)
у  8 у  25 у  0
д) у  4 у  4 у  0 ;
л)
у  6 у  9 у  0
е) у  6 у  25 у  0 ;
м)
у  8 у  20 у  0
г)
Задача 21. Формулируется одинаково во всех вариантах.
Изучите по учебнику Ю.В.Морозова [1] пример 7.2 стр.91-92. Решите задачи.
21а). Скорость уменьшения массы лекарственного препарата в крови в
любой момент времени прямо пропорциональна массе этого препарата
(коэффициент пропорциональности известен и равен "к"). Найти закон
зависимость массы препарата от времени, если масса в момент начала
наблюдения равна m0 .
21б). Тело массы 1 кг, прикрепленное к пружине с коэффициентом жесткости
к  25
r 6
Н
, совершает колебания в среде с коэффициентом сопротивления
м
кг
. Записать дифференциальное уравнение затухающих колебаний и
с
его решение.
Задача 22. Формулируется одинаково во всех вариантах.
Изучите по учебнику Ю.В.Морозова [1] § 8.1.1. Ответьте на вопросы.
Что
называется
случайным
событием?
Приведите
примеры.
Дайте
определения и приведите примеры (отличные от примеров, приведенных в
учебнике) противоположных, а также совместных и несовместных событий.
Что такое достоверные и невозможные события? Привести примеры. Что
такое элементарные события?
Задача 23. Изучите по учебнику Ю.В.Морозова §§ 8.1.2, 8.1.3, 8.14. Решите
задачи.
23а). Формулируется одинаково во всех вариантах.
При стрельбе из винтовки относительная частота попадания в цель равна
0.85. Определить число попаданий, если было произведено 120 выстрелов.
23б). В таблице представлены варианты и номера заданий, которые должен
решить студент.
Вариант 1
, 
Вариант 6
, V
Вариант 2
, V
Вариант 7
, V
Вариант 3
, V
Вариант 8
, 
Вариант 4
, V
Вариант 9
V, V
Вариант 5
, V
Вариант 10
, 
В группе из 30 студентов на контрольной работе были получены следующие
оценки:
) "отлично" - 8 человек, "хорошо" - 12, "удовлетворительно" - 9, остальные
получили "неудовлетворительно";
) отлично" - 10 человек, "хорошо" - 2, "удовлетворительно" - 5, остальные
получили "неудовлетворительно";
) отлично" - 5 человек, "хорошо" - 10, "удовлетворительно" - 6, остальные
получили "неудовлетворительно";
V) отлично" - 12 человек, "хорошо" - 12, "удовлетворительно" - 3, остальные
получили "неудовлетворительно";
V) отлично" - 6 человек, "хорошо" - 5, "удовлетворительно" - 4, остальные
получили "неудовлетворительно";
Какова вероятность того, что наугад выбранный студент имеет оценку: а)
"отлично"; б) "хорошо"; в) "удовлетворительно"; г) "неудовлетворительно"?
Задача 24. Формулируется одинаково во всех вариантах.
Изучите по учебнику Ю.В.Морозова [1] § 8.1.5. Решите задачу.
В денежно-вещевой лотерее на каждую тысячу билетов разыгрывается 100
вещевых и 50 денежных выигрышей. Чему равна вероятность выигрыша денежного или вещевого - для владельца одного лотерейного билета?
Задача 25. Изучите по учебнику Ю.В.Морозова [1] § 8.1.5. Решите задачи.
25а). Формулируется одинаково во всех вариантах.
Вероятность того, что при независимом осмотре больного первый врач
допустит ошибку - 0.01, второй - 0.02, третий - 0.015. Какова вероятность
того, что ни один из врачей не допустит ошибки?
25б). В таблице представлены варианты и номера заданий, которые должен
решить студент.
Вариант 1
, 
Вариант 6
, V
Вариант 2
, V
Вариант 7
, V
Вариант 3
, V
Вариант 8
, 
Вариант 4
, V
Вариант 9
V, V
Вариант 5
, V
Вариант 10
, 
В урне m белых и n черных шаров. Из нее извлекают подряд 2 шара. Какова
вероятность того, что оба шара белые, если шары обратно не возвращаются и
при первом извлечении появился белый шар?
) m = 5, n = 3;
V) m = 6, n = 2;
) m = 4, n = 6;
V) m = 6, n = 4;
) m = 3; n = 8;
Задача 26. Изучите по учебнику Ю.В.Морозова § 8.1.6. Решите задачу.
В таблице представлены варианты и номера заданий, которые должен решить
студент.
Вариант 1
а, д
Вариант 6
б, а
Вариант 2
Б, е
Вариант 7
д, в
Вариант 3
в, ж
Вариант 8
а, г,
Вариант 4
г, б,
Вариант 9
ж, е,
Вариант 5
д, ж
Вариант 10
а, е,
В семье шестеро детей. Считая вероятности рождения мальчика и девочки
одинаковыми и равными 0.5, найти вероятность того, что в семье:
а) 3 мальчика;
д) 2 мальчика;
б) 4 мальчика;
е) 6 мальчиков;
в) 5 мальчиков;
ж) нет мальчиков.
г) 1 мальчик;
Задача 27(а). Формулируется одинаково во всех вариантах.
Изучите по учебнику Ю.В.Морозова [1] §§ 8.2.1. - 8.2.3. Решите задачу.
В денежной лотерее выпущено 1000 билетов. Разыгрывается 1 выигрыш в
1000 руб., 3 выигрыша по 500 руб., 8 выигрышей по 400 руб., 8 выигрышей
по 100 руб. Записать закон распределения стоимости выигрыша для
владельца одного билета. Найти математическое ожидание, дисперсию и
среднеквадратическое отклонение для данной случайной величины.
Задача 27(б). Решить задачу, используя формулу Бейеса
P H i D  
P H i   P D H i 
n
 P H   P D H 
i 1
i
,
i
где вероятность гипотезы PHi D вычисляется с помощью
вероятности события D, произошедшего при условии состоявшегося события
Hi -- P( D H i ) и полной вероятности появления события D:
Вариант 1
а, б
Вариант 6
Вариант 2
Вариант 7
Вариант 3
Вариант 8
Вариант 4
Вариант 9
Вариант 5
Вариант 10
в, г
а). Комиссия проверяет работу служащих трех отделов. В первом отделе
работают А штатных и В нештатных служащих, во втором — С штатных и D
нештатных, в третьем - только штатные. Из выбранного наудачу отдела
также наудачу выбирается штатный служащий. Какова вероятность того, что
он из первого отдела?
б). Три участника конкурса отвечают на вопросы. Вероятность того, что
первый участник знает ответ равна 0.75, второй — 0.8, третий — 0.9.
Получен правильный ответ только от одного участника. Определить
вероятность того, что правильно ответил на вопрос второй участник?
в). Радист дважды вызывает своего корреспондента. Вероятность того,
что будет принят первый вызов равна 0.2, второй — 0.3. События,
состоящие в том, что вызовы будут услышаны, независимы. Найти
вероятность того, что услышанный вызов был тот, что отправлен первым?
г). Прибор состоит из 5 узлов. Надежности (вероятности безотказной работы
в течение дня) для каждого узла равна : Р1 , Р2 , Р3 , Р4  Р5  РА . Узлы выходят из
строя независимо один от другого. В понедельник отказал один узел. Найти
вероятность того, что отказавший узел это узел с номером 3?
Задача 28. Формулируется одинаково во всех вариантах.
Изучите по учебнику Ю.В.Морозова [1] § 8.2.4.
Построить график функции распределения для случайной величины,
обсуждаемой в задаче 25.
Задача 29. Изучите по учебнику Ю.В.Морозова [1] § 8.2.4. Решите задачу.
Функция
распределения
непрерывной
случайной
величины
задана
следующим образом:
х0
 0, при
1
F ( x)   х, при 0  x  4
4
х  4.
 1, при
Найти вероятность попадания случайной величины х в заданный интервал.
Вариант 1.
0  x  0.5 .
Вариант 6.  4  x  4 .
Вариант 2.  3  x  3 .
Вариант 7.
2  x  4.
Вариант 3.  2  x  3 .
Вариант 8.
3  x  4.
Вариант 4.  5  x  2 .
Вариант 9.
3 x 5.
Вариант 5.  1  x  1 .
Функция
распределения
Вариант 10.
во
всех
вариантах
3 x  6.
одинакова.
Вероятность
попадания случайной величины в интервал следует находить в соответствии
с номером варианта.
Задача 30. Изучите по учебнику Ю.В.Морозова [1] § 8.2.4. Решите задачу.
В таблице представлены варианты и номера заданий, которые должен решить
студент.
Вариант 1
а
Вариант 6
а
Вариант 2
б
Вариант 7
б
Вариант 3
в
Вариант 8
в
Вариант 4
г
Вариант 9
г
Вариант 5
д
Вариант 10
д
Задана функция распределения непрерывной случайной величины:
х0
 0, при
1
а) F ( x)   4 х, при 0  x  4

х  4.
 1, при
х0
 0, при
2
 х
F
(
x
)

 , при 0  x  2
б)
4
х  2.
 1, при
в)
х0
 0, при
3
 х
F ( x)   , при 0  x  2
8
х  2.
 1, при
х0
 0, при

г) F ( x)   х , при 0  x  1
 1, при
х  1.

х 1
 0, при

д) F ( x)  nх, при 1  x  e
 1, при
х  e.

e  2.71
Найти и построить график функции плотности распределения вероятностей.
Задача 31. Изучите по учебнику Ю.В.Морозова [1] §§ 8.2.6. - 8.2.7.
Выполните задание.
В таблице представлены варианты и номера заданий, которые должен решить
студент.
Вариант 1
а, е
Вариант 6
б, з
Вариант 2
б, ж
Вариант 7
д, а
Вариант 3
в, и
Вариант 8
г, к
Вариант 4
г, з
Вариант 9
ж, в
Вариант 5
д, к
Вариант 10
е, и
Постройте графики функции плотности вероятности случайной величины,
распределенной по нормальному закону, характеризуемому следующими
параметрами:
а)   0
  1;
е)   3
  1;
б)   1
  1;
ж)   3
  2;
в)   1
  2;
з)   0
  2;
г)   2
  1;
и)   4
  1;
д)   2
  2;
к)   4
  2;
Чему должна быть равна площадь под графиками каждой из двух функций,
рассчитанная для интервала    x   ? Ответ обосновать в соответствии
со свойствами функции плотности распределения вероятности.
Задача 32. Изучите по учебнику Ю.В.Морозова [1] § 8.2.7. Выполните
задание.
В таблице представлены варианты и номера заданий, которые должен решить
студент.
Найти
Вариант 1
а, е
Вариант 6
б, з
Вариант 2
б, ж
Вариант 7
д, а
Вариант 3
в, и
Вариант 8
г, к
Вариант 4
г, з
Вариант 9
ж, в
Вариант 5
д, к
Вариант 10
е, и
вероятность
попадания
нормально
распределенной
случайной
величины в заданный интервал:
а)  1  x  1 , если
 0
  1;
б)  1  x  1 , если
 1
  1;
в)  3  x  5 , если
 1
  2;
г) 1  x  3 , если
2
  1;
д)  2  x  6 , если
2
  2;
е) 1  x  5 , если
 3
  1;
ж)  1  x  7 , если
 3
  2;
з)  6  x  6 , если
 0
  2;
и) 2  x  6 , если
4
  1;
к) 0  x  8 , если
4
  2;
Заштрихуйте соответствующие полученным вероятностям площади под
графиками функций плотности распределения вероятности, построенными
Вами в предыдущей задаче.
Задача 33. Формулируется одинаково во всех вариантах.
Изучите по учебнику Ю.В.Морозова [1] § 8.2.7.
Сформулируйте правило "трех сигм". Используя формулу вероятности
попадания нормально распределенной случайной величины в заданный
интервал, найдите эту вероятность для интервала (   3 ;   3 ).