ЕН.Ф. 1.3. Дискретная математика

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Дальневосточный федеральный университет»
(ДВФУ)
ФИЛИАЛ ДВФУ В Г. ПЕТРОПАВЛОВСКЕ-КАМЧАТСКОМ
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ
По дисциплине «Дискретная математика»
Специальность 080801.65 Прикладная информатика (по областям)
Форма подготовки (очная)
курс 3 семестр 5
лекции 36 (час.)
практические занятия 36
час.
всего часов аудиторной нагрузки 72(час.)
самостоятельная работа 128 (час.)
экзамен
5
семестр
Учебно-методический комплекс составлен в соответствии с требованиями
государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования
№52 мжд/сп от 14.03.2000 г.
Учебно-методический комплекс дисциплины обсужден на заседании Методической
комиссии 01.09.2011 г.
Зам. председателя Методической комиссии: М.В. Пророченко 01.09.2011 г.
Составитель (ли): к.ф-м.н., доцент Паровик Р.И.
Аннотация
Настоящий учебно-методический комплекс дисциплины (УМКД) разработан в соответствии Государственным образовательным стандартом и рабочей учебной программой дисциплины.
Учебно-методический комплекс представляет собой комплект разнообразных нормативных, учебно-методических, информационных и контролирующих материалов по дисциплине.
УМКД создается для повышения эффективности самостоятельной работы студентов, качества подготовки специалистов в системе университетского
образования, активного использования в учебном процессе современных педагогических технологий.
УМКД вводится в учебный процесс для решения следующих задач:
- освоение студентом в режиме самостоятельной работы дисциплины при
участии преподавателя в качестве консультанта;
- систематизация учебной работы студента в течение семестров; развитие мотивации обучения у студента; привитие студенту навыков совершенствования и самообразования;
- вовлечение студента в качестве активного участника в открытую креативную образовательную среду; адаптация студента к условиям деятельности в
информационном обществе.
Учебно-методический комплекс включает в себя:
- аннотацию;
- рабочую программу дисциплины;
- конспекты лекций;
- материалы для практических занятий
- материалы для организации самостоятельной работы студентов
- контрольно-измерительные материалы;
- список литературы;
-
глоссарий.
Стр. 2 из 68
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Дальневосточный федеральный университет»
(ДВФУ)
ФИЛИАЛ ДВФУ В Г. ПЕТРОПАВЛОВСКЕ-КАМЧАТСКОМ
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ (РПУД)
По дисциплине «Дискретная математика»
Специальность 080801.65 Прикладная информатика (по областям)
Форма подготовки (очная)
курс 3 семестр 5
лекции 36 (час.)
практические занятия 36
час.
всего часов аудиторной нагрузки 72(час.)
самостоятельная работа 128 (час.)
экзамен
5
семестр
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями государственного образовательного
стандарта высшего профессионального образования №52 мжд/сп от 14.03.2000 г.
Рабочая программа обсуждена на заседании Методической комиссии 01.09.2011 г.
Зам. председателя Методической комиссии: М.В. Пророченко 01.09.2011 г.
Составитель (ли): к.ф-м.н., доцент Паровик Р.И.
Стр. 3 из 68
I. Рабочая программа пересмотрена на заседании Методической комиссии:
Протокол от «_____» _________________ 20___ г. № ______
Председатель комиссии_______________________ __________________
(подпись)
(И.О. Фамилия)
II. Рабочая программа пересмотрена на заседании Методической комиссии:
Протокол от «_____» _________________ 20___ г. № ______
Председатель комиссии_______________________ __________________
(подпись)
(И.О. Фамилия)
Стр. 4 из 68
Выписка из Государственного образовательного стандарта
ЕН.Ф.01 МАТЕМАТИКА
Алгебра и геометрия: алгебраические структуры, векторные пространства, линейные отображения; аналитическая геометрия, многомерная геометрия кривых и поверхностей;
Математический анализ: дифференциальное и интегральное исчисления; экстремумы функций; аналитическая геометрия и линейная
алгебра; последовательности и ряды; векторный анализ и элементы
теории поля; дифференциальные уравнения; численные методы.
Дискретная математика: логические исчисления, графы, комбинаторика.
Элементы теории нечетких множеств. Нечеткие алгоритмы.
Теория неопределенности.
Стр. 5 из 68
1. Пояснительная записка
По дисциплине «Дискретная математика» относится к быстро и интенсивно развивающейся ветви современной науки. Это объясняется возросшей
в настоящее время ролью дискретной математики в таких вопросах, как проектирование вычислительной техники и автоматических комплексов, программирование и информатика. Материал дисциплины является теоретической основой исследовательской деятельности в областях, использующих
методы прикладной математики и компьютерные технологии. Полноценное
развитие мышления современного специалиста невозможно без формирования логической культуры, и раздел «Логические исчисления» является одним
из основных в дисциплине «По дисциплине «Дискретная математика»».
Целью курса является обеспечение высокого уровня профессиональных
знаний и умений прикладного математика, системного программиста.
Овладение курсом обеспечивает профессиональные знания и умения,
необходимые для грамотного и творческого решения задач, связанных с созданием и использованием математических моделей и процессов, с разработкой и применением современных математических методов.
НАЧАЛЬНЫЕ ТРЕБОВАНИЯ К ОСВОЕНИЮ СОДЕРЖАНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
(ПЕРЕЧЕНЬ ПРЕДШЕСТВУЮЩИХ ДИСЦИПЛИН, РАЗДЕЛОВ ИХ)
Начальные требования к освоению дисциплины. Изучение дисциплины
«По дисциплине «Дискретная математика»» специальности «Прикладная
информатика (в экономике)» начинается со второго семестра первого курса
и начальным требованием к освоению курса «математика» является предшествующий уровень образования абитуриента, т.е. среднее (полное) общее
образование и лишь частично некоторый материал из вузовского курса «Математика».
Требования к уровню освоения содержания дисциплины (перечень предшествующих дисциплин, разделов их). Полное владение школьным курсом
Стр. 6 из 68
математики (в частности курсом «Алгебра и начала анализа») не является необходимым условием для изучения дисциплины «По дисциплине «Дискретная математика»»: основные разделы курса дискретной математики не отражены в нормативном школьном курсе математики.
ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ОСВОЕНИЯ СОДЕРЖАНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
В результате теоретического изучения дисциплины студент должен
знать:
- элементы алгебры логики высказываний;
- определения логических операции;
- определение логических операций;
- определение основных операций над множествами;
- основные способы задания множеств; операции над множествами;
- определение операций над множествами;
- определение декартова произведения множеств;
- основные элементы комбинаторики;
- определение декартова произведения множеств;
- основные формулы комбинаторики;
- свойства бинарных отношений;
- определение операций над множествами;
- определение декартова произведения множеств;
- основные формулы комбинаторики;
- свойства бинарных отношений;
- определение вершины графа;
- определение ориентированного графа - определение полного пути;
- определение вершин и ребер графа;
- определение матрицы смежности;
- свойства алгебраических операций, заданных на числовом множестве определение ориентированного графа - определение полного пути;
Стр. 7 из 68
- понятия необходимого и достаточного условия;
- определение и принцип двойственной функции, основные эквивалентности функции алгебры логики;
- понятие упорядоченные множества;
- понятие упорядоченные кольца и поля;
- понятие решётки и булевой решётки;
- свойства решёток и булевых решёток;
- свойства булевых колец;
- теорему Стоуна о связи между булевыми решетками и булевыми
кольцами;
- теорему о строении конечных булевых колец;
- понятие алгебры высказываний;
- логические операции над высказываниями;
- таблицы истинности;
- понятие равносильности формул;
- законы логики высказываний;
- понятие логического следствие;
- понятие нормальной формы и совершенной нормальной формы;
- Определяющие тождества алгебры высказываний;
- понятие булевой функции;
- понятие полной и неполной систем булевых функций;
- понятие полинома Жегалкина;
- предполные классы Поста
- критерий полноты системы булевых функций (теорему Поста);
- особенности реализации функций алгебры логики с помощью релейно-контактных схем;
- способы построения релейно-контактных схем по заданным условиям;
- понятие об аксиоматической теории;
Стр. 8 из 68
- понятие непротиворечивости, полноты, независимости, категоричности и разрешимости теории;
- аксиомы и правила вывода исчисления высказываний;
- примеры доказательств в исчислении высказываний;
- теорему о дедукции (теорему Эрбрана) и ее применения;
- лемму о замене;
- теорему адекватности (теорему Кальмара) и ее применения;
- производные правила вывода;
- свойства исчисления высказываний;
- понятие предиката и множества истинности предиката;
- понятие квантора;
- понятие формулы алгебры предикатов;
- применение алгебры предикатов для записи математических предложений;
- понятие выполнимости и общезначимости формул логики предикатов;
- понятие равносильности формул алгебры предикатов;
- понятие нормальной пренексной формы;
- проблему разрешимости алгебры предикатов;
- решение проблемы разрешимости для формул, содержащих только
одноместные предикаты, и для формул содержащих только кванторы общности или только кванторы существования;
- понятие исчисления предикатов;
- примеры элементарных теорий;
- понятие формальной арифметики;
- теорему Гёделя о неполноте арифметики;
- понятие алгебры графов;
- понятие изоморфизма графов и операций над графами;
- понятие подграфа;
- понятие степени вершины графа;
Стр. 9 из 68
- метрические характеристики графа;
- способы представления графов;
- представление графа в трехмерном пространстве;
- понятие матрицы смежности графа;
- понятие ранга матрицы смежности;
- подобие матриц смежности изоморфных графов;
- характеристический многочлен и спектр графа;
- понятие матрицы инцидентности графа;
- понятия пути, цепи, простой цепи, цикла, простого цикла;
- понятие связного графа;
- понятие компоненты связности графа;
- понятие дерева;
- кодировку деревьев и построение дерева по коду;
- понятия эйлерова и гамильтонова графов;
- понятие цикломатического числа графа;
- понятие планарного и цветного графов;
- теорему Эйлера и ее следствия;
- непланарность графов K5 и K3,3;
- теорему Куратовского-Понтрягина;
- понятие раскраски ребер и вершин графа;
- понятие цветного графа Кэли конечной группы;
- понятие сопряженного графы;
- понятие раскраски граней плоского графа;
- понятие о хроматическом числе графа;
- теорему Эйлера о пяти красках;
- понятие о потоках в сетях;
- теорему о существовании максимального потока;
- понятие о разрезе и пропускной способности разреза;
- алгоритм нахождения максимального потока в сети;
- теорему Форда-Фалкерсона о максимальном потоке;
Стр. 10 из 68
- способ нахождение кратчайшего пути между двумя вершинами графа;
- алгоритм построения минимального покрывающего дерева;
- алгоритм получения правильной нумерации вершин;
- понятие о задачах сетевого планирования.
- понятие о вычислимой функции;
- свойства алгебры вычислимых функций;
- понятие об операторах суперпозиции, примитивной рекурсии и минимизации;
- понятие о рекурсивных и рекурсивно перечислимых множествах;
- теорему Поста о рекурсивной перечислимости;
- примеры рекурсивно перечислимых, но не рекурсивных множеств.
- понятие рекурсивные примитивно рекурсивных, частично рекурсивных и общерекурсивных функций;
- пример общерекурсивной, но не примитивно рекурсивной функции;
- тезис Черча
- понятие машины Тьюринга;
- примеры функций, вычислимых по Тьюрингу;
- о неразрешимости проблемы самоприменимости;
- Примеры конкретных алгоритмически неразрешимых проблем;
- теорему о неразрешимости проблемы распознавания тождественно
истинных формул исчисления предикатов;
- понятие формальной грамматики;
- понятие автоматной грамматика;
- понятие дерева составляющих и дерева синтаксического подчинения;
- понятие условие проективности;
- понятие аналитической модели языка;
- понятие порождающей грамматики;
- понятие вывода, выводимости сложности вывода;
Стр. 11 из 68
- понятие бесконтекстной и автоматной грамматик;
- понятие доминационной и трансформационной грамматик;
- понятие конечного автомата;
- понятие полигона над полугруппой;
- понятие автоматной функции; состояния автомата; эквивалентности
состояний;
- теорему об эквивалентности состояний конечного автомата;
- понятие о преобразовании автоматными функциями периодических
последовательностей;
- понятие схемы из логических элементов и элементов задержки;
- понятие о реализации автоматных функций.
- понятие о комбинаторных конфигурациях;
- комбинаторные задачи выбора и расположения элементов конечного множества;
- понятие Выборки, перестановки, сочетания, перестановки с повторениями; сочетания с повторениями;
- биномиальные коэффициенты, их свойства; биномиальная теорема;
полиномиальная теорема;
- формулу включения и исключения;
- понятие производящий функции;
- понятие рекуррентного соотношения;
- свойства линейных отображений конечных векторных пространств;
- понятие нормы и расстояния Хэмминга;
- основные понятия теории кодирования;
- способы обнаружения и исправления ошибок кодирования;
- понятие линейного кода;
- понятие порождающей и проверяющей матриц линейного кода;
- понятие и свойства циклического кода
В результате практического изучения дисциплины студент должен
уметь:
Стр. 12 из 68
- записывать высказывания на языке алгебры логики
- составлять таблицу истинности для операций над высказываниями
- составлять таблицу истинности для формулы алгебры логики
- выполнять операции над конечными множествами
- устанавливать способ задания множеств;
- находить результат операций над конечными множествами, заданными перечислением;
-
выполнять операции над конечными числовыми множествами;
- находить декартово произведение множеств;
- находить число перестановок конечного множества;
- находить декартово произведение множеств;
- решать простейшие комбинаторные задачи;
- определять свойства бинарных отношений;
- выполнять операции над числовыми множествами;
- находить декартово произведение множеств;
- решать простейшие комбинаторные задачи;
- определять свойства бинарных отношений;
- по заданному графу находить количество его вершин;
- выделять полные пути ориентированного графа;
- по заданным вершинам и отношению инцидентности ребер и вершин представлять граф в виде геометрических объектов
- строить матрицу смежности
- определять обладают ли алгебраические операции соответствующими свойствами;
- определять необходимость и достаточность условий в формулировках утверждений;
-
по определению или принципу двойственности находить двойстве
иную функцию
- применять понятие упорядоченные множества;
- применять понятие упорядоченные кольца и поля;
Стр. 13 из 68
- применять понятие решётки и булевой решётки;
- применять свойства решёток и булевых решёток;
- применять свойства булевых колец;
- применять теорему Стоуна о связи между булевыми решетками и
булевыми кольцами;
- применять теорему о строении конечных булевых колец;
- применять понятия алгебры высказываний;
- применять логические операции над высказываниями;
- применять таблицы истинности;
- применять понятие равносильности формул;
- применять законы логики высказываний;
- применять понятие логического следствие;
- применять понятие нормальной формы и совершенной нормальной
формы;
- применять определяющие тождества алгебры высказываний;
- применять понятие булевой функции;
- применять понятие полной и неполной систем булевых функций;
- применять понятие полинома Жегалкина;
- применять предполные классы Поста
- применять критерий полноты системы булевых функций (теорему
Поста);
- применять функции алгебры логики для построения
релейно-
контактных схем;
- применять понятия непротиворечивости, полноты, независимости,
категоричности и разрешимости теории;
- применять аксиомы и правила вывода исчисления высказываний;
- находить доказательства формул исчисления высказываний;
- применять теорему о дедукции (теорему Эрбрана);
- и ее применения теорему адекватности (теорему Кальмара);
- применять производные правила вывода;
Стр. 14 из 68
- применять свойства исчисления высказываний;
- применять понятие предиката и множества истинности предиката;
- применять понятие квантора;
- применять формулы алгебры предикатов;
- применять алгебру предикатов для записи математических предложений;
- применять понятие выполнимости и общезначимости формул логики предикатов;
- применять понятие равносильности формул алгебры предикатов;
- применять понятие нормальной пренексной формы;
- применять решение проблемы разрешимости для формул, содержащих только одноместные предикаты, и для формул содержащих только кванторы общности или только кванторы существования;
- применять теорему Гёделя о неполноте арифметики;
- применять понятия алгебры графов;
- применять понятие изоморфизма графов и операций над графами;
- применять понятие подграфа;
- применять понятие степени вершины графа;
- применять метрические характеристики графа;
- применять способы представления графов;
- применять представление графа в трехмерном пространстве;
- применять понятие матрицы смежности графа;
- применять понятие ранга матрицы смежности;
- применять подобие матриц смежности изоморфных графов;
- применять характеристический многочлен и спектр графа;
- применять матрицу инцидентности графа;
- применять понятия пути, цепи, простой цепи, цикла, простого цикла;
- применять понятие связного графа;
- применять понятие компоненты связности графа;
Стр. 15 из 68
- применять понятие дерева;
- применять кодировку деревьев и построение дерева по коду;
- применять понятия эйлерова и гамильтонова графов;
- применять понятие цикломатического числа графа;
- применять понятие планарного и цветного графов;
- применять теорему Эйлера и ее следствия;
- применять непланарность графов K5 и K3,3;
- применять теорему Куратовского-Понтрягина;
- применять раскраску ребер и вершин графа;
- понятие цветного графа Кэли конечной группы;
- применять раскраску граней плоского графа;
- применять понятие о хроматическом числе графа;
- применять теорему Эйлера о пяти красках;
- применять понятие о потоках в сетях;
- применять теорему о существовании максимального потока;
- применять понятие о разрезе и пропускной способности разреза;
- алгоритм нахождения максимального потока в сети;
- применять теорему Форда-Фалкерсона о максимальном потоке;
- применять способ нахождение кратчайшего пути между двумя вершинами графа;
- применять алгоритм построения минимального покрывающего дерева;
- применять алгоритм получения правильной нумерации вершин;
- применять понятие о вычислимой функции;
- применять свойства алгебры вычислимых функций;
- применять понятие об операторах суперпозиции, примитивной рекурсии и минимизации;
- применять понятие о рекурсивных и рекурсивно перечислимых
множествах;
- применять теорему Поста о рекурсивной перечислимости;
Стр. 16 из 68
- применять рекурсивно перечислимые, но не рекурсивные множества;
- применять понятие рекурсивные примитивно рекурсивных, частично рекурсивных и общерекурсивных функций;
- применять пример общерекурсивной, но не примитивно рекурсивной функции;
- применять тезис Черча
- применять машину Тьюринга;
- примеры функций, вычислимых по Тьюрингу;
- применять неразрешимость проблемы самоприменимости;
- применять теорему о неразрешимости проблемы распознавания
тождественно истинных формул исчисления предикатов;
- применять понятие формальной грамматики;
- применять понятие автоматной грамматика;
- применять понятие дерева составляющих и дерева синтаксического
подчинения;
- применять понятие условие проективности;
- применять понятие аналитической модели языка;
- применять понятие порождающей грамматики;
- применять комбинаторные конфигурации;
- применять комбинаторные задачи выбора и расположения элементов конечного множества;
- применять формулу включения и исключения;
- применять понятие производящий функции;
- применять понятие рекуррентного соотношения;
- применять свойства линейных отображений конечных векторных
пространств;
- применять норму и расстояние Хэмминга;
- применять основные понятия теории кодирования;
Стр. 17 из 68
- применять пособы обнаружения и исправления ошибок кодирования;
- применять понятие линейного кода;
- применять понятие порождающей и проверяющей матриц линейного кода;
- применять понятие и свойства циклического кода
2. Структура и содержание дисциплины
№
Наименование разделов и тем
Всего
Лекций
ПЗ
СР
2
2
6
2
2
6
2
2
8
аудиторных
часов
РАЗДЕЛ I. АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙ
1.
Алгебра высказываний. Понятие об алгебре как множестве с операциями.
Примеры алгебр и алгебраических систем. Логические операции над высказываниями.
Равносильность
формул.
Основные равносильности алгебры высказываний. Законы логики высказываний.
2.
Логическое следствие. Связь следствия
и равносильности. Нормальные формы.
Совершенные
нормальные
формы.
Определяющие тождества алгебры высказываний.
3.
Булевы функции. Полиномы Жегалкина.
Самодвойственные и линейные функции.
Монотонные
и
немонотонные
функции. Теорема Поста. Предполные
Стр. 18 из 68
№
Наименование разделов и тем
Всего
Лекций
ПЗ
СР
аудиторных
часов
классы булевых функций.
ВСЕГО ПО РАЗДЕЛУ
РАЗДЕЛ
II.
ЭЛЕМЕНТЫ
6
6
20
ИСЧИСЛЕНИЯ
ВЫСКАЗЫВАНИЙ
4.
Логические
исчисления.
Исчисление
2
2
6
2
2
6
2
2
8
высказываний. Понятие об аксиоматической теории. Построение теории. Понятие непротиворечивости, полноты, независимости, категоричности и разрешимости теории.
5.
Аксиомы и правила вывода исчисления
высказываний. Теорема дедукции и ее
применение. Производные правила вывода
6.
Теорема адекватности Кальмара
и ее
применение. Лемма о замене.
Непротиворечивость, полнота в широком смысле и в смысле Поста. Разрешимость исчисления высказываний.
ВСЕГО ПО РАЗДЕЛУ
6
6
20
РАЗДЕЛ III АЛГЕБРА ПРЕДИКАТОВ
7.
Предикаты и операции на множестве.
2
2
6
2
2
6
Сигнатура алгебры. Множество истинности предиката.
8.
Кванторы. Формулы алгебры предика-
Стр. 19 из 68
№
Наименование разделов и тем
Всего
Лекций
ПЗ
СР
2
2
8
аудиторных
часов
тов. Свободные и связанные переменные. Применение алгебры предикатов
для записи математических предложений.
9.
Выполнимость и общезначимость формул логики предикатов. Равносильные
формулы алгебры предикатов. Равносильные преобразования формул. Нормальные пренексные формы. Проблема
разрешимости для алгебры предикатов.
ВСЕГО ПО РАЗДЕЛУ
6
6
20
РАЗДЕЛ IV. ТЕОРИЯ ГРАФОВ
10.
Графы. Основные понятия теории гра-
2
2
6
2
2
6
2
2
8
фов. Изоморфизм графов и операции над
графами. Подграф.
11.
Планарные и плоские графы Теорема
Эйлера и ее следствия. Непланарность
графов K5 и K3,3.
12.
Раскраска вершин и ребер графа. Раскрашиваемость вершин планарного графа пятью красками. Гипотеза четырех
красок.
ВСЕГО ПО РАЗДЕЛУ
6
6
20
РАЗДЕЛ V. КОМБИНАТОРИКА
Стр. 20 из 68
№
Наименование разделов и тем
Всего
Лекций
ПЗ
СР
2
2
6
2
2
6
2
2
8
аудиторных
часов
13.
Комбинаторика. Комбинаторные задачи выбора и расположения элементов
конечного множества.
14.
Формулы пересчёта числа комбинаторных конфигураций. Биномиальные коэффициенты.
15.
Алгебра кодов. Расстояние Хэмминга.
Линейные коды. Циклические коды
ВСЕГО ПО РАЗДЕЛУ
6
6
20
РАЗДЕЛ VI. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ НЕЧЕТКИХ
МНОЖЕСТВ
16.
Элементы
теории
нечетких
2
2
8
2
2
10
2
2
10
мно-
жеств. Нечеткие множества, нечеткие
отношения, нечеткие выводы.
17.
Нечеткие выводы и алгоритмы, нечеткий регулятор, методы нечеткой логики.
18.
Четкие и нечеткие алгоритмы. Теория
неопределенности.
19.
ВСЕГО ПО РАЗДЕЛУ
6
6
28
20.
ИТОГО
36
36
128
Стр. 21 из 68
2.1.СОДЕРЖАНИЕ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ
№ пп
Номер раз-
Наименование практического занятия
дела
1.
1.
Алгебра высказываний.
2.
2.
Нормальные формы.
3.
3.
Законы логики
4.
4.
Булевы функции.
5.
5.
Предполные классы булевых функций.
6.
6.
Релейно-контактные схемы.
7.
7.
Исчисление высказываний
8.
8.
Теорема адекватности
9.
9.
Предикаты и операции на множестве.
10.
10.
Формулы алгебры предикатов.
11.
11.
Выполнимость и общезначимость формул логики предикатов.
12.
12.
Логические аксиомы и правила вывода АП.
13.
13.
Основные понятия теории графов.
14.
14.
Степень вершины графа.
15.
15.
Планарные и плоские графы.
16.
16.
Раскраска вершин и ребер графа.
17.
17.
Комбинаторные конфигурации.
18.
18.
Комбинаторные задачи выбора и расположения элементов конечного множества.
3. Материал для самостоятельной работы
Самостоятельная работа студентов предполагает проработку лекционного материала, подготовку к практическим занятиям, углубленное изучение теоретического материала по актуальным вопросам дисциплины с помощью учебной и научной литературы, нормативно-технических документов, законодательства РФ. Самостоятельно изученные материалы
оформляются в виде рефератов, докладов, контрольных и научных работ,
Стр. 22 из 68
которые обсуждаются на практических занятиях. Подготовку к итоговому
контролю.
4. Материал для подготовки к экзамену
Вопросы для подготовки к экзамену
1. Алгебра высказываний. Понятие об алгебре как множестве с операциями.
Примеры алгебр и алгебраических систем.
2. Логические операции над высказываниями. Таблицы истинности. Правильно построенные формулы алгебры высказываний.
3. Равносильность формул. Основные равносильности алгебры высказываний.
4. Законы логики высказываний. Определяющие тождества алгебры высказываний.
5. Логическое следствие. Связь следствия и равносильности.
6. Нормальные формы. Совершенные нормальные формы.
7. Булевы функции. Число булевых функций от n переменных.
8. Конъюнкция, дизъюнкция и отрицание как порождающие элементы алгебры функций.
9. Принцип двойственности.
10. Булевы решетки и булевы кольца. Теорема Стоуна.
11.Прямые произведения булевых колец. Строение атомных булевых колец.
12.Полные и неполные системы булевых функций.
13.Полиномы Жегалкина.
14.Самодвойственные и линейные функции.
15.Монотонные и немонотонные функции.
16.Теорема Поста.
17.Релейно-контактные схемы.
18.Реализация функций алгебры логики с помощью релейно-контактных
схем. Анализ релейно-контактных схем.
19.Применение алгебры высказываний к теории переключательных схем.
Стр. 23 из 68
20.Построение схем по заданным условиям.
21.Исчисление высказываний. Понятие об аксиоматической теории.
22.Понятие непротиворечивости, полноты, независимости, категоричности и
разрешимости теории.
23.Аксиомы и правила вывода исчисления высказываний
24.Теорема дедукции и ее применение.
25.Примеры доказательств в исчислении высказываний.
26.Лемма о замене.
27.Теорема адекватности и ее применение.
28.Производные правила вывода.
29.Непротиворечивость, полнота в широком смысле и в смысле Поста.
30.Некатегоричность и разрешимость исчисления высказываний.
31.Независимость аксиоматики Клини исчисления высказываний.
32.Предикаты и операции на множестве. Сигнатура алгебры.
33.Множество истинности предиката. Теоретико-множественные и логические операции.
34.Кванторы. Формулы алгебры предикатов.
35.Свободные и связанные переменные. Отрицание предложений с кванторами.
36.Понятие об исчислении предикатов.
37.Выполнимость и общезначимость формул логики предикатов.
38.Равносильные формулы алгебры предикатов.
39.Равносильные преобразования формул.
40.Нормальные пренексные формы.
41.Проблема разрешимости алгебры предикатов.
42.Решение проблемы разрешимости для формул, содержащих только одноместные предикаты, и для формул содержащих только кванторы общности или только кванторы существования.
43.Аксиоматические теории. Свойства теорий.
44.Элементарные теории.
Стр. 24 из 68
45.Аксиоматика арифметики.
46.Метод математической индукции. Примеры выводимых формул
47.Категоричность содержательной арифметики.
48.Гёделевская нумерация. Теорема Гёделя о неполноте арифметики.
49.Понятие вычислимой функции, разрешимого множества.
50.Частично-рекурсивные функции, исходные функции.
51. Рекурсивные предикаты.
52.Машины Тьюринга. Операции с машинами.
53.Тезис Черча.
54.Рекурсивные
и
рекурсивно-перечислимые
множества.
Рекурсивно-
перечислимые предикаты, их свойства.
55.Нумерация. Универсальная функция. Неразрешимые алгоритмические
проблемы.
56.Бинарные отношения. Алгебра бинарных отношений.
57.Отношение эквивалентности и отношение порядка.
58.Граф бинарного отношения.
59.Основные понятия теории графов.
60.Изоморфизм графов и операции над графами.
61.Подграфы.
62.Способы задания графа.
63.Матрица смежности и матрица инцидентности графа.
64.Степень вершины графа. Теорема о сумме степеней вершин графа и ее
следствия.
65.Метрические характеристики графа.
66.Двудольные графы.
67.Путь, цепь, простая цепь, цикл, простой цикл.
68.Связные графы. Компоненты связности графа.
69.Деревья и лес.
70.Эйлеровы и гамильтоновы графы.
71.Планарные и плоские графы.
Стр. 25 из 68
72.Теорема Эйлера и ее следствия.
73.Непланарность графов K5 и K3,3.
74.Графы с цветными ребрами. Порождающие элементы алгебры.
75.Цветные графы групп.
76.Циклы графа группы и соотношения в группе.
77.Раскраска вершин и граней графа.
78.Хроматическое число графа. Критерий бихроматичности.
79.Раскрашиваемость вершин или граней планарного графа пятью красками.
Гипотеза четырех красок.
80.Потоки в сетях.
81.Величина потока и пропускная способность разреза.
82.Алгоритм построения максимального потока в сети.
83.Комбинаторные конфигурации.
84.Сочетания и размещения без повторений, перестановки.
85.Бином Ньютона.
86.Сочетания и размещения с повторениями.
87.Биноминальная формула.
88.Порождающие функции.
89.Перестановки и подстановки.
90.Свойства подстановок.
91.Четность и нечетность.
92.Симметрическая и знакопеременная группы.
93.Конечные поля и конечные векторные пространства.
94.Подпространства и линейные многообразия.
95.Линейные отображения конечного векторного пространства.
96.Расстояние Хэмминга.
97.Кодирование и декодирование.
98.Линейные коды.
99.Порождающая и проверочная матрица.
100.
Циклические коды.
Стр. 26 из 68
5. Учебно-методическое обеспечение дисциплины
5.1 Основная литература
1. Горюшкин А.П., Горюшкин В.А. Введение в математику / Учебное пособие, Изд-во ДВГТУ / ДВПИ им. В.В. Куйбышева (филиал в г. Петропавловск-Камчатский), 2008. – 312 с.
2. Горюшкин А.П., Горюшкин В.А. Математика для инженеров / Учебное
пособие, Изд-во ДВГТУ / ДВПИ им. В.В. Куйбышева (филиал в г. Петропавловск-Камчатский), 2009. – 356 с.
3. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику, М., Наука, 2011. –
298 с.
5.2. Дополнительная литература
1. Матросов В.Л., Стеценко В.А. Лекции по дискретной математике, М.,
изд-во МПГУ им. В.И. Ленина, 1997.
2. Москинова Г.И. По дисциплине «Дискретная математика». Математика
для менеджера в примерах и задачах: Учебное пособие, - М., Логос, 2002.
3. Москинова Г.И. По дисциплине «Дискретная математика». Математика
для менеджера в примерах и задачах: Учебное пособие, - М., Логос, 2002.
4. Нефедов В.Н., Осипова В.А. Курс дискретной математики, М., изд-во
МАИ, 1992.
5. Новиков Ф.А. По дисциплине «Дискретная математика» для программистов, - СПб, Питер, 2002.
6. Оре О. Теория графов, М., Наука, 1968.
7. Оре О. Теория графов, М., Наука, 1968.
8. Сачков В.Н. Введение в комбинаторные методы дискретной математики,
М., Наука, 1982.
5.3. Справочная литература
1.
Акимов О.Е. По дисциплине «Дискретная математика»: логика, груп-
пы, графы, 2-у изд., - М., Лаборатория базовых знаний, 2001.
Стр. 27 из 68
2.
Горюшкин А.П. Задачи по алгебре (Элементы логики, теории мно-
жеств и комбинаторики) /Учебное пособие. - Петропавловск-Камчатский,
изд-во Камчатского пединститута, 1999.
3.
Горюшкин А.П. Краткий курс алгебры и теории чисел /Учебное посо-
бие. - Петропавловск-Камчатский, изд-во Камчатского пединститута, 2000.
4.
Кук Д., Бейз Г. Компьютерная математика, - М., Мир, 1992.
5.4. Электронные образовательные ресурсы
1. http://window.edu.ru/resource/372/27372 - Булгакова И.Н., Федотенко Г.Ф.
Дискретная математика. Элементы теории задачи и упражнения: Учебное
пособие. Часть 1. - Воронеж: Изд-во ВГУ, 2004. - 61 с.
2. http://window.edu.ru/resource/640/44640 - Ерош И.Л. Дискретная математика. Математические вопросы криптографии: Учебное пособие. - СПб.:
ГУАП, 2001. - 56 с.
3. http://window.edu.ru/resource/639/44639 - Ерош И.Л. Дискретная математика. Теория чисел: Учебное пособие. - СПб.: ГУАП, 2001. - 34 с.
4. http://window.edu.ru/resource/101/75101 - Косточка А.В., Соловьева Ф.И.
Дискретная математика: Учебное пособие. Часть 1. - Новосибирск: Новосибирский государственный университет, 2001. - 62 с.
5.5. Программное обеспечение
Для изучения дисциплины «По дисциплине «Дискретная математика»»
специальности «Прикладная информатика (в экономике)» достаточно стандартных и широко распространенных пакетов математических программ, составляющих в настоящее время, автоматизированное рабочее место математика (MathCAD, Mathematica, MatLAB, Maple).
6. Материально-техническое обеспечение дисциплины (модуля)
Библиотека Филиала ФГАОУ ВПО ДВФУ в г. ПетропавловскеКамчатском; компьютерный класс; доступ к Интернет-ресурсам и информационным базам данных.
Стр. 28 из 68
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Дальневосточный федеральный университет»
(ДВФУ)
ФИЛИАЛ ДВФУ В г. ПЕТРОПАВЛОВСКЕ-КАМЧАТСКОМ
КОНСПЕКТЫ ЛЕКЦИЙ
По дисциплине «По дисциплине «Дискретная математика»»
080801.65 Прикладная информатика( по областям)
Стр. 29 из 68
г. Петропавловск-Камчатский
2011
Стр. 30 из 68
Раздел I. Логические исчисления
Тема I.I. Алгебра высказываний
Алгебра высказываний. Понятие об алгебре как множестве с операциями. Примеры алгебр и алгебраических систем. Логические операции над высказываниями. Таблицы истинности. Формулы и правильно построенные
формулы алгебры высказываний.
Равносильность формул. Основные равносильности алгебры высказываний. Законы логики высказываний.
Логическое следствие. Связь следствия и равносильности. Нормальные
формы. Совершенные нормальные формы. Определяющие тождества алгебры высказываний.
Булевы функции. Число булевых функций от n переменных. Конъюнкция, дизъюнкция и отрицание как порождающие элементы алгебры функций.
Булевы решетки булевы кольца. Строение булевых колец. Полные и неполные системы булевых функций. Полиномы Жегалкина. Самодвойственные и
линейные функции. Монотонные и немонотонные функции.
Теорема Поста. Предполные классы булевых функций.
Релейно-контактные схемы. Реализация функций алгебры логики с помощью релейно-контактных схем. Анализ релейно-контактных схем. Применение алгебры высказываний к теории переключательных схем. Построение
схем по заданным условиям.
Тема I.II. Исчисление высказываний
Исчисление высказываний. Понятие об аксиоматической теории. Построение теории. Понятие непротиворечивости, полноты, независимости, категоричности и разрешимости теории. Аксиомы и правила вывода исчисления высказываний. Примеры доказательств в исчислении высказываний.
Теорема дедукции, и ее применение. Производные правила вывода.
Теорема адекватности Кальмара и ее применение. Лемма о замене.
Стр. 31 из 68
Непротиворечивость, полнота в широком смысле и в смысле Поста. Разрешимость исчисления высказываний.
Тема I.III Алгебра предикатов.
Предикаты и операции на множестве. Сигнатура алгебры. Множество
истинности предиката.
Кванторы. Формулы алгебры предикатов. Свободные и связанные переменные. Применение алгебры предикатов для записи математических предложений.
Выполнимость и общезначимость формул логики предикатов. Равносильные формулы алгебры предикатов. Равносильные преобразования формул. Нормальные пренексные формы. Проблема разрешимости алгебры предикатов. Решение проблемы разрешимости для формул, содержащих только
одноместные предикаты, и для формул содержащих только кванторы общности или только кванторы существования.
Понятие об исчислении предикатов. Логические аксиомы и правила вывода. Непротиворечивость и полнота исчисления предикатов.
Элементарные теории. Аксиоматика дискретных математических ситсем. Аксиоматика арифметики. Аксиомы Пеано и тождества Грассмана. Теорема Гёделя о неполноте арифметики.
Алгебра алгоритмов. Рекурсивные функции и машины Тьюринга. Универсальные функции. Примеры алгоритмически неразрешимых проблем.
Раздел II. Теория графов
Основные понятия теории графов. Изоморфизм графов и операции над
графами. Подграф.
Степень вершины графа. Теорема о сумме степеней вершин графа и ее
следствия.
Двудольные графы. Путь, цепь, простая цепь, цикл, простой цикл. Связные графы. Компоненты связности графа. Эйлеровы и гамильтоновы графы.
Стр. 32 из 68
Планарные и плоские графы Теорема Эйлера и ее следствия. Непланарность графов K5 и K3,3.
Раскраска вершин и ребер графа. Раскрашиваемость вершин планарного
графа пятью красками. Гипотеза четырех красок.
Раздел III. Комбинаторика
Комбинаторные конфигурации. Комбинаторные задачи выбора и расположения элементов конечного множества. .Размещения и сочетания с повторениями и без повторений. Перестановки. Комбинаторные правила суммы и
произведения. Формулы пересчёта числа комбинаторных конфигураций. Биномиальные коэффициенты. Треугольник Паскаля. Сюръекции и число
Стирлинга второго рода. Алгебра кодов. Расстояние Хэмминга. Линейные
коды. Циклические коды.
Раздел IV. Элементы теории нечетких множеств
Нечеткие множества, нечеткая и лингвистическая переменная, нечеткие
отношения, нечеткие выводы, нечеткий регулятор, методы нечеткой логики.
Четкие и нечеткие алгоритмы. Теория неопределенности.
Стр. 33 из 68
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Дальневосточный федеральный университет»
(ДВФУ)
ФИЛИАЛ ДВФУ В г. ПЕТРОПАВЛОВСКЕ-КАМЧАТСКОМ
МАТЕРИАЛЫ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ
По дисциплине «Дискретная математика»
080801.65 Прикладная информатика( по областям)
г. Петропавловск-Камчатский
2011
Стр. 34 из 68
Варианты заданий для практических занятий
Вариант 1
1. Найдите совершенную дизъюнктивную и совершенную конъюнктивную
нормальные формы для формулы
F(x, y, z) = ( x  y)  ( x  z ) &  y  z  .
2. Найдите представление булевой функции
f(x, y, z)= ( x & z )  y  x 
в виде полинома Жегалкина.
3. Докажите, что формула
 A  B  A  B   A 
является теоремой исчисления высказываний.
4. Выясните, является ли выполнимой (общезначимой) формула
(x)(y)(Q(x, y))  (y)(x)(Q(x, y)).
5. Преобразуйте формулу
x Px   y Qx , y   z R y , z 
к пренексной нормальной форме.
8. Найдите проверочную матрицу кода, заданного порождающей матрицей
Стр. 35 из 68
0 1 0 1 1 0 1


0 0 1 1 0 0 1 .
0 0 1 0 1 1 1


9. Упростите релейно-контактную схему
10. Каждый из четырех членов комиссии голосует «за», нажимая на кнопку, причем решение принимается большинством голосов, в случае их равенства решающий голос принадлежит председателю. Постройте релейноконтактную схему для голосования для этой комиссии.
11. Докажите, что функция f(x, y)=x+y вычислима по Тьюрингу.
12. Определите, какие из трех графов
изоморфны, а какие нет.
13. Постройте граф группы гр((123), (12)).
14. Определите количество ошибок, которые код с кодовыми словами
1111111110 и 1001110000 может определить и может исправить.
Вариант 2
Стр. 36 из 68
1. Найдите совершенную дизъюнктивную и совершенную конъюнктивную
нормальные формы для формулы
F(x, y, z) = x & y & ( x  z ) .
2. Найдите представление булевой функции
f(x, y, z) = ( x & y)   y  z 
в виде полинома Жегалкина.
3. Докажите, что формула
A  B   A
является теоремой исчисления высказываний.
4. Выясните, является ли выполнимой (общезначимой) формула
(x)(P(x))(x)(Q(x))(x)(y)(P(x)Q(y)).
5. Преобразуйте формулу
xyz uPx, y, z , u  xyz uQx, y, z , u
к пренексной нормальной форме.
6. Найдите проверочную матрицу кода, заданного порождающей матрицей
Стр. 37 из 68
1 1 0 1 0 0 1


0 1 0 1 0 1 1 .
 0 0 1 0 1 1 0


7. Упростите релейно-контактную схему
8. Постройте схему для включения и выключения света с помощью трех независимых переключателей.
9. Разложите на неприводимые множители многочлен x3+3x+1 над полем Z5
10. Докажите, что функция f(x, y)=xy примитивно рекурсивна.
11. Определите, какие из трех графов
изоморфны, а какие нет.
12. Постройте граф группы гр((123), (45)).
13. Определите количество ошибок, которые
код с кодовыми словами
1001111111 и 1001111000 может определить и может исправить.
Стр. 38 из 68
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Дальневосточный федеральный университет»
(ДВФУ)
ФИЛИАЛ ДВФУ В г. ПЕТРОПАВЛОВСКЕ-КАМЧАТСКОМ
МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ОРГАНИЗАЦИИ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ
РАБОТЫ СТУДЕНТОВ
По дисциплине «Дискретная математика»
080801.65 Прикладная информатика( по областям)
г. Петропавловск-Камчатский
2011
Стр. 39 из 68
Темы рефератов
1. Понятие математической логики.
2. Логика высказываний.
3. Логика предикатов.
4. Определения двоичного набора и логической функции.
5. Элементарные логические функции.
6. Логические формулы.
7. Алгебра логических функций.
8. Дизъюнктивная и конъюнктивная нормальные формы.
9. Булева алгебра и теория множеств.
10.Основные классы логических функций.
11.Теория Поста-Яблонского.
12.Понятие о минимальной логической функции.
13.Алгоритмы минимизации логической функции.
14.Определение предиката.
15.Операции над предикатами, кванторы существования и всеобщности.
16.Формулы логики предикатов.
17.Предмет комбинаторики. Правила суммы и произведения.
18.Производящие функции для сочетаний и перестановок.
19.Циклы перестановок.
20.Цикловые классы.
21.Принципы включений и исключений в комбинаторике.
22.Понятие о графе. Бинарные отношения и графы. Операции над графами.
23.Эйлеров цикл и критерий его существования.
24.Гамильтонов цикл и его свойства.
25. Понятие дерева.
26.Нормальный алгоритм Маркова.
27.Примитивно-рекурсивные функции.
28.Общерекурсивные функции.
Стр. 40 из 68
29.Тезис Чёрча.
30.Описание и примеры машин Тьюринга.
Стр. 41 из 68
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Дальневосточный федеральный университет»
(ДВФУ)
ФИЛИАЛ ДВФУ В г. ПЕТРОПАВЛОВСКЕ-КАМЧАТСКОМ
КОНТРОЛЬНО-ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
По дисциплине «Дискретная математика»
080801.65 Прикладная информатика ( по областям)
г. Петропавловск-Камчатский
2011
Стр. 42 из 68
Тест
Раздел 1. Группа, кольцо, поле
1. Алгебра с одной ассоциативной операцией, обладающей нейтральным
элементом, в которой каждый элемент имеет обратный, называется
группой П
кольцом
полем
телом
2. Алгебра, образующая абелеву группу по сложению, и имеющее умножение, дистрибутивное относительно сложения, называется
группой
кольцом П
полем
телом
3. Кольцо, в котором ненулевые элементы образуют абелеву группу по
умножению, называется
группой
кольцом
полем П
телом
Раздел 2. Алгебра (как множество с операциями)
1. Взаимно однозначное отображение множества одной алгебры на множество другой, сохраняющее операции, называется
изоморфизмом П
гомоморфизмом
эндоморфизмом
автоморфизмом
2. Изоморфизм алгебры на себя называется
изоморфизмом
Стр. 43 из 68
гомоморфизмом
эндоморфизмом
автоморфизмом П
3. Взаимно однозначный гомоморфизм алгебр является
изоморфизмом П
гомоморфизмом
эндоморфизмом
автоморфизмом
4. Множество автоморфизмов произвольной алгебры образует
поле
группу П
кольцо
решётку
5. Множество эндоморфизмов произвольной алгебры образует
поле
полугруппу П
кольцо
решётку
Раздел 3. Алгебраическая система
1. Отображение множества одной алгебраической системы на множество
другой, сохраняющее операции и отношения, называется
изоморфизмом
гомоморфизмом П
эндоморфизмом
автоморфизмом
2. Гомоморфизм алгебраической системы в себя называется
изоморфизмом
гомоморфизмом
эндоморфизмом П
автоморфизмом
Стр. 44 из 68
3. Взаимно однозначный гомоморфизм конечных алгебраических систем является
изоморфизмом П
гомоморфизмом
эндоморфизмом
автоморфизмом
4. Множество автоморфизмов произвольной алгебраической системы образует
поле
группу П
кольцо
решётку
5. Множество эндоморфизмов произвольной алгебраической системы образует
поле
полугруппу П
кольцо
решётку
Раздел 4. Факторалгебра и подалгебра
1. Множество смежных классов по эквивалентности называется
фактормножеством П
подмножеством
надмножеством
пустым множеством
2. Отображение, переводящее каждый элемент алгебры в смежный класс, к
которому этот элемент принадлежит, называется
естественным гомоморфизмом П
природным изоморфизмом
естественным автоморфизмом
естественным эндоморфизмом
Стр. 45 из 68
3. Непустое подмножество группы, образующее группу с теми же операциями, называется
подгруппой П
полугруппой
подкольцом
подполем
4. Непустое подмножество кольца, образующее кольцо с теми же операциями, называется
полукольцом
подтелом
подкольцом П
подполем
5. Множество подгрупп произвольной группы образует
поле
полугруппу
кольцо
решётку П
6. Множество подколец произвольного кольца образует
поле
полугруппу
кольцо
решётку П
Раздел 5. Многочлен от одной и нескольких переменных над кольцом
1. Множество многочленов от одной переменной с коэффициентами из поля
образует
поле
кольцо П
тело
решетку
Стр. 46 из 68
2. Множество многочленов от нескольких переменной с коэффициентами из
поля образует
поле
кольцо П
тело
решетку
3. Множество многочленов от одной переменной с коэффициентами из кольца образует
поле
кольцо П
тело
решетку
4. Множество многочленов от нескольких переменной с коэффициентами из
кольца образует
поле
кольцо П
тело
решетку
Раздел 6. Бинарное отношение (функция, порядок, эквивалентность, конгруэнция)
1. Рефлексивное, симметричное и транзитивное отношение называется
эквивалентностью П
порядком
функцией
предпорядком
2. Отношение эквивалентности, согласованное с операциями алгебры, называется
конгруэнцией П
порядком
предпорядком
Стр. 47 из 68
толерантностью
3. Рефлексивное, антисимметричное и транзитивное отношение называется
эквивалентностью
порядком П
функцией
предпорядком
4. Если для любых элементов х, у, z из xRy, xRz следует y=z, то отношение R
является
функцией П
эквивалентностью
конгруэнцией
порядком
5. Если для каждого x xRx, то R
симметрично
рефлексивно П
транзитивно
антисимметрично
6. Если для каждых x, y из xRy следует yRx, то R
рефлексивно
транзитивно
симметрично П
антисимметрично
7. Если для каждых x, y, z из xRy, yRz следует xRz, то R
симметрично
рефлексивно
транзитивно П
антисимметрично
8. Если для каждых x, y xRy или yRx, то R
рефлексивно
транзитивно
Стр. 48 из 68
антисимметрично
связно П
9. Если для каждых x, y из xRy, yRx следует y=z, то R
симметрично
рефлексивно
транзитивно
антисимметрично П
10. Симметричное и рефлексивное отношение называется
частичным порядком
предпорядком
толерантностью П
линейным порядком
11. Произвольное подмножество декартового квадрата AA называют
фактормножеством
бинарным отношением П
кольцом
классом эквивалентности
12. Композиция любых отношений
коммутативна
ассоциативна П
коммутативна и ассоциативна
идемпотентна
13. Связное отношение порядка – это
линейный порядок П
полный порядок
вполне порядок
связанный порядок
14. Если в упорядоченном множестве M каждая пара элементов образует
точную верхнюю и точную нижнюю грани, то M является
Стр. 49 из 68
решёткой П
группой
моноидом
полугруппой
Раздел 8. Высказывание и предикат
1. Операция xy называется
сложение по модулю 2
дизъюнкция П
конъюнкция
штрих Шеффера
2. Операция x&y называется
дизъюнкция
конъюнкция П
отрицание
штрих Шеффера

3. Операция x называется
сложение по модулю 2
дизъюнкция
конъюнкция
отрицание П
4. Операция xy называется
конъюнкция
стрелка Пирса
штрих Шеффера
импликация П
5. Операция xy называется
сложение по модулю 2
дизъюнкция
стрелка Пирса
Стр. 50 из 68
эквиваленция П
6. Операция x+y называется
дизъюнкция
отрицание
сложение по модулю 2 П
штрих Шеффера
7. Операция x y называется
конъюнкция
стрелка Пирса
штрих Шеффера П
импликация
8. Операция xy называется
конъюнкция
стрелка Пирса П
штрих Шеффера
импликация
9. Операция x  y является
сложением по модулю 2
штрихом Шеффера П
импликацией
эквиваленцией
10. Операция x & y является
сложением по модулю 2
импликацией
эквиваленцией
стрелкой Пирса П
11. Формула (x)(P(x)) (x)(P(x))
невыполнима
общезначима П
Стр. 51 из 68
не общезначима
12. Формула (x)(P(x)) (x)(P(x))
невыполнима
общезначима
не общезначима П
13. Формула (x)(P(x)) & (x)(P(x))
выполнима П
невыполнима
общезначима
14. Формула (x)(P(x)) & (x)(P(x))
выполнима
невыполнима П
общезначима
15. Формула (x)(P(x))  (x)(P(x))
выполнима П
невыполнима
общезначима
16. Формула (x)(P(x))  (x)(P(x))
выполнима П
невыполнима
общезначима
17. Если формула алгебры предикатов истинна при любой интерпретации, то
эта формула
не выполнима
общезначима П
не тавтология
не общезначима
18. Формула (x)(P(x)) (y)(P(y))
Стр. 52 из 68
невыполнима
общезначима П
не общезначима
19. Если формула алгебры предикатов истинна при некоторой интерпретации, то эта формула
выполнима П
общезначима
тавтология
закон логики
20. Если формула алгебры предикатов истинна при любой интерпретации, то
эта формула
не выполнима
общезначима П
не тавтология
не общезначима
Раздел 9. Аксиоматическая теория
1. Если аксиоматическая теория имеет модель, то теория
противоречива
непротиворечива П
в ней можно доказать любое предложение и его отрицание
2. Если в аксиоматической теории нельзя доказать любое предложение или
его отрицание, то теория
полна
неполна П
она не имеет модели
3. Если в непротиворечивой аксиоматической теории можно доказать любое
предложение или его отрицание, то теория
полна П
неполна
она не имеет модели
Стр. 53 из 68
4. Если аксиоматическая теория имеет две неизоморфных модели, то она
противоречива
некатегорична П
категорична
5. Если аксиоматическая теория имеет только одну модель, то она
противоречива
некатегорична
категорична П
6. Если к непротиворечивой аксиоматической теории можно добавить невыводимое предложение, то теория
неполна в смысле Поста П
полна в широком смысле
полна в смысле Поста
не полна в широком смысле
7. Если к непротиворечивой аксиоматической теории нельзя добавить ни одного невыводимого предложения, то теория
полна в смысле Поста П
некатегорична
категорична
8. Если одна из аксиом теории выводится из остальных, то аксиоматика
независима
зависима П
полна
неполна
9. Если ни одна из аксиом теории не выводится из остальных, то аксиоматика
независима П
зависима
полна
неполна
Стр. 54 из 68
10. Если множество теорем непротиворечивой теории рекурсивно, то теория
категорична
некатегорична
разрешима П
неразрешима
Раздел 10. Частично-рекурсивная функция и машина Тьюринга
1. Функция, полученная из исходных вычислимых функций с помощью операторов суперпозиции и примитивной рекурсии, называется
примитивно рекурсивной П
рекурсивной
общерекурсивной
частично рекурсивной
2. Функция, полученная из исходных вычислимых функций с помощью операторов суперпозиции, примитивной рекурсии и минимизации, называется
примитивно рекурсивной
рекурсивной
общерекурсивной
частично рекурсивной П
3. Всюду определенная функция, полученная из исходных вычислимых
функций с помощью операторов суперпозиции, примитивной рекурсии и минимизации, называется
примитивно рекурсивной
вычислимой
общерекурсивной П
частично рекурсивной
4. Если частично рекурсивная функция является всюду определенной, то она
общерекурсивна П
определяема
примитивно рекурсивна
доопределяема
Стр. 55 из 68
5. Согласно тезису Чёрча каждая алгоритмически вычислимая функция является
частично рекурсивной П
примитивно рекурсивной
общерекурсивной
не рекурсивной
6. Множество символов, которые могут быть записаны на ленте машины
Тьюринга, - это
внешний алфавит П
внутренний алфавит
состояния
7. Для машин Тьюринга символ а0 является символом
пустой ячейки П
началом работы машины
окончанием работы машины
начальным состоянием
8. Состояние q1 для машин Тьюринга называется …
начальным П
конечным
особым
чрезвычайным
9. Состояние q0 для машин Тьюринга называется …
заключительным П
начальным
особым
чрезвычайным
10. Множество команд для машины Тьюринга называется
программой П
внутренним алфавитом
внешним алфавитом
Стр. 56 из 68
Раздел 11. Рекурсивность и рекурсивная перечислимость
1. Непустое множество, являющееся областью значений некоторой частично
рекурсивной функции,
рекурсивно перечислимо П
рекурсивно
разрешимо
неразрешимо
2. Множество, являющееся областью определения некоторой частично рекурсивной функции,
рекурсивно перечислимо П
рекурсивно
разрешимо
неразрешимо
3. Множество, имеющее общерекурсивную характеристическую функцию,
является
рекурсивным П
не рекурсивным
неразрешимым
пустым
4. Множество, являющееся областью значений некоторой общерекурсивной
функции,
рекурсивно перечислимо П
рекурсивно
разрешимо
неразрешимо
5. Множество, имеющее частично рекурсивную характеристическую функцию, является
рекурсивным
не рекурсивным
неразрешимым
Стр. 57 из 68
рекурсивно перечислимым П
6. Если множество и его дополнение рекурсивно перечислимы, то это множество
рекурсивно П
пусто
невычислимо
нерекурсивно
Раздел 12. Граф (двудольный, планарный и цветной граф)
1. Рёбра графа, имеющие общую вершину, называются
смежными П
инцидентными
циклическими
дугами
2. Вершины графа, соединенные ребром, называются
смежными П
инцидентными
циклическими
дугами
3. Граф, который можно представить в двумерном пространстве, называется
планарным П
двумерным
многомерным
неориентированным
4. Связный граф без циклов называется
линейным
петлеобразным
кустом
деревом П
5. Граф без циклов образует
Стр. 58 из 68
бор
дубраву
рощу
лес П
6. Любую плоскую карту можно правильно раскрасить
одной краской
двумя красками
тремя красками
четырьмя красками П
7. Если В – число вершин, Р – число рёбер, а Г – число граней плоской карты.
то В – Р + Г равно
1
2П
3
4
8. Полный двудольный граф с трёмя вершинами в каждой доле является
не планарным П
плоским
планарным
двумерным
9. Полный пятивершинный неориентированный граф без петель является
не планарным П
плоским
планарным
двумерным
10. Цветной граф группы имеет цветные
дуги П
вершины
грани
вершины и грани
Стр. 59 из 68
11. Путь, содержащий все рёбра графа в точности один раз, называется
эйлеровым П
гамильтоновым
пифагоровым
фордовым
12. Путь, содержащий все вершины графа в точности один раз, называется
эйлеровым
гамильтоновым П
пифагоровым
фордовым
Стр. 60 из 68
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Дальневосточный федеральный университет»
(ДВФУ)
ФИЛИАЛ ДВФУ В г. ПЕТРОПАВЛОВСКЕ-КАМЧАТСКОМ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
По дисциплине «Дискретная математика»
080801.65 Прикладная информатика( по областям)
г. Петропавловск-Камчатский
2011
Стр. 61 из 68
Основная литература
1.
Горюшкин А.П., Горюшкин В.А. Введение в математику / Учебное по-
собие, Изд-во ДВГТУ / ДВПИ им. В.В. Куйбышева (филиал в г. Петропавловск-Камчатский), 2008. – 312 с.
2.
Горюшкин А.П., Горюшкин В.А. Математика для инженеров / Учебное
пособие, Изд-во ДВГТУ / ДВПИ им. В.В. Куйбышева (филиал в г. Петропавловск-Камчатский), 2009. – 356 с.
3.
Яблонский С.В. Введение в дискретную математику, М., Наука, 2011. –
298 с.
Дополнительная литература
1.
Матросов В.Л., Стеценко В.А. Лекции по дискретной математике, М.,
изд-во МПГУ им. В.И. Ленина, 1997.
2.
Москинова Г.И. По дисциплине «Дискретная математика». Математи-
ка для менеджера в примерах и задачах: Учебное пособие, - М., Логос, 2002.
3.
Москинова Г.И. По дисциплине «Дискретная математика». Математи-
ка для менеджера в примерах и задачах: Учебное пособие, - М., Логос, 2002.
4.
Нефедов В.Н., Осипова В.А. Курс дискретной математики, М., изд-во
МАИ, 1992.
5.
Новиков Ф.А. По дисциплине «Дискретная математика» для програм-
мистов, - СПб, Питер, 2002.
6.
Оре О. Теория графов, М., Наука, 1968.
7.
Оре О. Теория графов, М., Наука, 1968.
8.
Сачков В.Н. Введение в комбинаторные методы дискретной математи-
ки, М., Наука, 1982.
Справочная литература
1.
Акимов О.Е. По дисциплине «Дискретная математика»: логика, груп-
пы, графы, 2-у изд., - М., Лаборатория базовых знаний, 2001.
Стр. 62 из 68
2.
Горюшкин А.П. Задачи по алгебре (Элементы логики, теории мно-
жеств и комбинаторики) /Учебное пособие. - Петропавловск-Камчатский,
изд-во Камчатского пединститута, 1999.
3.
Горюшкин А.П. Краткий курс алгебры и теории чисел /Учебное посо-
бие. - Петропавловск-Камчатский, изд-во Камчатского пединститута, 2000.
4.
Кук Д., Бейз Г. Компьютерная математика, - М., Мир, 1992.
Электронные образовательные ресурсы
1. http://window.edu.ru/resource/372/27372 - Булгакова И.Н., Федотенко Г.Ф.
Дискретная математика. Элементы теории задачи и упражнения: Учебное
пособие. Часть 1. - Воронеж: Изд-во ВГУ, 2004. - 61 с.
2. http://window.edu.ru/resource/640/44640 - Ерош И.Л. Дискретная математика. Математические вопросы криптографии: Учебное пособие. - СПб.:
ГУАП, 2001. - 56 с.
3. http://window.edu.ru/resource/639/44639 - Ерош И.Л. Дискретная математика. Теория чисел: Учебное пособие. - СПб.: ГУАП, 2001. - 34 с.
4. http://window.edu.ru/resource/101/75101 - Косточка А.В., Соловьева Ф.И.
Дискретная математика: Учебное пособие. Часть 1. - Новосибирск: Новосибирский государственный университет, 2001. - 62 с.
Стр. 63 из 68
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Дальневосточный федеральный университет»
(ДВФУ)
ФИЛИАЛ ДВФУ В г. ПЕТРОПАВЛОВСКЕ-КАМЧАТСКОМ
ГЛОССАРИЙ
По дисциплине «Дискретная математика»
080801.65 Прикладная информатика( по областям)
г. Петропавловск-Камчатский
2011
Стр. 64 из 68
Алгоритм - (по лат. форме имени среднеазиатского математика аль-Хорезми
Algorithmi) система операций (напр. вычислений), применяемых по строго
определенным правилам, которая после последовательного их выполнения
приводит к решению поставленной задачи.
Вероятность - мера достоверности случайного события (число, характеризующее степень возможности появления события).
Выборка - выборочной совокупностью (выборкой) называют совокупность
случайно отобранных объектов.
Высказывание - это языковое образование, в отношении которого имеет
смысл говорить о его истинности или ложности (Аристотель).
Гистограмма частот - ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников,
основаниями которых служат частичные интервалы длиной h, а высоты равны отношению ni / h (плотность частоты).
Генеральная (основная) совокупность - совокупность, объектов из которых
производится выборка.
Дискретная (прерывная) величина - случайная величина, которая принимает
отдельные возможные значения с определенными вероятностями.
Дизъюнкция (лат. disjunctio разобщение, различие) - логическое сложение.
По дисциплине «Дискретная математика» (конечная математика) - раздел математики, занимающийся изучением свойств объектов конечного характера.
К их числу могут быть отнесены, например, конечные группы, конечные
графы, некоторые математические модели преобразователей информации.
Дискретный вариационный ряд распределения - ранжированная совокупность вариантов xi с соответствующими им частотами ni или относительными частотами wi.
Дисперсия - наиболее употребительная мера рассеивания, т.е. отклонения от
среднего.
Закон распределения. Законом распределения случайной величины называется соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями
случайной величины и соответствующими им вероятностями.
Стр. 65 из 68
Импликация (логическое следование) (лат. implico тесно связываю) - высказывание, составленное из двух высказываний при помощи связки «если ..., то
...».
Инверсия (лат. inversio переворачивание; перестановка) - нарушение нормального порядка двух элементов в перестановке.
Интервальный вариационный ряд - упорядоченная совокупность интервалов
варьирования значений случайной величины с соответствующими частотами
или относительными частотами попаданий в каждый из них значений величины.
Испытание - наблюдение явления, опыт, эксперимент, которые можно провести многократно.
Конъюнкция (лат. conjunctio союз, связь) - логическое умножение.
Комбинаторика - раздел математики, изучающий дискретные объекты, множества (сочетания, перестановки, размещения и перечисление элементов) и
отношения на них (например, частичного порядка).
Кортеж - конечная последовательность (допускающая повторения) элементов
какого-нибудь множества.
Логическая функция - это функция, в которой переменные принимают только
два значения: логическая единица или логический ноль.
Логическое выражение - это символическая запись высказывания, состоящая
из логических величин (констант или переменных), объединенных логическими операциями (связками).
Математическое ожидание дискретной случайной величины - сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности.
Математическая логика - изучает вопросы применения математических методов для решения логических задач и построения логических схем, которые
лежат в основе работы любого компьютера.
Множество - под множеством понимают объединение в одно целое объектов,
связанных между собой неким свойством.
Стр. 66 из 68
Непрерывная величина - случайная величина, которая может принимать все
значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.
Объем совокупности (выборочная или генеральная) - число объектов этой
совокупности.
Перестановка — это упорядоченный набор чисел обычно трактуемый как
биекция на множестве , которая числу i ставит соответствие i-й элемент из
набора. Число n при этом называется порядком перестановки. Число всех перестановок порядка n равно факториалу
Понятие - это форма мышления, которая выделяет существенные признаки
предмета или класса предметов, отличающие его от других. Например, компьютер, человек, студенты.
Простое высказывание - повествовательное предложение, относительно которого имеет смысл говорить, истинно оно или ложно.
Равновозможные события - события называются равновозможными, если
есть основания считать, что не одно из них не является более возможным,
чем другое.
Размещения - размещениями из n элементов по m элементов (m < n) называются комбинации, составленные из данных n элементов по m элементов, которые отличаются либо самими элементами, либо порядком элементов.
Система счисления - (гр. systema (целое) составленное из частей; соединение)
это способ представления чисел и соответствующие ему правила действий
над числами.
Сложные (составные) высказывания - представляют собой набор простых
высказываний (по крайней мере двух) связанных логическими операциями.
Случайная величина - величина, которая в результате испытания примет
случайно одно и только одно значение из множества возможных значений.
Случайное событие - подмножество исходов случайного эксперимента; при
многократном повторении случайного эксперимента частота наступления события служит оценкой его вероятности.
Событие - результат, исход испытания.
Стр. 67 из 68
Совокупность - cочетание, соединение, общий итог чего-нибудь.
Сочетания - сочетанием из n по k называется набор k элементов, выбранных
из данных n элементов.
Способы выборки - При составлении выборки можно поступать двумя способами: после того как объект отобран и над ним произведено наблюдение,
он может быть возвращен либо не возвращен в генеральную совокупность. В
соответствии со сказанным выборки подразделяют на повторные и бесповторные.
Статистические данные - данные, полученные в результате обследования
большого числа объектов или явлений.
Статистическое распределение выборки - перечень вариантов и соответствующих им частот или относительных частот.
Суждения - это форма мышления, в которой утверждается или отрицается
связь между предметом и его признаком, отношения между предметами или
факт существования предмета и которая может быть либо истинной, либо
ложной.
Теория вероятностей - раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и
операции над ними.
Теория множеств - занимается изучением свойств как произвольных множеств, так и множеств специального вида независимо от природы образующих их элементов.
Умозаключение - прием мышления, позволяющий на основе одного или нескольких суждений-посылок получить новое суждение (знание или вывод).
Формальная логика - наука о формах и законах мышления. Законы логики
отражают в сознании человека свойства, связи и отношения объектов окружающего мира. Логика как наука позволяет строить формальные модели
окружающего мира, отвлекаясь от содержательной стороны.
Эквивалентность - логическое тождество, равнозначность, взаимная обусловленность.
Стр. 68 из 68