Основные комбинаторные числа: число перестановок, число

1. Основные комбинаторные числа: число перестановок, число сочетаний, число слов
заданной длины в конечном алфавите. Бином Ньютона. Рекуррентное соотношение
между биномиальными коэффиценттами:, треугольник Паскаля. Число функкций между
двумя конечными множествами, число подмножеств конечного множества. Принцип
включения-исключения.
2. Мультиномиальные коэффициэнты. Интерпретации мультиномиальных коэффициетов:
число разбиений конечного множества на подмножества заданной мощности, число
размещений неразличимых объектов по ящикам с заданным количеством объектов для
каждого ящика. Чи сло сочетаний с повторениями и число целх решений уравнения
x1+x2+...+xk=n. Рекуррентное соотношение для чисел Стирлинга 2-го рода (чисел
размещения различимых объектов в нералзличимых ящиках, ни один из которых не
пуст).
3. Производящие функции. Производящие функции основных последовательностей:
постоянной, биномиальных коэффициентов, чисел сочетаний с повторениями.
Производящие функции для задач о числе решений линейного уравнения в целых числах.
Производящая функция для числа разбиения n на различные целые слагаемые.
4. Число размещений n различимых объектов по k ящикам и число разбиений n на
слагаемые, непревосходящие k. Производящая функция этих чисел. Производящая
функция чисел разбиений n на ненулевые слагаемые.
5. Рекуррентные соотношения. Линейные однородные рекуррентные соотношения с
постоянными коэффициентами. Решения рекуррентных соотношений с помощью
производящих функций.
6. Числа Каталана.
7. Экспоненциальные производящие функции. Число размещений n различимых объектов
по k различимым непустым ящикам и число сюръективных функций. Числа Стирлинга 2го рода.
8. Определение графа. Изоморфизм графов. Матрица смежности. Степень вершины. Лемма
о рукопожатиях. Подграфы, индуцированные подграфы, остовные подграфы, полые
графы, двудольные графы. Пути и циклы. Связность графов, компоненты связности,
разрезающие ребра, разрезы. Деревья. Эквивалентные характеристики дерева.
9. Остовное дерево связного графа. Его существование. Кодерево. Остовный лес и колес.
Цикломатическое число. Базисные циклы и базисные разрезы.
10. Эйлеровы циклы и эйлеровы графы.
11. Гомеоморфизм графов. Планарность. Грани графа на плоскости. Формула Эйлера.
Непланарность полного двудольного графа на шести вершинах (неразрешимость задачи о
трех домах и трех колодцах).
12. Неравенство, связывающее число ребер и вершин у планарного графа. Его
недостаточность. Непланарость полного графа на пяти вершинах.Теорема Куратовского
(формулировка). Двойственность графов. Эквивалентность планарности и наличия
двойственного графа.
13. Раскраска графа. Хроматический многочлен. Хроматическое число. Рекуррентное
соотношение для хроматических многочленов. Существование хроматического
многочлена. Теорема о пяти красках. Теорема о четырех красках (формулировка).
14. Гамильтоновы циклы. Достаточные условия существования гамильтонова цикла.
15. Гамильтоново замыкание графа.
16. Конечные автоматы. Недетерминированные конечные автоматы. Эквивалентность
детерминированных и недетерминированных конечных автоматов. Разрешимость задачи
о непустоте языка, распознаваемого конечным автоматом.
17. Операции над языками и над конечными автоматами. Разрешимость задачи об
эквивалентности двух конечных автоматов. Регулярные выражения. Теорема Клини
(формулировка).