№ 1

№ 1.
Решение: искомое число можно обозначить как 7abs. Второе число с
измененной цифрой можно представить как abc7.
Можно сказать, что получилось уравнение 7abc – abc7= 864.
7000+ 100a + 10b+ c – 1000a − 100b − 10c − 7 = 864,
− 900 − 90b − 9c = −6129,
−9( 100a + 10b+ c) = −6129,
100a + 10b + c = 681,
abc = 681,
7abc= 7681.
Ответ: 7681.
№ 2.
Решение:
8^1=8
8^2=64
8^3=612
8^4=4096
8^5=32768.
Аналогично, что последняя цифра периодически изменяется через каждые четыре
числа
2003 ÷ 4 = 500 ( остаток 3).
8^2003 = 8^4∙ 500 + 3 = 8^2003 ∙ 8^3 ;
8^3 оканчивается цифрой 2, значит последняя цифра числа 8^2003 равна 2.
Ответ: 2.
№ 3.
Решение: разделить на три кучки по 27 монет и положить на каждую
чашу весов по одной кучке. Итак, первое взвешивание после него
определяется более легкая кучка монет. Далее разделяем легкую
кучку на три кучки по 9 монет и опять одна кучка легче остальных.
Третье взвешивание делим легкую кучку на три по 3 монет. Последнее
взвешивание взвешиваем по одной монете и находим фальшивую.
№ 4.
Решение: равносторонний треугольник имеет три оси симметрии,
поэтому равносторонний треугольник можно разрезать на 2 равные
части 3 способами, прямыми проходящими через медианы
треугольника.
Ответ: 3 способа.
№ 5.
Решение: (a – b)^3 + (b – c)^3 + (a – c)^3= a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3 + b^3 –
−3b^2c + 3bc^2 – c^3 + c^3 – 3c^2a + 3a^2c – a^3 = 3ab^2 – 3a^2b − 3b^2c +
3bc^2 – 3c^2a + 3a^2c.
Ответ: 3ab^2 – 3a^2b − 3b^2c + 3bc^2 – 3c^2a + 3a^2c.
№ 6.
Решение:
√1 + √2 + √x = 2,
1 + √2 + √x = 3,
2 + √x = 9,
√x = 7,
x = 49.
Ответ: 49.
№ 7.
Решение: нулей столько сколько имеется пар простых множителей 2 и 5…
двоек очень много− они присутствуют во всех четных числах, а пятерок
меньше− они имеются только в числах, делящихся на 5, таких чисел
двадцать, но в четырех их них две пятерки: 25= 5 ∙5, 50= 2∙5∙5, 75 = 3∙5∙5,
100= 2∙2∙5∙5. Так что всего пятерок в произведении 20 + 4 = 24, 1∙2∙3… ∙100
ровно 24 нуля.
№ 8.
Решение: пусть lм − длина поезда, x м/с скорость поезда.
Из условия задачи имеем
{ l + 150= x,
{ l = 5x.
5x+ 150= 15x,
10x = 150,
x = 15.
Значит скорость поезда 15 м/с, а длина поезда l= 5 ∙15= 75м.
Ответ: 15м/с; 75м.
№ 9.
Решение:
m/n = 1/3; то n/m = 3.
n − 2m/ m = n/m − 2m/n = n/n − 2 = 3 − 2 = 1/
Ответ: 1.
№ 10.
Решение: 1+2−3−4+5+6−7−8+9+10−…+2002−2003−2004+2005= 1+ (2−3) +
+ (−4+5)+ … +(2002−2003) + (−2004+2005)= 1−1+1+…−1+1= 1.
Ответ: 1.