Ответы олимпиады по математике 8 класс

Ответы олимпиады по математике 8 класс
1) Первая слева цифра четырехзначного числа 7. Если эту цифру
перенести на последнее место, то число уменьшится на 864.
Найдите четырехзначное число.
Решение:
Из условия задачи:
{ 7000+х=у
{10х+7=y-864
Тогда, 10х+7=7000+х-864
9х=6129
х=681
у=7000+681=7681
Ответ:7681
2) Найдите последнюю цифру числа
Решение:
8¹=8
8²=64
8³=612
84=7096
85=32768
Последняя цифра изменяется циклично через каждые четыре
числа.
2003:4=500(остаток 3)
То есть последняя цифра соответствует остатку 3. То есть
последней цифре 2.
Ответ: последняя цифра 2.
3) Среди 81 монет имеется 1 фальшивая (более легкая). Как ее
найти, используя всего 4 взвешивания?
Решение:
Разделим на 3 кучка по 27 монет и положим на каждую чешу
весов по одной кучке. После 1 взвешивания определяется кучка с
фальшивой монетой(более легкая на весах, а при равенстве –не
участвовавшая во взвешивании), далее разделим подозрительную
кучку на более мелкие по 9 монет и повторяем взвешивание. Потом
делим на кучки по 3 монеты и повторяем взвешивание.
В последнем, четвертом взвешиваний по одной монете, находим
фальшивую монету.
4)Сколькими способами можно разрезать равносторонний
треугольник на 2 равных треугольника?
Решение: На 3, поскольку равносторонний треугольник имеет 3 оси
симметрии, поэтому равносторонний треугольник можно разрезать
на два равных треугольника тремя способами.
5) Упростите выражение
.
=
a³−3а²b+3аb²−b³+b³−3b²с+3bc²−c³+a³−3a²c+3ac²−c³=2a³−2c³
−3a²b+3ab²−3b²c+3bc²–3a²c+3ac²
6) Решите уравнение
.
Решение:
Возведем обе части в квадрат.
1+
2+ х=4
2+
х=3
2+ х=9
х=7
х=49
Ответ:49
7)Сколькими нулями оканчивается произведение всех целых чисел
от 1 до 100 включительно?
Решение:
Ноль получится тогда и только тогда, когда 2 умножается на 5.
Двоек в этом разложении гораздо больше, чем пятерок (одних
только четных чисел 50).Нужно посчитать только количество
пятерок в этом разложении. Пятерки дают числа 5, 10, 15,...100. Все
эти числа кроме 25, 50, 75, 100 дают по одной пятерке. Числа 25,
50, 75, 100 дают по две пятерки. Итого в разложении 100. На
простые множители содержится 24 пятерки. Значит, произведение
всех натуральных чисел от 1 до 100 заканчивается 24 нулями.
Ответ: 24 нуля.
8) Поезд проходит мимо светофора за 5 с, а мимо платформы
длиной 150 метров за 15 с. Найдите длину поезда и его скорость.
Решение: Пусть х- длина поезда. х +150- суммарная длина поезда и
х  150 х
 , т.к. скорость постоянна, а время
платформы, тогда
15
5
пропорциональна длине.
( х  150)  х  15 х
х  75м
  15м/ с
9) Зная, что
, найдите значение выражения
Решение: (n=3m)
m 1
  n  3m
n 3
3m  2m m
 1
m
m
Ответ:1
10) Сосчитайте:
1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-…+2002-2003-2004+2005.
Решение:
1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-…+2002-2003-2004+2005=1
Так как,
2 - 3 - 4 + 5 = -1+1=0
6 - 7 - 8 + 9 = -1+1=0
10 - 11 - 12 + 13 =-1+1= 0
и т. д... .
2002 - 2003 - 2004 + 2005 = -1+1=0
Остается, первое слагаемое 1.
Ответ: 1