12. Порядок во множестве натуральных чисел.

Вопросы к экзамену 5 семестр
1. Требование к аксиоматическому построению математической теории.
2. Система натуральных чисел и ее роль в человеческой цивилизации и в
математике. Аксиоматическая система натуральных чисел, предложенная
Пеано.
3. Варианты системы аксиом Пеано.
4. Свойства аксиоматических теорий. Непротиворечивость. Вопрос о
непротиворечивости систем аксиом Пеано.
5. Независимость системы аксиом Пеано.
6. Полнота и категоричность системы аксиом. Проблема полноты системы
аксиом Пеано.
7. Примеры содержательных моделей для системы аксиом Пеано.
8. Сложение натуральных чисел, его существование и единственность.
9. Свойства (законы) сложения натуральных чисел.
10.Умножение натуральных чисел, его существование и единственность.
11.Свойства (законы) умножения натуральных чисел.
12.Порядок во множестве натуральных чисел.
13.Свойства отношений «меньше», «больше или равно» и «меньше или
равно» во множестве натуральных чисел.
14.Свойства отношения порядка во множестве натуральных чисел. Законы
монотонности сложения и умножения натуральных чисел и следствия из
них.
15.Закон дискретности для порядка в N. Свойство архимедовости порядка в
N. Принцип наименьшего числа.
16.Принцип математической индукции и его модификации. Примеры
применения.
17.Индуктивные задания последовательности. Сумма и произведение
нескольких натуральных чисел.
18. Понятие количественного натурального числа.
19.Операция вычитания натуральных чисел и ее свойства. Операция деления
натуральных чисел и ее свойства.
20.Задача расширения системы натуральных чисел до кольца. Оперативное
расширение и его аксиоматическое определение.
21.Конструирование модели кольца целых чисел с помощью пар первой
ступени.
22.Фактор-множество П/~ (множество классов эквивалентных пар первой
ступени). Свойства классов эквивалентности. Некоторые частные виды
классов. Операции над парами и классами и их свойства. Кольцо классов
Z0.
23.Дополнительные свойства кольца Z0. Теорема о существовании в Z0
части, изоморфной множеству натуральных чисел как по сложению, так и
по умножению. Построение кольца целых чисел Z.
24.Минимальность кольца Z. Единственность кольца Z.
25.Основные свойства кольца целых чисел.
26.Проблема введения в системе целых чисел строгого и нестрогого порядка.
Понятие расположенного кольца.
27.Порядок по расположению любого расположенного кольца и его
свойства.
28.Понятие абсолютной величины элементов расположенного кольца.
Свойства абсолютной величины. Понятие архимедовости расположения.
29.Архимедовость и дискретность порядка в Z. Принцип наименьшего и
наибольшего элемента в Z.
30.Принцип правосторонней и левосторонней индукции. Примеры. Принцип
двусторонней индукции. Примеры. Принцип двумерной и многомерной
индукции. Примеры.
31.Задача расширения кольца Z до поля. Связь этой проблемы с задачей
измерения длин отрезков. Реализация требования аксиом АЧР
применительно к расширению кольца целых чисел при «целевой»
операции – делении. Определение поля рациональных чисел.
32.Пары второй ступени и отношение равносильности на множестве этих
пар.
33.Свойства пар второй ступени и свойства классов эквивалентных пар.
34.Операции над парами второй ступени и классами этих пар и их свойства.
35.Поле Q0 и его дополнительные свойства.
36.Построение поля рациональных чисел Q из поля Q0.
37.Основные свойства поля рациональных чисел.
38.Система действительных чисел. Недостатки поля рациональных чисел с
алгебраической точки зрения и с точки зрения измерения величин.
39.Сечения в упорядоченном (линейно) множестве, их существование и
свойства.
40.Сечения в поле рациональных чисел. Их виды и свойства. Теорема о
существовании сечений третьего рода в поле рациональных чисел.
Определение непрерывного разложения поля. Задача расширения поля
рациональных чисел до непрерывного поля («минимальными
средствами»).
41.Определение поля действительных чисел и его построение.
42.Построение поля действительных чисел (завершение). Свойства алгебры
,+,.
43.Аксиоматической построение поля действительных чисел.
44.Недостатки системы действительных чисел. Задача расширения поля
действительных чисел.
45.Построение поля C0 пар третьей ступени.
46.Построение поля С и его свойства.
47.Алгебраическая форма комплексного числа и ее характеристики.
Тригонометрическая форма комплексного числа, ее свойства и
характеристики. Примеры применения.
48.Понятие о гиперкомплексных числах. Дуальные и двойные числе.
Кватернионы, октавы. Теорема Фробениуса.