Функциональный анализ - Факультет математики и ИТ МГУ им. Н
advertisement
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ “МОРДОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Н.П. ОГАРЁВА” ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА “УТВЕРЖДАЮ” Декан факультета математики и информационных технологий, доцент _____________ И.И. Чучаев “27” сентября 2012 г. Рабочая программа дисциплины “ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ” Направление подготовки 010200.62 МАТЕМАТИКА И КОМПЬЮТЕРНЫЕ НАУКИ Профиль подготовки МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ И ПРИЛОЖЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ЭКОНОМИКЕ И ФИНАНСАХ Квалификация (степень) выпускника БАКАЛАВР Форма обучения ОЧНАЯ г. Саранск 2012 1. Цели освоения дисциплины. «Функциональный анализ» сформировался в результате обобщения понятий и методов классического математического анализа и алгебры. Существенное влияние на его развитие оказала квантовая механика. Целями освоения курса являются овладение основными положениями и методами данной теории и умения их применения к решению задач. Основу данного курса составляют теория метрических, нормированных и гильбертовых пространств, линейных функционалов и операторов, элементы нелинейного анализа. 2. Место дисциплины в структуре основной образовательной программы. Дисциплина “Функциональный анализ” относится к вариативной части цикла Б3.В Профессиональный цикл основной образовательной программы подготовки бакалавров по направлению 010200.62 «Математика и компьютерные науки» по профилям подготовки «Математический анализ и приложения» и «Математические методы в экономике и финансах». Она изучается в пятом семестре. Для ее усвоения необходимы знания следующих курсов ООП: «Математический анализ», «Фундаментальная и компьютерная алгебра», «Линейная алгебра и геометрия», «Дифференциальные уравнения». «Функциональный анализ» является базой для изучения курсов ООП: «Методы оптимизации», «Уравнения с частными производными», «Обобщенные функции», «Элементы нелинейного анализа», «Спектральная теория операторов в гильбертовом пространстве – 1», «Спектральная теория операторов в гильбертовом пространстве – 2» и «Математические основы квантовой механики». № п/п 1 2 3 1 2 3 4 5 6 7 Наименование дисциплины Требования к «входным» («выходным») знаниям, умениям и готовностям обучающегося Обеспечивающие дисциплины Математический анализ Знание основных фактов теории дифференцируемых функций, теории интеграла, теории рядов, теории рядов Фурье и умение и применения. Линейная алгебра и геомет- Знание геометрии конечномерных пространств, конечрия номерной спектральной теории и умение его использования. Дифференциальные уравне- Знание основных фактов теории дифференциальных ния уравнений и умение решать простейшие задачи Коши, краевые задачи. Последующие дисциплины Методы оптимизации Знание основных фактов теории и умение их применения Уравнения с частными про- Знание основных фактов теории и умение их применеизводными ния Обобщенные функции Знание основных фактов теории и умение их применения Элементы нелинейного ана- Знание основных фактов теории и умение их применелиза ния Спектральная теория опера- Знание основных фактов теории и умение их применеторов в гильбертовом про- ния странстве – 1 Спектральная теория опера- Знание основных фактов теории и умение их применеторов в гильбертовом про- ния странстве – 2 Математические основы Знание основных фактов теории и умение их применеквантовой механики ния 2 3. Требования к результатам освоения дисциплины. Изучение курса “Функциональный анализ ” направлен на формирование следующих компетенций: № п/п 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. Название компетенции Общекультурные компетенции (ОК) способность применять в научно-исследовательской и профессиональной деятельности базовые знания в области фундаментальной и прикладной математики и естественных наук значительные навыки самостоятельной научно-исследовательской работы способность и постоянная готовность совершенствовать и углублять свои знания, быстро адаптироваться к любым ситуациям умение быстро находить, анализировать и грамотно контекстно обрабатывать научно-техническую, естественнонаучную и общенаучную информацию, приводя ее к проблемно-задачной форме фундаментальная подготовка в области фундаментальной математики и компьютерных наук, готовность к использованию полученных знаний в профессиональной деятельности способность к анализу и синтезу информации, полученной из любых источников способность к письменной и устной коммуникации на русском языке Профессиональные компетенции (ПК) Научно-исследовательская и научно-изыскательская деятельность умение определять общие формы, закономерности, инструментальные средства отдельной предметной области умение понять поставленную задачу умение формулировать результат умение строго доказать утверждение умение на основе анализа увидеть и корректно сформулировать результат умение самостоятельно увидеть следствия сформулированного результата умение грамотно пользоваться языком предметной области умение ориентироваться в постановках задач знание корректных постановок классических задач понимание корректности постановок задач навыки самостоятельного построения алгоритма и его анализа глубокое понимание сути точности фундаментального знания способность передавать результат проведенных физико-математических и прикладных исследований в виде конкретных рекомендаций, выраженной в терминах предметной области изучавшегося явления выделение главных смысловых аспектов в доказательствах умение извлекать полезную научно-техническую информацию из электронных библиотек, реферативных журналов, сети Интернет умение публично представить собственные и известные научные результаты Производственно-технологическая деятельность владение методами математического и алгоритмического моделирования при анализе и решении прикладных и инженерно-технических проблем владение проблемно-задачной формой представления математических и естественнонаучных знаний 3 Индекс ОК-6 ОК-7 ОК-8 ОК-10 ОК-11 ОК-14 ОК-15 ПК-1 ПК-2 ПК-3 ПК-4 ПК-5 ПК-6 ПК-7 ПК-8 ПК-9 ПК-10 ПК-11 ПК-13 ПК-15 ПК-16 ПК-17 ПК-18 ПК-20 ПК-21 19. 20. 21. 22. 23. умение увидеть прикладной аспект в решении научной задачи, грамотно представить и интерпретировать результат умение проанализировать результат и скорректировать математическую модель, лежащую в основе задачи Организационно-управленческая деятельность умение самостоятельно математически и физически корректно ставить естественнонаучные и инженерно-физические задачи и организовывать их решение в рамках небольших коллективов умение приобретать опыт самостоятельного различения типов знания Педагогическая деятельность умение точно представить математические знания в устной форме ПК-22 ПК-23 ПК-25 ПК-26 ПК-27 В результате освоения дисциплины студент должен: 1) знать основные факты теории метрических, нормированных и гильбертовых пространств, основные утверждения о линейных непрерывных функционалах и операторах, основные положения спектральной теории вполне непрерывных самосопряженных операторов, основные положения нелинейного анализа. 2) уметь ориентироваться в литературе по функциональному анализу, применять полученные знания для решения конкретных задач, разрабатывать математические методы в сфере науки и практики с использованием конструкций функционального анализа; для этого обучающийся должен уметь: исследовать бесконечномерные метрические, нормированные пространства и пространства Гильберта, простейшие операторы и функционалы, находить спектр вполне непрерывных самосопряженных операторов, применять методы функционального анализа для точного или приближенного решения уравнений. 3) владеть навыками применения функционального анализа для решения задач; для этого необходимо владеть навыками исследования бесконечномерных пространств, операторов и функционалов, применения методов функционального анализа для точного или приближенного решения уравнений. 4. Образовательные технологии Реализация компетентностного подхода предусматривает использование в учебном процессе активных и интерактивных форм проведения занятий в сочетании с внеаудиторной работой с целью формирования и развития профессиональных навыков обучающихся. Удельный вес занятий, проводимых в интерактивных формах, составляет не менее 30% аудиторных занятий. В учебном процессе при изучении дисциплины “Функциональный анализ ” используются следующие формы проведения занятий: – теоретические лекции с изложением определений основных математических понятий, изучаемых в рамках дисциплины, подробным описанием и доказательством наиболее важных свойств этих математических понятий и их взаимосвязей друг с другом; – практические занятия с более подробным изучением основных свойств математических понятий, изучаемых в рамках дисциплины, выяснением их взаимосвязей друг с другом в примерах и задачах; – индивидуальные и коллективные консультации с активным участием обучающихся по наиболее сложным частям теоретического материала дисциплины и по задачам повышенной сложности; – индивидуальные коллоквиумы по наиболее сложным частям теоретического материала дисциплины; – самостоятельная работа по доказательству некоторых свойств некоторых математических понятий, изучаемых в рамках дисциплины, с целью развития самостоятельного умения доказывать математические утверждения и последующее обсуждение проделанной работы во время индивидуальных и коллективных консультаций; 4 – самостоятельная работа по выполнению индивидуальных лабораторных работ по основным разделам дисциплины; – самостоятельная работа по выполнению домашних заданий к практическим занятиям по основным разделам дисциплины. – самостоятельная работа по подготовке к индивидуальным коллоквиумам по наиболее сложным частям теоретического материала дисциплины. 5 5. Структура учебной дисциплины. : № п/п Раздел дисциплины Семестр Неделя семестра 1 Метрические пространства, непрерывные операторы в метрических пространствах Нормированные пространства, линейные операторы Теория меры и интеграла. 5 1 – 3 (5) 5 4 (6) 7(8) 8 (9) 11 12 8 12 6 20 Гильбертовы пространства, сопряженные и самосопряженные операторы. Вполне непрерывные операторы Элементы нелинейного анализа. 5 12-16 15 10 25 5 17-18 6 4 10 2 3 4 5 5 Виды учебной работы, включая самостоятельную работу студентов, и трудоемкость (в часах) Лекции Практ. Самост. Всего занятия работа 9 20 15 24 6 20 40 38 50 20 Формы текущего контроля успеваемости (по неделям семестра) Индивидуальная работа № 1 Формы промежуточной аттестации Индивидуальная работа № 2 Индивидуальная работа № 3 . Коллоквиум по разделам 1 – 3. Индивидуальная работа № 4 Экзамен 5.1. Содержание учебной дисциплины. Объем дисциплины и виды учебных занятий. Общая трудоемкость дисциплины составляет 5 зачетные единицы, 180 часов. Распределение дисциплины: Вид учебной работы Всего часов Аудиторные занятия (всего) в том числе: Лекции Практические занятия Самостоятельная работа (всего) Виды текущего контроля успеваемости Индивидуальные работы Коллоквиумы Виды промежуточной аттестации Экзамен Общая трудоемкость в часах: в зач. единицах: 90 Семестр 5 90 54 36 90 54 36 90 4 1 4 1 1 180 5 1 180 5 5.2. Содержание разделов учебной дисциплины. № п/п Наименование раздела дисциплины 1 Метрические пространства, непрерывные операторы в метрических пространствах 2 Нормированные пространства, линейные операторы и функционалы.ё Содержание раздела Формы текущего контроля успеваемости Определение метрического простран- Индивидуальная ства, примеры. Открытые и замкнутые работа № 1 множества, их свойства. Окрестности точки, их свойства. Сходимость в метрическом пространстве. Полные метрические пространства. Сепарабельные пространства. Компактные множества, их свойства. Критерий компактности в пространстве непрерывных функций. Непрерывные операторы и функционалы, их свойства. Оператор сжатия, теорема Банаха. Теорема существования и единственности для дифференциальных уравнений. Применение принципа сжимающих отображений к интегральным уравнениям. Определение нормированных про- Индивидуальная странств, примеры. Сходящиеся последоработа № 2 вательности, их свойства. Полные нормированные пространства, критерий полноты. Определение и примеры линейных непрерывных операторов. Непрерывность и ограниченность. Норма линейного непрерывного оператора. Полнота пространства линейных непрерывных операторов. Рас7 пространение линейных операторов. Последовательности линейных операторов. Теорема Банаха – Штейнгауза. Суперпозиции операторов, обратные операторы. Теоремы об обратимости операторов. Теорема Банаха об обратном операторе (без доказательства). Линейные функционалы. Распространение линейных непрерывных функционалов, теорема Хана – Банаха. Сопряженное пространство, примеры сопряженных пространств. Слабая сходимость в нормированных пространствах. Слабая сходимость в сопряженном пространстве. Второе сопряженное пространство. Рефлексивные пространства, примеры. Счетно-нормированные пространства. Пространство основных функций. Обобщенные функции, действия над ними. 3 4 n Теория меры и инПростейшие множества в R , их мера. Индивидуальная теграла. работа № 3 Элементарные множества, их мера. ВнешКоллоквиум по няя мера множества, ее свойства. Измериразделам 1-3 мые множества, мера измеримых множеств. Общее понятие меры. Измеримые функции, действия над ними. Сходимость почти всюду, теорема Егорова. Сходимость по мере, ее свойства. Простые интегрируемые функции, их свойства. Определения интегрируемой функции и интеграла Лебега. Свойства интеграла Лебега. Теоремы Лебега и Б. Леви о предельном переходе под знаком интеграла. Сравнение интеграла Лебега с интегралом Римана. Теорема Фубини. Пространства суммируемых функций, их полнота и сепарабельность. Гильбертовы проОпределение гильбертова пространства, Индивидуальная странства. Сопряпримеры. Ортогональные элементы, их работа № 4 женные и самососвойства. Проекция элемента на подпропряженные операстранство. Процесс ортогонализации. Орторы. Вполне нетонормированные последовательности, ряпрерывные операды Фурье. Неравенства Бесселя, равенство торы Парсеваля. Полные ортонормированные последовательности. Полнота тригонометрической системы в L2 , . Сопряженные операторы, их свойства. Самосопряженные операторы, их свойства. Собственные числа и собственные элементы оператора, их свойства. Спектр оператора. Свойства спектра самосопряженного оператора. Резольвента оператора, ее свой8 5. Элементы нелинейного анализа ства. Интегральные самосопряженные операторы, их свойства. Неограниченные симметричные операторы, их свойства. Дифференциальные симметричные операторы, уравнения Штурма – Лиувилля. Определения вполне непрерывных операторов, примеры. Спектр вполне непрерывного самосопряженного оператора. Разложение значений оператора по собственным элементам. Решение уравнения A I x y . Интегральные уравнения с симметричным ядром. Применение интегральных операторов к краевым задачам Штурма – Лиувилля. Дифференциалы Фреше и Гато отображений, их свойства. Формула конечных приращений. Дифференциалы высших порядков, формула Тейлора. Экстремальные задачи, необходимое условие экстремума 5.3. Разделы учебной дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами. № п/п 1 2 3 4 5 6 Наименование обеспечиваемых (последующих) дисциплин Методы оптимизации Обобщенные функции Элементы нелинейного анализа Спектральная теория операторов в гильбертовом пространстве – 1 Спектральная теория операторов в гильбертовом пространстве – 2 Математические основы квантовой механики Разделы данной дисциплины, необходимые для изучения обеспечиваемых (последующих) дисциплин 1 2 3 4 5 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 5.4. Разделы учебной дисциплины и виды занятий. № п/п 1 Наименование раздела дисциплины Определение метрического пространства, примеры. Открытые и замкнутые множества, их свойства. Окрестности точки, их свойства. Сходимость в метрическом пространстве. Полные метрические пространства. Сепарабельные пространства. Компактные множества, их свойства. Лекции 9 9 Практ. занятия 10 Самост. работа 15 Всего часов 24 2 3 Критерий компактности в пространстве непрерывных функций. Непрерывные операторы и функционалы, их свойства. Оператор сжатия, теорема Банаха. Теорема существования и единственности для дифференциальных уравнений. Применение принципа сжимающих отображений к интегральным уравнениям Определение нормированных пространств, примеры. Сходящиеся последовательности, их свойства. Полные нормированные пространства, критерий полноты. Определение и примеры линейных непрерывных операторов. Непрерывность и ограниченность. Норма линейного непрерывного оператора. Полнота пространства линейных непрерывных операторов. Распространение линейных операторов. Последовательности линейных операторов. Теорема Банаха – Штейнгауза. Суперпозиции операторов, обратные операторы. Теоремы об обратимости операторов. Теорема Банаха об обратном операторе (без доказательства). Линейные функционалы. Распространение линейных непрерывных функционалов, теорема Хана – Банаха. Теоремы отделимости. Сопряженное пространство, примеры сопряженных пространств. Слабая сходимость в нормированных пространствах. Слабая сходимость в сопряженном пространстве. Второе сопряженное пространство. Рефлексивные пространства, примеры. Счетно-нормированные пространства. Пространство основных функций. Обобщенные функции, действия над ними. n Простейшие множества в R , их мера. Элементарные множества, их мера. Внешняя мера множества, ее свойства. Измеримые множества, мера измеримых множеств. Общее понятие меры. Измеримые функции, действия над ними. Сходимость почти всюду, теорема Егорова. Сходимость по мере, ее 10 12 8 20 40 12 6 20 38 4 свойства. Простые интегрируемые функции, их свойства. Определения интегрируемой функции и интеграла Лебега. Свойства интеграла Лебега. Теоремы Лебега и Б. Леви о предельном переходе под знаком интеграла. Сравнение интеграла Лебега с интегралом Римана. Теорема Фубини. Пространства суммируемых функций, их полнота и сепарабельность. Функции ограниченной вариации. Интеграл Стилтьеса. Определение гильбертова пространства, примеры. Ортогональные элементы, их свойства. Проекция элемента на подпространство. Оператор проектирования. Процесс ортогонализации. Ортонормированные последовательности, ряды Фурье. Неравенства Бесселя, равенство Парсеваля. Полные ортонормированные последовательности. Полнота тригоно- 15 10 25 50 6 4 10 20 2 метрической системы в L , . 5 Сопряженные операторы, их свойства. Самосопряженные операторы, их свойства. Собственные числа и собственные элементы оператора, их свойства. Спектр оператора. Свойства спектра самосопряженного оператора. Резольвента оператора, ее свойства. Интегральные самосопряженные операторы, их свойства. Неограниченные симметричные операторы, их свойства. Дифференциальные симметричные операторы, уравнения Штурма – Лиувилля. Определения вполне непрерывных операторов, примеры. Спектр вполне непрерывного самосопряженного оператора. Разложение значений оператора по собственным элементам. Решение уравнения A I x y . Интегральные уравнения с симметричным ядром. Применение интегральных операторов к краевым задачам Штурма – Лиувилля. Дифференциалы Фреше и Гато, их свойства. Формула конечных приращений. Дифференциалы высших порядков, формула Тейлора. Экстре11 мальные задачи, необходимое условие экстремума 6. Лабораторный практикум. Лабораторные работы по дисциплине “Функциональный анализ” не предусмотрены. 7. Практические занятия (семинары). № Номер раздела Наименование практических занятий (семинаров) Трудоемкость п/п дисциплины (в часах) 1 1 Примеры метрических пространств. Шары, примеры. 2 Сходимость в метрическом пространстве. Конкретный смысл сходимости в заданных метрических пространствах. 2 1 Полные метрические пространства. 2 3 1 Сепарабельные метрические пространства. Компакт2 ные множества 4 1 Интегральные уравнения с вырожденным ядром. 2 5 1 Интегральные уравнения Фредгольма и Вольтера 2 второго рода 6 2 Полные нормированные пространства 2 7 2 Примеры линейных непрерывных операторов. Норма 2 линейного непрерывного оператора. 8 2 Сопряженное пространство, примеры сопряженных 2 пространств. Рефлексивные пространства 9 2 Обобщенные функции, действия над ними 2 10 3 Измеримые множества 2 11 3 Пространства суммируемых функций, их полнота и 2 сепарабельность. 12 3 Функции ограниченной вариации. Интеграл Стилтье2 са. 13 4 Ортогональные элементы, их свойства. Процесс ор2 тогонализации. Многочлены Лежандра, функции Чебышева – Эрмита. 14 4 Ряды Фурье. Неравенства Бесселя, равенство Парсе2 валя. Полные ортонормированные последовательности. 15 4 Собственные числа и собственные элементы опера2 тора. Спектр оператора. 16 4 Интегральные самосопряженные операторы, их свой2 ства. 17 4 Задача Штурма – Лиувилля. 2 18 5 Дифференциалы Фреше и Гато, их свойства. 2 12 8. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Формой текущего контроля успеваемости является проверка выполнения индивидуальных заданий, теоретического тестирования. Студент в процессе изучения дисциплины должен выполнить четыре индивидуальные работы. Индивидуальные задания по каждому разделу выполняются в рамках самостоятельной работы студентов. Задания выдаются в форме раздаточных материалов на практических занятиях. Они оформляются в отдельной тетради. Если работа выполнена неверно, то она возвращается на доработку. По каждой работе со студентом проводится собеседование по теоретическому материалу. 8.1. Перечень заданий индивидуальных работ 1. Примеры метрических пространств. Сходимость в метрическом пространстве. Полные метрические пространства. Сепарабельные пространства. Компактные множества в конкретных пространствах. Интегральные уравнения. 2. Полные нормированные пространства. Норма линейного непрерывного оператора. Сопряженное пространство. Рефлексивные пространства. Обобщенные функции, действия над ними. 3. Пространства суммируемых функций, их полнота и сепарабельность. Функции ограниченной вариации. Интеграл Стилтьеса. 4. Ортогональные элементы, их свойства. Процесс ортогонализации. Полные ортонормированные последовательности. Собственные числа и собственные элементы оператора. Спектр оператора. Интегральные уравнения с симметричным ядром. Задача Штурма – Лиувилля. 8.2. Вопросы к коллоквиуму 1. Определение метрического пространства, примеры. Шары в метрических пространствах примеры. Открытые и замкнутые множества, их свойства. 2. Сходящиеся последовательности в метрических пространствах, их свойства. Смысл сходимости в конкретных пространствах. 3. Окрестности точки, их свойства. 4. Фундаментальные последовательности, их свойства. 5. Теорема о вложенных шарах. 6. Компактные множества, их свойства. 7. -сеть множества. Критерий компактности. 8. Теорема Арцела. 9. Оператор сжатия, теорема Банаха. 10. Теорема существования и единственности для дифференциальных уравнений 11. Интегральные уравнения Фредгольма 12. Интегральные уравнения Вольтера. 13. Определение нормированных пространств, примеры 14. Сходящиеся последовательности в нормированных пространствах, их свойства. 15. Полные нормированные пространства, критерий полноты. 16. Определение и примеры линейных непрерывных операторов. Непрерывность и ограниченность. 17. Норма линейного непрерывного оператора. 18. . Полнота пространства линейных непрерывных операторов. 19. Распространение линейных операторов. 13 20. Последовательности линейных операторов. Теорема Банаха – Штейнгауза. 21. Обратные операторы. Теоремы об обратимости операторов. 22. Линейные функционалы. Сопряженное пространство, примеры сопряженных пространств. 23. Теорема Хана – Банаха. Теоремы отделимости. 24. Сопряженное пространство, примеры сопряженных пространств. 25. Теорема о вложении нормированного пространства во второе сопряженное. Рефлексивные пространства. 26. Слабая сходимость в нормированном пространстве. 27. Слабая сходимость в сопряженном пространстве. 28. Счетно-нормированные пространства. Пространство основных функций. 29. Обобщенные функции, действия над ними. 30. Простейшие множества в R n , их мера. Элементарные множества, их мера. 31. Внешняя мера множества, ее свойства. 32. Измеримые множества, мера измеримых множеств, операции над измеримыми множествами. 33. Счетная аддитивность меры. 34. Измеримые функции, действия над ними. 35. Сходимость почти всюду, теорема Егорова. 36. Сходимость по мере, ее свойства. 34. Простые интегрируемые функции, их свойства. 35. Определения интегрируемой функции и интеграла Лебега. Свойства интеграла Лебега. 36. Теорема Лебега о предельном переходе под знаком интеграла. 37. Теорема Б. Леви о предельном переходе под знаком интеграла. 38. Сравнение интеграла Лебега с интегралом Римана. 39. Функции ограниченной вариации, их свойства. 40. Интеграл Стилтьеса, его свойства. Вычисление интеграла Стилтьеса. Промежуточная аттестация по итогам освоения дисциплины проводится в виде экзамена в пятом семестре. Если студент выполнил все индивидуальные работа, успешно прошел коллоквиум, то он допускается к экзамену. 8.3. Примерный перечень вопросов к экзамену. 1. Определение метрического пространства, примеры. Сходящиеся последовательности в метрических пространствах, их свойства. Смысл сходимости в конкретных пространствах. 2. Теорема о вложенных шарах. 3. Компактные множества, их свойства. 4. -сеть множества. Критерий компактности. 5. Теорема Арцела. 6. Оператор сжатия, теорема Банаха. 7. Интегральные уравнения Фредгольма. 8. Интегральные уравнения Вольтера. 9. Определение нормированных пространств, примеры. Сходящиеся последовательности в нормированных пространствах, их свойства. 10. Полные нормированные пространства, критерий полноты. 11. Определение и примеры линейных непрерывных операторов. Непрерывность и ограниченность. Норма линейного непрерывного оператора. 12. Полнота пространства линейных непрерывных операторов. 13. Распространение линейных операторов. 14 14. Последовательности линейных операторов. Теорема Банаха – Штейнгауза. 15. Обратные операторы. Теоремы об обратимости операторов. 16. Линейные функционалы. Сопряженное пространство, примеры сопряженных пространств. 17. Теорема Хана – Банаха. Теоремы отделимости. 18. Сопряженное пространство, примеры сопряженных пространств. 19. Теорема о вложении нормированного пространства во второе сопряженное. Рефлексивные пространства. 20. Слабая сходимость в нормированном пространстве. 21. Слабая сходимость в сопряженном пространстве. 22. Счетно-нормированные пространства. Пространство основных функций. Обобщенные функции, действия над ними. 23. Простейшие множества в R n , их мера. Элементарные множества, их мера. 24. Внешняя мера множества, ее свойства. 25. Измеримые множества, мера измеримых множеств, операции над измеримыми множествами. 26. Счетная аддитивность меры. 27. Измеримые функции, действия над ними. 28. Сходимость почти всюду, теорема Егорова. 29. Сходимость по мере, ее свойства. 30. Простые интегрируемые функции, их свойства. 31. Определения интегрируемой функции и интеграла Лебега. Свойства интеграла Лебега. 32. Теорема Лебега о предельном переходе под знаком интеграла. 33. Теорема Б. Леви о предельном переходе под знаком интеграла. 34. Сравнение интеграла Лебега с интегралом Римана. 35. Функции ограниченной вариации, их свойства. 36. Интеграл Стилтьеса, его свойства. Вычисление интеграла Стилтьеса. 37. Определение гильбертова пространства, примеры. Ортогональные элементы, их свойства. 38. Проекция элемента на подпространство. Оператор проектирования, его свойства. 39. Ортонормированные последовательности, ряды Фурье. Неравенства Бесселя, равенство Парсеваля. 40. Полные ортонормированные последовательности, их свойства. 41. Сопряженные операторы, их свойства. 42. Самосопряженные операторы, их свойства. 43. Собственные числа и собственные элементы оператора, их свойства. 44. Спектр оператора. Свойства спектра самосопряженного оператора. 45. Резольвента оператора, ее свойства. 46. Определения вполне непрерывных операторов, примеры. 47. Спектр вполне непрерывного самосопряженного оператора. 48. Разложение значений оператора по собственным элементам. 49. Решение уравнения A I x y . 50. Интегральные уравнения с симметричным ядром. 51. Дифференциалы Фреше и Гато, их свойства. 52. Формула конечных приращений. 53. Дифференциалы высших порядков, формула Тейлора. 54. Экстремальные задачи, необходимое условие экстремума. Для подготовки ответов на вопросы экзаменационного билета студенту отводится не менее 1 часа времени. Время ответа на вопросы билета - не более 20 минут. 15 За ответ на каждый вопрос в экзаменационном билете студенту выставляется отметка: - «отлично», если дан полный развернутый ответ на теоретические вопросы и безошибочно выполнены практические задания; - «хорошо», если дан неполный ответ на теоретический вопрос и в процессе дальнейшего собеседования студент отвечает на все дополнительные вопросы; если практическое задание выполнено с незначительными ошибками и в процессе дальнейшего собеседования студент их самостоятельно исправляет; - «удовлетворительно», если дан неполный ответ на теоретический вопрос и в процессе дальнейшего собеседования студент отвечает лишь на часть дополнительных вопросов; если практическое задание выполнено с ошибками и в процессе дальнейшего собеседования студент не может их самостоятельно исправить; - «неудовлетворительно», если не дан ответ на теоретический вопрос; если не уяснен смысл практического задания или его выполнение содержит грубые ошибки. Итоговая отметка за экзамен складывается из следующих отметок: - за ответы на вопросы экзаменационного билета; - за ответы на дополнительные вопросы в рамках программы экзамена; - за выполнение практической части билета. Если студент получил хотя бы одну неудовлетворительную отметку, то за экзамен выставляется итоговая отметка «неудовлетворительно». В этом случае должна быть проведена переэкзаменовка в соответствии с правилами. В противном случае итоговая отметка образуется как средняя перечисленных выше отметок. 8.4. Вопросы, выносимые на государственный экзамен. 1. Банаховы пространства, гильбертовы пространства. 2. Линейные непрерывные операторы. Непрерывность и ограниченность. Норма линейного непрерывного оператора. 3. Сжимающие отображения. Теорема Банаха о неподвижной точке. 4. Измеримые функции. Сходимость почти всюду, сходимость по мере. Их свойства. 5. Интеграл Лебега. Сравнение интеграла Лебега с интегралом Римана. 6.Теорема Лебега о предельном переходе под знаком интеграла. 9. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины. а) Основная литература. 1. Колмогоров А.Н, Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Физматлит, 2004, -572 с (и др. изд.) 2. Канторович Л. В., Акилов Г. П., Функциональный анализ в нормированных пространствах, 3. .Садовничий В.А. Теория операторов. Учебное пособие. Москва. Изд-во московского унив., 1986г. 4. Люстерник Л.А., Соболев В.И., Краткий курс функционального анализа. 5. Амосов А.А. Задачи по теории функций и функциональному анализу. Множества. Метрические и топологические пространства. Мера и интеграл Лебега. М.: Изд-во МЭИ. 1998. 6. Треногин В.А. Задачи и упражнения по функциональному анализу. М.: Физматлит, 2005. 16 б) Дополнительная литература. 1. Вулих Б.З. Введение в функциональный анализ. М.: Изд-во «Наука». 1967 (и др. изд.) 2. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Изд-во «Мир». 1967. 3. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. Спб.: Лань, 2008. в) Электронные образовательные ресурсы, лицензионное программное обеспечение и Интернет-ресурсы. http://mathmod.ru/; www.exponenta.ru 10. Материально-техническое обеспечение дисциплины. Для проведения аудиторных занятий необходим стандартный набор специализированной учебной мебели и учебного оборудования, а также мультимедийное оборудование для демонстрации презентаций на лекциях. Реализация учебной программы должна обеспечиваться доступом каждого студента к информационным ресурсам – библиотечному фонду и сетевым ресурсам Интернет. Для использования ИКТ в учебном процессе необходимо наличие программного обеспечения, позволяющего осуществлять поиск информации в сети Интернет, систематизацию, анализ и презентацию информации, экспорт информации на цифровые носители. 11. Методические рекомендации по организации изучения дисциплины. Во время лекционных занятий по дисциплине “Функциональный анализ” необходимо особое внимание студентов обратить на: а) формулы, определения, графики, схемы; б) сложные места; в) факты, от которых зависит понимание главного; г) все новое, незнакомое; д) данные, которыми часто придется пользоваться и которые трудно получить из других источников. Акцентировать внимание на том, что записывать материал надо, по возможности, сжато, но без ущерба для ясности. Главная ценность конспекта лекций не в том, что по нему удобно готовиться к экзаменам. Конспект особенно ценен в том случае, если в нем выражается свое отношение к материалу. Целесообразно подчеркивать те места, на которые следует обратить внимание при каждом чтении. Важнейшей стороной любой формы практических занятий являются упражнения. Основа в упражнении – пример, который разбирается с позиций теории, развитой в лекции. Как правило, основное внимание уделяется формированию конкретных умений, навыков, что и определяет содержание деятельности – решение задач, графические работы, уточнение категорий и понятий науки, являющихся предпосылкой правильного мышления и речи. Практические занятия организовываются так, чтобы постоянно ощущалось нарастание сложности выполняемых заданий, испытывались положительные эмоции от переживания собственного успеха в учении, напряженной творческой работы, поиска правильных и точных решений. Большое значение имеет индивидуальный подход к студентам. Обучаемые получают возможность раскрыть и проявить свои способности, свой личностный потенциал. Поэтому при разработке заданий и плана занятий преподавателю необходимо учитывать уровень подготовки и интересы каждого студента группы, выступая в роли консультанта и не подавляя самостоятельности и инициативы студентов. На вводном занятии студентам предлагается объяснение концепции изучения дисциплины в течение семестра и допуске к экзамену. Основным постулатом такой концеп17 ции изучения дисциплины является постановка перед студентами задач по выполнению каждого вида предложенных работ. Обязательным условием является выполнение каждым студентом всех видов самостоятельной работы в течение семестра. На итоговом занятии необходимо резюмировать итоги изучения дисциплины в группе. На этом занятии отмечаются лучшие студенты по различным критериям: лучшее выполнение отдельных заданий, самое оперативное выполнение, творческий подход, полнота и т. д. Это позволяет повысить мотивацию и внести элемент соревновательности, побуждающий студентов активнее заниматься внеаудиторной работой по дисциплине “Функциональный анализ”. Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом рекомендаций и ПрООП ВПО по направлению подготовки бакалавров 010200.62 “Математика и компьютерные науки”. 18 Авторы: Доцент кафедры математического анализа ___________________ Е.Н. Гришанов Зав. кафедрой математического анализа ___________________ И.И. Чучаев Эксперты: ___________________ ___________________ Программа одобрена на заседании учебно-методической комиссии факультета математики и информационных технологий от “20” сентября 2012 г., протокол № 6. 19
