РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА
КАЛЕНДАРНЫЙ ПЛАН
дисциплины "Функциональный анализ"
Факультет
автоматики и вычислительной техники
Курс 3
группа АМ-04-6
УЧЕБНЫЙ ПЛАН
на осенний семестр 2006/2007
учебного года
Лектор профессор Б. М. Писаревский
Всего часов
68
Лекции
Практич. занятия
51
17
Номер
недели
Лекции
Колво
часов
1
Линейные нормированные пространства. Расстояние, шары,
предел, непрерывность нормы. Открытые и замкнутые множества, замыкание, всюду плотные множества, сепарабельность. Фундаментальная последовательность, банахово пространство, теорема о вложенных шарах. Ряды. Выпуклые
множества. Линейные многообразия и подпространства. Теорема о почти – перпендикуляре. [1] §§ 2, 3, 5.
Примеры линейных нормированных пространств. Простран-
3
[4] §§ 1, 2.
1
3
[4] §§ 1, 2.
1
2
1
Практические
занятия
Колво
часов
n
ства R , R . Конечномерные пространства с различной нормой. Пространства непрерывных функций C[a; b] и непре1
рывно дифференцируемых функций C n [a; b] . Пространства
l2 , l1, l p ( p  1) . Пространство ограниченных последователь-
3
4
ностей m как пример несепарабельного пространства. [1] §§
2, 3, 5.
Гильбертовы пространства. Непрерывность скалярного произведения. Равенство параллелограмма. Угол и ортогональность. Теорема о существовании элемента с наименьшей
нормой в замкнутом выпуклом множестве. Теорема о разложении гильбертова пространства в прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения. Ортонормированные системы. Базис сепарабельного гильбертова пространства. Ряд Фурье. Неравенство Бесселя. Замкнутые системы. Сходимость ряда Фурье. Критерий замкнутости ортонормированной системы. [1] § 6.
Пополнение линейного нормированного пространства (основные этапы, идея доказательства). Построение интеграла
Лебега через пополнение пространства непрерывных функций. Пространства L2 [a; b], Lp [a; b] ( p  1) . Тригонометриче-
3
[4] § 3.
1
3
[4] §§ 4, 15. Рейтинговая контрольная работа
1
ский ряд Фурье. Пространство Соболева. Его вложение в
пространство непрерывных функций. Компактные и бикомпактные множества. Свойство единичного шара в бесконечномерном линейном нормированном пространстве. [1] §§ 7,
8, 9, 19.
2
5
6
7
8
Критерий компактности. Компактность в пространстве непрерывных функций. Линейные операторы и функционалы.
Ограниченность, непрерывность и норма линейного оператора. Интегральный оператор Фредгольма. Операторы дифференцирования и ортогонального проектирования в гильбертовом пространстве. Примеры непрерывных линейных функционалов. [1] §§19, 10.
Пространство ограниченных линейных операторов. Равномерная и сильная сходимости последовательности операторов. Операторные ряды. Принцип равномерной ограниченности. Теорема Банаха – Штейнгауза. Продолжение ограниченного линейного оператора с всюду плотного линейного многообразия. Кольцо операторов. Сопряженное пространство.
[1] § 11.
Обратные операторы. Критерий существования обратного
оператора и критерий ограниченности обратного оператора.
Непрерывная обратимость. Теорема Банаха об обратном операторе (без доказательства). Операторная геометрическая
прогрессия. Спектр оператора. Резольвента. Собственные
подпространства. Дискретный и непрерывный спектр. [1] §§
12, 23, 24.
Теорема Хана – Банаха (доказательство – для сепарабельного
пространства). Следствия. Структура сопряженного пространства для гильбертова пространства, для пространства
l p ( p  1) (идея доказательства), пространств L2 [a; b],
3
[4] §§ 15, 7.
1
3
[4] §§ 8, 11.
1
3
[4] § 9, 19.
1
3
[4] § 12.
1
Lp [a; b] ( p  1) (без доказательства). Функции с ограниченной вариацией. Интеграл Стильтьеса. [1] §§ 16, 17, [3] § 9.5.
3
9
10
11
12
13
14
Общий вид непрерывного линейного функционала в пространстве непрерывных функций (идея доказательства). Слабая сходимость. Второе сопряженное пространство. Слабая
компактность. Сопряженные операторы. Самосопряженные
операторы. Неотрицательность и частичная упорядоченность.
Квадратичная форма, порождаемая самосопряженным оператором. [3] § 9.5, [1] §§ 17, 18.
Вполне непрерывные операторы. Подпространство вполне
непрерывных операторов. Теорема о полной непрерывности
сопряженного оператора (без доказательства). Полная непрерывность и слабая сходимость. Полная непрерывность интегрального оператора Фредгольма. Спектр вполне непрерывного оператора. [1] §§20, 24.
Вполне непрерывные самосопряженные операторы. Теорема
Гильберта – Шмидта. Равномерная сходимость ряда по собственным функциям интегрального оператора Фредгольма с
симметричным непрерывным ядром. [1] § 24.
Симметричные операторы. Оператор Штурма – Лиувилля.
Оператор Грина как обратный к оператору Штурма – Лиувилля. Абсолютная и равномерная сходимость ряда по собственным функциям. [3] §§ 10.5, 11.7.
Линейные интегральные уравнения. Уравнения Фредгольма
второго рода с вырожденным ядром. Теоремы Фредгольма.
Уравнения Фредгольма второго рода с симметричным ядром.
[1] § 20.
Принцип сжимающих отображений. Уравнение Вольтерра
второго рода. Уравнения первого рода. Некорректные задачи.
Понятие о методах регуляризации. [1] § 33, 20.
3
[4] §§ 13, 14, 18.
Рейтинговая
контрольная работа
1
3
[4] §§ 16, 20.
1
3
[4] § 20.
1
3
[4] § 22. Рейтинговое домашнее
задание (сдача)
1
3
[4] § 21.
1
3
[4] § 21.
1
4
15,
16
17
Леммы вариационного исчисления. Вариация функционала.
Уравнение Эйлера. Классические вариационные задачи.
Квадратичные функционалы и вторая вариация. Понятие о
достаточных условиях экстремума функционала. [2] Гл.6, 8.
Резерв.
3
[4] §§ 30, 31.
1
3
Рейтинговая
контрольная работа
1
ЛИТЕРАТУРА
1. В. А. Треногин Функциональный анализ. М.: Наука, Физматлит,1980
2. Л. Э. Эльсгольц Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, Физматлит,1969
3. Б. З. Вулих Введение в функциональный анализ. М.: Наука, Физматлит,1967.
4. В. А. Треногин, Б. М. Писаревский, Т. С. Соболева. Задачи и упражнения по функциональному анализу. М.: Наука,
Физматлит,1984 или 2002.
ЛЕКТОР ПОТОКА
проф. Б. М. Писаревский
5