Утверждаю Вице-министр образования и науки ___________М. Орунханов

Утверждаю
Вице-министр образования и науки
___________М. Орунханов
«_____»_________________2013 г.
СПЕЦИФИКАЦИЯ ТЕСТА
по дисциплине «Функциональный анализ»
для специальности 5В060100 – «Математика»
1. Цель разработки:
Тест разработан для проведения внешней оценки учебных достижений
студентов выпускных курсов в организациях высшего образования
Республики Казахстан, с целью мониторинга освоения учебной программы
по направлениям обучения.
2. Задача:
Определение уровня знаний студентов выпускных курсов вузов РК.
3. Содержание и план теста:
Тест содержит учебный материал по дисциплине «Функциональный
анализ» в соответствии с типовым учебным планом по следующим темам:
№
1
2
3
Содержание
Введение. Краткие исторические сведения о возникновении и
развитии принципов и методов функционального анализа. Значение
функционального анализа и его связь с другими математическими
дисциплинами.
Метрические пространства и тополдогические пространства
Определение метрического пространства и топологических
понятий в нем. Теоремы об открытых и замкнутых множествах в
метрических пространствах. Множества, плотные в других
множествах; всюду плотные и нигде не плотные в метрическом
пространстве. Сепарабельные метрические пространства. Полные и
неполные метрические пространства. Пополнение метрических
пространств. Принцип вложенных шаров. Теорема Бэра. Принцип
сжимающих
отображений.
Понятие
о
топологических
пространствах.
Линейные нормированные пространства.
Линейное пространство. Аксиомы нормы и их простейшие
следствия. Линейное нормированное пространство. Сходимость
последовательности в нормированном пространстве. Линейное
многообразие и подпространство. Примеры линейных пространств.
Неравенства Гельдера и Минковского. Банаховы пространства.
Евклидовы
пространства.
Гильбертовы
пространства.
Ограниченные и вполне ограниченные множества. Критерий
компактности
метрического
пространства.
Критерий
Количество
заданий
2
4
3
4
5
6
7
8
9
предкомпактности множества в метрическом пространстве.
Теорема Арцела.
Геометрия гильбертова пространства. Лемма о равенстве
параллелограмма.
Понятие
угла
между
элементами.
О6ртогональные элементы. Ортонормированные системы в
евклидовых пространствах. Разложение Гильбертова пространства
на прямую сумму ортогональных подпространств. Неравенство
Бесселя. Полные ортонормированные системы в сепарабельных
гильбертовых пространствах. Равенство Парсеваля. Теорема РисаФишера. Изоморфизм гильбертовых пространств.
Линейные функционалы и операторы.
Операторы и функционалы. Ограниченные и непрерывные
линейные операторы в линейном нормированном пространстве.
Общий вид линейных непрерывных функционалов в основных
постранствах. Сопряженное пространство. Сильная топология в
сопряженном пространстве. Второе сопряженное пространство.
Слабая сходимость в сопряженном пространстве.
Алгебра операторов. Банахово пространство линейных операторов.
Сопряженный оператор. Сопряженный оператор в гильбертовом
пространстве. Симметричные и вполне непрерывные (компактные)
операторы. Предел последовательности операторов.
Основные принципы функционального анализа. Теорема БанахаШтейнхауса. Критерий поточечной сходимости. Теоремы Банаха
об обратном операторе и о замкнутом графике. Теорема ХанаБанаха о продолжении линейных функционалов и ее следствия.
Элементы спектральной теории операторов. Собственные числа и
собственные элементы линейного оператора. Спектр оператора.
Резольвента. Спектр симметричного компактного оператора.
Предел последовательности компактных операторов. Теорема
Гильберта-Шмидта, ее следствия. Полная непрерывность оператора
Фредгольма с квадратично суммируемым ядром. Следствия для L2.
Неоднородные интегральные уравнения с симметричными ядрами.
Элементы теории обобщенных функций. Пространства основных и
обобщенных функций. Регулярные и сингулярные обощенные
функций. Производные обобщенных функций. Простейшие
приложения обобщенных функций.
Количество заданий в одном варианте:
2
2
3
3
3
3
25
4. Характеристика содержания заданий.
Структура
и
содержание
тестовых
заданий
по
дисциплине
«Функциональный анализ» охватывают научную и теоретическую базу
дисциплины и позволяют оценить усвоенные знания студентов.
5. Среднее время выполнения заданий:
Время выполнения одного задания – 1,5 минуты.
6. Число заданий в одном варианте теста:
В одном тесте - 25 заданий. По уровням сложности тестовые задания
подразделяются на легкие (уровень 1) - 8 заданий (32%), средние (уровень 2)
- 11 заданий (44%) и сложные (уровень 3) - 6 заданий (24%).
7. Форма заданий:
Тестовые задания представлены в закрытой форме с несколькими
правильными ответами из числа предложенных вариантов ответов.
Инструкция: Выбранный ответ необходимо отметить на листе ответов путем
полного закрашивания соответствующего кружка.
8. Апробация заданий:
Тесты апробируются на студентах выпускных курсов в ВУЗах разных
регионов РК.