Молодежь и наука1 (1)x

УДК 519.1
ЗАДАЧА СУММИРОВАНИЯ И ТОЖДЕСТВА С БИНОМИАЛЬНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Сергеев И. С., Николаев П. Д.
научный руководитель д-р физ.-мат. наук Лейнартас Е. К.
МАОУ «Гимназия №13»
Задача суммирования является одной из главных в теории исчисления конечных разностей и часто
возникает в различных разделах математики. В компьютерной алгебре сумма ищется в символьном виде, то
есть явно в виде математической функции. Тем самым задача явного вычисления сумм различных функций
представляет большой интерес.
В данной работе методами теории суммирования получено следующее тождество с биномиальными
коэффициентами:
𝑥
𝑥
𝑡
∑ 𝐶𝑡+𝑚
= 𝐶𝑥+𝑚+1
.
(1)
𝑡=0
Сформулируем классическую проблему суммирования:
целочисленного аргумента) ф(t), где t = 0,1,2,3, …,
𝑥
дана последовательность (функция
k, …. Требуется найти сумму
𝑆(𝑥) = ∑ ф(𝑡) = ф(0) + ф(1) + … + ф(𝑥).
𝑡=0
f(x)
Хорошо известен и широко применяется следующий приём нахождения данной суммы. Если функция
удовлетворяет
условию
f(x+1)
–
f(x)=ф(x),
то
искомая
сумма
равна
(см. [1])
𝑥
𝑆(𝑥) = ∑ 𝑓(𝑡 + 1) − 𝑓(𝑡) = 𝑓(𝑥 + 1) − 𝑓(0).
(∗)
𝑡=0
Якоб Бернулли использовал этот приём для нахождения суммы степеней натуральных чисел:
𝑆𝑚 (𝑥) = 1𝑚 + 2𝑚 + … + (𝑥 + 1)𝑚 . Он нашёл многочлены 𝐵𝑚+1 (𝑥) степени (m+1), которые удовлетворяют
рекуррентному соотношению 𝐵𝑚+1 (𝑥 + 1) − 𝐵𝑚+1 (𝑥) = (𝑚 + 1)𝑥 𝑚 , что и позволило решить данную задачу
суммирования.
Мы воспользуемся данным методом суммирования для доказательства одного тождества с
n!
k
биномиальными коэффициентами. Биномиальными коэффициентами называются числа вида C =k!(n−k)!.
n
Нам понадобятся следующие свойства биномиальных коэффициентов:
Cnk = Cnn−k
,
k+1
Cnk + Cnk+1 = Cn+1
,
(2)
(3)
Кроме того, для n<k считается
Сkn =0.
(4)
Обозначим Nm(x) – решение рекуррентного соотношения
Nm(x+1) – Nm(x) = Nm-1(x+1),
где m и x – целые неотрицательные числа.
(**)
По определению полагаем: N-1(x) = 1. Последовательно решая уравнение (**) для m=0, 1, 2, 3 ... ,
найдем, что N0(x) = x, N1(x) =
x(x+1)
x(x+1)(x+2)
x(x+1)(x+2)(x+3)
2!
3!
4!
, N2(x) =
, N3(x) =
.
Прямой подстановкой в уравнение (**) проверяется, что для произвольного m справедлива формула:
Nm (x) =
x(x+1)…(x+m)
.
(m+1)!
(5)
x
Докажем тождество (1) используя прием суммирования (*). Обозначим фm(x) = Cm+x
, и будем искать
тогда, согласно методу суммирования, нужно решить относительно неизвестной функции fm(x)
∑xt=0 фm (t),
x
x
рекуррентное соотношение fm(x+1) – fm(x) = Cm+x
, так как Cm+x
=
x−1
Cx+m
(m+x)!
x!m!
=
(x+1)(x+2)∗…∗(x+m)
m!
= Nm−1 (x + 1).
x−1
Тогда согласно (5) и (**), искомая функция равна fm(x) = Nm(x) = Cx+m
, а по свойству (2) получим
m+1
m+1
= Cx+m , т.е. fm(x) = Cx+m .
Учитывая свойство (4), имеем fm(0) = С𝑚+1
= 0. Кроме того, многочлены Nm(x) удовлетворяют
𝑚
рекуррентному соотношению fm(x+1) – fm(x) = фm(x), и с учетом свойства (3) и формулы (*) получим, что
∑xt=0 фm (t) = fm(x+1) – fm(0) = fm(x+1) = С𝑚+1
x+m+1 , т.е.
t
x
∑xt=0 Ct+m
= Cx+m+1
.
(6)
Замечание. Тождество (6) доказано другим, комбинаторным, способом в [2] (с.170) при решении одной
из задач о блужданиях точки по целочисленной решётке. Метод, использованный в данной работе, может
быть применён для доказательства других тождеств, а также для решения других задач о блуждании точки и
задач суммирования.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Гельфонд А. О. – «Исчисление конечных разностей» - издание второе, дополненное, Государственное
издательство физико – математической литературы, Москва, 1959
2. Виленкин Н.Я., Виленкин А.Н., Виленкин П.А. – «Комбинаторика» - М.: ФИМА, МЦНМО, 2006
3. М. М. Глухов, В. П. Елизаров, А. А. Нечаев – «Линейные рекуррентные последовательности» - М.:
Гелиос АРВ, 2003
4. И. Н. Воробьёв. – «Числа Фибоначчи» - «Наука», главная редакция физ.-мат. Литературы, Москва, 1969
г., 112 стр.
5. А. И. Маркушевич – «Возвратные последовательности». Издание второе. Литература, Москва, 1975 г.