3732529x - Pedsovet.su

Для полноты картины ещё раз напомню постановку задачи.
Рассматривается последовательность чисел, построенная по следующему
принципу:
каждое следующее число, начиная с третьего, образуется вычитанием
предыдущего из предыдущего предыдущему. С точки зрения математики это
записывается в виде соотношения, которое называется рекуррентным, а
сама последовательность – возвратной или рекуррентной:
𝑎(𝑛) = 𝑎(𝑛 − 2) − 𝑎(𝑛 − 1).
Для «разгона» такой последовательности необходимо задать начальные
условия, то есть задать значения нескольких первых её членов.
У такой последовательности есть ещё ряд характеристик.
1. Порядок последовательности – число предшествующих элементов,
необходимых для определения текущего элемента. В данном случае
задействовано только два элемента, поэтому эта последовательность
второго порядка. Нужно отметить, что порядок определяется не
просто количеством явно присутствующих предыдущих элементов, а
разностью номера текущего элемента и минимальным из всех
предыдущих номеров. Например, последовательность, заданная
рекуррентным соотношением:
𝑎(𝑛) = 5𝑎(𝑛 − 1) + 9𝑎(𝑛 − 4)
есть последовательность четвертого порядка: 𝑛 − (𝑛 − 4) = 4.
Количество
начальных
элементов,
необходимых
для
«разгона»
последовательности, равно порядку последовательности. В нашем случае
необходимо задать два первых её члена - 𝑎(1) и 𝑎(2).
2. Зависимость коэффициентов при членах последовательности от
номера 𝑛. В нашем случае ни один коэффициент от номера не зависит.
Это последовательность с постоянными коэффициентами.
1
3. Функциональная зависимость, представляющая члены
последовательности. В данном случае все члены последовательности
представлены своей первой степенью – это линейная
последовательность. Последовательность
𝑎(𝑛) = 3𝑛𝑎(𝑛 − 1) − 𝑛2 [𝑎(𝑛 − 3)]4
Есть нелинейная возвратная последовательность третьего порядка с
переменными коэффициентами.
4. Присутствие вместе с членами самой последовательности
«посторонних» элементов. Например:
𝑎(𝑛) = 𝑎(𝑛 − 1) + 2𝑛 − 1.
Такая последовательность называется неоднородной (в данном случае –
линейной первого порядка с постоянными коэффициентами).
5. Наиболее общим видом линейной неоднородной последовательности
второго порядка с переменными коэффициентами является
последовательность вида:
𝐴(𝑛)𝑎(𝑛) + 𝐵(𝑛)𝑎(𝑛 − 1) + 𝐶(𝑛)𝑎(𝑛 − 2) = 𝐷(𝑛).
Здесь все функции A, B, C и D считаются известными. В нашем конкретном
случае:
𝐴(𝑛) = 1,
𝐵(𝑛) = 1,
𝐶(𝑛) = −1,
𝐷(𝑛) = 0.
Теория работы с такими рекуррентными последовательностями хорошо
известна – это теория линейных конечно-разностных уравнений,
дискретный аналог теории линейных дифференциальных уравнений.
Любое линейное конечно-разностное всегда имеет единственное
решение, полностью определяемое начальными условиями. Алгоритм
нахождения таких решений также хорошо известен.
После этого небольшого введения вернемся к задаче в таком виде, в
каком формулирует её автор.
2
Для уравнения
𝑎(𝑛) = 𝑎(𝑛 − 2) − 𝑎(𝑛 − 1)
найти 𝑎 − такое второе начальное условие
𝑎(1) = 1,
𝑎(2) = 𝑎,
при котором все члены последовательности будут положительными
числами.
Нетрудно заметить, что рассматриваемая последовательность имеет вид:
1, 𝑎, 1 − 𝑎, 2𝑎 − 1, 2 − 3𝑎, 5𝑎 − 3, 5 − 8𝑎, 13𝑎 − 8, 13 − 21𝑎, 34𝑎 − 21, ….
Что дальше делает автор? Он выбирает в качестве второго члена
последовательности такое число, какое является одним из корней
характеристического уравнения для данной последовательности:
𝑎(2) = 𝑎 = √5 − 1⁄2
При этом последовательность, выросшая из таких начальных условий, с
очевидностью превращается в геометрическую прогрессию со знаменателем
√5 − 1⁄
2
и
автоматически
удовлетворяет
поставленным
условиям
положительности. На этой стадии в принципе никаких вопросов нет.
Далее рассматривается вопрос единственности найденного решения. С
этим согласиться не могу. Во-первых, единственность решения с заданными
начальными условиями известна и доказательства не требует. Во-вторых,
речь идет не о том, чтобы показать единственность решения с заданным
значением второго коэффициента, в данном случае √5 − 1⁄2, а в том, чтобы
показать единственность самого этого значения, при котором только и
получается положительность всех членов последовательности. Приведенное
доказательство этой цели не достигает.
3