ShishkinaOAx - Сибирский федеральный университет

УДК 517.55+517.96
ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА-МАКЛОРЕНА В ЗАДАЧЕ СУММИРОВАНИЯ ФУНКЦИИ
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Шишкина О. А.
научный руководитель доктор физ.-мат. наук, проф. Лейнартас Е. К.
Сибирский федеральный университет
Задача суммирования функций, т.е. отыскания для заданной функции 𝜑(𝑡) суммы
∑𝑥𝑡=0 𝜑(𝑡) с переменным "`верхним пределом суммирования"' относится к числу
классических. Задачу о вычислении суммы степеней последовательных натуральных
чисел 𝜑(𝑡) = 𝑡 𝑚 решил Якоб Бернулли. Эти иccледования
дали толчок к
возникновению целого ряда разделов комбинаторного анализа. Эйлер предложил способ
решения задачи суммирования, который сводит ее к необходимости решать
относительно функции 𝑓(𝑥) разностное уравнение
𝑓(𝑥 + 1) − 𝑓(𝑥) = 𝜑(𝑥),
(1)
и показал, что искомая функция удовлетворяет дифференциальному уравнению
𝐵𝜇 (𝜇)
(𝑥) ,
𝑓 ′ (𝑥) = ∑∞
(2)
𝜇=0 𝜇! 𝜑
где 𝐵𝜇 - числа Бернулли. Если функциональный ряд, стоящий в правой части уравнения
можно почленно интегрировать, то из соотношения (2) после интегрирования для
решения уравнения (1) получается знаменитая формула Эйлера-Маклорена ([1]), которая
выражает искомую функцию через интеграл и производные от 𝜑(𝑡):
𝐵𝜇 (𝜇−1)
(𝑥).
𝑓(𝑥) = ∫ 𝜑(𝑥) 𝑑𝑥 + ∑∞
𝜑
𝜇=1
𝜇!
Другие подходы к решению задачи суммирования можно найти в [2].
Существуют два метода исследования формулы Эйлера-Маклорена: средствами
вещественного анализа и с помощью комплексного интегрирования. Средства
вещественного анализа - это числа и многочлены Бернулли и ряды Фурье (Пуассон).
Формулу Эйлера-Маклорена нашли независимо Эйлер (1732-33, опубликовано 1738)
и Маклорен (1742). Первое серьезное исследование остаточного члена предпринял
Пуассон (1823), первое совершенно строгое - Якоби (1834).
В данной работе рассматривается задача отыскания суммы значений целой функций
нескольких переменных 𝜑(𝑡) по всем целым точкам 𝑡 = (𝑡1 , … , 𝑡𝑛 ) , принадлежащим
параллелотопу с "`переменной"' вершиной 𝑥. Приведем необходимые обозначения и
определения.
Пусть a1 , . . . , a𝑛 линейно независимые векторы с целочисленными координатами aj =
𝑗
𝑗
𝑗
(𝑎1 , … , 𝑎𝑛 ), 𝑎𝑖 ∈ ℤ.
Рациональным
конусом,
порожденным
векторами
1
𝑛
𝑛
1
𝑛
a ,...,a
назовем множество 𝐾 = {𝑦 ∈ ℝ ∶ 𝑦 = 𝜆1 𝑎 + ⋯ + 𝜆𝑛 𝑎 , 𝜆𝑗 ∈ ℝ+ , 𝑗 =
1, … , 𝑛}. Отметим, что такой конус является симплициальным, т. е. каждый его элемент
выражается через образующие единственным образом. Кроме того, симплициальный
конус также является выступающим, т. е. не содержит прямых.
Между точками 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑅 𝑛 определим отношение частичного порядка ≥𝐾 следующим
образом:
𝑢 ≥𝐾 𝑣 ⇔ 𝑢 ∈ 𝑣 + 𝐾,
где 𝑣 + 𝐾 – сдвиг конуса 𝐾 на вектор 𝑣. Кроме того, будем писать𝑢 ≱𝐾 𝑣, если 𝑢 ∈ 𝐾 ∖
{𝑣 + 𝐾}, т. е. если отношение 𝑢 ≥𝐾 𝑣 не выполняется. Любой элемент 𝑦 ∈ 𝐾 ∩ ℤ𝑛 можно
представить в виде линейной комбинации базисных векторов 𝑦 = 𝜆1 𝑎1 + ⋯ + 𝜆𝑛 𝑎𝑛 . В
матричной форме это представление запишется в виде𝑦 = 𝐴𝜆, где 𝜆 - вектор-столбец, 𝐴
- матрица, определитель которой ∆≠ 0, а столбцы состоят из координат векторов 𝑎𝑗 :
𝑎11 … 𝑎1𝑛
𝐴 = ( … … … ).
𝑎1𝑛 … 𝑎𝑛𝑛
𝑛
Возьмем произвольные 𝑥 ∈ 𝐾 ∩ ℤ и рассмотрим параллелотоп П𝐾 (𝑥) = {𝑡 ∈
𝑛
ℝ : 0 ≤𝐾 𝑡 ≤𝐾 𝑥}. Будем рассматривать унимодулярные параллелотопы (т.е. detA=1), в
которых число целых точек равно объему параллелотопа.
Для заданной функции 𝜑(𝑡) = 𝜑(𝑡1 , … , 𝑡𝑛 ) задача состоит в отыскании кратной
суммы 𝑆(𝑥) = ∑𝜏∈П𝐾(𝑥)∩ℤ𝑛 𝜑(𝜏) с переменным верхним пределом суммирования.
Для комплекснозначной функции 𝑓(𝑥) целочисленных аргументов 𝑥 = (𝑥1 , … , 𝑥𝑛 )
определим оператор 𝛿𝑗 сдвига по 𝑗 -ой переменной 𝛿𝑗 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥1 , … , 𝑥𝑗−1 , 𝑥𝑗 +
1, 𝑥𝑗+1 , … , 𝑥𝑛 ) и обозначим 𝑃(𝛿) = ∑𝛼 𝑐𝛼 𝛿 𝛼 полиномиальный разностный оператор с
𝛼
𝛼
постоянными коэффициентами 𝑐𝛼 , 𝛼 = (𝛼1 , … , 𝛼𝑛 ) ∈ ℤ𝑛+ , 𝛿 𝛼 = 𝛿1 1 … 𝛿𝑛 𝑛 .
Теорема 1
Сумма 𝑆(𝑥) = ∑0≤𝐾 𝑡≤𝐾 𝑥 𝜑(𝑡) с переменным "`верхним"' пределом суммирования 𝑥 ∈
𝐾 ∩ ℤ𝑛 , где суммирование ведется по всем целым точкам 𝑡 из параллелотопа П𝐾 (𝑥),
удовлетворяет разностному уравнению
𝑄(𝛿)𝑆(𝑥) = 𝜑(𝑥 + 𝑎),
(3)
𝑗
𝑛
𝑎
1
𝑛
где 𝑄(𝛿) = ∏𝑗=1 (𝛿 − 1) и 𝑎 = 𝑎 + ⋯ + 𝑎 - векторы, порождающие конус 𝐾.
Обозначим 𝜋𝑗 оператор проектирования вдоль вектора 𝑎 𝑗 , а именно, для любого
𝑥 = 𝜆1 𝑎1 + ⋯ + 𝜆𝑛 𝑎𝑛 , 𝑎 𝑗 ∈ 𝐾, положим 𝜋𝑗 𝑥 = 𝜆1 𝑎1 + ⋯ + [𝑗] + ⋯ + 𝜆𝑛 𝑎𝑛 , где [𝑗]
означает, что 𝑗-oе слагаемое пропущено, и 𝜋𝑗 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝜋𝑗 𝑥). Обозначим
𝜋𝐽 = 𝜋𝑗1 ∙∙∙ 𝜋𝑗𝑟 , где 𝐽 = {𝑗1 , … , 𝑗𝑟 }, 1 ≤ 𝑗1 < 𝑗2 < ⋯ < 𝑗𝑟 ≤ 𝑛, #𝐽 = 𝑟. Если 𝑟 = 0, то
𝜋𝐽 𝑥 = 𝑥, если 𝑟 = 𝑛, 𝜋𝐽 𝑥 = 0. {𝜋𝐽 𝑥}1≤𝑗 <𝑗 <⋯<𝑗 ≤𝑛 – 2𝑛 вершин параллелотопа.
1
2
𝑟
𝐽′ = {1,2, … , 𝑛} − 𝐽, т.е. наборы из (𝑛 − 𝑟) чисел, которые не входят в 𝐽.
′
′
′
′
}, 𝑎 𝐽 = 𝑎 𝑗1 + ⋯ + 𝑎 𝑗𝑛−𝑟 , 𝐽 ∪ 𝐽′ = {1, … , 𝑛}, 𝐽 ∩ 𝐽′ = ∅.
Для 𝐽′ = {𝑗1′ , … , 𝑗𝑛−𝑟
Теорема 2
Если 𝑓(𝑥) - любое решение разностного уравнения 𝑄(𝛿)𝑓(𝑥) = 𝜑(𝑥) , то 𝑆(𝑥) =
′
∑𝐽(−1)#𝐽 𝑓(𝜋𝐽 𝑥 + 𝑎 𝐽 ) , т.е. искомая сумма 𝑆(𝑥) выражается через значения функции
𝑓(𝑥) в конечном (равном 2𝑛 )числе точек вершин параллелотопа.
Обозначим ℂ𝑛 комплексное пространство размерности 𝑛, а его точки 𝑧 = (𝑧1 , … , 𝑧𝑛 ).
Пусть 𝐸𝑥𝑝(ℂ𝑛 ) пространство целых функций 𝜑(𝑧) экспоненциального типа, т.е. целых
функций, удовлетворяющих неравенству
| 𝜑(𝑧)| ≤ 𝑀𝑒 𝑟|𝑧| ,
где 𝑀 > 0, 𝑟 ≥ 0 - некоторые числа (для каждой функции свои), и |𝑧| = |𝑧1 | + ⋯ + |𝑧𝑛 |.
Пусть 𝑅 > 0 фиксированное число и 𝑟 < 𝑅 произвольно. Обозначим через 𝐸𝑥𝑝𝑅 (ℂ𝑛 )
пространство целых функций экспоненциального типа 𝜑(𝑧) таких, что для
некоторого 𝑀 > 0 и любого 𝑟 < 𝑅
𝜕 |𝛼|
| 𝛼 𝜑(𝑧)| ≤ 𝑀𝑟 |𝛼| 𝑒 𝑟|𝑧|
𝜕𝑧
𝜕|𝛼|
для всех мультииндексов 𝛼 и всех 𝑧 ∈ ℂ𝑛 , 𝜕𝑧 𝛼 =
Обозначим дифференциальный оператор
𝑗 𝜕
𝑗
𝜕
𝜕𝛼1 +⋯+𝛼𝑛
𝛼
𝛼
. [3]
𝜕𝑧1 1 … 𝜕𝑧𝑛 𝑛
𝜇
𝜇
𝐷𝜇 = 𝐷1 1 𝐷2 2
𝜇
… 𝐷𝑛 𝑛 , где 𝐷𝑗 = ⟨𝑎 𝑗 , 𝜉⟩ =
𝑎1 𝜕𝑥 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝜕𝑥 - производные по направлению вектора 𝑎 𝑗 , j=1,…,n.
1
𝑛
𝑗
2𝜋
𝑗
Пусть ‖𝑎 𝑗 ‖ = |𝑎1 | + ⋯ + |𝑎𝑛 | . Обозначим 𝑅 =
max‖𝑎𝑗 ‖
, 𝑗 = 1, … , 𝑛. Отметим, что
𝑗
гиперплоскости ⟨𝑎 𝑗 , 𝜉⟩ = ±2𝜋𝑖, 𝑗 = 1, … , 𝑛 не пересекаются с полицилиндром 𝑈𝑅 =
{|𝑧𝑗 | < 𝑅}.
Теорема 3
2𝜋
Если 𝜑(𝑧) ∈ 𝐸𝑥𝑝𝑅 (ℂ𝑛 ), где 𝑅 = max‖𝑎𝑗‖, то решение уравнения (3) с дополнительными
𝑗
условиями
∑𝜇≥1
𝐵𝜇
𝜇!
𝜋𝑗 𝑆(𝑧) = 0
имеет
вид
𝐵
𝑆(𝑧) = ∑𝜇≱𝐼,𝜇≥0 𝜇!𝜇 ∫П
𝐾 (𝑥+𝑎),
𝐷𝜇 𝜑(𝑦) 𝑑𝑦 +
𝐷𝜇−1 𝜑(𝑥 + 𝑎), где 𝐵𝜇 – обобщенные числа Бернулли.
Для 𝑛 = 1 из этой формулы получаем формулу Эйлера-Маклорена. В работах [4],[5]
получена аналогичная формула для случая, когда суммирование ведется по
произвольному выпуклому рациональному многограннику, но только для случая, когда
𝜑(𝑧) - многочлен.
Список литературы.
1. Гельфонд А. О. Исчисление конечных разностей. // - М.: Наука, 1967.
2. Харди Г. Расходящиеся ряды.. // - М.: Издательство иностранной литературы,
1951.
3. Дубинский Ю.А. Задача Коши в комплексной области. // - М.: Издательство МЭИ,
1996.
4. Brion M., Vergne M. Lattice points in simple polytopes. // Journal of the American
Mathematical Society. 1997. Vol. 10. No 2. Pp. 371-392.
5. Brion M., Vergne M. Residue formulae, vector partition functions and lattice points in
rational polytopes. // Journal of the American Mathematical Society. 1997. Vol. 10. No
4. Pp. 797-833.