Разработка урока по теме «Логарифмические уравнения

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение
средняя общеобразовательная школа № 45
Разработка урока по теме
«Логарифмические уравнения»,
алгебра и начала анализа, 10 класс.
Автор: учитель математики
МАОУ СОШ №45 г. Калининграда
Борисова Алла Николаевна.
г. Калининград
2014 – 2015 учебный год
Автор – Борисова Алла Николаевна
Образовательное учреждение – муниципальное автономное
общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа № 45
города Калининграда
Предмет – математика (алгебра и начала анализа)
Класс – 10
Тема – «Логарифмические уравнения»
Учебно-методическое обеспечение:
 Алгебра и начала анализа, 10-11 класс: Учебник для
общеобразовательных учреждений, базовый уровень
/Ш.А.Алимов и др., - 18 - е изд., - М.: Просвещение, 2013 г.
 Алгебра и начала математического анализа, 10 класс: Учебник
для общеобразовательных учреждений, базовый и профильный
уровень /Ю.М.Колягин и др., - 4 - е изд., - М.: Просвещение, 2014
г.
Данные о программах, в которых выполнена мультимедийная составляющая
работы - Microsoft Office Power Point 2007
Цель:
систематизация и обобщение знаний по теме: «Решение логарифмических
уравнений». Открытие нового метода решения логарифмических уравнений.
Задачи урока:
Образовательные:
 закрепление основных методов решения логарифмических уравнений,
предупреждение появления типичных ошибок;
 применение обобщённых знаний, умений и навыков в новых условиях
– создание проблемной ситуации с целью открытия нового метода
решения логарифмических уравнений;
 совершенствование умения быстро и правильно решать
логарифмические уравнения.
Развивающие:
 развитие познавательного интереса к предмету.




формирование ключевых и предметных компетентностей.
развитие творческих способностей.
развитие математически грамотной речи;
развитие логического мышления.
Воспитательные:
 воспитание познавательной активности, культуры общения,
ответственности, самостоятельное развитие зрительной памяти;
 подготовка к сознательному восприятию учебного материала;
 формулирование мотивации желания работать на уроке;
 обоснование выбора методов, средств и форм обучения;
 оптимизировать обучение путем разумного сочетания и соотношения
методов, средств и форм, направленных на получение высокого
результата за время урока.
Оборудование и материалы для урока: проектор, экран, презентация для
сопровождения урока, раздаточный материал.
Тип урока: комбинированный.
Структура урока:
№
n/n
Название этапа урока
Время
1
Организационный момент.
1 мин
2
Проверка домашнего задания.
7 мин
3
Повторение теории.
2 мин
4
Повторение методов решения логарифмических
уравнений.
5 мин
5
Введение нового материала.
12 мин
6
Физкультминутка.
2 мин
7
Закрепление изученного материала.
15 мин
Подведение итогов урока.
1 мин
Целесообразность использования медиа продукта на занятии
продиктована интенсификацией учебно-воспитательного процесса:

улучшением наглядности изучаемого материала,

увеличением количества предлагаемой информации,

уменьшением времени подачи материала;
 повышением эффективности усвоения учебного материала за счет
групповой и самостоятельной деятельности учащихся.
Обоснование выбора форм и методов работы на уроке по теме
«Логарифмические уравнения» и методические рекомендации по
применению презентации на уроке.
Тема «Логарифмические уравнения» является одной из ключевых тем по
алгебре и началам анализа и входит в тему «Логарифмическая функция» по
авторскому планированию Ш.А.Алимова. На её рассмотрение отводится 4
часа. Кроме того, в заданиях ЕГЭ прошлых лет указанная тема встречается
довольно часто и вызывает сложность при усвоении, а метод
логарифмирования при решении уравнений рассматривается недостаточно
полно. Поэтому предлагаемые формы и методы работы по данной теме
способствуют отработке навыков решения логарифмических уравнений.
Задания, предложенные на уроке, подбирались с учетом возрастных
особенностей учащихся и способствуют развитию логического мышления,
математической интуиции, умению анализировать, применять знания в
нестандартных ситуациях с учетом меж предметных связей при решении
задач практического содержания. Предложенные формы и методы
применяются для групповой, самостоятельной и фронтальной работы.
И последнее примечание: все учащиеся класса с начала учебного года
разделены на три группы: группа А – самые «слабые» учащиеся, группа В –
«средние» учащиеся, группа С – учащиеся с высоким уровнем обученности
по предмету.
Ход урока.
I. Организационный момент.
1) Учащимся сообщается тема урока и цели, подчеркивается актуальность
данной темы (слайд №1).
2) Учитель: Ребята, к сегодняшнему уроку я подобрала высказывание
современного польского математика С. Коваля: «Уравнение – это золотой
ключ, открывающий все математические сезамы» (слайд №2).
Думаю, что эти слова будут помогать нам в нашей с вами работе.
4) На слайде №3 приводится план работы на уроке по данной теме.
План урока.
1. Проверка домашнего задания.
2. Повторение.
3. Открытие нового знания.
4. Закрепление.
II. Проверка домашнего задания.
1) 2 уч-ся оформляют самостоятельно на доске номера из домашней работы
№344(2):
𝑥−1
𝑙𝑜𝑔2 𝑥+4 + 𝑙𝑜𝑔2 (𝑥 − 1)(𝑥 + 4) = 2;
𝑙𝑜𝑔2
(𝑥−1)(𝑥−1)(𝑥+4)
𝑥+4
= 2𝑙𝑜𝑔2 2;
𝑙𝑜𝑔2 (𝑥 − 1)2 = 𝑙𝑜𝑔2 22 ;
(𝑥 − 1)2 =4;
𝑥 − 1 = 2 или 𝑥 − 1 = −2
𝑥=3
𝑥 = −1.
Проверка:
3−1
1) 𝑥 = 3; 𝑙𝑜𝑔2 3+4 + 𝑙𝑜𝑔2 (3 − 1)(3 + 4) = 2; 𝑙𝑜𝑔2 4 = 2.
−1−1
−2
2) 𝑥 = −1; 𝑙𝑜𝑔2 −1+4 + 𝑙𝑜𝑔2 (−1 − 1)(−1 + 4) = 2; 𝑙𝑜𝑔2 ( 3 ) + 𝑙𝑜𝑔2 (−6) = 2 −
не имеет смысла.
Ответ: 3.
№348(2):
𝑙𝑜𝑔2 𝑥 + 𝑙𝑜𝑔𝑥 2 = 2,5;
О.Д.З: {
𝑥>0
;
𝑥≠0
𝑙𝑜𝑔 2
𝑙𝑜𝑔2 𝑥 + 𝑙𝑜𝑔2𝑥 − 2,5 = 0;
2
1
𝑙𝑜𝑔2 𝑥 + 𝑙𝑜𝑔
2𝑥
− 2,5 = 0;
𝑙𝑜𝑔22 𝑥 − 2,5𝑙𝑜𝑔2 𝑥 + 1 = 0;
Введём новую переменную 𝑡 = 𝑙𝑜𝑔2 𝑥, 𝑡 ∈ 𝑅. Получим:
𝑡 2 − 2,5𝑡 + 1 = 0;
1
𝑡 = 2 или 𝑡 = 2;
Вернёмся к исходной переменной:
𝑙𝑜𝑔2 𝑥 = 2; 𝑥 = 4;
1
или 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 = 2 ; 𝑥 = √2. Оба корня удовлетворяют О.Д.З
1
Ответ: 2 ; √2.
2) В это время на экране появляются решения других домашних номеров (в
некоторых допущены ошибки). Учащиеся после обсуждения в парах
реагируют (либо соглашаются, либо нет), фронтально обсуждаются ошибки
(слайды № 4, 5).
Проверь домашнюю работу!
№343 (2):
2) log 4 x 2  3;
log 4 x 2  3log 4 4;
log 4 x 2  log 4 43 ;
x 2  64;
x  8.
Ответ: 8
№345 (2):
2
2) 2log x  5log x  400;
О. Д .З. : x >0;
22log x  5log x  400;
3
3
3
3
(4  5)log3 x  202 ;
20log3 x  20 2 ;
log 3 x  log 3 32 ;
x  32.
x  9. Ответ: 9
Проверь домашнюю работу!
№347 (1):
1)
О. Д .З. : x >0; y >0.
lg x  lg y  7

lgx  lg y  5;
2 lg x  12

lgx  lg y  5;
lg x  6

6  lg y  5;
lg x  lg 10 6

lg y  lg 10 1 ;
 x  1000000
.

 y  10
Ответ: (1 000 000;10)
III. Повторение.
1) Фронтальная устная работа с классом (слайд №6).
Устная работа
•Что понимают под логарифмическим
уравнением?
•Что называется корнем уравнения?
•Что значит «решить уравнение»?
•Какие уравнения называются
равносильными?
•Что такое потенцирование?
•Обязательной ли является в общем случае
проверка найденных значений неизвестного
по условию уравнения?
•Какие свойства логарифмов вам известны?
2) Математический диктант с последующей взаимопроверкой
(ответы: да – 1, нет – 0) (слайд №7).
Диктант
(ответы: да – 1, нет – 0)
Верно ли утверждение?
1. Если 2 x 7 , то x  log 2 7
2. Если log 3 x  3 , то x = 9
3. Если log x 64  2 , то x = 8
4. Если 3 x  5 , то x  log 5 3
5. Если log 7 42  x , то x =-2
6. Если
log 2 x  4 , то x = 16
Далее – обсуждение ошибочно указанных утверждений и исправление их с
помощью учащихся на слайде (ошибки в равенствах 2, 4 и 5).
3) Далее к доске выходят 2 учащихся и объясняют решение домашних
номеров: №344(2) и №348(2), которые оформляли на доске.
4) Разбейте уравнения на группы по способу решения (слайд №8).
Проверь себя!
log3(x²-3х+1)= log3(2x-3)
Используя свойства
логарифма
lg(x + 3)lg(3x - 5) = 0
Графический
log2(x+1)=-2x+3
По определению
логарифма
log5( x-2 )= 1
log3(x+6)+ log3(x-2)=2
log22x - log2x - 2 = 0
2lg(2x-1)- lg2(2x-1)= 0
xlgx=100x
Потенциирование
Введение новой
переменной
Разложения на
множители
IV. Введение нового материала.
1) В ходе решения уравнений ученики сталкиваются с проблемой. Они не
знают, как можно решить последнее уравнение. На основе затруднения
учащимся предлагается сформулировать цель урока и задачи для достижения
этой цели (слайд № 9).
2) Проблемная беседа.
- Назовите проблему. (Не хватает изученных методов для решения
последнего уравнения.)
- Какую цель ставите перед собой? (Открыть новый метод решения
логарифмических уравнений.)
3) Учащиеся работают в группах с заданием решить уравнение x lgx=100x;
При необходимости учитель отдельным группам делает подсказку: как lg x
можно сделать из показателя степени множителем? ( Вспомните свойство
логарифма).
Ученики, открывшие новый метод, комментируют его на исходном
примере (слайд № 9).
Новый метод называется логарифмированием.
V. Физкультминутка.
Один учащийся выходит к доске и предлагает простые упражнения для
шеи, рук и спины.
VI. Закрепление изученного материала.
1) Обобщение результата исследовательской деятельности учащихся. Итог
работы на данном этапе – это формулировка алгоритма решения уравнений
методом логарифмирования учащимися (слайд № 10).
Метод логарифмирования.
При решении логарифмических уравнений часто
используется операция логарифмирования,т.е переход
от уравнения log a f x  log a g x к уравнению f x   g x 


Следует иметь ввиду, что такой переход в общем
случае может привести к потере корней, поскольку
сужает область допустимых значений переменной.
На множестве, определенном условиями f x   0, g x   0
уравнения log a
f x   log a g x 
равносильны.
2) Первичное закрепление.
и f x   g x 
2 уч-ся с комментированием решают методом логарифмирования уравнения
на доске (слайд № 11, 12).
Первичное закрепление
Xlgx+2 = 1000
1)ОДЗ: Х>0
2) Т. к. обе части уравнения положительны, то
логарифмируя их по основанию 10, получим:
lgxlgx+2 = lg1000
( lgx+2)·lgx=lg1000
lg2x+ 2lgx- 3=0
lgx=y
2
у + 2у- 3=0
y=- 3 или у=1.
lgx=- 3
или
lgx=1,
x=10-3=0,001
x=10
Ответ: 0,001; 10.
Первичное закрепление
xlоg5x=x10
1)ОДЗ: х>0
2) Т. к. обе части уравнения положительны, то
прологарифмируя их по основанию 5, получим
lоg5xlоg5x=lоg5x10;
lоg25х = 10lоg5x;
lоg25х -10lоg5x =0;
lоg5x(lоg5x -10) =0;
lоg5x =0 или lоg5x = 10;
х =1 или х = 5 10 .
Ответ: 1; 5
10
3) Самостоятельная работа по теме урока.
А) Группа А («слабые» учащиеся). Работают самостоятельно, при
необходимости подзывают учителя и получают необходимые им
консультации(эти задания представлены на слайде № 13) .
Решите уравнения методом
логарифмирования
1) x2lgx=100
2) x0,5lgx=0,01x2
3) X2log3x=3log33x
14
После окончания работы взаимопроверка (слайд № 14, 15, 16).
Решите уравнения методом
логарифмирования
1) x2lgx=100
1)ОДЗ: х>0
2) Т. к. обе части уравнения положительны, то
прологарифмируя их по основанию 10, получим
2lgx·lgx=lg100;
2lg2x=2;
lg2x=1;
lgx=1 или
x=10
lgx=-1;
x= 0,1
Ответ: 1; 5
10
Решите уравнения методом
логарифмирования
2) x0,5lgx=0,01x2
1)ОДЗ: х>0
2) Т. к. обе части уравнения положительны, то
прологарифмируя их по основанию 10, получим
lgx0,5lgx=lg0,01x2;
0,5lgxlgx – (-2+2lgx)=0
0,5lg2x - 2lgx+2=0
lg2x - 4lgx +4 =0
(lgx -2)2=0
lgx =2
х=100
Ответ:100
Решите уравнения методом
логарифмирования
3) X2log3x=3log33x
1)ОДЗ:х>0
2) Т. к. обе части уравнения положительны, то
прологарифмируя их по основанию 3, получим
log3X2log3x=log33log33x
2log3x·log3x=log3(3x)·log33
2log32x = 1+log3x
2log32x -1-log3x=0
X=10 или х=3-0,5
Х=√3/3
Ответ: 10; √3/3
Б) Группа В («средние» учащиеся). Работают самостоятельно (по
необходимости пользуются помощью учителя или соседа по парте) по
карточкам. 3 уч-ся работают на откидной доске (она закрывается, и все
остальные учащиеся не видят того, что пишет ученик у доски).
Задания по теме «Решение уравнений методом логарифмирования» (10
класс, уровень В).
№ 1. ( x )log5x-1=5;
№ 2. X2log16x=
64
;
x
№ 3. X2log3x=3log33x.
Решение:
№ 1. ( x )log5x-1=5; ОДЗ: x>0
Логарифмируем по основанию 5:
(log5x-1)log5 x =1;
(log5x-1)log5x=2;
log 52 x-log5x-2=0;
log5x=2 или log5x=-1
1
x= .
5
x=25
Ответ:
1
; 25.
5
№ 2. X2log16x=
64
; ОДЗ: x>0
x
Логарифмируем по основанию 4, предварительно преобразовав уравнение x log4x=
1
log 24 x=3- log4x;
2
2 log 24 x+log4x-6=0;
log4x= -2 или log4x=
x=
1
16
Ответ:
3
2
x=8.
1
; 8.
16
№ 3. X2log3x=3log33x ; ОДЗ: x>0
Используя основное логарифмическое тождество, преобразуем уравнение к виду:
x2log3x=3x и логарифмируем по основанию 3, получим:
2log 32 x=1+log3x;
2log 32 x-log3x-1=0;
1
log3x=1 или log3x=- ;
2
64
x
x=3
x=
3
3
3
; 3.
3
Ответ:
По окончании – фронтальная проверка: 3 других уч-ся комментируют
решения, предложенные уч-ся на доске. Учитель проверяет правильность
выполнения задания.
Б) Группа С («сильные» учащиеся). Получают задания – карточки.
Работают самостоятельно, учитель оказывает помощь, если понадобиться.
Задания по теме «Решение уравнений методом логарифмирования» (10
класс, уровень С).
№ 1.
3
x 2 lg
x
=
 x
10 ;
lg x
№ 2.
 log5
x6∙5log1/x5= 11
11
5
;
№ 3.
x
log2
x
98
∙ 14 log 7 =1
2
Решение:
№ 1.
3
x 2 lg
 x
x
lg x
=
10 ; ОДЗ: x>0
Логарифмируем по основанию 10:
2lg3x∙lgx-lgx∙lg x 3 =lg 10 ;
2lg4x -
3 2
1
lg x - =0;
2
2
4lg4x - 3lg2x - 1=0;
Пусть lg2x=t; где t  0
4t2-3t-1=0
1
t=1 или t= - не удовл. условию t  0.
2
lg2x=1
lgx=1 или lgx=-1;
x=10
x=
Ответ:
1
.
10
1
и 10.
10
№ 2.
 log5
x6∙5log1/x5=11
11
5
; ОДЗ: x>0
x6∙5log1/x5= 115 log 5 ;
11
1
x ∙  
5
logx 5
6
=5-5;
Логарифмируем по основанию 5:
1
log5x6+logx5∙log5 =-5;
5
6log5x-
1
+5=0;
log 5 x
6log 52 x+5log5x-1=0;
log5x=
1
или log5x=-1;
6
1
x= ;
5
x= 6 5
Ответ:
1
;
5
6
5.
№ 3.
x
log2
x
98
∙ 14 log2 7 =1; ОДЗ: x>0
Логарифмируем по основанию 2:
 log2 x 
log2  x 98  +log214log27=0


(log2x-log298)∙log2x+log27∙(log27+log22)=0
(log2x-2log27-1)∙log2x+log27∙(log27+1)=0
log 22 x-(1+2log27)log2x+log 22 7+log27=0
Решаем его как квадратное уравнение:
Д=(1+2log27)2-4log 22 7-4log27=1+4log27+4log 22 7-4log 22 7-4log27=1;
log2x=
1  2 log 2 7  1
1  2 log 2 7  1
или log2x=
;
2
2
log2x=log214
log2x=log27;
x=14
x=7.
Ответ: 7 и 14.
Ученик, решивший уравнение первым, оформляет решение на доске.
VII. Подведение итогов урока, выставление отметок.
(слайд № 17)
Рефлексия (итог урока)
• Какую цель ставили перед собой на
уроке?
• Cмогли ли её достичь?
• Оцените свою деятельность на уроке.
• Какой вид деятельности вам больше
понравился?
VIII. Домашнее задание ( по карточкам)
Решите уравнение (1—5) методом логарифмирования.
1. 𝑥 𝑙𝑔
3 𝑥−5𝑙𝑔𝑥
2. 𝑥 2−𝑙𝑔
3. 𝑥
= 0,0001;
2 𝑥−𝑙𝑔𝑥 2
2𝑙𝑔2 𝑥
1
= ;
𝑥
= 10𝑥 3 ;
4. (𝑥 + 7)lg(𝑥+7) = 10;
2
5*. 6𝑙𝑜𝑔6 𝑥 + 𝑥 𝑙𝑜𝑔6𝑥 = 12 (уровень С).